Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 14

Trêng THCS Yªn L¹c §Ò Thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: TrÞnh V¨n Hïng C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò : TrÞnh V¨n B»ng , TrÇn ThÞ TuyÕt Anh, Lu H÷u ThuÊn §Ò thi: Câu 1 : 3,5điểm 1/ Tính : A = 4  10  2 5  4 10  2 5 a b  c b c  a c a  b   c a b  b  c  a  Tính giá trị biểu thức: P =  1    1    1    a  b  c  2/ Cho a, b, c thoả mãn: Câu 2: 3,5điểm 2 x2  y 2  z 2  x  y  z   1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng  3 3   1 1 1 1 1 1 2/ Chứng minh rằng nếu   2 và a + b + c = abc thì ta có 2  2  2 2 a b c a b c Câu 3: 4điểm 1/ / Giải phương trình : 36 x 2  4 y 1 28  4 x  2  mx  y 2 3x  my 5 2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình  x  y 1  y 1 có nghiệm thoả mãn hệ thức : m2 m2  3 Câu 4: 5điểm 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức: 2 1 1   AD AB AC b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE 2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2 5 cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB. Câu 5: 2điểm Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. A Chứng minh rằng: sin 2  a 2 bc Câu 6: 2điểm Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x2 + 1 = y2 ------------------------------------Hết----------------------------------------- Câu Đáp án 1. (2điểm) Vì 4  10  2 A2 = Câu 1 3,5điể m 4 5 > 0; 4 10  2 5  2 ( 4  = 8  2 16  10  2 5 = 8  2 5  2 5 1 = 8  2 = 82 5  1 = 8+2 5 2 = ( 5  1) 2 Từ (1) và (2) suy ra: A = 10  2 5 >0 A>0 10  2 5 )( 4  Điể m (1) 10  2 5 )  4  10  2 5 ( 5  1) 2 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ (2) 5 1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2. (1,5điểm) 0,25 đ 0,25 đ a b  c b c  a ca  b 2  2  2 c a b a b c b c a c a b   suy ra c a b Từ gt ta có Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c = 0  a + b = -c b+c=-a c + a = -b ( c) ( a ) ( b )  abc  b  c  a   a b  b c  c a  P = 1   1  1  =  . . = =    = a b c abc  a  b  c   a  b  c  -1 * Nếu a + b + c 0  a = b = c  P = 2.2.2 = 8 1. (1,5điểm) Áp dụng BĐT Côsi ta có: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x2 + y2  2xy (1) y2 + z2  2yz (2) z2 + x2  2zx (3) 0,25 đ Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 )  2( xy + yz + zx ) Câu 2 3,5điể m  2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 )  ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )  3( x2 + y2 + z2 )  ( x + y + z )2 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ chia hai vế cho 9 ta được x 2  y 2  z 2 ( x  y  z )2  3 9 hay 2 2 2 x y z  xyz   3 9   0,25 đ 2 0,25 đ 2. (2điểm) 0,25 đ 2 1 1 1  1 1 1 Từ   2      4 a b c a b c 1 1 1 1 1   1  2  2  2  2    4 a b c  ab bc ca   0,50 đ 1 1 1  a b c   2  2  2  4 2 a b c  abc  0,25 đ 0,25 đ mà a + b + c = abc  a b c 1 abc 0,25 đ 0,25 đ 1 1 1    2 4 a 2 b2 c2 1 1 1  2  2  2 2 a b c  0,25 đ 1. (2,5điểm) Phương trình 36 x 2  4 y 1 28  4 x  2  y 1 (1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1 0,25 đ * Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có : + Phương trình (1)   36  4( x  2 ) 2 x 2 (6  2 x  2 ) 2 x 2   4  ( y  1) 2 (2  y 1 y  1) 2 y 1  28 0 0 (2) 0,25 đ ( 6  + Với x > 2, y > 1  2   ( 2  x    y   x y 2 1     2 1) ) 2 2 0 0 0 0 (3)  6    2  Câu 3 4,0điể m 2 Từ (2) và (3)     Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình  ( 6    ( 2  2 x  2) y  1) 2  6 2   2  x  y  0 0,25 đ 0 1 0 x  y  2 2 0 2 1 11 x    y 5 Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 2. (1,5điểm) mx  y 2 3x  my 5 Hệ phương trình  Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có: (m2 + 3)x = 2m + 5. Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có 2m  5 , m2  3 5m  6 y 2 m 3 2m  5 5m  6 m2 1  2 Theo đề bài ta lại có : 2  2 (*) m 3 m 3 m 3 4 Giải phương trình này ta được m = 7 x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ 1. (3,0điểm) A E B D C a. (2,0điểm) Câu 4 5,0điể m a. Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = 1 bc 2  bc = 2 SABC = 2 SABD + 2SADC = AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450 = ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450 Suy ra bc = ( b + c )AD. AD 2 = ( b + c ). 2 2 AD bc = 2 bc bc 1 1 2    = bc c b AD  Vậy 2 1 1   (đpcm) AD AB AC 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b. (1,0điểm) Ta có bc = 2 SABC = 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 = ( b – c )AE. 2  2 bc = ( b – c )AE. = ( b – c ) AE. 2 2 2 2  b c 1 1 2   = bc c b AE 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy 2 1 1 2 1 1     hay AD AC AB AE AC AB 2. (2,0điểm) 0,25 đ A M H I CB C B Kẻ AM  AC, M thuộc tia CI Chứng minh được ∆ AMI cân tại M  MI = AI = 2 5 Kẻ AH  MI  HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 ) Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC  (2 5 )2 = x.(2x + 3)  2x2 + 3x – 30 = 0  ( 2x – 5)(x + 4) = 0  x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5 )2 = 64 – 20 = 44  AC = 44 = 2 11 cm  AB = 2 11 cm 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Hình vẽ A M B D N C x Câu 5 2,0điể m Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM  Ax và CN  Ax Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có A BM A  BM = c.sin = 2 AB 2 A CN A  CN = b. sin sinNAC = sin = 2 AC 2 A Do đó BM + CN = sin ( b + c) 2 Mặt khác ta luôn có BM + CN  BD + CD = BC = a A A Vì thế sin ( b + c )  a ( vì sin < 1) 2 2 1 1 Do b + c  2 bc nên b  c  2 bc a A  hay sin (đpcm) 2 bc 2 0,25 đ sinMAB = sin 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ y2  1 3 Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2  x2 = y  2  y2 y2 vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) Câu 6 2,0điể m 0,25 đ suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3 Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5 do x2 0 nên (y2 -1)(y+2) 0 , 0,25 đ y 2   2 y  1 hoặc y 1 do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0 Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) =  (0,  1);(0,1) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó - Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó ----------------------------------HẾT-------------------------------------