Tài liệu đề cương ôn tập học kỳ 1 môn toán lớp 11 hay.

TRUNG TÂM HOÀNG GIA ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 Biªn so¹n & Gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn    (sin x  cos x )2  2 sin2 x 2      x   sin    3x      sin    4   2   4 1  cot2 x     1 x 2 x 3 x u  2  2   un 1  2un  3, n      2 C  6C  6C  9x  14x S C' A' A' α B' E' H D' B' C' M A E D A C F G E B B C I ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 PHAÀN i. Giaûi tích Chöông 1 : HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC – PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC § 0. COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC CAÀN NAÉM VÖÕNG 1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc vaø daáu cuûa caùc giaù trò löôïng giaùc sinx 1 π Cung phần tư 2 + + – – + – – + tan  cosx (IV) (III) IV + – + – cot  0 1 2π O -1 III cos  (I) π II sin  (II) I + – + – Giá trị LG 3π 2 (Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos) -1 2. Coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn tan . cot   1 sin2   cos2   1 1  tan2   1 cos2  1  cot2   1 sin2  3. Cung goùc lieân keát Cung đối nhau Cung bù nhau cos(a )  cos a sin(  a )  sin a sin(a )   sin a cos(  a )   cos a tan(a )   tan a tan(  a )   tan a cot(a )   cot a cot(  a )   cot a Cung hơn kém  sin(  a )   sin a cos(  a )   cos a Cung phụ nhau    sin   a   cos a   2       cos   a   sin a    2      tan   a   cot a    2      cot   a   tan a   2    Cung hơn kém  2    sin   a   cos a   2       cos   a    sin a   2    Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 1 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017    tan   a    cot a   2       cot   a    tan a    2   tan(  a )  tan a cot(  a )  cot a 4. Coâng thöùc coäng cung sin(a  b )  sin a  cos b  cos a  sin b. tan(a  b)  cos(a  b)  cos a  cos b  sin a  sin b. tan a  tan b  1  tan a  tan b tan(a  b)  tan a  tan b  1  tan a  tan b   1  tan x   1  tan x   và tan   x    x      4 4     1  tan x   1  tan x Hệ quả: tan   5. Coâng thöùc nhaân ñoâi vaø haï baäc Nhân đôi Hạ bậc sin 2  2 sin   cos  sin2   1  cos 2 2  cos2   sin2  cos 2   2 2 2 cos   1  1  2 sin  cos2   1  cos 2 2 tan 2  2 tan  1  tan2  tan2   1  cos 2 1  cos 2 cot2  cot2   1 2 cot  cot2   1  cos 2 1  cos 2 Nhân ba  sin 3  3 sin   4 sin 3    cos 3  4 cos 3   3 cos   tan 3  3 tan   tan3  1  3 tan2  6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích cos a  cos b  2 cos sin a  sin b  2 sin a b a b  cos 2 2 cos a  cos b  2 sin a b a b  cos 2 2 sin a  sin b  2 cos a b a b  sin 2 2 a b a b  sin 2 2 tan a  tan b  sin(a  b) cos a  cos b tan a  tan b  sin(a  b) cos a  cos b cot a  cotb  sin(a  b) sin a  sin b cot a  cotb  sin(b  a ) sin a  sin b Đặc biệt Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 2 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600       sinx  cos x  2 sinx    2 cosx           4   4 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017       sin x  cos x  2 sinx     2 cos x           4 4   7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång cos a  cos b  1   cos(a  b )  cos(a  b) 2  sin a  cos b  sin a  sin b  1   cos(a  b)  cos(a  b) 2  1   sin(a  b)  sin(a  b) 2 Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt 00 0 300  6 1 2 450  4 600 2 2  3 900  2 sin  0 cos  1 3 2 2 2 3 2 1 2 tan  0 3 3 1 3 kxđ cot  kxđ 3 1 3 3 0 1 0 1200 2 3 3 2 1  2 1350 3 4 1500 5 6 1 2 2 2  2 2 3600  2 0 0  3 2 1 1 3 3 0 0 kxđ kxđ  3 1  3 3 1  3  1800 Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cosα, sinα) Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 3 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 § 1. HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC 1. Tính chất của hàm số a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:  Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x  D thì x  D và f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.  Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x  D thì x  D và f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. b. Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên tập (a;b)  .  y  f (x ) gọi là đồng biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).  y  f (x ) gọi là nghịch biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ). c. Hàm số tuần hoàn:  Hàm số y  f (x ) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 sao cho với mọi x  D ta có (x  T )  D và (x  T )  D và f (x  T )  f (x ) .  Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f . 2. Hàm số y  sin x .  Hàm số y  sin x có tập xác định là D    y  sin  f (x ) xác định  f (x ) xác định.  Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là: 1  sin x  1   0  sin x  1  0  sin2 x  1   Hàm số y  f (x )  sin x là hàm số lẻ vì f (x )  sin(x )   sin x  f (x ). Nên đồ thị hàm số y  sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.  Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì To  2, nghĩa là: sin(x  k 2)  sin x . Hàm số y  sin(ax  b) tuần hoàn với chu kì To  2  a       Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng :   k 2;  k 2  và nghịch biến    2  2     3  trên mỗi khoảng :   k 2;  k 2 , với k  .    2 2     Hàm số y  sin x nhận các giá trị đặc biệt:     k 2 2 sin x  0  x  k  , (k  ).  sin x  1  x    k 2 2 sin x  1  x  Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 4 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600  Đồ thị hàm số: Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 y y  sin x 1   3 2  O  2  2  3 2 x 5 2  –1 Hình dạng đồ thị hàm số y  sin x 4. Hàm số y  cos x .  Hàm số y  cos x có tập xác định D    y  cos  f (x ) xác định  f (x ) xác định.  Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là: 1  cos x  1   0  cos x  1  0  cos2 x  1   Hàm số y  f (x )  cos x là hàm số chẵn vì f (x )  cos(x )  cos x  f (x ), nên đồ thị của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.  Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì To  2, nghĩa là cos(x  k 2)  cos x . Hàm số y  cos(ax  b ) tuần hoàn với chu kì To  2  a  Hàm số y  cos x đồng biến trên mỗi khoảng (  k 2; k 2) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k 2;   k 2).   Hàm số y  cos x nhận các giá trị đặc biệt: cos x  1  x  k 2  cos x  0  x    k  , (k  ). 2 cos x  1  x    k 2  y  Đồ thị hàm số: y  cos x  1  3 2    2 O  2  3 2  5 2 x –1 4. Hàm số y  tan x . Hình dạng thị hàm số y  cos x       Hàm số y  tan x có tập xác định D   \   k , k  , nghĩa là x   k     2  2      hàm số y  tan  f (x ) xác định  f (x )   k ; (k  ). 2  Tập giá trị T  .  Hàm số y  f (x )  tan x là hàm số lẻ vì f (x )  tan(x )   tan x  f (x ) nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 5 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017  Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì To    y  tan(ax  b ) tuần hoàn với chu kì To    a    Giá trị đặc biệt: tan x  0  x  k  tan x  1  x    k , (k  ). 4  tan x  1  x    k  4  y  Đồ thị hàm số y  tan x  3 2    2 y  tan x O  2 3 2  2 x 5 2 5. Hàm số y  cot x .  Hàm số y  cot x có tập xác định là D   \ k , k  , nghĩa là x  k ; (k  )  hàm số y  cot  f (x ) xác định  f (x )  k ; (k  ).  Tập giá trị T  .  Hàm số y  f (x )  cot x là hàm số lẻ vì f (x )  cot(x )   cot x  f (x ) nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.  Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì To    y  cot(ax  b ) tuần hoàn với chu kì To    a   Giá trị đặc biệt :     k 2  cot x  1  x   k  , (k  ). 4  cot x  1  x    k  4 cot x  0  x  y  Đồ thị hàm số y  cot x : y  cot x 2  3 2    2 O  2  3 2 2 Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 x Page - 6 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 Daïng toaùn 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá löôïng giaùc  Phương pháp giải. Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:  y  tan f (x )  sin f (x )  ĐKXĐ  cos f (x )  0  f (x )   k , (k  ).  cos f (x ) 2  y  cot f (x )  cos f (x ) ĐKXĐ  sin f (x )  0  f (x )  k , (k  ).  sin f (x )  Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:  y  y 1 ĐKXĐ  P (x )  0.  P (x ) 1 2n P (x ) ĐKXĐ  y  2n P (x )  P (x )  0.  ĐKXĐ  P (x )  0.  A  0   Lưu ý rằng: 1  sin f (x ); cos f (x )  1 và A.B  0     B  0    Với k  , ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:   k 2 2  sin x  0  x  k     sin x  1  x    k 2 2  cos x  1  x  k 2  sin x  1  x      k  4   tan x  1  x    k  4  tan x  1  x  Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số: y  f (x )    k 2   cot x  1  x   k   4   cot x  1  x    k  4  cot x  0  x   tan x  0  x  k     k  2  cos x  1  x    k 2  cos x  0  x   sin 3x 2  cos x   2 1  cos x tan x  1 Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 7 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số: y  f (x )   2  x 2  cos x Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: a) y  cos 4  x b) y  cos 2x . c) y  1  cos x  sin x  2    d) y  tan 5x      3  e) y  2 tan 2x  5  sin 2x  1 f) g) y  tan 2x  sin x  1 h) y  cos x  4  sin x  1 j) y 2  sin x  cos x  1 l) y 1  sin x  1  cos x i) y  k) y  cos x  2  1  sin x cot 2x 1  cos2 x  y m) y  n) y  o) y  BT 2. x  sin x x2  1  x cos x p) y  tan 2x  1  cos2 x cos 2x  tan x . 1  sin x tan 2x sin x  1  Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: a) y  c) y  2  x 2  sin 2x    tan 2x       4     1  sin x       8  b) y  2  4x 2  tan 2x .     tan x       4  d) y      1  cos x       3  Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 8 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600    1  tan   x    4    e) y   cos x  2 g) y  i) f) y 3  sin 4x  cos x  1    h) y  cot 2x   . tan 2x .     3  3  cos x  cos 3x y  2  sin x  Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 1  tan x  1 4  sin x  cos2 x    1  cot   x     3   l) y     2  tan 3x      4  j) 2   1  cos x  k) y  cot x         6 1  cos x  y 2 Daïng toaùn 2: Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá löôïng giaùc  Phương pháp giải.  Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:   1  sin x  1  0  sin x  1 0  sin2 x  1 hoặc 1  cos x  1  0  cos x  1 0  cos2 x  1   Biến đổi về dạng: m  y  M .  Kết luận: max y  M và min y  m. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x )  4 5  2 cos2 x sin2 x  Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x )  3 sin 2 x  5 cos 2 x  4 cos 2x  2. Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 9 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017    Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x )  sin6 x  cos 6 x  2, x   ;    2 2   Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau: a) y  5 3  cos 2x  4. 2 b) y  1  cos 4x . c) y  3 sin 2x  4. d) y  4  5 sin2 2x cos2 2x . e) y  3  2 sin 4x . f) g) y  i) y 4  1  3 cos2 x 2 h) y   4  2 sin2 3x 4 k) y       2  cos x    3     6  BT 4. y  4  2 sin5 2x  8. j) y l) y  4 5  2 cos2 x sin2 x 3 3  1  cos x 2   3 sin 2x  cos 2x  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau: a) y   sin2 x  cos x  2. b) y  sin4 x  2 cos2 x  1. c) y  cos2 x  2 sin x  2. d) y  sin 4 x  cos4 x  4. e) y  2  cos 2x  sin2 x . f) g) y  sin 2x  3 cos 2x  4. h) y  cos2 x  2 cos 2x . y  2 sin2 x  cos 2x . y  sin6 x  cos6 x . j) y  2 sin 2x (sin 2x  4 cos 2x ). k) y  3 sin2 x  5 cos2 x  4 cos 2x . l) y  4 sin2 x  5 sin 2x  3. m) y  (2 sin x  cos x )(3 sin x  cos x ). n) y  sin x  cos x  2 sin x cos x  1. o) y  1  (sin 2x  cos 2x )3 . p) y  5 sin x  12 cos x  10     q) y  2 sin x  2 sin   x   1.    4     2    3.  r) y  2 cos 2x  cos 2x      3    i) BT 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau: Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 10 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600   a) y  sin 2x , x  0;    2         c) y  sin 2x  , x   ;      4 4   4      f) y  2 sin2 x  cos 2x , x   0;    3   Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017   2    b) y  cos x  , x   ; 0      3   3      d) y  sin4 x  cos4 x , x   0;    6      3     g) y  cot x   , x   ;       4  4 4    Daïng toaùn 3: Xeùt tính chaün leû cuûa haøm soá löôïng giaùc  Phương pháp giải.  Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác. Nếu x  D thì x  D  D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.  Bước 2. Tính f (x ), nghĩa là sẽ thay x bằng x , sẽ có 2 kết quả thường gặp sau:  Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số chẵn.  Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số lẻ. Lưu ý:  Nếu không là tập đối xứng (x  D  x  D ) hoặc f (x ) không bằng f (x ) hoặc f (x ) ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.  Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể: cos(a )  cos a, sin(a )   sin a, tan(a )   tan a, cot(a )   cot a. Ví dụ. Xét tính chẵn lẻ của hàm số: b) f (x )  cos x 2  16. a) f (x )  sin2 2x  cos 3x . ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ................................................................................. .................................................................. BT 6. BÀI TẬP VẬN DỤNG Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y  f (x )  tan x  cot x . b) y  f (x )  tan 7 2x . sin 5x .   9      c) y  f (x )  sin 2x  d) y  f (x )  2 cos3 3x            2 2   e) y  f (x)  sin3(3x  5)  cot(2x  7). f) g) y  f (x )  sin 9  x 2 . h) y  f (x )  sin2 2x  cos 3x . y  f (x )  cot(4x  5) tan(2x  3). Coá gaéng heát söùc ôû giaây phuùt naøy seõ ñaët baïn vaøo vò trí tuyeät vôøi nhaát ôû nhöõng khoaûng khaéc sau. O. Winfrey Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 11 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 § 2. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC  I. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn Với k  , ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau: a  b  k 2  sin a  sin b    a    b  k 2  tan a  tan b  a  b  k. a  b  k 2  cos a  cos b    a  b  k 2  cot a  cot b  a  b  k. Nếu đề bài cho dạng độ (o ) thì ta sẽ chuyển k 2  k 360, k   k 180, với   180o. Những trường hợp đặc biệt:   k 2 2  sin x  0  x  k     sin x  1  x    k 2 2  cos x  1  x  k 2  sin x  1  x      k 2   cot x  1  x   k   4   cot x  1  x    k  4  cot x  0  x   tan x  0  x  k     k  2  cos x  1  x    k 2  cos x  0  x    k  4   tan x  1  x    k  4  tan x  1  x   Ví dụ. Giải các phương trình:    b) cos x    1.     3  1 a) sin 2x    2 ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ c)    d) cot x    1.     3  tan(2x  30o )  3. ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 7. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): 2  3    c) sin 2x    1.     6  a) sin x  sin   1  b) sin 2x         6 2      d) cos 2x    cos      3 4  Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 12 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 1 e) cos x    2    f) cos x    1.     6  g) 2 sin(x  300 )  3  0.    i) 2 cos 2x    2  0.     4  h) cot(4x  35o )  1.    j) 2 cos x    3  0.     6  k) (1  2 cos x )(3  cos x )  0. l) m) n) sin x  3 sin 2 sin 2x  2 cos x  0. o) sin 2x .cos 2x  tan(x  300 ). cos(2x  1500 )  0. 1  0. 4 x  0. 2 p) sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x  1  16 II. Moät soá kyõ naêng giaûi phöông trình löôïng giaùc 1. Söû duïng thaønh thaïo cung lieân keát Cung đối nhau Cung bù nhau cos(a )  cos a sin(  a )  sin a Cung phụ nhau    sin   a   cos a   2    sin(a )   sin a cos(  a )   cos a    cos   a   sin a   2    tan(a )   tan a tan(  a )   tan a cot(a )   cot a cot(  a )   cot a Cung hơn kém     tan   a   cot a    2      cot   a   tan a   2    Cung hơn kém  2    sin   a   cos a    2      cos   a    sin a   2    sin(  a )   sin a cos(  a )   cos a    tan   a    cot a   2       cot   a    tan a    2   tan(  a )  tan a cot(  a )  cot a Tính chu kỳ sin(x  k 2)  sin x cos(x  k 2)  cos x sin x  (  k 2)   sin x cos x  (  k 2)   cos x tan(x  k )  tan x cot(x  k )  cot x Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 13 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):    a) sin 2x  cos x        3        b) tan 2x    cot x            3 3   ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):    a) sin 3x  cos   x   0.    3   b) tan x . tan 3x  1  0. ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ ........................................................................................ ........................................................................ BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 8. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):    a) sin 2x  cos   x     6      2    cos x  9      b) sin 3x          3 4      c) cos 2x    sin x .     4   2   d) cos 2x  sin x        3     e) cos 4x    sin 2x  0.     5  f)  3    tan x         g) cot 2x          4 6      h) tan 3x    cot x .     5    2  9    sin 3x    cos x            3 4    Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào ?  .....................................................................................................................................................  Hãy viết các công thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau ?  ..................................................................................................................................................... BT 9. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 14 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 a) cos(3x  450 )   cos x .       b) cos 2x     cos x            3 4         c) sin x     sin 2x            4 6      e) tan 3x     tan x .     3     d) sin 2x    sin x  0.     3        f) cot x    cot   x   0.         4  2     g) cos 3x    cos x  0.     3     i) sin 2x    cos x  0.     4   2    sin x  7   0.     h) sin 3x          3 5         j) cos 4x    sin x    0.         3 4      k) tan 3x    tan 2x  0.     4  l) tan 2x . tan 3x  1.  Muốn bỏ dấu "  " trước sin, cos, tan, cotan ta sẽ làm như thế nào ?  .....................................................................................................................................................  Hãy viết công thức cung góc liên kết dạng cung đối nhau ?  ..................................................................................................................................................... BT 10. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin 4x  2 cos2 x  1  0. c) sin 5x  2 cos2 x  1.    e) cos   x   sin 2x  0.   2    b) 2 cos 5x . cos 3x  sin x  cos 8x . d) cos 2x cos x  cos x  sin 2x sin x . x  cos 5x  1. 2  4      h) sin   x   cos   x   3.     9       18    4     g) sin 3x    sin     3x         5  5  f) 2 sin2 f) i) cot2x  1  tan x  1  tan x 3.   5     cos 3x    sin   3x   2.         3  6  2. Gheùp cung thích hôïp ñeå aùp duïng coâng thöùc tích thaønh toång a b a b  cos  2 2  cos a  cos b  2 sin a b a b  cos  2 2  sin a  sin b  2 cos  cos a  cos b  2 cos  sin a  sin b  2 sin a b a b  sin  2 2 a b a b  sin  2 2 Khi áp dụng tổng thành tích đối với hai hàm sin và cosin thì được hai cung mới là: a  b a b ;  Do đó khi sử dụng nên nhẩm (tổng và hiệu) hai cung mới này trước để 2 2 nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác trong phương trình cần giải. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 15 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 Ví dụ 1. Giải phương trình: sin 5x  sin 3x  sin x  0. Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 3x  cos 2x  cos x  1  0. Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 11. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin x  sin 2x  sin 3x  0. b) cos x  cos 3x  cos 5x  0. c) 1  sin x  cos 2x  sin 3x  0. d) cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  0. e) sin 3x  cos 2x  sin x  0. f) g) cos 3x  2 sin 2x  cos x  0. h) cos x  cos 2x  sin 3x . sin x  4 cos x  sin 3x  0. BT 12. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin 5x  sin x  2 sin2 x  1. b) sin x  sin2x  sin 3x  1  cos x  cos2x. c) cos 3x  2 sin 2x  cos x  sin x  1. d) 4 sin 3x  sin 5x  2 sin x cos 2x  0. e) sin 5x  sin 3x  2 cos x  1  sin 4x . f) cos2x  sin 3x  cos 5x  sin10x  cos 8x . g) 1  sin x  cos 3x  cos x  sin 2x  cos 2x . h) sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x . 3. Haï baäc khi gaëp baäc chaün cuûa sin vaø cos  sin2   1  cos 2  2  tan2    cos2   1  cos 2  1  cos 2 1  cos 2  2  cot2   1  cos 2  1  cos 2  Lưu ý đối với công thức hạ bậc của sin và cosin: ― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1 và cung góc tăng gấp đôi. 2 ― Mục đích của việc hạ bậc: hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 16 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Ví dụ 1. Giải phương trình: sin2 2x  cos2 8x  Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 1 cos10x . 2 Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Ví dụ 2. Giải phương trình: cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x  3  2 Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 13. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin2 x  1  2 2 3  4  2    sin2  7   x       e) sin2 3x       4   3    c) cos2 x  g) sin2 2x  sin2 x  1. 3  2 k) sin2 x  sin2 2x  sin2 3x  2. i) sin2 x  sin2 2x  sin2 3x  2  8 BT 14. Giải các phương trình lượng giác sau: m) sin 3 x cos x  sin x cos3 x    3  b) cos2 2x         4 4  d) 4 sin2 x  1  0. f)   1  cos4 x  sin 4 x         4 4  h) sin2 2x  cos2 3x  1. j) l) 3  2 sin2 x  sin2 3x  cos2 2x  cos2 4x . cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  n) sin 3 x cos x  sin x cos3 x   2  4     5x  9x  a) sin2 4x  cos2 6x  sin10x, x  0;   b) cos3x  sin7x  2sin2     2cos2        2 4 2    2   Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 17 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 c) 2 sin2 2x  sin 7x  1  sin x . d) cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x  2.   7  e) cos2 x  cos2 2x  cos2   3x      3    4 f) g) sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x. h) tan2 x  sin2 2x  4 cos2 x . i) cos2 3x .cos 2x  cos2 x  0. j)      sin2 4x  cos2 6x  sin 10x, x  0;       2        2 4 sin2  x 3    3 cos2x  1  2cos2 x        2 4  4. Xaùc ñònh nhaân töû chung ñeå ñöa veà phöông trình tích soá Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp. Một số lượng nhân tử thường gặp: — Các biểu thức có nhân tử chung với cos x  sin x thường gặp là:  1  sin 2x  sin2 x  2 sin x cos x  cos2 x  (sin x  cos x )2 .  cos 2x  cos2 x  sin2 x  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).  cos4x  sin4 x  (cos2 x  sin2 x )(cos2 x  sin2 x )  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).  cos3x  sin 3 x  (cos x  sin x )(1  sin x cos x ).  1  tan x  1  sin x cos x  sin x   cos x cos x cos x sin x  cos x   sin x sin x     1    cos x    sin x    (sin x  cos x ).         4 4   2  1  cot x  1      1    sin x     cos x    (sin x  cos x )............         4 4   2 — Nhìn dưới góc độ hằng đẳng thức số 3, dạng a 2  b 2  (a  b )(a  b), chẳng hạn: sin2 x  12  cos2 x  (1  cos x )(1  cos x )  sin x  cos x  1   2  2 2 cos x  1  sin x  (1  sin x )(1  sin x ) 2 2  cos3 x  cos x . cos2 x  cos x .(12  sin2 x )  cos x (1  sin x )(1  sin x ).  sin 3 x  sin x .sin 2 x  sin x .(12  cos 2 x )  sin x (1  cos x )(1  cos x ).  3  4 cos2 x  3  4(1  sin2 x )  (2 sin x )2  12  (2 sin x  1)(2 sin x  1).  sin 2x  (1  sin 2x )  1  (sin x  cos x )2  12  (sin x  cos x  1)(sin x  cos x  1).  2(cos4x  sin 4 x )  1  3 cos2 x  sin2 x  ( 3 cos x  sin x )( 3 sin x  cos x )......... — Phân tích tam thức bậc hai dạng: f (X )  aX 2  bX  c  a.(X  X1 )  (X  X 2 ) với X có thể là sin x , cos x ,.... … và X1, X 2 là 2 nghiệm của f (X )  0. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 18 - ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 11 TT. HOÀNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600 Môn: Toán, Năm học: 2016 – 2017 Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cos x  3 sin x  sin 2x  3. Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 2x  (1  sin x )(sin x  cos x )  0. Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Ví dụ 3. Giải phương trình: (sin x  cos x  1)(2 sin x  cos x )  sin 2x  0. Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Ví dụ 4. Giải phương trình: (2 sin x  3)(sin x cos x  3)  1  4 cos2 x . Giải: .......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 15. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin 2x  3 sin x  0. b) (sin x  cos x )2  1  cos x . c) sin x  cos x  cos 2x . d) cos 2x  (1  2 cos x )(sin x  cos x )  0. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Page - 19 -