Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 21

Trêng thcs yªn b¸i ®Ò thi m«n: to¸n Ngêi ra ®Ò: NguyÔn V¨n T©n Ngêi thÈm ®Þnh: TrÞnh Kim S¬n Thêi gian lµm bµi: 150 phót §Ò bµi C©u 1: (6 ®iÓm) Cho biÓu thøc  x x 1 x  1   x  A    :  x   x  1  x  1   x 1 a) Rót gän A b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 C©u 2: (6 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x  1  3 x  1  3 5x 1 4   3 x y b) T×m x > 0, y > 0 tho· m·n:   x  y 3 C©u 3: (6 ®iÓm) Tõ ®iÓm P n»m ngoµi ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kÎ hai tiÕp tuyÕn PA; PB (A; B thuéc ®êng trßn). Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn ®êng kÝnh BC. a) Chøng minh: PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH. b) Gi¶ sö PO = d. TÝnh AH theo R vµ d. C©u 4: (2 ®iÓm) Cho x, y, z > 0. T×m GTLN cña M xyz  x  y  y  z  z  x Híng dÉn chÊm C©u Néi dung a. §iÒu kiÖn: x > 0 vµ x 1 Thang ®iÓm 1,0 ®iÓm  x 2 x b. LËp ®îc pt: 3x  x  2 0 3,0 ®iÓm Rót gän: A = C©u 1 (6 ®iÓm) 1,0 ®iÓm 1,0 ®iÓm Gi¶i t×m ®îc: x = 2/3 a. Ta cã: 3 x  1  3 x  1  3 5x  2x + 3 3 x 2  1  3 x  1  3 x  1  5 x 5 (1) (2) 1,0 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm x 2  1. 3 5 x x 3 Thay (1) vµo (2) ta cã:  4 x  5 x 0  x 0; x  0,5 ®iÓm 5 2 0,5 ®iÓm Thö l¹i thÊy (1) ba nghiÖm trªn tho· m·n (1). KÕt luËn. b)Ta.cã C©u 2 (6 ®iÓm) 1 4    .  x  y  9  x y 2 2  1    1 2  2    2 . 9  1  2   . x . y      x    x   y    y       1 4 Suy ra:    .  x  y  9  x y 2 y x   y 2 x  1 2 x y DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 2  x  y  2   1,0 ®iÓm 0,5 ®iÓm 1 1 3    x 2y  x  2 y 3  1,0 ®iÓm 0,5 ®iÓm Suy ra: x = 1; y = 2 C©u 3 (6 ®iÓm) a) Do AH //PB suy ra EH CH  PB CB 0,5 ®iÓm (1) MÆt kh¸c, do PO // AC suy ra POB = ACB (®ång vÞ) AH CH  Suy ra : AHC POB  PB OB 1,0 ®iÓm (2) 0,5 ®iÓm Do CB = 2OB ; KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã AH = 2EH hay E lµ trung ®iÓm cña AH. b) XÐt tam gi¸c vu«ng BAC, ®êng cao AH ta cã: AH2 = BH.CH = (2r – CH).CH Theo (1) vµ do AH = 2EH nªn AH .BC  AH .BC AH2 =  2 R  .  2 PB  2 PB  AH .4PB = (4R.PB – AH.CB).AH.CB  AH(4PB2 + CB2) = 4R.PB.CB 2 2 1,0 ®iÓm 1,0 ®iÓm 1,0 ®iÓm  AH   4 R.CB.PB 4 R.2 R.PB  2 2 4 PB  CB 4 PB 2  (2 R ) 2 8R 2 . d 2  R 2 2R2. d 2  R 2  4(d 2  R 2 )  4 R 2 d2 ¸p dông Cauchy cho 2 sè kh«ng ©m ta cã x + y 2 xy ; y + z 2 yz ; z + x 2 zx C©u 4 (2 ®iÓm) Suy ra: xyz xyz 1    x  y  ( y  z )( z  x) 2 xy .2 yz .2 zx 8 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z 1,0 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm