Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 1

Trêng THCS Yªn Th¸i §Ò m«n thi : To¸n Thêi gian lµm bµi : 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò : NguyÔn ThÞ Thuý H»ng C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò(§èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn): Lª ThÞ Ph¬ng §Ò thi Bµi 1. Rót gän ( 4 ®) a,  2  2  3 3 A    2    2  3  4 2 b, B  1 Bµi 2: 3   2 3   24  6 6      2 3 2  3   2 3   1 1 1 1 1 1 1 1  2  1  2  2  1  2  2  ...........  1   2 2 2 3 3 4 4 5 2010 20112 (4 ®) a , Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) b,T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : 6 x2 + 5y2 = 74 x 2  9 x  20 2 3 x  10 Bµi 3 : (4®) a, Víi x, y ©m t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x  2 xy  3 y  2 x  2004,5 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc x f  x   1  x  2x 2 2 Bµi 4 : (4 ®) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm B cè ®Þnh cã to¹ ®é (1,1) vµ ®iÓm A di ®éng A (m ; o) a, ViÕt ph¬ng tr×nh hä ®êng th¼ng (dm) vu«ng gãc víi AB t¹i A b, C/m r»ng kh«ng cã 3 ®êng th¼ng nµo cña hä ®ång qui Bµi 5 : (4®) Cho ®êng trßn ( 0, R ) vµ 2 ®êng kÝnh bÊt k× AB, CD sao cho tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®êng trßn (0) c¾t c¸c ®êng th¼ng BC, BD t¹i 2 ®iÓm t¬ng øng lµ E vµ F. Gäi P vµ Q lÇn lît lµ 2 trung ®iÓm cña EA vµ AF. a, C/M r»ng trùc t©m H cña  BPQ lµ trung ®iÓm cña OA. b, Hai ®êng kÝnh AB vµ CD cã vÞ trÝ nh thÕ nµo th×  BPQ cã diÖn tÝch nhá nhÊt. Híng dÉn chÊm : Bµi 1 : §iÓm = 4 ® a,  2  2  2   2  3  4 6  3 B    2  24  8 6   6  6   4 2 2  3             2      52 6 5 2 6 52 6 5 2 6 . 24  8 6   5  24  8 6   5 6 84 6 8 6  24     3  3 2  3  2 2  2  3   (1®) 2 2 6     5  5. (1®) b, Ta chøng minh: Víi a,b,c # 0 vµ a + b + c = 0 th×  5 2   1 1 1 1 1 1  2  2    2 a b c a b c ThËt vËy, xÐt ®¼ng thøc 2 1 1 1 1 1   1 1 1  1         2  2  2  2 a b c  a b c  ab bc ac   1 1 1 a b c 1 1 1  2  2  2.  2 2 2 2 abc a b c a b c (do a + b + c = 0) 2 Suy ra 1 1 1 1 1 1  1 1 1  2  2         , a, b, c, 0 2 a b c a b c  a b c (1®) ¸p dông 1 1 1 1 1 1 1   1 2  1    0 2 2 3 2 2 32 2   3 1 1 1 1 1 1 1  2  1 2  1    0 2 2 3 4 3 4 3   4 1 1 1 1 1 1 1   1 2  1    0 2 4 5 4 2 52 4   5 ...................................................................... 1 1 1 1 1 1 1   1  1   0 2 2 2 2 2010 2011 2002 2003 2010   2011 Céng vÕ víi vÕ c¸c ®¼ng thøc trªn ta ®îc C 2009  1 1 2009  2009 2 2011 4022 Bµi 2 §iÓm = 4 ® a, §iÒu kiÖn : 3x+10 0 Víi (*) =>(1)  x  (1®) 10 3 (*) (0,5®)  3 x  10  2 3 x  10  1  x 2  6 x  9 0 (0,5®) 2 2  ( 3 x  10  1)   x  3 0  3 x  10 1 x  3 0 3 x  10 1  x  3      x  3  x  3  x  3 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ) (0,5®) VËy ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x =-3 (0,5®) b, 6x2 +5y2 =74 (1)  6 x 2  24 50  5 y 2  6 x 2  4 510  y 2  (2) (0,5®) 2 V× (5 ;6) =1 nªn x - 4 5 vµ 10 - y 6 §Æt x2 - 4 =5u ; 10 - y2 = 6v ( u , v  Z ) => (2)  6 . 5u = 5 .6v  u = v Mµ x2 - 4 = 5u  x2 = 5u +4 >0  u >  4 2 5 10-y2 =6v  y2 = 10-6v > 0  v < => =>  4 5 < u=v < u=v =  0 ; 1  5 3 5 3 (0,5®) 2  x 2  4 0  x 2  x 4   2    10  y 2 0  y 10  y  10 2   x 2 9  x 3  x  4 5       2 2    y 2 10  y 6  y 4 Víi u = v = 0 => ( lo¹i v× y  Z ) Víi u=v =1 => ( tho¶ m·n ) (0,5®) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm : (x;y) = (3 ;2) ; (3;-2) ;(-3; 2) ;(-3;2) (0,5®) Bµi 3 : §iÓm = 4 ® a, §Æt x a; y b , víi a , b 0 => P = a2 -2ab +3b2 - 2a +2004,5 = a2 -2(b+1)a +3b2 +2004,5 = a2 -2(b+1) a + (b+1)2 +2b2 - 2b + 2003,5 =(a- b - 1)2 +2(b2 - b) + 2003,5 = (a -b -1)2 +2(b2 -b + 1 ) +2003,5 - 1 4 = (a -b -1)2 +2(bV× (a -b -1)2 0 vµ (b=> P =2003  1 2 1 2 2 )2 + 2003  2003 )2 0 ,  a,b a b  1    1 b    2 (1®) 3  a    2  b  1  2  VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2003 (0,5®)         3 9  x  4  2   1  y 1 y   2  4 x  (0,5®) b, f(x) cã nghÜa  1-x-2x2 0  (x+1 ) (1-2x) 0   1 x  1 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè kh«ng ©m 1 vµ 1-x-2x2 ta cã : 1  (1  x  2 x 2 ) 1.(1  x  2 x 2 )  2 Do ®ã f(x) x 2  x  2x 2   1  x 2 1 2 2 §¼ng thøc x¶y ra  1  x  2 x 2 1  x 0   x 0 (1®) VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña f(x) lµ 1 khi x = 0 (0,5®) Bµi 4 : §iÓm = 4 ® a, Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB cã d¹ng y = ax+b (d) V× A  (d) => am+b =0 B  (d) => a+b = 1 => Gi¶i hÖ => a= 1 ; b   m am  b 0  a  b 1 1 m 1 m VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB lµ y  1 x  m 1 m 1 m + Gäi ph¬ng tr×nh hä ®êng th¼ng (dm) lµ y=a'x +b' V× (dm) v¬ng gãc víi AB => 1 .a '  1  a' m  1 1 m (0,5®) (0,5®) (0,5®) => y= (m-1) x+b' V× (dm) vu«ng gãc víi AB t¹i A => A(m;0)  (dm) => ta cã (m-1)m+b'=0  b'=m-m2 (0,5®) VËy hä ®êng th¼ng (dm) lµ y= (m-1) x 1)+m-m2 ( víi m 1) (0,5®) b, Gi¶ sö 3 ®êng th¼ng cña hä (dm) ®ång quy t¹i ®iÓm (x0;y0) => y0 = (m-1)x0 + m -m2 (0,5®)  m2 -m (x0 +1) +x0 +yo =0 (0,5®) V× ph¬ng tr×nh trªn lµ ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn m nªn chØ cã nhiÒu nhÊt 2 nghiÖm ( 2 gi¸ trÞ cña m) nªn chØ cã nhiÒu nhÊt 2 ®êng th¼ng trong hä (dm) ®i qua ®iÓm (x0,y0) VËy kh«ng cã 3 ®êng th¼ng nµo cña hä (dm) ®ång qui. (1®) Bµi 5 : §iÓm = 4 ® a,KÎ PI  AB t¹i I => PI c¾t AB t¹i H => Chøng minh H lµ trung ®iÓm cña OA AQB v×  PAH =  BAQ = 900 Ta cã AHP (o,5®)  IPQ =  QBA (cïng phô víi gãc AQB) => 1 AE AH AP AH   2 1 AQ AB 2R AF 2 => AH= AE. AF 8R Mµ  CBD =900( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) =>  BEF vu«ng tai B ,cã BA  EF => BA2 =AE . AE => AE . AF = (2R)2 = 4R2 (0,5®) (o,5®) 2  AH  4R R OA    AH  HO 8R 2 2 => H lµ trung ®iÓm cña OA b, Ta cã S BPQ  1 AB.PQ  1 AB AP  AQ  (0,5®) 2 2 1 R  R.  AE  AF   .2 AE. AF 2 2  S BPQ  R. AB 2  R. 4 R 2 2 R 2 2 (1®)  S BPQ min 2 R  AE  AF  BEF  BCD vu«ng c©n t¹i B vu«ng c©n t¹i B  AB  CD  S BPQ min 2 R 2  AB  CD VËy khi AB  CD th× diÖn tÝch tam gi¸c BPQ nhá nhÊt b»ng 2R2 ************************************************ (1®)