Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 12

Trêng THCS §Þnh Hßa §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Ngêi ra ®Ò: TrÇn ThÞ Trang C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: Lª ThÞ Th¬ng §Ò thi: C©u 1: (4®) Cho biÓu thøc: A= x 4( x  1)  x 4( x  1) 2 x  4( x  1) .(1  1 ). x 1 a.T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh. b.Rót gän A. C©u 2: (4®) a.Gi¶i ph¬ng tr×nh: /x+1/+ x 2  2 x  1 =3x. b.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: C©u 3: (3®): Cho ®êng th¼ng (d): (m-2)x+(m-1)y=1 (m lµ tham sè). a.Chøng minh r»ng ®íng th¼ng (d) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. b.TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®êng th¼ng (d) lµ lín nhÊt. C©u 4: (4®) a.T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt: x2+2xy+2y2+2y=1988. b.Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n: x+y+z+ xyz =4.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B= x(4  y )(4  z )  y (4  z )(4  x)  z (4  x)(4  y )  xyz . C©u 5: (5®) Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB=2R. KÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By cña nöa ®êng trßn (O)vµ tiÕp tuyÕn thø ba tiÕp xóc víi (O) t¹i ®iÓm M c¾t Ax t¹i D, c¾t By t¹i E. a. Chøng minh tam gi¸c DOE lµ tam gi¸c vu«ng. b. Chøng minh AD.BE=R2. c. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn nöa ®êng trßn (O) sao cho diÖn tÝch tam gi¸c DOE ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 2   xy  y 2 7 x  4   x2 y2  y 4  21 x (HÕt). Híng dÉn chÊm: C©u 1:a.A x® (0,5®) VËy víi    …..  x  1   x 2 2 b.A=        x  x  4( x  4( x x x 2 1   0 4( x    1 ) 1 ) 1 )  0  0  0 x  1   x 2 (1®) (0,5®). th× A x¸c ®Þnh. ( x  1  1)  ( x  1  1) 2 x  2 . = x 1 ( x  2) 2 x 1 1 x  1 1 x  2 . x 2 x 1 (0,5®). NÕu 12 ta cã: VËy: A=  2 x 1 A=……= (0,5®) 2 (0,5®). x 1   2  x  1 khi1  x  2   2  khi  2  x  1  (0,5®). C©u 2:a.  x  1  x  1 3x (*) NÕu x<-1  *  ...............  x 0 (kh«ng tm) NÕu-1 x<1  (*)  ..............  x  2 . (t/m) NÕu x 1 b. 3  (*)  ..............  x 0 (kh«ngt/m) 2 2  7  xy x  y   2 2 2 2 2   21 ( x  y )  x y  (0,5®). (0,5®). ( x  y ) 2  .........    xy  2 x x  x  x (0,5®). (0,5®). (0,5®). 9 (0,5®). 1; y 2 2; y 1  1; y  2  2; y  1 (0,5®). VËy hÖ cã nghiÖm:…………….. (0,5®). C©u3:a.§iÒu kiÖn ®Ó c¸c ®êng th¼ng cã pt (d) ®I qua ®iÓm cè ®Þnh M(x0;y0) lµ:(m2)x0+(m-1)y0=1 v¬Ý mäi m  (x0+y0)m-(2x0+y0+1)=0 víi mäi m (0,5®) (0,5®) VËy: ………………. M(-1;1) (0,5®). b. y Gäi A,B lµ giao ®iÓm cña ®t (d) vµ c¸c trôc 1 A Oy,Ox ta cã:OA= m  1 ;OB= 1 (0,5®)  x  y 0 0  x  1   0   0 2 x 0  y 0  1 0  y 0 1 m 2 Gäi h lµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®t (d) ta cã: M 1 B -1 O x =………..=2(m- 1 1 1  2  2 h OA OB 2 3 2 1 ) +  12  1  h 2 2 2 2 2 h (0,5®). (0,5®). VËy kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®t (d) lín nhÊt lµ h= 2 khi m= 3 (0,5®). 2 C©u 4:a.x2+2xy+2y2+2y=1988 (0,5®).  (x+y)2+(y+1)2=152+422=302+332 V× x,y nguyªn d¬ng nªn ta cã: (1®).               x  y 15   y  1  42  x  y  42   y  1 1 5  x  y 30   y  1 33  x  y 33   y  1 30                x   26 (loa i)   y  41  x 2 8   y 14  x  2 (loai )   y 32  x 4   y  29 VËy: …………………………. b.Ta cã: x( 4  y )(4  z ) = x(16  4( z  y )  yz ) =………= (2 x  xyz) =2x+ xyz y ( 4  z )( 4  x ) =2y+ xyz z ( 4  y )( 4  x ) =2z+ xyz  B=2x+ xyz +2y+ xyz +2z+ xyz - xyz = 2(x+y+z+ xyz )=2.4=8 2 (0,5®) (1®). (0,5®) (0,5®) C©u 5:a. DA vµ DM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R)  OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM vµ DM=AD. (0,5®) T¬ng tù OE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MOB vµ ME=BE (0,5®) Mµ hai gãc AOM vµ MOB kÒ bï. (0,5®) Do ®ã gãc DOE= 1v Hay DDOE vu«ng t¹i O. (0,5®) b. DODE vu«ng t¹i O , OM lµ ®êng cao (OM  DE) nªn: DM.ME=OM2  AD.BE=R2. (1®) c. VÏ AF song song DE ( F ÎBy) . Ax  AB, By AB,  Ax // By tø gi¸c ADEF lµ h×nh b×nh hµnh( vµ AD//EF, AF//DE)  AF=DE. (0,5®) AB  BF nªn AF≥ AB=2R (0,5®) SDOE= 1 OM.DE ≥ 1 R.2R=R2. (0,5®) 2 2 DÊu “=” x¶y ra  F º B  DE//AB  M lµ trung ®iÓm cña AB.VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB , th× diÖn tÝch tam gi¸c DOE ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ R2 (0,5®).