Tài liệu Dạy học môn toán lớp 5 theo định hướng mô hình hóa toán học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÂN THỊ CẨM VÂN DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO ĐỊNH HƯỚNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÂN THỊ CẨM VÂN DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO ĐỊNH HƯỚNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ngành: Giáo dục học (Giáo dục Tiểu học) Mã số: 8 14 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN THUÝ NGÀ THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 LỜI CAM ĐOAN Chúng tôi xin cam đoan đề tài “Dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hóa toán học” là công trình nghiên cứu của riêng mình và không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác. Các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong đề tài là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nào khác, các thông tin trích dẫn trong đề tài đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Tác giả luận văn Thân Thị Cẩm Vân i LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn em đã nhận được sự giúp đỡ từ Nhà trường, Ban Chủ nhiệm Khoa và các thầy cô giáo bộ môn cùng toàn toàn thể các bạn khoa Giáo dục Tiểu học. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và các bạn trong Khoa. Xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ từ phía giáo viên, học sinh các trường Tiểu học Thị trấn Thanh Sơn trong thời gian em thực nghiệm luận văn. Đặc biệt, cho phép em được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo TS. Trần Thuý Ngà đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em để chúng em có khả năng khai thác và thực hiện luận văn này. Do điều kiện, chủ quan và khách quan, luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và quý bạn đọc để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu của luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 17 tháng 6 năm 2020 Học viên thực hiện Thân Thị Cẩm Vân ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... ii MỤC LỤC ................................................................................................................... iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................................... v DANH MỤC CÁC BẢNG .......................................................................................... vi DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ .................................................... vii MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................................... 2 4. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................ 2 6. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................................. 3 7. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 3 8. Đóng góp của luận văn ............................................................................................. 4 9. Cấu trúc của luận văn................................................................................................ 4 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...................................................... 5 1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề ..................................................................................... 5 1.1.1. Trên thế giới ........................................................................................................ 5 1.1.2. Ở Việt Nam ......................................................................................................... 7 1.2. Mô hình và mô hình hóa toán học ......................................................................... 8 1.2.1. Quan niệm ........................................................................................................... 8 1.2.2. Quy trình mô hình hóa ...................................................................................... 15 1.2.3. Vai trò của phương pháp MHH ........................................................................ 23 1.3. Mục tiêu, nội dung của môn Toán lớp 5 .............................................................. 24 1.3.1. Mục tiêu ............................................................................................................ 24 1.3.2. Nội dung ........................................................................................................... 25 1.4. Đặc điểm tâm lí lứa tuổi của học sinh lớp 5 ........................................................ 34 iii 1.5. Thực trạng dạy học môn Toán theo định hướng MHH ở một số trường tiểu học hiện nay ................................................................................................................ 35 1.5.1. Mục đích khảo sát ............................................................................................. 35 1.5.2. Đối tượng khảo sát ............................................................................................ 35 1.5.3. Nội dung khảo sát ............................................................................................. 35 1.5.4. Phương pháp khảo sát ....................................................................................... 36 1.5.5. Phân tích kết quả khảo sát ................................................................................ 36 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ........................................................................................... 41 Chương 2. DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO ĐỊNH HƯỚNG MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC ......................................................................................... 42 2.1. Quy trình dạy học môn toán lớp 5 theo định hướng MHH toán học ................... 42 2.2. Ví dụ minh hoạ .................................................................................................... 44 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ........................................................................................... 79 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................ 80 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm .......................................................................... 80 3.2. Thời gian và đối tượng thực nghiệm sư phạm ..................................................... 80 3.2.1. Thời gian thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 80 3.2.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 80 3.3. Quy trình thực nghiệm ......................................................................................... 80 3.4. Các phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm.................................................... 82 3.5. Kết quả thực nghiệm ............................................................................................ 82 3.5.1. Phân tích kết quả thực nghiệm về mặt định lượng ........................................... 82 3.5.2. Phân tích kết quả thực nghiệm về mặt định tính .............................................. 86 3.6. Kết luận sư phạm ................................................................................................. 91 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................................... 92 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ........................................................................... 93 CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN.................. 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 96 PHỤ LỤC iv DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT : Bài tập DH : Dạy học GV : Giáo viên HS : Học sinh MHH : Mô hình hóa NNTH : Ngôn ngữ tổ hợp SGK : Sách giáo khoa TB : Trung bình THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông v DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Mức độ thường xuyên của việc dạy học theo định hướng MHH toán học ở một số trường Tiểu học hiện nay ................................................... 36 Bảng 1.2. Những khó khăn khi thực hiện phát triển dạy học môn Toán theo định hướng MHH ở một số trường tiểu học hiện nay ...................................... 38 Bảng 1.3. Mức độ thường xuyên về việc nhận thức của HS theo định hướng MHH toán học ở một số trường Tiểu học hiện nay ................................. 39 Bảng 1.4. Những khó khăn về việc nhận thức của HS theo định hướng MHH toán học ở một số trường Tiểu học hiện nay ........................................... 40 Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra trước khi thực nghiệm .................................................. 83 Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm ..................................................... 83 Bảng 3.3. Kết quả xử lý số liệu thống kê lớp 5A2 và lớp 5A1 ................................ 85 vi DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ Sơ đồ 1.1. Các hoạt động của quá trình toán học hóa .......................................... 13 Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979) ................................................ 16 Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler 1991) .......................... 16 Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006) .............................. 18 Sơ đồ 1.5. Quy trình mô hình hoá mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards ........................................................................... 20 Sơ đồ 1.6. Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa trong dạy học Toán ....... 21 Sơ đồ 1.7. Phân loại các tình huống có vấn đề ............................................... 22 Biểu đồ 3.1. Tỉ lệ phần trăm kết quả kiểm tra trước thực nghiệm lớp 5A1 và lớp 5A2 ........................................................................................ 83 Biểu đồ 3.2. Tỉ lệ phần trăm kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm lớp 5A1 và lớp 5A2 ................................................................................... 84 vii MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong đời sống xã hội, giáo dục và đào tạo có một vai trò quan trọng đối với vận mệnh của đất nước. Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI của Ban chấp hành Trung ương Đảng ghi rõ: “Phát triển Giáo dục và Đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình Giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình xã hội” [4]. Nghị quyết Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng lần thứ hai (khóa VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục và đào tạo trong thời kỳ mới đã yêu cầu ngành giáo dục phải “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy - học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” [3]. Công nghệ thông tin chính là công cụ đắc lực hỗ trợ đổi mới nội dung, phương pháp giảng dạy, hỗ trợ đổi mới quản lý giáo dục nhầm năng cao chất lượng phát triển giáo dục, thực hiện mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục theo định hướng “chuẩn hóa, hiện đại hóa”. Trong dạy môn Toán cũng vậy, việc ứng dụng công nghệ thông tin cùng các mô hình hoá toán học trong dạy Toán hiện nay nhằm hình thành cho HS tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Đặc trưng của toán học là trừu tượng hóa cao độ và có tính logic chặt chẽ. Trong dạy học toán ngoài suy diễn lôgic phải chú trọng nguyên tắc trực quan quy nạp, trực giác toán học. Với sự tham gia của công nghệ thông tin các mô hình hoá toán học đã tác động mạnh mẽ tới mọi thành tố của quá trình dạy học cũng như tác động tới đổi mới phương pháp dạy môn Toán. Với việc sử dụng phương pháp “Mô hình hóa trong dạy học môn Toán” ở trường phổ thông sẽ giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học, các mô hình hoá toán học. Từ đó, học sinh sẽ phát huy được tính tích cực học tập của học sinh, phát triển các năng lực toán học, giúp học sinh có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. 1 Trong thực tế dạy học hiện nay ở trường tiểu học của Việt Nam, Phương pháp mô hình hóa vẫn còn khá mới mẻ đối với giáo viên trong dạy học toán, nhiều hoạt động mô hình hóa Toán học vẫn chưa được thể hiện một cách rõ ràng. Học sinh thường được giới thiệu về mô hình hóa ở bậc trung học cơ sở, trong khi ở bậc tiểu học các em cũng cần được giới thiệu về mô hình hóa vì hàng ngày trên lớp học các em sẽ gặp rất nhiều bài toán cần sử dụng đến mô hình toán học. Cũng chính vì việc được giới thiệu muộn như vậy mà kinh nghiệm giải quyết vấn đề của học sinh còn hạn chế, các em còn gặp khó khăn khi xác định mục tiêu của bài toán và thường không đưa ra đầy đủ kiến thức toán, quá trình, kỹ năng biểu diễn xã hội mà học sinh cần, từ đó mục tiêu của tiết học cũng như bài các bài tập sẽ không được giải quyết một cách triệt để. Chính vì vậy khi học toán, nếu không tạo ra được sự hứng thú, sự tò mò, thích khám phá ở học sinh thì mỗi tiết học sẽ trở nên nhàm chán, rời rạc và đương nhiên sẽ không đem lại hiệu quả giáo dục như chúng ta muốn. Với những lý do trên, chúng tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hóa toán học”. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn về mô hình hóa toán học để đề xuất quy trình sư phạm dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học, nâng cao chất lượng dạy học. 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu - Khách thể nghiên cứu: Quá trình chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang một vấn đề toán học trong dạy học môn Toán lớp 5. - Đối tượng nghiên cứu: Quy trình dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học. 4. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất được quy trình dạy học môn Toán theo định hướng MHH Toán học ở lớp 5 thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả NNTH, chất lượng dạy học môn Toán môn Toán ở tiểu học. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về mô hình, mô hình hóa toán học. 2 - Nghiên cứu về mục tiêu, nội dung dạy học giải toán lớp 5. - Nghiên cứu về đặc điểm tâm lý học sinh cuối cấp tiểu học. - Nghiên cứu việc thực trạng dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học. - Đề xuất quy trình phát triển dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học. - Tổ chức thực nghiệm sư phạm xem xét tính khả thi và hiệu quả của quy trình đã đề xuất. 6. Phạm vi nghiên cứu - Dạy học môn toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học. 7. Phương pháp nghiên cứu 7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu: Thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp,… để nghiên cứu lý luận về mô hình, mô hình hóa toán học, nghiên cứu đặc điểm tâm lí lứa tuổi học sinh lớp 5; nghiên cứu mục tiêu, nội dung của môn Toán lớp 5. 7.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Phối hợp các phương pháp nghiên cứu thực tiễn để làm rõ thực trạng và kiểm nghiệm hiệu quả khoa học của luận văn. - Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn giáo viên, cán bộ quản lý trường Tiểu học nhằm tìm hiểu thực trạng dạy học mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 5 và ý kiến đánh giá quá trình tác động của thực nghiệm sư phạm. - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: Nghiên cứu phiếu học tập, vở bài tập của HS để tìm hiểu thực trạng dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học hiện nay, sản phẩm hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình thực hiện nhằm đánh giá hiệu quả của các biện pháp đề xuất. - Phương pháp chuyên gia: xin ý kiến các chuyên gia về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. - Phương pháp nghiên cứu trường hợp: nhằm góp phần khẳng định tính hiệu quả của các biện pháp đề xuất. 3 7.3. Phương pháp xử lý thông tin Sử dụng phương pháp thống kê để xử lý số liệu sau khi điều tra thực trạng, số liệu của quá trình thực nghiệm sư phạm. 8. Đóng góp của luận văn 8.1. Đóng góp về mặt lí luận - Luận văn đã tổng quan về mô hình, mô hình hoá toán học. - Đã phân tích được đặc điểm tâm lí lứa tuổi học sinh lớp 5 và tìm hiểu về mục tiêu, nội dung của môn Toán lớp 5. - Xây dựng được quy trình thực hiện dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học cùng các ví dụ minh hoạ. 8.2. Đóng góp về mặt thực tiễn - Luận văn đã tìm hiểu và đánh giá về thực trạng dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học. - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để khẳng định tính khả thi, hiệu quả của quy trình đã đề xuất và vận dụng vào thực tiễn dạy học. - Luận văn có thể triển khai rộng rãi trong môn Toán tiểu học và được sử dụng làm tư liệu tốt cho giáo viên tiểu học tham khảo. 9. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Dạy học môn Toán lớp 5 theo định hướng mô hình hoá toán học. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 4 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề 1.1.1. Trên thế giới Một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học trong suốt ba thập kỉ qua đó là mô hình toán học và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn cuộc sống. Nói tổng quát hơn, đó chính là mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn (thế giới bên ngoài toán học). MHH trong giáo dục toán chính thức xuất hiện đầu tiên tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968. Tại đây các nhà giáo dục toán đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến MHH. Tại sao phải dạy toán để có ích? Tại sao nhiều HS không thể sử dụng kiến thức toán học để giải quyết những vấn đề thực tế mặc dù đạt được kết quả xuất sắc về môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho HS có thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống. Mối liên hệ giữa toán và MHH tiếp tục được đề cập đến tại Hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977) bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo dục. Dấu mốc quan trọng là việc MHH được đưa vào nhà trường sau nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trường. Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho HS cách sử dụng toán trong cuộc sống hằng ngày. Từ đó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu (Blum, 2006, [17]). Nghiên cứu của Hội đồng quốc tế về giảng dạy toán học ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) lần thứ 14 năm 8 2007 về “Mô hình hoá và ứng dụng trong giáo dục toán học” đã trình bày tương đối đầy đủ về tăng cường vận dụng phương pháp MHH trong dạy học Toán; năng lực MHH toán học; cấp độ MHH; đánh giá các giai đoạn của quá trình MHH; vai trò của phương pháp MHH trong học tập môn Toán; MHH trong đào tạo GV; điều kiện triển khai MHH trong lớp học, MHH và áp dụng chương trình đánh giá HS quốc tế PISA. Ngoài ra, từ hội nghị lần thứ 4 (2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của Hiệp hội nghiên cứu giáo dục toán châu Âu CERME (Congress of European Research in Mathematics Education), MHH và áp dụng toán là một trong những chủ đề chính của thảo luận: “MHH liên kết giữa 5 toán học trong nhà trường với cuộc sống, công việc và việc đưa ra quyết định. Nó là quá trình lựa chọn và sử dụng những kiến thức toán học để phân tích tình huống thực tế, hiểu chúng rõ hơn và ra quyết định phù hợp”. Có nhiều quan điểm khác nhau trong các nghiên cứu về mô hình toán học, cụ thể: Quan điểm “thực tế” quan tâm đến khả năng người học áp dụng toán để giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công nghiệp,… giúp họ hiểu viết hơn về thế giới thực và giải quyết vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Quá trình MHH là một quá trình hoàn chỉnh, được thực hiện như một nhà toán học ứng dụng, với mục đích giải quyết một vấn đề thực tế chứ không phải để phát triển một lí thuyết mới như một quan điểm nhận thức luận. Một số nhà giáo dục toán tiêu biểu cho cách tiếp cận này là các tác giả Pollak, Burkhardt, Galbraith, Stillman, Kaiser và Schwarz. Quan điểm “giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh vực MHH thuộc quan điểm này như Blum, Niss, Blomh∅j, Maab, Stillman. Quan điểm này chú trọng tích hợp MHH vào dạy học toán; thông qua các ví dụ thực tế và mối quan hệ của chúng đối với toán học để xây dựng việc hiểu các khái niệm và thúc đẩy quá trình học toán; quan tâm đến các bước của quá 9 trình MHH, nhiệm vụ MHH, phát triển năng lực MHH cũng như ý nghĩa của việc học toán [15]. Quan điểm “phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói chung, của MHH toán học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê phán, tư duy phản ánh của người học trước những tình huống trong xã hội, y tế và môi trường. Cả kinh tế vĩ mô và vi mô đều được xây dựng dựa trên những mô hình toán học. Nó góp phần vào sự phát triển của xã hội [15]. Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn đặc biệt được các nước OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) quan tâm thông qua chương trình đánh giá HS quốc tế PISA. Năng lực toán học, theo PISA là “khả năng của mỗi cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong thế giới…”. PISA nhấn mạnh đến khả năng sử dụng kiến thức toán học ở nhiều tình huống và ngữ cảnh khác nhau. Ở nhiều nước, kết quả PISA được thảo luận để đổi mới chương trình môn Toán ở nhà trường, đặc biệt là vấn đề MHH toán học. Ứng dụng của toán học trong thực tiễn để hiểu thế giới tốt hơn, giải thích các hiện tượng, giải quyết vấn đề, ra quyết định. 6 1.1.2. Ở Việt Nam Dạy học MHH toán học vẫn còn khá mới mẻ đối với GV trong nhà trường ở Việt Nam. Chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc vận dụng phương pháp dạy học này trong dạy và học toán ở nhà trường tiểu học. Cho đến bây giờ, các công trình nghiên cứu về MHH toán học chủ yếu thuộc cấp trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT), có thể kể đến một số tác giả với các công trình. Tác giả Nguyễn Thị Tân An [1] trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa ra một cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình. Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của quá trình toán học hóa giúp HS có thể định hướng khi đứng trước một tình huống toán học hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Ngoài ra, nghiên cứu cũng chỉ rõ mối liên hệ giữa các năng lượng hiểu biết định lượng và quá trình toán học hóa. Do đó, việc giải quyết những tình huống chứa đựng các yếu tố định lượng thông qua quá trình toán học hóa sẽ giúp phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của HS. Đặc biệt nghiên cứu này đã xây dựng được thang đánh giá giúp đo các năng lực hiểu biết định lượng khi HS giải quyết một tình huống toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng. Mỗi năng lực được chấm điểm trong ba giai đoạn của quá trình toán học hóa theo bốn mức từ 0 đến 3. Tác giả Phan Anh [2] “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT qua dạy học Đại số và Giải tích” cũng đã làm rõ việc xây dựng mô hình toán học hóa các tình huống thực tiễn trong quá trình dạy học HS phổ thông thông qua phần Đại số và Giải tích. Nghiên cứu của tác giả Bùi Huy Ngọc [12] trong nghiên cứu “Tăng cường khái thác nội dung thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS bậc THCS” đã xây dựng các biện pháp khai thác nội dung thực tế trong dạy học nội dung Số học và Đại số ở trường THCS nhằm phát triển năng lực vận dụng toán học trong thực tiễn cho HS. Trong nghiên cứu gần đây của tác giả Nguyễn Danh Nam đã trình bày khái quát về “Quy trình phát triển năng lực MHH Toán học cho HS THPT”. Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của toán học. Quá trình này giúp HS hình 7 dung ra được các giai đoạn chuyển từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học, từ mô hình toán học sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán; từ kết quả toán rút ra những nhận xét phản hồi. Qua đó, giúp HS tìm hiểu sâu và nắm chắc kiến thức toán học. Ngoài ra, sử dụng MHH toán học trong dạy học giúp học HS phát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Năng lực phân tích và giải quyết vấn đề thực tiễn cũng được quan tâm khi sử dụng phương pháp này bởi các quy trình MHH giúp HS rèn luyện các thao tác tư duy toán học như phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp… Qua đó, tăng cường tính liên môn như Địa lí, Khoa học, Lịch sử, Môi trường. Những kết quả này sẽ là cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo về khả năng vận dụng quy trình MHH toán học trong dạy học tiểu học hiện nay, đặc biệt là tiếp cận hướng tăng cường đưa các bài toán thực tiễn vào chương trình SGK môn Toán. 1.2. Mô hình và mô hình hóa toán học 1.2.1. Quan niệm 1.2.1.1. Mô hình Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số cách hiểu thường sử dụng: Mô hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật chất. Hệ thống này phản ánh hay tái hiện đối tượng nghiên cứu có thể thay cho nó và khi nghiên cứu hệ thống này ta thu được những thông tin mới về đối tượng đó (V.A. Shoff) [13]). Mô hình có thể được hiểu là đối tượng vật lí (ví dụ như mô hình hình không gian), mô hình trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như tiên đề của hình học Ơclit). Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991, [18]). 8 Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý. (Swetz và Hartzler, 1991, [23]). Tóm lại, “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật.” Như vậy, mô hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây: * Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu Mô hình là sản phẩm của quá trình hành động nhằm đạt được quá trình nhận thức nên mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn. * Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy Mô hình ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã bỏ đi những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Như vậy, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực. * Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản. 9 * Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn. Trong dạy học môn Toán ở trường tiểu học, mô hình toán học là một cấu trúc toán học (hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử,…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu. Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả hiện thực khách quan. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật nhưng điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. 1.2.1.2. Mô hình hóa Ý tưởng sử dụng mô hình và MHH trong dạy học được đề xuất bởi Aristides C. Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm: “MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó”. MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay lại thực tế xem xét tính hiệu quả của mô hình đã sử dụng để mô tả và phân tích và đối chứng phương pháp giải quyết tình huống thực. Từ quan điểm này, chúng tôi nghiên cứu MHH ở hai cách tiếp cận sau: * MHH như một phương pháp dạy học Cung cấp cho HS hiểu khái niệm của vấn đề; giúp HS đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán. Để áp dụng phương pháp này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất cứ lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích và thiết kế các mô hình toán học để dạy. Sẽ có 7 bước dạy học với MHH đó là: - Đưa ra vấn đề: Đưa cho cả lớp mô tả ngắn gọn về chủ đề, hướng dẫn HS đặt câu hỏi về chủ đề đó. 10 - Đơn giản hóa vấn đề: GV lựa chọn một hoặc vài câu hỏi để phát triển kiến thức. - Thiết lập vấn đề: GV bắt đầu thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả thuyết, tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử dụng kiến thức toán học trong bài để giải quyết. - Phát triển kiến thức của bài học: GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay tính chất có liên hệ chặt chẽ với vấn đề vừa giải quyết. - Trình bày ví dụ tương tự: Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự được nêu ra, trình bày ứng dụng. - Thiết lập mô hình và lời giải cho vấn đề xuất phát từ mô hình: GV đề nghị HS quay lại vấn đề và tổng quát hóa, giải nó. - Hiểu lời giải và cải tiến mô hình: HS phải đánh giá lời giải. Điều này cho phép HS hiểu sâu hơn về kết quả đạt được. * Mô hình hoá như một phương pháp nghiên cứu Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác. HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh cá nhân. Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây: - Lựa chọn chủ đề: Nhóm được tạo bởi ít nhất 4 HS và mỗi nhóm lựa chọn một chủ đề theo sở thích. Các nhóm với sự hướng dẫn của GV, chịu trách nhiệm về sự lựa chọn và cách thức tổ chức nhóm. GV gợi ý những dữ liệu có thể thu nhập qua lịch sử nghiên cứu hoặc qua phỏng vấn chuyên gia. - Làm quen với chủ đề mô hình: Ở giai đoạn này HS làm quen với chủ đề và có dữ liệu. GV hướng dẫn đặt các câu hỏi mà các em đã tổng hợp được từ dữ liệu. - Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức: sau khi đơn giản vấn đề và lựa chọn câu hỏi để trả lời, GV bắt đầu thiết lập vấn đề từ câu hỏi để giải. - Thiết kế mô hình, giải và đối chiếu: Khi vấn đề được thiết lập, nhóm cố gắng chi tiết mô hình làm cho lời giải cụ thể hơn cho từng câu hỏi, áp dụng lời giải để dự đoán các kết quả khác. - Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình. Từ những cách tiếp cận trên, có hai hướng khai thác MHH. Thứ nhất, mô hình đươc sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như là 16 một phương tiện để dạy và học ở trường. Thứ hai, mô hình được sử dụng để phục vụ nghiên cứu khoa học. 11