Tài liệu Dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH  LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 4601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 0 LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1 CHƯƠNG I ........................................................................................................... 3 KIẾN THỨC CƠ SỞ ............................................................................................ 3 1.1. Bổ đề 1.1 .................................................................................................... 3 1.2. Không gian mêtric. ..................................................................................... 3 Định nghĩa 1.2 ................................................................................................. 3 Bổ đề 1.3.......................................................................................................... 3 Định nghĩa 1.4 ................................................................................................. 4 Định lý 1.5 ....................................................................................................... 4 1.3 Không gian Banach lồi đều ......................................................................... 6 Định nghĩa 1.6 ................................................................................................. 6 Bổ đề 1.7.......................................................................................................... 6 CHƯƠNG II .......................................................................................................... 7 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU.......................................................................... 7 2.1 Các định nghĩa ............................................................................................. 7 Định nghĩa 2.1 ................................................................................................. 7 Định nghĩa 2.2 ................................................................................................. 7 Định nghĩa 2.3 ................................................................................................. 7 Định nghĩa 2.5 ................................................................................................. 8 Định nghĩa 2.6 ................................................................................................. 8 2.2 Định lý 2.7 .................................................................................................. 8 2.3 Định lý 2.8 ................................................................................................ 10 2.4 Định lý 2.9 ................................................................................................ 12 2.5 Hệ quả 2.10 ............................................................................................... 14 2.6 Hệ quả 2.11 ............................................................................................... 14 2.7 Định lý 2.12 .............................................................................................. 15 2.8 Định lý 2.13 .............................................................................................. 16 2.9 Định lý 2.14 .............................................................................................. 17 2.10 Hệ quả 2.15 ............................................................................................. 18 2.11 Định lý 2.16 ............................................................................................ 19 CHƯƠNG III....................................................................................................... 23 LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU ....................... 23 3.1 Các định nghĩa ........................................................................................... 23 Định nghĩa 3.1 ............................................................................................... 23 Định nghĩa 3.2 ............................................................................................... 23 Định nghĩa 3.3 ............................................................................................... 23 Định nghĩa 3.4 ............................................................................................... 23 Định nghĩa 3.5 ............................................................................................... 24 Định nghĩa 3.6 ............................................................................................... 24 3.2 Định lý 3.7 ................................................................................................ 24 3.3 Định lý 3.8 ................................................................................................ 24 3.4 Định lý 3.9 ................................................................................................ 25 3.5 Ánh xạ loại (A) ......................................................................................... 25 3.6 Ánh xạ loại (B) ......................................................................................... 26 3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ...... 26 3.8 Bổ đề 3.10 ................................................................................................. 27 3.9 Bổ đề 3.11 ................................................................................................. 29 3.10 Định lý 3.12 ............................................................................................ 36 3.11 Định nghĩa 3.13 ...................................................................................... 38 3.12 Định lý 3.14 ............................................................................................ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 40 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS LÊ HOÀN HÓA – người đã tận tâm hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tiếp theo, tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Tôi xin cám ơn bàn Giám Hiệu, phòng Sau Đại Học cùng toàn thể quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã giảng dạy và tạo điều kiện tốt cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những điều sai sót, rất được mong sự góp của quý Thầy Cô và Bạn đọc để hoàn thiện đề tài hơn nữa. 1 LỜI NÓI ĐẦU Định lý điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric đã được trình bày bởi nhiều tác giả trên các bài: A. Mbarki, Fixed points for near-contractive type multivalued mapping, Southwest J. Pure Appl. Math; A. Djoudi and L. Nisse, Gregus type fixed points for weakly compatiple mappings, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin; M. Imdad and J. Ali, Jungck’s common fixed point theorems and E. A. Property, Acta Math. Sin; … Cách lập một dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động chung của một họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều cũng được nghiên cứu bởi nhiều tác giả qua các bài: B. E. Rhoades, Fixed point iteration for certain nonlinear mapping, J. Math. Anal. Appl; N. Shahzad and A. Udomene, Approximating common fixed points of two asymptotically quasi nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed point theory and Applicatoins; H. K. Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of asymptotically non-expansive type, Nonlinear Anal; ... Luận văn này là sự trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về định lý điểm bất động chung duy nhất của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric và cách lập một dãy lặp hội tụ về điểm bất động chung của họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều. 2 Luận văn sẽ được trình bày trong ba chương: Chương I. KIẾN THỨC CƠ SỞ Trình bày lại một số kết quả về sự hội tụ của dãy số thực, không gian mêtric, không gian Banach lồi đều và sử dụng cho việc chứng minh trong các chương sau. Chương II. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU Xây dựng điều kiện đủ để các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric có điểm bất động chung duy nhất. Chương III. LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN Cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều. 3 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Bổ đề 1.1 ∞ ∞ ∞ Cho các dãy số thực không âm = , {rn }n 1 thỏa điều kiện: {α n }n 1 ,= {β n }n 1 = β n < ∞ và ∑ n 1 rn < ∞ thì lim α n tồn tại. 1 . Nếu ∑ n 1 = α n +1 ≤ (1 + β n )α n + rn , ∀n ≥= n →∞ ∞ ∞ (Bổ đề được chứng minh bởi: K. K. Tan and H. K. Xu, Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J. Math. Anal. Appl 178 (1993), pp 301-308). 1.2. Không gian mêtric. Bên cạnh những kiến thức quan trọng đã được nghiên cứu trong quá trình học đại học về không gian mêtric, trong phần này sẽ nhắc lại một số định nghĩa sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn. Định nghĩa 1.2 Cho hai tập compact A và B trong không gian mêtric X. Độ lệch của A đối với B là đại lượng được ký hiệu e ( A, B ) và được xác định như sau: e ( A, B ) = sup d ( x , B ) . x∈A ( ) ( ) Nhận xét: e A, B ≠ e B, A . Ví dụ A ⊆ B và A ≠ B . Khi đó ta có e ( A, B ) = 0 còn e ( B, A ) ≠ 0. Bổ đề 1.3 Độ lệch e ( A, B ) là hữu hạn và tồn tại điểm a ∈ A sao cho e ( A, B ) = d ( a, B ) 4 Chứng minh. Vì A là compact nên giới nội. Do đó với y0 ∈ B tìm được α > 0 để d ( x , y0 ) < ε , ∀x ∈ A , vì thế e ( A, B ) hữu hạn. Theo định nghĩa e ( A, B ) tồn tại xn ∈ A để e ( A, B ) = lim d ( xn , B ) . Do A là compact nên { xn } có dãy con hội tụ tới n →∞ a∈ A (không mất tính tổng quát ta có thể xem dãy con đó chính là dãy { xn } ). d ( xn , a ) + d ( a, B ) = d ( a, B ) . Vậy e ( A, B ) = d ( a, B ) . Khi đó d ( a, B ) ≤ e ( A, B ) ≤ lim n →∞ Định nghĩa 1.4 Khoảng cách Hausdorff (hay còn gọi là siêu mêtric) giữa A và B là đại lượng được ký hiệu H ( A, B ) và được xác định như sau: { } H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A ) . Ký hiệu ℘fb ( X ) là tập hợp mà các phần tử của nó là các tập compact khác rỗng trong không gian mêtric X. Định lý 1.5 Siêu mêtric H ( 5) H ( A, B ) ≥ 0 có những tính chất sau đây: , ∀A, B ∈℘fb ( X ). ( 6 ) H ( A, B ) = 0 ⇔ A = B. ( 7= ) H ( A, B ) H ( B, A ) , ∀A, B ∈℘fb ( X ). ( 8) H ( A, C ) ≤ H ( A, B ) + H ( B, C ) Chứng minh. , ∀A, B, C ∈℘fb ( X ). 5 ( 5) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}   = max sup d ( x, B ) ,sup d ( y, A ) ≥ 0 , ∀A, B ∈℘fb ( X ).  x∈A  y∈B ( 6 ) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}   = max = sup d ( x , B ) ,sup d ( y, A )  0 y∈B  x∈A    x ∈ B, ∀x ∈ A  d ( x , B )= 0, ∀x ∈ A ⇔ ⇔  y ∈ A, ∀y ∈ B   d ( y, A )= 0, ∀y ∈ A A ⊂ B ⇔ B hay A = B ⊂ A ( 7) ∀A, B ∈℘fb ( X ), ta coù: { { } }  H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A )    H ( B, A ) = max e ( B, A ) , e ( A, B ) .  Suy ra H ( A, B ) = H ( B, A ) (8) Từ bổ đề 1.2 suy ra mọi x ∈ A , tồn tại c ∈ C để: d ( x, B ) ≤ d ( x, c ) + d ( c, B ) ≤ d ( x, C ) + d ( c, B ) , với d ( x, C ) = d ( x, c ) . Ta suy ra e ( A, B ) ≤ e ( A, C ) + e ( C , B ) . Tương tự ta cũng có: e ( B, A ) ≤ e ( B, C ) + e ( C , A) . Theo tính chất ( 3) ta có: H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )} ≤ max {e ( A, C ) + e ( C , B ) , e ( C , A ) + e ( B, C )} ≤ max {H ( A, C ) + H ( C , B ) , H ( C , A ) + H ( B, C )} . Từ định lý trên chúng ta có thể khảo sát (℘fb ( X ) , H ) như một không gian mêtric. 6 Ngoài ra trên không gian siêu mêtric ta định nghĩa: = δ ( A, B ) sup {d ( a, b ) : a ∈ A, b ∈ B} . 1.3 Không gian Banach lồi đều Định nghĩa 1.6 Ta nói không gian Banach X là lồi đều nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: ( x, y ∈ X , x  x+y  ≤ 1, y ≤ 1 vaø x − y > ε ⇒  < 1−δ  .  2  ) Bổ đề 1.7 Cho p > 1 và R > 1 là hai số cố định, E là không gian Banach. E là không gian Banach lồi đều nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g :[ 0, ∞ ) → [ 0, ∞ ) liên tục, tăng nghiêm ngặt và lồi sao cho: λ x + (1 − λ ) y p ≤ λ x + (1 − λ ) y − w p (λ ) g ( x − y ) , p p ∀ x, y ∈ BR (0) ={ x ∈ E : x ≤ R} , λ ∈[ 0,1] , w p (λ ) =λ (1 − λ ) + λ (1 − λ ). (Bổ đề được chứng minh bởi: H. K. Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of asymptotically nonexpensive type, Nonlinear Anal. 16 (1991), pp 1139-1146). 7 CHƯƠNG II ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU Trong phần trình bày tiếp theo ta thường sử dụng các ký hiệu sau: X là không gian mêtric ( X , d ) ; ℘fb ( X ) là tập hợp tất cả các tập compact khác rỗng của không gian mêtric ( X , d ) ; f , g để chỉ các ánh xạ f , g : X → X ; các ký hiệu F , G để chỉ các ánh xạ đa trị F , G : X →℘fb ( X= ) và fx f= ( x ) , Fx F ( x ) . 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 fgx, gfx ) d ( fx, gx ) , ∀x ∈ X . Hai ánh xạ f , g được gọi là giao hoán nếu d ( = Định nghĩa 2.2 Hai ánh xạ f , g là giao hoán yếu nếu d ( fgx, gfx ) ≤ d ( gx, fx ) , ∀x ∈ X . Nhận xét Nếu hai ánh xạ f , g giao hoán thì giao hoán yếu. Chứng minh. fgx, gfx ) d ( fx, gx ) , ∀x ∈ X . Từ đây suy ra Vì f, g là giao hoán nên d ( = d ( fgx, gfx ) ≤ d ( gx, fx ) , ∀x ∈ X . Do đó f và g là hai ánh xạ giao hoán yếu. Định nghĩa 2.3 Hai ánh xạ f , g được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu f , g giao hoán và tồn tại x ∈ X sao cho fx = gx . Định nghĩa 2.4 8 Hai ánh xạ f , F được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu tồn tại x ∈ X sao cho fx ∈ Fx và fFx ⊆ Ffx . Định nghĩa 2.5 Cho f : X → X là ánh xạ trên X. Phần tử x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu fx = x . Định nghĩa 2.6 F : X → 2 X là ánh xạ đa trị trên X. Phần tử x ∈ X được gọi là điểm bất động của F nếu x ∈ Fx . 2.2 Định lý 2.7 Cho f , g : X → X là các ánh xạ, F , G : X →℘fb ( X ) là các ánh xạ đa trị sao cho các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên. ( ) ϕ : + 5 →  hàm thực thỏa những điều kiện sau: (ϕ ) : ϕ 1 không tăng với các biến t 4 và t 5 (ϕ ) : ϕ ( t, 0, 0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0 2 Nếu với mọi x , y ∈ X sao cho max {d ( fx, gy ) , d ( fx, Fx ) , d ( gy, Gy )} > 0 , ( ) ϕ d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) , d ( fx, Gy ) , d ( gy, Fx ) < 0 (2.8.1) . Khi đó f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Chứng minh f, g, F và G có điểm bất động chung. Thật vây, vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại u , v ∈ X sao cho fu ∈ Fu , gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv . 9 Trước tiên ta chứng minh fu = gv . ( Töø (2.8.1) vaø (ϕ1 ) ta coù: ϕ d ( fu, gv ) , d ( fu, Fu ) , d ( gv, Gv ) , d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) ( ) = ϕ d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) < 0 ) Đồng thời theo (ϕ1 ) ta cũng có ϕ ( d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ) < 0 . Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ ( d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ) ≥ 0 với d ( fu, gv ) > 0 . Do vậy d ( fu, gv ) = 0 . Suy ra fu = gv . Tiếp theo ta chứng minh f 2u = fu . Từ điều kiện (2.8.1) và (ϕ1 ) ta có: (( ) ( ) ϕ ( d ( f u, fu ) , 0, 0, d ( f ( ) ϕ d f 2 u, gv , d f 2 u, Ffu , d ( gv, Gv ) , d f 2 u, Gv , d ( gv, Ffu ) 2 2 ) ) ) u, Gv , d ( fu, Ffu ) < 0. ( ) Tương tự như trên theo (ϕ1 ) ta có ϕ d ( f 2 u, fu ) ,0,0, d ( f 2 u, fu ) , d ( f 2 u, fu ) < 0. ( ) Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ d ( f 2 u, fu ) ,0,0, d ( f 2 u, fu ) , d ( f 2 u, fu ) ≥ 0 với ( ) ( ) d f 2u , fu > 0 . Do vậy d f 2u , fu = 0 . Suy ra f u = fu hay fu là điểm bất động 2 của f . Tương tự ta có: gv = g 2v hay fu = gv là điểm bất động của g. Tiếp tục ta đi chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do ffu =fu =gv =ggv =gfu, fu =f 2u ∈ fFu ⊂ Ffu . Suy ra fu ∈ Ffu hay fu là điểm bất động của F. Vì = fu gfu ∈ Gfu hay fu là điểm bất động của G . Ta chứng minh điểm bất động chung là duy nhất. Đặt fu = ω và ω ' là điểm bất động của f , g , F , G . Khi đó theo (2.8.1) và (ϕ1 ) ta có: ( ϕ d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , Ff ω ) , d ( gω ', Gω ' ) , d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Ff ω ) ( ) ϕ d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , Gω ' ) , d ( f ω , Ff ω ) < 0. ) 10 Đồng thời theo (ϕ1 ) ta có: ϕ ( d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ) < 0 , kết hợp với (ϕ2 ) thì ϕ ( d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ) ≥ 0 với d ( f ω , gω ') > 0 0 ⇒ d (ω , ω ' ) = 0 hay ω = ω '. Suy ra d ( f ω , gω ') = 2.3 Định lý 2.8 Cho f , g : X → X là các ánh xạ và F , G : X → ℘fb ( X ) là các ánh xạ đa trị sao cho các cặp { f , F} và {g, G} là tương thích yếu ngẫu nhiên. ( ) ϕ : + (ϕ ) : ϕ 1 6 →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau: không tăng với các biến t 5 và t 6 (ϕ ) : ϕ ( t ', t, 0, 0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0 . Nếu với mọi 2 { x,y ∈ X sao cho } max d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) > 0 , ( ) ϕ H ( Fx , Gy ) , d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) , d ( fx , Gy ) , d ( gy, Fx ) < 0 (2.10.1) thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Chứng minh tồn tại điểm bất động. Thật vậy, vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại u, v ∈ X sao cho fu ∈ Fu , gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv . Trước tiên, ta chứng minh gv = fu . Theo điều kiện (2.10.1) và (ϕ1 ) ta có: ( ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) , d ( fu, Fu ) , d ( gv, Gv ) , d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) ( ) ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) < 0 . Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta được: ) 11 ( ) ( ) ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) < 0 , kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ≥ 0 khi d ( fu, gv ) > 0 . Do đó ta có hay fu gv . được d = ( fu, gv ) 0= Tiếp theo, ta chứng minh f 2u = fu . Cũng vì điều kiện (2.10.1) ta được: ( ( ) ( ) ϕ ( H ( Ffu, Gv ) , d ( f u, gv ) , 0, 0, d ( f ( ) ϕ H ( Ffu, Gv ) , d f 2 u, gv , d f 2 u, Ffu , d ( gv, Gv ) , d f 2 u, Gv , d ( gv, Ffu ) 2 2 ) ) ) u, Gv , d ( gv, Ffu ) < 0. Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta có kết quả: ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )) ϕ H ( Fu, Gv ) , d f 2 u, fu ,0,0, d f 2 u, fu , d f 2 u, fu < 0 , kết hợp với điều kiện của (ϕ2 ) ta cũng có kết quả: ( ( ) ϕ H ( Fu, Gv ) , d f 2 u, fu ,0,0, d f 2 u, fu , d f 2 u, fu ≥ 0 với d ( f 2u, fu ) > 0 . Do vậy mà ta suy ra d ( f 2u, fu ) = 0 ⇒ f 2u = fu hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có được g 2v = gv hay gv là điểm bất động của g . Tiếp tục ta chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do ffu =fu =gv =ggv =gfu, fu =f 2u ∈ fFu ⊂ Ffu . Nên ta có fu ∈ Ffu . Tương tự ta cũng có: = fu gfu ∈ Gfu . Theo định nghĩa (2.6) thì fu là điểm bất động của F và G. Chứng minh fu là điểm bất động duy nhất. Đặt fu = ω và ω ' là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.10.1) ta có kết quả sau: ( ϕ H ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , Fω ) , d ( gω ', Gω ' ) , d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω ) ( ) ϕ H ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω ) < 0 ) 12 Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta được: ( ) ϕ H ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) < 0 . Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ ( H ( Fω , Gω ') , d ( f ω , gω ') ,0,0, d ( f ω , gω ') , d ( f ω , gω ') ) ≥ 0 với d ( f ω , gω ') > 0 . Do vậy d ( f ω , gω ') = 0 ⇒ d (ω , ω ' ) = 0 hay ω = ω'. 2.4 Định lý 2.9 Cho f , g : X → X là các ánh xạ và F , G : X → ℘fb là các ánh xạ đa trị sao cho { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên. ( ) ϕ : + 6 (ϕ ) : ϕ 1 →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau: không giảm với biến t1 ,không tăng với các biến t 5 và t 6 (ϕ ) : ϕ ( t, t,0,0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0 . Nếu với mọi 2 { x , y ∈ X sao cho } max d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) > 0 , ( ) ϕ δ ( Fx , Gy ) , d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) , d ( fx , Gy ) , d ( gy, Fx ) < 0 (2.11.1) thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại u, v ∈ X sao cho fu ∈ Fu, gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv . Chứng minh sự tồn tại của điểm bất động. Tương tự như các định lý trước, theo điều kiện (2.11.1) ta được kết quả như sau: ( ϕ δ ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) , d ( fu, Fu ) , d ( gv, Gv ) , d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) ( ) ϕ δ ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) < 0. ) 13 Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta cũng có: ( ) ( ) ϕ δ ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) < 0 . Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ δ ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, fv ) , d ( fu, gv ) ≥ 0 với d ( fu, gv ) > 0 . Từ đó ta suy hay fu gv . ra d= ( fu, gv ) 0= Chứng minh f 2u = fu . Theo điều kiện (2.11.1) ta cũng có: ( ( ) ( ) ϕ (δ ( Ffu, Gv ) , d ( f u, gv ) ,0,0, d ( f ( ) ϕ δ ( Ffu, Gv ) , d f 2 u, gv , d f 2 u, Ffu , d ( gv, Gv ) , d f 2 u, Gv , d ( gv, Ffu ) 2 2 ) ) ) u, Gv , d ( gv, Ffu ) < 0. Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta cũng có: (( ) ( ) ( ) ( )) ϕ δ f 2 u, fu , d f 2 u, fu ,0,0, d f 2 u, fu , d f 2 u, fu < 0 . Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) ( ) thì ϕ δ ( f 2 u, gv ) , d ( f 2 u, gv ) ,0,0, d ( f 2 u, fv ) , d ( f 2 u, gv ) ≥ 0 Với d ( f 2u, fu ) > 0 . Theo đó ta suy ra d ( f 2u, fu ) =⇒ f 2u = fu hay fu là điểm bất động của f 0 . v gv = fu hay fu là điểm bất Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có g 2= động của g. Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F và g. Ta có: ffu =fu =gv =ggv =gfu, fu =f 2u ∈ fFu ⊂ Ffu . Từ đây ta có: fu ∈ Ffu và fu gfu ∈ Gfu . = Bây giờ chúng ta chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu = ω và ω ' là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.11.1) ta có kết quả sau: ( ϕ δ ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , Fω ) , d ( gω ', Gω ' ) , d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω ) ( ) ϕ δ ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω ) < 0. ) 14 Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta được: ( ) ϕ δ ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) < 0 . Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ (δ ( Fω , Gω ') , d ( f ω , gω ') ,0,0, d ( f ω , gω ') , d ( f ω , gω ') ) ≥ 0 . Với d ( f ω , gω ') > 0 . Do vậy d ( f ω , gω ') = 0 ⇒ d (ω , ω ' ) = 0 hay ω = ω ' . 2.5 Hệ quả 2.10 Cho f : X → X là ánh xạ, F : X → ℘fb là ánh xạ có ảnh là tập hợp sao cho cặp { f , F} tương thích yếu ngẫu nhiên. ϕ : (  + ) →  là hàm thực thỏa các 6 điều kiện: (ϕ ) : ϕ 1 không giảm với biến t 1 và không tăng với các biến t 5 và t 6 (ϕ ) : ϕ ( t, t,0,0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0 2 (ϕ ) : ϕ (δ ( Fx, Fy ) , d ( fx, fy ) , d ( fx, Fx ) , d ( fy, Fy ) , d ( fx, Fy ) , d ( fy, Fx ) ) < 0 , với mọi 3 { } x , y ∈ X và max d ( fx , fy ) , d ( fx , Fx ) , d ( fy, Fy ) > 0 . Khi đó f và F có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f = g và F = G 2.6 Hệ quả 2.11 Cho f : X → X là ánh xạ, F , G : X → ℘fb là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao cho cặp { f , F} và { f , G} tương thích yếu ngẫu nhiên. ϕ : (  + ) →  là hàm 6 thực thỏa các điều kiện: (ϕ ) : ϕ 1 không giảm với biến t 1 , không tăng với các biến t 5 và t 6 15 (ϕ ) : ϕ ( t, t, 0, 0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0 2 (ϕ ) : ϕ (δ ( Fx, Gy ) , d ( fx, fy ) , d ( fx, Fx ) , d ( fy, Gy ) , d ( fx, Gy ) , d ( fy, Fx ) ) < 0 , 3 với mọi x, y ∈ X và max {d ( fx, fy ) , d ( fx, Fx ) , d ( fy, Gy )} > 0 . Khi đó f , F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f = g. 2.7 Định lý 2.12 Cho f : X → X là ánh xạ, F , G : X → ℘fb là ánh xạ đa trị sao cho cặp { f , F} và { f , G} tương thích yếu ngẫu nhiên. ψ :  + →  + là hàm không tăng sao cho, với mỗi t > 0 , ψ ( t ) < t và thỏa điều kiện:  p p  δ p ( Fx , Gy ) ≤ ψ  ad p ( fx , gy ) + (1 − a ) d 2 ( gy, Fx ) d 2 ( fx , Gy )    ( 2.15.1) với mọi x , y ∈ X , 0 < a ≤ 1 , p ≥ 1 . Khi đó f, g, F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại u, v ∈ X sao cho fu ∈ Fu, gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv . Chứng minh tồn tại điểm bất động. Theo giả thiết của định lý ta có: p p  p  2 2 δ ( Fx , Gy ) ≤ ψ  ad ( fx , gy ) + (1 − a ) d ( gy, Fx ) d ( fx , Gy )  . Theo   p tính chất của δ và ψ ta được: d p ( fu, gv ) ≤ δ p ( Fu, Gv ) ≤ ψ ( d p ( fu, gv ) ) . Nếu d ( fu, gv ) > 0 và theo điều kiện ψ ( t ) < t với t > 0 thì ta có kết quả sau: