Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 15

UBND huyÖn yªn ®Þnh phßng Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o trêng thcs ®Þnh tiÕn kú thi chän hoc sinh giái huyÖn líp 9 thCS n¨m häc 2010-2011 M«n : To¸n Thêi gian: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò :Mai V¨n Toµn C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: TrÞnh ThÞ Thuû Ph¹m V¨n TiÕn Cao Thanh HuÊn Bµi 1: (7 ®iÓm) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1  2 4 x  x  9  6 4 x 2 2. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b  ac th× ta cã: 2 1 1 2   a b b c c a Bµi 2: (6 ®iÓm) 2 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y  x 23x  5 . x 1 2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 2  2 y 2  3xy  2 x  4 y  3 0 Bµi 3: (7 ®iÓm) 1. Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD. Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N. Chøng minh r»ng tÝch OM ON lµ mét h»ng sè. Suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng  AM DN OM ON , khi ®ã cho biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm E ?  AM DN 2. Gäi GH lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ®· cho vµ GH kh«ng ph¶i lµ ®êng kÝnh. K lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung lín GH. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó chu vi cña tam gi¸c GHK lín nhÊt. HÕt §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: Bµi 1. ý 1.1 Néi dung §iÓm 7,0 (2,0 ®iÓm) x 1  2 4 x     4 4  2 x1  x1 4  4 x 3  2 0,25 ®k x 0 x  9  6 4 x 2 0,25 2  0,25  4 x  3 2 (1)  y  1  y  3 2 y  x 0; x 0 (2)  0  y 1: y  1 0, y  3  0 ,  nªn (2)  1  y  3  y 2  y 1 (tho¶ §K)  x 1 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)  1  y 3 : y  1  0, y  3 0 ,  nªn pt (2) y  1  3  y 2  0 y 0 do ®ã pt (2) cã v« sè nghiÖm y ( 1  y 3 ), suy ra pt (1) cã v« sè nghiÖm x ( 1  x 81 ).  y  3 : y  1  0, y  3  0 ,  nªn pt (2)  y  1  y  3 2  y 3 , pt v« nghiÖm.  VËy nghiÖm cña pt lµ 1  x 81 1.2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3,0 ®iÓm) 1 1 2   a b b c c a 1 1 1     a b c a c a A 1  a b 1  c a Ta cã:  1 (*) b c c  a b  0,5 b c a  c b  a b  Theo gi¶ thiÕt: b  c a  b c  0,5 a c  a  c 2b  b  a c  b , 2 nªn: 0,5 A b a  a b  b c  c a     b a b  a  b a b c   c a  0,5 A   b  a        c  a  c c  a b c  b c c a b §¼ng thøc (*) ®îc nghiÖm ®óng. 1  c a 1 b c 1,0 2. 6,0 2.1 (3,0 ®iÓm) x 2  3x  5 (x¸c ®Þnh víi mäi 2 x  R )   y  1 x  3x  y  5 0 (**) 2 x 1 4 y 1: pt (**) cã nghiÖm x  3 y   0,5 0,5 y 1: ®Ó pt (**) cã nghiÖm th×:  9  4( y  1)( y  5)  4 y 2  24 y  11 0 0,5  25 5 5 5 1 11 2   y  3 0  y  3     y  3    y   y 1 4 2 2 2 2 2 0,5 11 1 Do ®ã GTLN cña y lµ khi x  2 3 0,5 1 GTNN cña y lµ khi x  3 2 Vµ 0,5 2.2 (3,0 ®iÓm) x 2  2 y 2  3 xy  2 x  4 y  3 0  x 2   3 y  2  x  2 y 2  4 y  3 0 (***) §Ó pt (***) cã nghiÖm nguyªn theo x, th×: 2   3 y  2   4  2 y 2  4 y  3  y 2  4 y  8 lµ sè chÝnh ph¬ng. 0,25 0,5 2  y  4 y  8 k 2  k  Z   y  2  2 2  k 12  ( y  2  k )( y  2  k ) 12 (a ) 0,25 0,25 Ta cã: Tæng  y  2  k   ( y  2  k ) 2(k  2) lµ sè ch½n, nªn  y  2  k  ; (y  2  k) cïng ch½n hoÆc cïng lÎ. Mµ 12 chØ cã thÓ b»ng tÝch 1.12 hoÆc 2.6 hoÆc 3.4, nªn chØ cã c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:  y  2  k 2  y  2  k 6  y  2  k  6  y  2  k  2 ;  ;  ;  ;   y  2  k 6  y  2  k 2  y  2  k  2  y  2  k  6 Gi¶i c¸c hÖ pt trªn ta cã c¸c nghiÖm nguyªn cña pt (a):  y 2; k 2  ,  y 2; k  2  ,  y  6; k 2  ,  y  6; k  2  Thay c¸c gi¸ trÞ y 2; y  6 vµo pt (***) vµ gi¶i pt theo x cã c¸c nghiÖm nguyªn (x; y) lµ: ( x  1; y 2), ( x  3; y 2);( x 11; y  6), ( x 9; y  6) 3. (4 ®) 3.1 0,25 0,5 0,5 0,5 7,0 Ta cã: COM ~ CED v×: O E 90 0 ; C chung. Suy ra: OM CO ED.CO   OM  (1) ED CE CE Ta cã: AMC ~ EAC v×: C chung A E 45 0 . Suy ra: AM AC EA. AC   AM  (2) EA EC CE OM OC.ED ED   (3) Tõ (1) vµ (2): AM AC.EA 2 EA ; B chung ONB ~ EAB v×: O E 90 0 0,5 0,5 0,25  0,5 ON OB OB.EA   ON  (4) EA EB EB DNB ~ EDB v×: D E 45 0 ; B chung  0,5 DN DB DB.ED  5   DN  ED EB EB 0,25 ON OB.EA EA   (6) . Tõ (4) vµ (5): DN DB.ED 2 ED OM ON 1 Tõ (3) vµ (6):   AM DN 2 OM ON §Æt x  . Ta cã: x, y kh«ng ©m vµ: , y AM DN  3.2 x y  2 x  y  2 xy 0  x  y 2 xy 2 0,25 0,5 1  2 2 x y 1  DÊu "=" xÈy ra khi:  1  x y  2  xy  2 OM ED 1  OM ON      EA ED VËy: Tæng    2 khi AM 2 EA 2  AM DN  min  E lµ trung ®iÓm cña d©y cung AD. (3,0 ®iÓm) GKH cã c¹nh GH cè ®Þnh, nªn chu vi cña nã lín nhÊt khi tæng KG  KH lín nhÊt. Trªn tia ®èi cña tia KG lÊy ®iÓm N sao cho KN = KH. Khi ®ã, HKN c©n t¹i K. Suy 1 2 ra GNH  GKH vµ KG  KH KG  KN GN 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 1 GKH  s®cungGH 2 0,25 (gãc néi tiÕp ch¾n cung nhá GH cè ®Þnh), do ®ã GNH kh«ng ®æi. mµ VËy N ch¹y trªn cung trßn (O') tËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n GH díi gãc 1   GOH kh«ng ®æi. 4 0,5 GN lµ d©y cung cña cung trßn (O') nªn GN lín nhÊt khi GN lµ ®êng kÝnh cña 0,5 cung trßn. Suy ra GHK vu«ng t¹i H, do ®ã KGH KHG (v× lÇn lît phô víi hai 0,5 gãc b»ng nhau). Khi ®ã, K lµ trung ®iÓm cña cung lín cung GH. VËy: Chu vi cña GKH lín nhÊt khi K lµ trung ®iÓm cña cung lín cung GH. 0,25