Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 10

Trêng THCS Yªn ThÞnh §Ò thi M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: §µo Quang §¹i C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: Hoµng Duy ThÕ §Ò bµi: Bµi 1: (3.0 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 2 2 x  2 x  4 víi x 2 6  3 x2  4  x  2 Bµi 2: (5.0 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 2 a. x  5 x  x 2  5 x  4  2 b. x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3 Bµi 3: (4.0 ®iÓm) 1 1 4 a) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:   . Víi a; b lµ c¸c sè d¬ng. a b a b b) Cho x; y lµ hai sè d¬ng vµ x  y 1 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 1 ; 2 xy M 2 3  2 . xy x  y 2 Bµi 4: (6.0 ®iÓm) Cho nöa ®êng trßn (O, R) ®êng kÝnh AB. EF lµ d©y cung di ®éng trªn nöa ®êng trßn sao cho E thuéc cung AF vµ EF = R. AF c¾t BE t¹i H. AE c¾t BF t¹i C. CH c¾t AB t¹i I a. TÝnh gãc CIF. b. Chøng minh AE.AC + BF. BC kh«ng ®æi khi EF di ®éng trªn nöa ®êng trßn. c. T×m vÞ trÝ cña EF ®Ó tø gi¸c ABFE cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch ®ã. Bµi 5: (2.0 ®iÓm) T×m ba sè nguyªn tè mµ tÝch cña chóng b»ng n¨m lÇn tæng cña chóng. Híng dÉn chÊm Bµi 1: (3 ®iÓm) Thùc hiÖn tÝnh: 2 x  2 x 2  4 víi x 2 6  3 x2  4  x  2 §/K: x2  = 0,5 x  2  x  2  2 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)  x  2 ( x2  x  2) 2 x  2( x  2  x  2) 0,5 0,5 1 x2 = Thay  0,5 x 2 6  3 1 3 2 1 vµo ®îc:  3 2 6 2 3  1 ( 3  2)2 2 0,5 Bµi 2: (5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a. (2,5®) x 2  5 x  x 2  5 x  4  2 §/K: x-1 hoÆc x -4 x 2  5 x  4  x 2  5 x  4 2 . §Æt y  x 2  5 x  4 (y  0) ®îc: y2 - y - 2 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh ®îc: y1 = -1 (lo¹i); y2 = 2. Víi y = 2 gi¶i x 2  5 x  4 2 ®îc x1 = 0; x2 = -5. 0,5 0,75 0,5 0,5 §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn, kÕt luËn nghiÖm Ghi chó: Cã thÓ ®Æt y = x2 + 5x. Lóc nµy cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn khi b×nh ph¬ng hai vÕ. b. (2,5®) x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3 §/K: x2 ( x  1)( x  2)  x  1( x  2  ( x 2 x 3  x  2  x  3)  x 2 ( x  1)( x  3) 0,25 0,5 0,5 x  3 0 0,75 x  3 )( x  1  1) 0 v« nghiÖm; x  1  1 0 cã nghiÖm x = 2. §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn, kÕt luËn nghiÖm x 2  0,5 x  3 0 0,5 0,25 Bµi 3: (4.0 ®iÓm) a. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 1 1 4 . Víi a; b lµ c¸c sè d¬ng.   a b a b b. Cho x; y lµ hai sè d¬ng vµ x  y 1 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P a) 1 ; 2 xy M 2 3  2 . xy x  y 2 1 1 4 a b 4 2 2     a  b  4ab   a  b  0   ab a b a b a b 2 2   a  b  4ab   a  b  0 b) P 0,5 1 x y  2 xy 2 xy 0,5 x y 4 4 1   2 t¹i: x = y = 2 xy 2( x  y ) 2.1 2 VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 t¹i: x = y = M 0,5 0,75 1 2 2 3 4 3  2  2 = 2 2 xy x  y 2 xy x  y 4 3 1 4.3 1 4.3  2   2   2  12 14 2 2 2 xy x  y 2 xy x  2 xy  y 2 xy ( x  y ) 2 0,25 0,5 0,75 VËy M ®¹t GTNN b»ng 14 t¹i x = y = 1 . 2 0,25 C Bµi 4: (6.0 ®iÓm) E F O H A I B - BE, AF lµ hai ®êng cao cña ABC  CI lµ ®êng cao thø ba hay CIAB - Tø gi¸c IHFB néi tiÕp  HIF = HBF hay CIF = EBF . - EOF ®Òu nªn EOF = 600. -  EF = 600  CIF = EBF = 300. 2,0 - Chøng minh ACI ®ång d¹ng víi ABE - ®îc: AC AI   AC. AE  AB. AI AB AE - T¬ng tù BCI ®ång d¹ng víi BAE ®îc: BC BI   BC.BF  BA.BI BA BF 2.0 - Céng ®îc: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const. - Chøng minh ABC ®ång d¹ng víi FEC. 2 2 3 S FEC  EF  1  R        S ABFE  S ABC 4 S ABC  AB  4  2R  - §Ó S ABFE lín nhÊt  S ABC lín nhÊt  CI lín nhÊt. C ch¹y trªn cung chøa gãc 60 0 - vÏ trªn AB nªn CI lín nhÊt khi I  O  CAB c©n  EF // AB. 2,0 2 - Lóc ®ã S ABC  2.R.R 3  R 2 . 3  S ABFE  3R . 3 2 4 (Mçi bíc cho 0, 5 ®iÓm) Bµi 5: (2.0 ®iÓm) T×m ba sè nguyªn tè mµ tÝch cña chóng b»ng n¨m lÇn tæng cña chóng. Gi¶i: Gäi a,b, c lµ ba sè nguyªn tè cÇn t×m ta cã: abc = 5(a+b+c). TÝch ba sè nguyªn tè abc chia hÕt cho 5 nªn cã mét sè b»ng 5. Gi¶ sö a = 5 ®îc 5bc = 5(5+b+c)  bc = 5+b+c.  bc -b - c + 1 = 6  (b-1)(c-1) = 6. a, b, c lµ c¸c sè nguyªn d¬ng cã vai trß nh nhau nªn ta cã c¸c hÖ:  b  1 1 b 2    c  1 6 c 7 b  1 2 b 3   vµ   c  1 3 c 4 KÕt luËn: Ba sè nguyªn tè cÇn t×m lµ 2, 5, 7 0,5 1,0 0,25 0,25