Tài liệu đề thi đáp án thi học sinh giỏi toán 9 quảng bình

së gd-®t qu¶ng b×nh kú thi chän häc sinh giái líp 9 N¨m häc : 2007 - 2008 M«n : to¸n §Ò chÝnh thøc ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm yªu cÇu chung * §¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi. Trong bµi lµm cña thÝ sinh, yªu cÇu ph¶i tr×nh bµy ®Çy ®ñ, lËp luËn chÆt chÏ, l« gÝc. * NÕu häc sinh gi¶i sai bíc tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c¸c bíc gi¶i sau cã liªn quan trong lêi gi¶i cña tõng bµi. * §iÓm thµnh phÇn cña mçi bµi nãi chung ph©n chia ®Õn 0,5 ®iÓm, tuú tæ Gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm. * §èi víi bµi h×nh häc, nÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng th× cho ®iÓm 0. * §iÓm cña toµn bµi lµ tæng (kh«ng lµm trßn sè) cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c bµi. Néi dung lêi gi¶i C©u 1  a) A= 4 + 15  10 - 6 2008 b) B =  a 3 + 6a - 5  a)  4 - 15 trong ®ã a = 3 3 + 17 + 3 3 - 17 Ta cã:  A = 4 + 15  10 - 6  4 - 15  4  15 (4  15)(4 - 15)  3   2 4  15  b) §iÓm 2, 0 ®iÓm TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc  5  3    0, 5 10 - 6   5 - 3 3   5 - 3  2 5 - 3  8  2 15 2 5- 5+ 0, 5 Ta cã: 3 a =  3 3 3 + 17 + 3 - 17 3  3 0, 5 3    3 - 17   3  3 + = 6  3 9 - 17  3 + 17 + 3 - 17    3 3 3 + 17 3 3 3 17 . 3 3 - 17  3 3 + 17 + 3 3 - 17 3 6  6a VËy a 3 6  6a  a 3  6a  5 1 2008 Do ®ã: B =  a 3 + 6a - 5  1 C©u 2  0, 5 T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè thùc (x, y) tho¶ m·n : x 2 + 2y 2 - 2xy - 2x + 4y +2 = 0 1 2, 0 ®iÓm Ta cã: x 2 + 2y2 - 2xy - 2x + 4y +2 = 0 2 0, 5 2  x - 2  y + 1 x + 2  y + 1 0 (1) XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai (1) Èn x vµ y lµ tham sè Ta cã:  ' ( y  1)2  2( y  1) 2  ( y  1) 2 0, y Do ®ã, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x khi vµ chØ khi  ' 0   ( y  1) 2 0  y  1 Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp x = 0. VËy cÆp sè (x, y) cÇn t×m lµ ( 0, -1). Ghi chó: Cã thÓ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch ®a vÒ d¹ng A 2 + B2 = 0 C©u Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng 3 a) Chøng minh: a 5 + b5  a 3b 2 + a 2 b 3 b) Gi¶ sö abc = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc ab bc ca P= 5 + 5 + 5 5 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca a) Ta cã: a 5 + b5 - a 3b 2 - a 2 b3 a 3 (a 2 - b 2 )  b 3 (a 2 - b 2 ) (a 2 - b 2 )(a 3 - b3 ) (a - b) 2 (a + b)(a 2 + ab + b 2 ) 0 hay a 5 + b5  a 3b 2 + a 2 b3 = a 2 b 2 (a + b) DÊu ®½ng thøc x¶y ra khi chØ khi a = b b) Tõ a 5 + b5  a 3b 2 + a 2 b3 = a 2 b 2 (a + b) suy ra: ab ab 1 c  2 2 =  5 5 a + b + ab a b (a + b) + ab ab(a + b) + 1 a+b+c bc a T¬ng tù 5  5 b + c + bc a+b+c ca b  5 5 c + a + ca a+b+c c a b Suy ra P  + + 1 a+b+c a+b+c a+b+c DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi chØ khi a = b = c. VËy maxP = 1, ®¹t ®îc khi a = b = c. C©u Cho bèn sè nguyªn d¬ng a, b, c, d tho¶ m·n ac = bd. 4 Chøng minh r»ng sè T = a 2008 + b 2008 + c 2008 + d 2008 lµ hîp sè. * TH1: NÕu (b, c) = 1. Ta cã: a d ac = bd  a b  = = k (k  N* ) b c 2008 2008 2008 a d a + d 2008  2008 = 2008 = 2008 = k 2008 2008 b c b +c 2008 2008 2008 2008  a + d = k (b + c 2008 ) 0, 5 0, 5 0, 5 2, 0 ®iÓm 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 2, 0 ®iÓm 0, 25 2 Do ®ã: a 2008 + b 2008 + c 2008 + d 2008 = k 2008 (b 2008 + c2008 ) + b 2008 + c 2008 0, 25 = (k 2008 + 1)(b 2008 + c2008 ) VËy T lµ hîp sè. * TH2: NÕu (b, c) = m ; m  N* , m > 1 Khi ®ã: b = mp; c = mq víi (p, q) = 1 Tõ ac = bd suy ra aq = dp T¬ng tù TH1, ta cã: a 2008 + d 2008 = t 2008 (p 2008 + q 2008 ) ; t  N* 0, 25  a 2008 + b 2008 + c 2008 + d 2008 0, 25 = t 2008 (p 2008 + q 2008 ) + (mp)2008 + (mq) 2008 = (t 2008 + m 2008 )(p 2008 + q 2008 ) VËy T lµ hîp sè. C©u Cho tam gi¸c ABC kh«ng c©n t¹i ®Ønh A vµ néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O, ®- 2, 0 5 êng kÝnh AK. §iÓm M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC. Gäi AD, BE, CF lÇn l- ®iÓm ît lµ c¸c ®êng cao cña c¸c tam gi¸c ABC, BAK, CAK. a) Chøng minh tø gi¸c DFAC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. Tõ ®ã suy ra DF//BK. b) Gäi H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AC. Chøng minh ®êng th¼ng MH lµ trung trùc cña ®o¹n th¼ng DF. c) Chøng minh ®iÓm M lµ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c DEF. a) H×nh vÏ Ta cã ADC AFC 1v . Suy ra tø gi¸c DFAC néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AC. (1)  FDB FAC MÆt kh¸c FAC KAC KBC (2) Tõ (1)&(2) suy ra FDB KBC b) F H O 0, 5 B M E D C 0,25 K  DF // BK KBA 1v  BK  AB  DF  AB M, H lÇn lît lµ trung ®iÓm BC, CA nªn MH // AB Suy ra DF  MH (3) H lµ t©m, DF lµ d©y cung cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp DFAC (4) Suy ra ®êng th¼ng MH lµ trung trùc cña ®o¹n DF. c) 0, 25 A 0, 5 0, 5 0, 25 Theo b) ta cã MD = MF (5) Trong h×nh thang BECF: BE//CF, M lµ trung ®iÓm ®êng chÐo BC nªn M thuéc 0, 5 trung trùc ®o¹n EF. Suy ra ME = MF (6) Tõ (5)&(6) suy ra M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c DEF. 3 0, 25 4