Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 11

Trêng T HCS Thị trÊn Qu¸n Lµo §Ò thi häc sinh giái m«n: To¸n Thêi gian làm bài: 150 phót Ngêi ra ®Ò: NguyÔn Thị Lan Anh §Ò thi : Bài 1:(5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A =( x y x y +x y  y y x y ): ( x y )2  x xy y a. Rót gän A. b. Chøng minh: A 0 c. So s¸nh: A vµ A Bµi 2: (5 ®iÓm) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2+ 9x + 20 = 2 3x  10 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : Bµi 3: (2 ®iÓm ) Cho ®êng th¼ng: ( m - 2 ) x + ( m - 1 ) y = 1 ( m lµ tham sè ) a. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña m. b. TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc O ®Õn ®êng th¼ng lµ lín nhÊt . Bµi 4: ( 6 ®iÓm ) 1. §êng trßn (O) tiÕp xóc víi c¹nh Ax ; Ay cña gãc xAy lÇn lît ë B vµ C . §êng th¼ng kÎ qua C song song víi Ax c¾t ®êng trßn ( O) ë D; AD c¾t ®êng trßn t©m (O) ë M ; CM c¾t AB ë N . Chøng minh : a.  ANC ~  MNA. b. AN = BN . 2. Cho nöa ®êng trßn t©m O , ®êng kÝnh AB = 2R vµ M lµ mét ®iÓm thuéc nöa ®êng trßn ( kh¸c A vµ B ). TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i M c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B cña ®êng trßn (O) lÇn luît ë C vµ D T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng diÖn tÝch hai tam gi¸c ACM vµ BDM Bµi 5 : (2 ®iÓm ) Cho x , y lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n: x +y = 4 33 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x2+ y2 + xy 2   y x  2   y x 2  x  y 8 2  xy 7 Híng dÉn chÊm Bµi C©u a Néi dung §K: x 0 ; y 0 ; x  y A = x 1 b §iÓm 0,5 Ta cã : xy xy xy  y 0 vµ x - xy +y = ( x x ; y kh«ng ®ång thêi b»ng 0 nªn A 0 . y 2 3y )  2 4 1,5 >0 víi mäi 1 (5®) c XÐt A2- A = A (A-1) .V× A 0 nªn chØ xÐt hiÖu : xy A-1 = -1= xy  y x ThÊy A -1 < 0 v× xy  x  (x  y ) x xy  y xy  y 2 (5®) y )2  ( x x xy  y do ®ã A  A nªn A  A. 2 * Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2+ 9x +20 = 2 1 (2®) = 3 x  10 . 10  . 3 §K : x Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh : x2 + 9x + 20 - 2 3x  10 = 0  3x + 10 – 2 3 x  10 . 1 + 12 + x2 + 6x + 9 = 0 .  ( 3 x  10  1) 2 + ( x + 3 )2 = 0  3 x  10 = 1 x +3 = 0  x = -3 Suy ra x = - 3 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = - 3 . *Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2   y 2  x  y 8 x  2   y 2  xy 7 x 2 (3®) 3 (2®) 2  x+ y -xy = 1 0,5 0,5 0,5  x +y –xy -1 = 0 x + y +xy = 7 x2 +y 2 +xy = 7  x(1 –y ) –(1 – y ) = 0  (1 –y ) ( x – 1) = 0 x2 +y2 +xy = 7 x 2 +y 2 +xy = 7  y =1 hoÆc x = 1 x2 +y 2 +xy – 7 = 0 ; x =1 ; x=2 ; x = -3  x =1 y =2 y = -3 y=1 y=1 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm : ( x ; y) = ( 1 ; 2) ; ( 1 ; -3); (2 ; 1) ; ( -3 ; 1) 2 0,5 2 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng: (m – 2) x + (m -1)y = 1 (1) ®i qua ®iÓm cè ®Þnh lµ : (m -2) x + (m -1)y = 1 víi mäi m m x -2x + m y –y -1 = 0 víi mäi m (x + y) m – ( 2x +y +1 ) + 0 víi mäi m  x +y = 0  x =-1 2x +y +1 =0 y=1 VËy c¸c ®êng th¼ng (1) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh N(-1; 1)  Gäi A lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc tung .’ 1 Ta cã x = 0  y = 1 do ®ã OA = m  1 m 1 Gäi B lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc hoµnh . 1 Ta cã : y = 0  x = 1 . Do ®ã OB = m  2 m 2 gäi h lµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®êng th¼ng (1) .Ta cã : 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 1  2  2 h OA OB 2 = (m -1)2 +(m -2)2 = 2 m2 - 6m +5 = 2 (m - 3 ) 2 + 1 1  2 2 2 0,5  h2 2 nªn h lín nhÊt lµ h = 2 x 4 (6®) B 1 (4®) N D A a (2®) M y C Gãc BAD = Gãc ADC (2 gãc so le trong) Gãc ADC = Gãc NCA ( cïng = 1 s® cung MC ) 2 Suy ra Gãc MAN = Gãc NCA Hai tam gi¸c:  NAM vµ  NCA cã Gãc N chung vµ Gãc NAM = Gãc NCA nªn  ANC ~  MNA.( g.g) C Theo c©u a: b (2®) 0,5 0,5 0,5 0,5 M D A . O H B Tam gi¸c ANC ®ång d¹ng víi tam gi¸c MNA nªn ta cã: AN NC   AN 2= MN. NC (1) Chøng minh t¬ng tù 0,75 MN NA ta cã : tam gi¸c BMN ®ång d¹ng vãi tam gi¸c CBN nª ta cã : BN MN  0,75  BN2= MN. CN (2) CN BN Tõ (1) vµ (2)  AN2 = BN2 hay AN = BN. 0,5 2 (2®) Tacã DiÖn tÝch ABCD= ( AC BD ). AB 2 = CD.AB 2 AB 2  =2R2 (1) KÎ MH vu«ng gãc víi AB th× DiÖn tÝch tam gi¸c AMB = 2 0,5 5 (2®) 0,5 = 1 MH.AB  1 MO.AB  R2 (2) 2 2 Tõ (1) vµ (2) suy ra: DiÖn tÝch tam gi¸c ACM + diÖn tÝch tam gi¸c BDM= 0,5 = DiÖn tÝch ABCD – diÖn tÝch tam gi¸c AMB 2R2- R2=R2. Tõ ®ã gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng diÖn tÝch 2 tam gi¸c ACM vµ 0,5 BDM lµ R2, ®¹t ®îc khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. Cho x, y lµ sè d¬ng tháa m·n : x + y = 4 0, 75 33 33 Ta cã P = x2 + y2+ xy =( x +y)2- 2xy + xy = 42- 2xy + L¹i cã (x+ y)2 4 xy 33 xy =16 - 2xy +  -2xy  -8 vµ P 16-8+ 33 4 65 . 4 33 xy 1 xy  1 4 Do ®ã = DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y > 0 vµ x + y = 4 Suy ra x= y =2 VËy GTNN cña P = 65 khi x= y =2. 4 0,75 0,5