Tài liệu De hsg toan 7 (12 13)

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: Toán 7 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,5 điểm) 1. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí: 1 7 5 15 6 48 a)            .  4 33 3   12 11 49  2. Tìm x, biết: 2x  3 3 3   b) P  7 29 53  5 5 5   7 29 53 1 1 1 1    2 3 4 5 7 7 7 7    2 3 4 5 1 3 3  5 2 7 7 Bài 2. (2,25 điểm ) 1. Cho biết: M   2x 3  3x 2 y  3xy 2  xy  1  3x 3  3x 2 y  3xy 2  xy . a) Tìm đa thức M. b) Tính giá trị của đa thức M khi x thỏa mãn  x  10   0 2 2. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn b2 = ac. Chứng minh tỉ lệ thức: 2 a  a  2013b   2 c  b  2013c  Bài 3. (2,5 điểm ) Cho góc vuông xOy. Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy (OA  OB). Trên tia đối của tia Ox lấy điểm E, trên tia đối của Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và OF = OA. a) Chứng minh AB = EF và AF // BE. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh MON cân tại O. Bài 4. (1,75 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ   ABC  . Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Bx tại D. Qua C tia Bx, sao cho ABx vẽ đường thẳng vuông góc với d tại E. Chứng minh rằng AD = AE. Bài 5. (1,0 điểm ) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x 2  12 y 2  1. ==========Hết========== UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN 7 Bài 1. (2,5 điểm) 1. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí: 1 7 5 15 6 48 a)            .  4 33 3   12 11 49  2. Tìm x, biết: 2x  3 3 3   b) P  7 29 53  5 5 5   7 29 53 1 3 3  5 2 7 7 Câu Đáp án Điểm 1a 48 1  1 5   5 6 7  48         1 2   . 49 49  4 4   3 11 33  49 1b 3 3 3   P  7 29 53  5 5 5   7 29 53  2 1 1 1 1    2 3 4 5 7 7 7 7    2 3 4 5 0,75 1 1 1 1 3 1  1  1  1 1 1 1         2 3 4 5   7 29 53   2 3 4 5 7 7 7 7 1  1 1 1 1 1 1    5    7      2 3 4 5  7 29 53   2 3 4 5 0,5 0,25 3 1 16   5 7 35 1 3 3 1   5  2x   5 2 7 7 2 0,5 TH1. 2x  1 11 5 x  2 4 0,25 TH2. 2x  1 9  5  x   2 4 0,25 2x  Bài 2. (2,25 điểm ) 1. Cho biết: M   2x 3  3x 2 y  3xy 2  xy  1  3x 3  3x 2 y  3xy 2  xy . a) Tìm đa thức M. b) Tính giá trị của đa thức M khi x thỏa mãn  x  10   0 2 2. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn b2 = ac. Chứng minh tỉ lệ thức: a  a  2013b   2 c  b  2013c  2 Câu 1 Đáp án Điểm M   2x 3  3x 2 y  3xy 2  xy  1  3x 3  3x 2 y  3xy 2  xy 0,25  M  3x 3  3x 2 y  3xy 2  xy   2x 3  3x 2 y  3xy 2  xy  1 0,25  3x 3  3x 2 y  3xy 2  xy  2x 3  3x 2 y  3xy 2  xy  1 0,25  x3  1 0,25 Với  x  10   0  x  10  0  x  10 2 Khi x = 10 ta được: M = 10 3 + 1 = 1001 2a Ta có b2 = ac  Đặt 0,25 b a  (do a,b,c  0) c b a b   k  a  kb ; b  kc b c 0,25 Do đó ta có: a bk ck 2    k2 c c c  a  2013b   b  2013c  2 2 (1)  bk  2013b    ck  2013c  2 2  b 2  k  2013 c  k  2013 2 a  a  2013b  Từ (1) và (2) suy ra  2 c  b  2013c  2 2 c2k 2  2  k2 c (2) 0,25 0,25 2 0,25 Bài 3. (2,5 điểm ) Cho góc vuông xOy. Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy (OA  OB). Trên tia đối của tia Ox lấy điểm E, trên tia đối của Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và OF = OA. a) Chứng minh AB = EF và AF // BE. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh MON cân tại O. Câu Đáp án Hình vẽ đúng cả bài Điểm 0,25 y B NM E O x A N F 3a 3b Chứng minh được AOB = FOE (c.g.c)  AB = EF (hai cạnh tương ứng) 0,75   450 Chứng minh AOF vuông cân tại O  OAF 0,25   450 Tương tự chứng minh được OEB 0,25   OEB   450  AF // BE Do đó : OAF 0,25 Vì AB = EF (cmt) nên AB : 2 = EF : 2 hay BM = EN. 0,25 Chứng minh: OMB = ONE (c.g.c)  OM = ON (hai cạnh tương ứng) 0,25  OMN cân tại O. 0,25 Bài 4. (1,75 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa   ABC  . Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Bx tại điểm A vẽ tia Bx, sao cho ABx D. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với d tại E. Chứng minh rằng AD = AE. Câu Đáp án Điểm Hình vẽ đúng 0,25 E d A D B H C Vẽ AH  BC tại H. 0,25 Chứng minh ADB = AHB (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25  AD = AH (hai cạnh tương ứng) (1)   EAC  Lập luận được HAC 0,25 0,25 Từ đó chứng minh được AHC = AEC (cạnh huyền – góc nhọn)  AE = AH (hai cạnh tương ứng) (1) 0,25 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: AD = AE. Bài 5. (1,0 điểm ) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x 2  12 y 2  1. Câu 1 Đáp án x 2  12 y 2  1  x 2  1  12 y 2  ( x  1)( x  1)  12 y 2 . Điểm 0,25 Do 12 y  2  ( x  1)( x  1) 2. 2 Mà x – 1 + x + 1 = 2x  x - 1 và x + 1 có cùng tính chẵn lẻ.  x – 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Suy ra: ( x  1)( x  1)8  12 y 2 8  3 y 2  2  y 2  2  y  2. Mà y là nguyên tố, nên y = 2  x = 7. Vậy x = 7 và y = 2 . * Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 0,25 0,25 0,25