Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 18

Trêng THCS §Þnh T¨ng §Ò thi m«n: To¸n 9 Thêi gian: 150 phót Ngêi ra ®Ò: Ph¹m ThÞ Hång §Ò thi C©u 1: (3 ®) Cho biÓu thøc A= ( 1 2 x 2 - x 1 x x  x x 1 ): ( 1 2 ) x  1 x 1 - a. Rót gän A b. T×m x ®Ó A = 1 5 C©u 2: (5®) Cho hai ®iÓm: A (3; 17) , B (33;193) a. ViÕt ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng AB b. Cã bao nhiªu ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng AB cã hoµnh ®é vµ tung ®é lµ c¸c sè nguyªn. C©u 3 (5 ®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh. (a+1)x-y = a+1 y(a-1) + x =2 a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n x+y nhá nhÊt C©u 4: (6®) Cho hai ®êng trßn (O;R) vµ (O’;r) tiÕp xóc nhau t¹i A. TiÕp tuyÕn chung ngoµi tiÕp xóc víi (O;R) vµ (O’;r) lÇn lît t¹i B vµ C. a. TÝnh BC theo R vµ r b. H¹ AH  BC t¹i H. Chøng minh: IA=IH. c. Chøng minh r»ng BO’, OC, AH ®ång quy C©u 5: (1®) Cho a, b, c, d 0 Chøng minh r»ng: (a  c)(b  d )  ab  cd Híng dÉn chÊm C©u 1: (3®) a. §K: x 0; x 1 A= b. Ta cã: (0,5 ®) x 1 (1,5 ®) x 1 x1 x 1 =1 5  5( => x = x  1) = ( 0,5®) x 1 9 4 VËy víi x = 9 4 th× A = 1 5 (0,5®) C©u 2 : (5®) a. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB cã d¹ng: y= b. Ta cã : y= 88 15 x- x- 3 5 3 5 = 6x -1 - 2( x  3) (1®) 15 V× (2; 15) nguyªn tè cïng nhau §Ó y nguyªn  88 15 (0,25®) x 3 nguyªn 15  x-3=15t => x=15t+3 (0,5®) Thay vµo y ta ®îc: y= 88t + 17 (0,5®) VËy nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng lµ: x=15t + 3 y=88t+ 17 (0,25®) t Z Do 3  x  33 => 3 15t + 3  33 => 0  t  2 (0,25®) Do t  Z => t = {0; 1; 2} (0,25®) Thay t = 0 => x = 3; y = 17 t=1 => x = 18 ; y = 105 t=2 => x =33 ; y = 193 VËy cã 3 ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng AB cã to¹ ®é nguyªn Q (93;17) ; M(18;105); N(33;193) (0,5®) C©u 3: (5®) a. HÖ ph¬ng tr×nh  a2x = a2+1 x+(a-1)y=2 (0,5®) XÐt ph¬ng tr×nh: a2x = a2 +1 (*) NÕu a = 0 => PT (*) v« nghiÖm => hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. (0,5®) NÕu a 0 => 2 x = a 2 1 a y= a 1 a HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (0,5®) 2 b. Ta cã: x+y = a 2 1 + a 2 1 = 1+ 1 + a §Æt  1 a (0,5®) a a 2 a2 (1®) =k => 22 =2k2 (0,5®) a x+y = 1+k+2k2 = 2(k+ 1 )2 + 4 VËy Min (x+y) = 7 8 7 8  7 8 (1®) khi k =- 1 => 1 = - 1 => a= - 4 4 a (0,5®) 4 C©u 4: (6®) HS vÏ h×nh ghi GT, KL (0,5®) B I R r O’ O a. KÎ tiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t BC t¹i K => KA=KB=KC (t/c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau) =>  BAC vu«ng t¹i A => AK = BC 2 VËy BC = 2AK = 2 Rr b. Gäi I lµ giao ®iÓm cña OC vµ AH V× AH// OB//O’C (cïng vu«ng gãc víi BC) XÐt  CBO vµ  OO’C, ta cã = CI CO => IH R = = (0,5®) OA.O ' A = Rr (0,5®) (0,25®) = O' A O' O r Rr => IH = MÆt kh¸c ta cã: IA O' C A (0,5®) Tõ t/c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau => OK  O’K Mµ KA  OO’ => AK2 = OA.O’A => AK = IH OB C HK OI OC = OA O' O Rr Rr (1) (1®) => IA r = R Rr => IA = Rr Rr (2) Tõ (1) vµ (2) => IH=IA c. Gi¶ sö BO’ c¾t HA ë I’ Ta cần chứng minh I’ (1®) (0,25®) I CM t¬ng tù c©u b ta cã: I’A =I’H => I’  I VËy OC, O’B, AH ®ång quy C©u 5: (1®) Ta cã: (a  c)(b  d )  ab  cd  (a+c) (b+d)  ab+cd + 2 abcd  ad+bc -2 abcd 0  ( ad  bc )2  0 ®óng  a, b, c, d 0 (1®) (0,5®) (0,5®) (0,5®)