Tài liệu Dạy học khái niệm đạo hàm trong môi trường tích hợp phần mềm casyopée

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Huỳnh Anh DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Huỳnh Anh DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng dẫn tôi từng bước trên con đường nghiên cứu khoa học của mình. Mặc dù thầy ở rất xa nhưng thầy luôn quan tâm, động viên, chỉ dẫn tôi những lúc gặp khó khăn. Điều đó giúp tôi thêm nghị lực để hoàn thành luận văn này. Không có gì hơn, tôi kính chúc thầy và gia đình thật nhiều sức khỏe và có nhiều niềm vui trong cuộc sống. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PSG. TS Lê Thị Hoài Châu, PSG. TS. Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Trần Lương Công Khanh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi và các bạn khóa 23 những kiến thức vô cùng quý báu. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, thầy cô và các em học sinh trường THPT Lý Thái Tổ – Tp.HCM, THPT Xuyên Mộc – BRVT đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thành công bài thực nghiệm. Các bạn cùng khóa học cao học 23 vì những sẻ chia trong học tập. Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học. Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các thuật ngữ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 T 4 4T Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ..................................................... 1 1. T 4 T 4 4T Khung lý thuyết tham chiếu ...................................................................... 2 2. T 4 T 4 4T T 4 4T T 4 4T T 4 4T 4T Tiến trình và phương pháp nghiên cứu ..................................................... 4 6. T 4 T 4 Phạm vi nghiên cứu .................................................................................. 4 5. T 4 4T Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu ............................................ 4 4. T 4 T 4 Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................. 3 3. T 4 T 4 T 4 4T T 4 7. Cấu trúc của luận văn ................................................................................... 5 T 4 4T CHƯƠNG 1. TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU ...... 7 T 4 T 4 1.1. Luận văn của tác giả Lê Anh Tuấn (2009) ................................................ 7 T 4 T 4 1.2. Luận văn của tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) ........................................ 9 T 4 T 4 1.3. Luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013)............................................. 9 T 4 T 4 1.4. Luận văn của tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) ...................................... 10 T 4 T 4 1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................... 11 T 4 4T CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN THPT ....................................................................................................... 12 T 4 4T 2.1. SGK Toán 11 cơ bản (GKCB11) và nâng cao (GKNC11) ..................... 12 T 4 T 4 2.1.1. Phân tích việc xây dựng lý thuyết ................................................... 12 T 4 T 4 2.1.2. Phân tích các tổ chức Toán học ....................................................... 18 T 4 T 4 2.1.3. Kết luận SGK Toán 11 .................................................................... 25 T 4 T 4 2.2. SGK Toán 12 ........................................................................................... 27 T 4 4T 2.2.1. SGK Toán 12 cơ bản ....................................................................... 27 T 4 T 4 2.2.2. SGK Toán 12 nâng cao ................................................................... 32 T 4 T 4 2.2.3. Các tổ chức Toán học ...................................................................... 34 T 4 T 4 2.2.4. Kết luận SGK Toán 12 .................................................................... 36 T 4 T 4 2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................... 37 T 4 4T CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM ......................................................................... 39 T 4 T 4 3.1. Mục tiêu của chương ............................................................................... 39 T 4 4T 3.2. Thực nghiệm ........................................................................................... 39 T 4 4T 3.2.1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................... 39 T 4 T 4 3.2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .............................................. 39 T 4 T 4 3.2.3. Tình huống 1 ................................................................................... 39 T 4 4T 3.2.3.1. Mục đích tình huống 1 .......................................................... 39 4T T 4 3.2.3.2.Thông báo bài toán thực nghiệm ........................................... 40 4T T 4 3.2.3.3. Dàn dựng kịch bản tình huống 1 .......................................... 40 4T T 4 3.2.3.4. Phân tích tiên nghiệm tình huống 1 ...................................... 41 4T T 4 3.2.3.5. Phân tích chi tiết kịch bản tình huống 1 ............................... 49 4T T 4 3.2.3.6. Phân tích hậu nghiệm tình huống 1 ...................................... 53 4T T 4 3.2.4. Tình huống 2 ................................................................................... 66 T 4 4T 3.2.4.1. Mục đích tình huống 2 .......................................................... 66 4T T 4 3.2.4.2. Nội dung tình huống 2 .......................................................... 67 4T T 4 3.2.4.3. Phân tích tiên nghiệm tình huống 2 ...................................... 67 4T T 4 3.2.4.4. Phân tích hậu nghiệm tình huống 2 ...................................... 69 4T T 4 3.2.5. Kết luận thực nghiệm ...................................................................... 70 T 4 T 4 3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................... 72 T 4 4T KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 74 T 4 4T TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ BTCB11 Bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản BTNC11 Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao HS Học sinh GKCB11 Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 GKNC11 Sách giáo khoa nâng cao 11 GKCB12 Sách giáo khoa Giải tích 12 GKNC12 Sách giáo khoa nâng cao 12 GVCB11 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 GVCB12 Sách giáo viên Giải tích 12 GVNC11 Sách giáo viên nâng cao 11 GVNC12 Sách giáo viên nâng cao 12 GTLN Giá trị lớn nhất GTNN Giá trị nhỏ nhất KNV Kiểu nhiệm vụ SGV Sách giáo viên SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông THCS Trung học cơ sở DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 11 cơ bản và nâng cao....................25 Bảng 2.2. Bảng thống kê các ứng dụng của đạo hàm trong GKCB12..........................28 Bảng 2.3. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 12 cơ bản và nâng cao....................36 Bảng 3.1. Bảng thống kê các dạng đồ thị có thể có trong câu 2 pha 1........................41 Bảng 3.2. Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 1 pha 1.............53 Bảng 3.3. Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 2 pha 1.............54 1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Ghi nhận 1 Trong chương trình giải tích 11 và 12 bậc THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng T 0 T 0 đạo hàm chiếm 26,2% số tiết, trong khi đó các nội dung khác chiếm khoảng từ 8,7% đến 15,9%. Như vậy, nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lượng lớn về thời gian học của chương trình. Đồng thời nó cũng có ý nghĩa quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng các khối. Đạo hàm có nhiều ứng dụng không chỉ trong việc dạy học như khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm min, max, tính tích phân,… mà còn áp dụng trong việc nghiên cứu khoa học, công nghệ, thực tế đời sống. Trong việc hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ Giáo dục hiện nay, Bộ Giáo Dục đã đưa ra các nhiệm vụ trọng tâm cần phải thực hiện và một trong số đó là nhiệm vụ “tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn” [1, tr.2]. Bởi vậy việc sử dụng đạo hàm để giải các bài toán gắn liền với thực tế là một nội dung rất cần thiết và bổ ích đối với HS bậc THPT. Vấn đề đặt ra là các bài toán có ứng dụng của đạo hàm đặc biệt là các bài toán gắn liền với thực tế được trình bày như thế nào trong SGK Toán? Học sinh có nhận ra vai trò của đạo hàm trong các bài toán thực tế hay không? Cần phải dạy học khái niệm đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế như thế nào? Trong luận văn “Casyopée và việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”, tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) đã kiểm chứng quy tắc hợp đồng “HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ thị (gắn với một biểu thức giải tích) đã học” [16, tr.33]. Trong luận văn của mình về ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) đã khẳng định giả thuyết sau: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” [8, tr.47]. Vậy, HS có thể nhận dạng đồ thị của các hàm số đã học để thiết lập mối quan hệ giữa 2 đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan hay không? Ghi nhận 2 Trong những năm gần đây, việc ứng dụng công nghệ thông tin nhằm giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập cũng như tiếp thu tri thức toán học rất phổ biến ở Việt Nam. Bộ Giáo Dục cũng đã đưa ra yêu cầu đối với việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán hiện nay “Đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học” [1, tr.2]. Các bài toán liên quan đến đạo hàm luôn gắn liền với biểu thức giải tích mà đồ thị của nó mang tính trực quan. Vì vậy, việc dạy học các bài toán thực tế gắn liền với ứng dụng của đạo hàm sẽ tạo môi trường phản hồi tốt hơn nếu có sử dụng công nghệ thông tin. Một trong những môi trường tương tác hiệu quả khi dạy học đạo hàm của hàm số là môi trường công nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée. Vậy, chúng tôi tự hỏi rằng phần mềm Casyopée có thể làm cầu nối giữa kiến thức đạo hàm trong toán học và ứng dụng cụ thể của nó trong thực tế hay không? Từ những ghi nhận như trên, chúng tôi chọn đề tài: “DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE” để thực hiện nghiên cứu trong luận văn thạc sỹ của mình. 2. Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết didactic toán để nghiên cứu đề tài này. Xuất phát từ yêu cầu cần xem xét các bài toán thực tế có ứng dụng của đạo hàm cũng như xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm với tiếp tuyến, với các khái niệm liên quan được trình bày như thế nào trong SGK, chúng tôi chọn khung lý thuyết nhân chủng học với việc xác định mối “quan hệ thể chế” của SGK Toán đối với đối tượng đạo hàm. 3 Quan hệ của thể chế I đối với một tri thức O, ký hiệu là R(I, O), được định nghĩa là tập hợp các tác động qua lại mà I có thể duy trì được với O. Nghĩa là: I nói gì về O? I mô tả O ra sao? I sử dụng O như thế nào? Mối “quan hệ thể chế” là cơ sở để chúng tôi giải thích mối “quan hệ cá nhân” của học sinh đối với các bài toán gắn với đối tượng đạo hàm. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể duy trì với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó hay nói cách khác X nghĩ về O như thế nào? X có biểu tượng gì về O? X thao tác, sử dụng O ra sao?... Một đối tượng O được xem như tồn tại đối với X nếu như tồn tại cái R(X,O). Mặc khác, để xác định mối “quan hệ thể chế” với các bài toán gắn với đối tượng đạo hàm, chúng tôi vận dụng khái niệm “tổ chức toán học” của lý thuyết nhân chủng học. Bên cạnh đó để đạt được mục đích cuối cùng của luận văn, chúng tôi sử dụng các công cụ khái niệm môi trường của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất làm kim chỉ nam để xây dựng thực nghiệm sư phạm. 3. Mục tiêu nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu việc dạy học ứng dụng đạo hàm trong môi trường tích hợp phần mềm Casyopée. Để thực hiện được mục tiêu nghiên cứu trên, chúng tôi thực hiện các nhiệm vụ sau đây: - Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm liên quan đến tiếp tuyến, vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số và bài toán thực tế. - Thiết kế một số tình huống liên quan đến ứng dụng của đạo hàm với phần mềm Casyopée. 4 4. Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày các câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này. Q1: Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm, đặc biệt là ứng dụng khái niệm này trong các bài toán thực tế được hình thành như thế nào ở chương trình Toán THPT hiện hành? Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng như thế nào đến việc ứng dụng đạo hàm trong thực tế trong mối quan hệ cá nhân của HS. Q2: Mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong chương trình được thể hiện ra sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số? Q3: Thông qua phần mềm Casyopée, cần phải xây dựng các tình huống như thế nào để dạy học ứng dụng đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế? 5. Phạm vi nghiên cứu Thể chế dạy học Toán THPT mà chúng tôi đề cập chính là thể chế dạy học Toán - mà có sự xuất hiện của khái niệm đạo hàm và các ứng dụng của nó, cụ thể là thể chế dạy học Toán lớp 11, 12. Dạy học khái niệm đạo hàm mà chúng tôi đề cập ở đây chính là dạy học ứng - dụng của khái niệm đạo hàm liên quan đến tiếp tuyến, nhận dạng đồ thị hàm số và bài toán thực tế. Vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số được hiểu theo hai ý: - + Sử dụng hình dạng đồ thị của các hàm số đã được học để thiết lập các mối quan hệ. + Xác định các hệ số để tìm công thức giải tích cụ thể của hàm số. - Bài toán thực tế mà chúng tôi xét đến là các bài toán có mang các yếu tố thực tế. 6. Tiến trình và phương pháp nghiên cứu - Trước hết, chúng tôi tổng hợp các công trình đã nghiên cứu trước đây có liên quan đến khái niệm đạo hàm nhằm trả lời một phần câu hỏi Q1, Q2. 5 - Dựa vào tổng hợp trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học Toán ở phổ thông liên quan đến khái niệm đạo hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan thông qua nhận dạng đồ thị hàm số, các ứng dụng của nó trong thực tế. - Những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả thuyết nghiên cứu. Từ đó, chúng tôi xây dựng và triển khai thực nghiệm để kiểm chứng tính đúng đắn của chúng. Các tiến trình nghiên cứu được chúng tôi tóm lược qua sơ đồ sau: TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG NGHIÊN CỨU QUAN HỆ TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ (SGK Toán 11, 12) THỰC NGHIỆM (Thực nghiệm A và B) Để thực hiện các nhiệm vụ trên, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu và thực nghiệm. 7. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và ba chương. Phần mở đầu Phần này gồm có các mục sau: Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát; Khung lý thuyết tham chiếu; Mục tiêu nghiên cứu; Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu; Tiến trình và phương pháp nghiên cứu; Cấu trúc của luận văn. Chương 1. Tổng hợp một số công trình đã nghiên cứu Chúng tôi sẽ tổng hợp các công trình đã nghiên cứu liên quan đến khái niệm đạo hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan, các ứng dụng của đạo hàm. Từ đó, chúng tôi trả lời được một phần câu hỏi Q1, Q2. 6 Chương 2. Khái niệm đạo hàm trong thể chế dạy học toán THPT Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích SGK và SGV Toán lớp 11, 12. Sau đó, chúng tôi phân tích các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế. Kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tôi trả lời được câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả thuyết nghiên cứu. Chương 3. Thực nghiệm Chúng tôi nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng các bài toán thực nghiệm được thực hiện trên giấy bút và xây dựng một tiểu đồ án thông qua phần mềm Casyopée. Từ đó, chúng tôi trả lời được câu hỏi Q3. Thực nghiệm được xây dựng nhằm kiểm tra tính thích đáng của các giả thuyết nghiên cứu trình bày ở cuối chương 2. Kết luận. Tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 1, chương 2, chương 3 và đề cập những hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này. 7 CHƯƠNG 1. TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU Chúng tôi tổng hợp các nghiên cứu về đối tượng đạo hàm trong bốn luận văn thạc sỹ của các tác giả sau: Tác giả Ngô Minh Đức (2013) với đề tài ‘‘Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông’’. Tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) với đề tài ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm’’. Tác giả Lê Anh Tuấn (2009) với đề tài ‘‘Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông’’. Tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) với đề tài "Casyopée và việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”. 1.1. Luận văn của tác giả Lê Anh Tuấn (2009)  Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong một số giáo trình đại học. Sau đó, tác giả phân tích chương trình và SGK Toán hiện hành nhằm làm rõ mối quan hệ thể chế của dạy học Việt Nam đối với khái niệm đạo hàm. Từ đó, tác giả đưa ra hai quy tắc hợp đồng và triển khai thực nghiệm nhằm kiểm tra tính thích đáng của chúng. “Qui tắc RE1: Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã có. U U Qui tắc RE2: Trong các bài toán tìm đạo hàm của một hàm số, HS không có trách U U nhiệm kiểm tra hàm số đã cho có đạo hàm hay không mà chỉ việc tính đạo hàm” [13, tr.77].  Các tổ chức Toán học trong SGK Toán ban cơ bản và nâng cao ở lớp 11 và 12 đã được tác giả phân tích gồm có các kiểu nhiệm vụ sau: + Tính đạo hàm bằng định nghĩa. + Tính đạo hàm bằng công thức. 8 + Chứng minh không có đạo hàm tại x 0 . R R + Tìm vi phân. + Tính gần đúng một giá trị. + Viết phương trình tiếp tuyến. + Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc. + Xét tính đơn điệu nhờ bảng biến thiên. + Tìm cực đại, cực tiểu. + Tìm GTLN, GTNN trên khoảng. + Tìm GTLN, GTNN trên đoạn. + Tìm nguyên hàm. + Tính tích phân.  Tác giả đưa ra một số kết luận: Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm đóng vai trò rất mờ nhạt trong việc hình thành và lĩnh hội khái niệm đạo hàm của HS. Mờ nhạt ở đây có nghĩa là đối với HS việc tính đạo hàm bằng định nghĩa chẳng qua là việc tính các giới hạn. HS chỉ quan tâm đến giới hạn của tỉ số số gia mà không hiểu rõ bản chất của giới hạn đó. SGK cũng chỉ dừng lại ở việc đưa vào ba công thức tính vận tốc, gia tốc và cường độ dòng điện bằng đạo hàm chứ không chỉ ra cho HS thấy ý nghĩa tổng quát trong các ứng dụng này. SGK chỉ xét đến tiếp tuyến của đường cong trong trường hợp đường cong là đồ thị của một hàm số. Ứng dụng của đạo hàm liên quan đến các vấn đề khảo sát hàm số: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số, tìm nguyên hàm và tính tích phân. Khi học kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của một hàm số có ứng dụng đạo hàm, HS thường mắc sai lầm khi nhầm lẫn giữa giá trị cực 9 đại và GTLN; giá trị cực tiểu và GTNN (khi lập bảng biến thiên). Khi tìm GTLN, GTNN, SGK11 có đưa kỹ thuật giải sử dụng đồ thị. 1.2. Luận văn của tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) Tác giả tiến hành nghiên cứu SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau: + Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000. + Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và ban Khoa Học Xã Hội. + Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và ban Khoa Học Xã Hội. Tác giả đưa ra một giả thuyết và tiến hành thực nghiệm để kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết này: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh” [8, tr.47]. 1.3. Luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013) Tác giả nghiên cứu việc giảng dạy khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn với vật lý.  Từ phân tích khoa học luận: Tác giả nêu ra ba cách đưa vào khái niệm đạo hàm trong giảng dạy. + Cách 1: Sử dụng định nghĩa đạo hàm theo “nghĩa tốc độ biến thiên tức thời”: 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 . + Cách 2: Đi từ tính khả vi: Một hàm số nếu có biểu diễn 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝐴∆𝑥 + 𝜎(∆𝑥) sẽ được gọi là khả vi và đạo hàm chính là hệ số A trong khai triển này. + Cách 3: Đưa cả hai định nghĩa đạo hàm trong mối quan hệ tương đương với nhau.  Khi phân tích thể chế và các tổ chức Toán học (tác giả phân tích SGK Vật lý 10, 11, 12 và SGK Toán 11, 12 ban cơ bản và nâng cao), tác giả quan tâm hai kiểu nhiệm vụ liên quan đến “đặc trưng tốc độ biến thiên” và “đặc trưng xấp xỉ” của khái niệm đạo hàm. 10 Công cụ đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong chương trình Vật lí lớp 12 và ở đây nó mang nghĩa tường minh là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng theo thời gian. Tuy nhiên, SGK Toán chỉ đưa vào các bài toán Vật lí nhằm dẫn dắt đến nhu cầu phải tính giới hạn dạng lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) rồi từ đó đưa ra định nghĩa đạo hàm. 𝑥−𝑥0 Trong lúc đó, SGK Toán lại không quan tâm đến “đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời” của khái niệm này, vốn là cơ sở cho các ứng dụng đa dạng của đạo hàm trong Vật lí và các khoa học khác. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm chỉ dừng lại ở một vài công thức cụ thể để tính vận tốc, gia tốc, hay cường độ dòng điện tức thời. Việc không thể chế hóa nghĩa “tốc độ biến thiên tức thời” có thể ngăn cản việc ứng dụng khái niệm đạo hàm ở nhiều tình huống của Vật lí cần đến đặc trưng này. Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường thẳng tiếp tuyến và tương ứng với đó là xấp xỉ hàm số bởi hàm tuyến tính đơn giản hơn không được làm rõ.  Tác giả đưa ra giả thuyết: “Đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời và đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm không xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh trong thể chế dạy học Toán hiện nay” [3, tr.65]. Tác giả tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết. Đồng thời tác giả thực hiện một đồ án dạy học nhằm giúp HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm. Sau khi HS hiểu được các nghĩa này, tác giả đặt ra các bài toán giúp HS soi sáng lại các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý. Trong quá trình giúp HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm, GV hỗ trợ HS đưa ra câu trả lời bằng cách cho các em quan sát đồ thị. 1.4. Luận văn của tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) Tác giả phân tích quá trình hình thành khái niệm hàm số trong các thể chế dạy học Toán lớp 7, 9, 10. Tác giả nhận định mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm hàm số dựa trên các biểu diện hàm số bằng biểu thức giải tích (công thức), bảng giá trị hoặc dựa vào dạng của đồ thị. Từ đó, tác giả đưa ra quy tắc hợp đồng và tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính thích đáng của nó “R 3 : HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ thị R R hàm số (gắn với một biểu thức giải tích đã học)’’ [16, tr.33]. 11 Tiến hành thực nghiệm bằng công nghệ thông tin có tích hợp phần mềm Casyopée, tác giả kết luận rằng: Casyopée có tích hợp hai mô đun đại số và mô đun hình học trong đó mô đun đại số cùng lúc thể hiện ba cách biểu diễn của hàm số: bảng, đồ thị và biểu thức giải tích. Nhờ đó, phần mềm cung cấp hình ảnh trực quan giúp HS khắc sâu kiến thức. Tính năng của Casyopée thích hợp tạo tình huống giúp HS nhận ra bản chất của các khái niệm hàm số. 1.5. Kết luận chương 1 Trong các luận văn trước đây, khái niệm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được các tác giả quan tâm đến các vấn đề sau: - Những ràng buộc của mối quan hệ thể chế, phân tích các tổ chức Toán học, đưa ra các quy tắc hợp đồng và kiểm chứng tính thích đáng của chúng. - Sự nối khớp giữa việc dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông với việc ứng dụng chúng trong Vật lý. Xây dựng các tình huống giúp HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm. - Mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Như vậy, các ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế, mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong chương trình thông qua việc nhận dạng đồ thị hàm số chưa được nghiên cứu. Và đây là các vấn đề mà chúng tôi quan tâm và sẽ tiến hành nghiên cứu trong bài luận văn này. Đồng thời liên quan đến khái niệm đạo hàm, chúng tôi nhận thấy chưa có luận văn nào sử dụng phần mềm Casyopée tiến hành nghiên cứu mặc dầu phần mềm này có nhiều tính năng hữu ích như tác giả Đỗ Thị Thúy Vân đã đề cập. Chính vì vậy, chúng tôi đặt các vấn đề mà mình cần nghiên cứu trong môi trường công nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée. Do đó ở chương 2, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế, phân tích các tổ chức Toán học xung quanh khái niệm đạo hàm, các ứng dụng của đạo hàm trong bài toán thực tế, mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như các phần khác trong chương trình thông qua nhận dạng đồ thị hàm số. 12 CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN THPT Phân tích chương 2 cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả thuyết nghiên cứu. Chúng tôi chủ yếu quan tâm đến hai vấn đề: Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế; Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và các khái niệm khác trong chương trình thông qua vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số. Cụ thể, chúng tôi tiến hành phân tích SGK Toán 11 ở hai ban cơ bản và nâng cao (GKCB11, GKNC11); SGK Toán 12 ở hai ban cơ bản và nâng cao (GKCB12, GKNC12) để trả lời các câu hỏi sau: Trong SGK Toán phổ thông, các bài toán có ứng dụng đạo hàm, đặc biệt là các bài toán gắn liền với thực tế được trình bày như thế nào? Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và các khái niệm liên quan được thể hiện ra sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số? 2.1. SGK Toán 11 cơ bản (GKCB11) và nâng cao (GKNC11) 2.1.1. Phân tích việc xây dựng lý thuyết Trước chương ĐẠO HÀM là chương GIỚI HẠN, phần GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC chuẩn bị về mặt kiến thức trước khi đi vào khái niệm đạo hàm. ‘‘Chương V (13 tiết) ĐẠO HÀM §1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (2 tiết) §2. Quy tắc tính đạo hàm (3 tiết) §3. Đạo hàm của hàm số lượng giác (3 tiết) §4. Vi phân (1 tiết) §5. Đạo hàm cấp hai (1 tiết) Ôn tập chương V (3 tiết)” [4, tr.152]. GKCB11 dành 13 tiết còn GKNC11 dành 16 tiết để giới thiệu lý thuyết đạo hàm. Điều này cho thấy tầm quan trọng của lý thuyết này.