Tài liệu Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn rn, ℓ p (p≥1), c0

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Lời cảm ơn Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tập dượt nghiên cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và các bạn trong khoa. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành bản khoá luận này. Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích, ban chủ nhiệm khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội2, các cô chú trong thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội để hoàn thành công việc của mình. Ngày tháng 5 năm 2007 Sinh viên Nguyễn Thị Khánh Ly Trường ĐHSP Hà Nội 2 1 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Lời nói đầu Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỷ XX, hiện nay đã được xem là ngành toán học trọng điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân… Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được một nội dung hết sức phong phú, bao gồm: - Lý thuyết các không gian trừu tượng ( không gian metric, không gian định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô). - Lý thuyết và toán tử tuyến tính. - Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng phương trình toán tử. - Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên. Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến những công cụ giải thích và không gian vec tơ. Ngoài ra nó còn ứng dụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài:“ Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn ¡ n ,lp (p ³ 1),c0 ”. Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về không gian vô hạn chiều mà cụ thể ở đây là không gian ¡ n ,lp (p ³ 1),c0 .Từ đó có thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích,sự khác nhau của chúng trên các không gian khác nhau, xét ở khía cạnh khác nhau. Nội dung của khoá luận gồm 3 chương: Trường ĐHSP Hà Nội 2 2 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn ¡ n . . Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn lp (p ³ 1) . Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn c0. Do thời gian nghiên cứu và năng lực có hạn nên một số vấn đề đặt ra trong khoá luận còn chưa được giải quyết triệt để. Em rất mong được sự giúp đỡ và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận này được hoàn thiện hơn. Ngày tháng 5 năm 2007. Sinh viên Nguyễn Thị Khánh Ly Trường ĐHSP Hà Nội 2 3 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên khôn gian 1.1. Không gian tuyến tính ¡ ¡ n (n ³ 1) . n Cho tập hợp ¡ n = {x = (x1, x2,….xn)/xi Î ¡ , i = 1, n }. Với 2 phần tử tuỳ ý x = (xi)ni =1 Î ¡ n , y = ( yi )in= 1 Î ¡ n và a Î P (P= ¡ hoặc C).Ta định nghĩa hai phép toán như sau: Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y và kí hiệu là x + y là phần tử n x + y = (xi + yi )i=1 và tích của 2 phần tử x và a ,kí hiệu là a x là phần tử n a x = (a x i )i = 1 . Định lý 1.1.1 ¡ n đóng kín với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên. Chứng minh: +) " x = (x i )in= 1 " y = (y i )in= 1 Î ¡ n ,ta có: " i = 1, n , xi Î ¡ , yi Î ¡ Þ xi + yi Î ¡ , " i= 1, n Þ (xi + yi) in= 1 Î ¡ n Þ x + y = (xi+ yi) i = 1 +) " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , a Î P. Ta có: a xi Î ¡ ,i= 1, n Þ a x = ( a x i) n i= 1 Î ¡ n. Vậy ¡ n đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên Định lý 1.1.2. ¡ n cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên lập thành một không gian tuyến tính. Chứng minh: Ta chỉ ra 2 phép toán định nghĩa ở trên thoả mãn 8 tiên đề của không gian tuyến tính Trường ĐHSP Hà Nội 2 4 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly 1. " x = (x i )in= 1 " y = (y i )in= 1 Î ¡ n ,ta có: xi+ yi = yi + xi, " i = 1, n Þ x + y = y + x ( tiên đề 1 thoả mãn). 2. " x = (x i )in= 1 , " y = (y i )in= 1 , z = (zi) in= 1 Î ¡ n , ta có: (xi +yi)+zi= xi + (yi+zi), " i = 1, n Þ (x + y) +z = x + (y +z) (Tiên đề 2 thoả mãn). 3. Xét phần tử q = (0, 0,…,0) Î ¡ n , " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , ta có: 0 +xi = xi " i = 1, n Þ q+ x = x , " x Î ¡ ( Tiên đề 3 thoả mãn). n 4. " x = (x1, x2,…. xn) Î ¡ Ta có: n , tồn tại phần tử – x = (-x1,- x2….- xn) Î ¡ n xi + (-xi) = 0, " i = 1, n Þ x + ( - x)= q , " x Î ¡ 5. " x = (xi) in= 1 Î ¡ n ( Tiên đề 4 thoả mãn). n , " a , b Î ¡ ta có: a ( b xi) = ( a b )xi, " i = 1, n Þ a ( b x) = ( a b )x ( Tiên đề 5 thoả mãn). 6. " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , " a , b Î ¡ ,ta có: ( a + b )xi= a xi + b xi , " i = 1, n Þ ( a + b )x = a x + b x 7. " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , " y = (yi) (Tiên đề 6 thoả mãn). n i= 1 Î ¡ n , " a , b Î ¡ ,ta có: a (xi+ yi) = a xi + b xi, " i = 1, n Þ a (x + y) = a x + a y 8. " x = (xi) n i= 1 (Tiên đề 7 thoả mãn) Î ¡ n , ta luôn có : 1. xi =xi ( 1 là đơn vị của ¡ ) , " i = 1, n Þ 1. x = x , " x Î ¡ (Tiên đề 8 thoả mãn). n Vậy ¡ n là một không gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên. Trường ĐHSP Hà Nội 2 5 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Bổ đề1.1.1. Nếu a,b là hai số không âm; p,q là cặp số mũ liên hợp ( tức là 1 1 + = 1), 1< p < ¥ thì p q a p aq ab £ + p q Dấu “=” sảy ra Û ap = bq Chứng minh: Nếu ab = 0 thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Nếu a > 0 , b > 0 ta xét hàm số: t p t- q với t > 0 + j (t) = p q Ta có: p-1 j ' (t) = t - t-q-1= t-q-1(tp+q-1). j ' (t) = 0 Û t = 1 ( với t > 0) Bảng biến thiên : 1 0 0 t j ' (t + ¥ ) j (t) +¥ + +¥ 1 Hình1.1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên của hàm j suy ra min j (t) = j (1) = 1 0< t< ¥ 1 q - 1 p Do đó j (t) ³ j (1) = 1 , " t Î (0;+ ¥ ). Chọn t = a b ta được Trường ĐHSP Hà Nội 2 6 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp p Nguyễn Thị Khánh Ly - a q .b- 1 a- 1.b + p q Û q p a p- 1.b- 1 b p- 1.a- 1 + ³ 1 p q ³ 1Û a p bq + ³ ab p q Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi 1 - a q .b 1 p 1 1 = 1 Û a q = b p Û a p = bq Bổ đề 1.1.2. ( Bất đẳng thức Holder) 1 1 + = 1),1 £ p < + ¥ p q Nếu p,q là cặp số mũ liên hợp ( tức n n " x = (xi) i = 1 , y = (yi) i = 1 Î ¡ 1 n å i= 1 n ta có 1 n æn öq p öp æ ççå y q ÷ xi yi £ ççå xi ÷ . ÷ ÷ i ÷ èç ÷ çè i= 1 ø ø i= 1 Chứng minh: 1 1 æn p öp Đặt A = çççå xi ÷÷÷ è i= 1 ø æn q öq ; B = çççå yi ÷÷÷ è i= 1 ø Nếu A.B = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu A > 0, B > 0,theo bổ đề 1.1.1 ta có p q xi yi x y £ i p+ i q A.B P. A q.B n Þ n å xi yi £ i= 1 A.B = i= 1 p. A p n p 1 .p p + å yi p(å xi ) i= 1 = q.B q å + q i= 1 q n xi i= 1 n p xi p n å å xi i= 1 q 1 .q q n q(å xi ) Þ å i= 1 1 1 + =1 p q i= 1 1 n = 1 n æn öq p öp æ ççå y q ÷ xi yi £ AB = ççå xi ÷ ÷ i ÷ ÷ ÷ çè i= 1 ø èç i= 1 ø Trường ĐHSP Hà Nội 2 7 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly 1 Vậy n å i= 1 1 n æn öq p öp æ ççå y q ÷ xi yi £ ççå xi ÷ ÷ i ÷ ÷ èç ÷ çè i= 1 ø ø i= 1 Bổ đề 1.1.3.( Bất đẳng thức Mincovxki) Với " x = (xi)ni= 1, y = (yi)ni= 1 Î ¡ 1 n ta có 1 1 p æn öp æ n æn öp pö ÷ ççå x + y p ÷ ç ççå y p ÷ £ x + ÷ ÷ ç å i i ÷ i i ÷ ÷ èç ÷ , 1£ p < + ¥ çè i= 1 ø èç i= 1 ø ø i= 1 Chứng minh: pö æn æn ÷ çç ç ÷ x + y £ xi + yi i ÷ çå ççå i ÷ ÷ çè i= 1 è i= 1 ø Ta có: p- 1 ö ÷ ÷( xi + yi ) (1) ÷ ø Mặt khác, áp dụng bổ đề 1.1.2 ta có: æn ççå x + y i i èç i= 1 p- 1 ö æn ÷ ççå x + y x £ ÷ i i ÷ çè i= 1 i ø 1 ( p- 1).q q ö ÷ ÷ ÷ ø 1 æn öp ççå x p ÷ i ÷ ÷ èç i= 1 ø 1 1 n æn p öq æ p öp = çççå xi + yi ÷÷÷ çççå xi ÷÷÷ è i= 1 ø è i= 1 ø æn ççå x + y i çè i= 1 i (2) 1 1 qæn æn p- 1 ö ( p- 1) q ö p öp ÷ ÷ ÷ yi £ ççå xi + yi ÷ ççå yi ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ èç i= 1 ø èç i= 1 ø ø 1 1 n æn p öq æ p öp = çççå xi + yi ÷÷÷ çççå yi ÷÷÷ è i= 1 ø è i= 1 ø (3) Từ (1) , (2) và (3) ta có: n å xi + yi i= 1 p 1 é 1 1ù n n q ê p pú æn æ ö æ ö pö p p êççå xi ÷ ú £ ççå xi + yi ÷ + ççå yi ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ çè i= 1 ø êèç i= 1 ø èç i= 1 ø ú êë ú û 1 1 1 æn æn öp æ n öp p öp ççå x p ÷ ççå y p ÷ Þ ççå xi + yi ÷ £ + ÷ ÷ i ÷ i ÷ ÷ ÷ èç i= 1 ø èç i= 1 ø èç i= 1 ø Định lý 1.1.3 Trên không gian tuyến tính ¡ n ta xét ba ánh xạ đi từ ¡ n vào tập số thực như ¡ sau Trường ĐHSP Hà Nội 2 8 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly n " x = (xi )i= 1 Î ¡ ta đặt n n å 1). x 1 = n xi . i= 1 2). x 2 = max x i . 1£ i< n 1 p p æn 3). x 3 = çççå x i è i= 1 ö ÷ , p >1. ÷ ÷ ø Các công thức 1) hoặc 2) hoặc 3) cho ta một chuẩn trên ¡ n Chứng minh: a. Công thức 1) cho ta một chuẩn trên ¡ n Kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn n 1. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , ta có: n å xi 2 ³ 0Þ x 1³ 0 i= 1 n å x 1= 0Û 2 x i = 0 Û x i = 0, " i = 1, n Û x= q i= 1 n 2. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , " l Î ¡ ta có n lx1= å n å 2 l xi = l i= 1 2 xi = l . x 1 i= 1 n n 3. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , y = (yi )i= 1 Î ¡ n áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta có n å n x i yi £ i= 1 n Û å i= 1 å xi . i= 1 å n n i= 1 æ çç (x + y ) £ åi= 1 i i çç è 2 i= 1 i= 1 n å n xi2 + 2 i= 1 n å Trường ĐHSP Hà Nội 2 yi 2 i= 1 x i 2 + 2 å x i yi + å yi 2 £ n Û n 2 n xi + 2 å i= 1 9 å i= 1 n xi2 . å i= 1 n yi 2 + å yi 2 i= 1 2 ö ÷ yi ÷ ÷ ÷ ÷ ø 2 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly n n å Û n å (x i + yi ) 2 £ i= 1 å xi2 + i= 1 Û x + y1 £ x1+ yi 2 i= 1 y , " x, y Î ¡ n Vậy ¡ n cùng với chuẩn 1) là không gian định chuẩn. b. Công thức 2) xác định một chuẩn trên ¡ n . Kiểm tra các tiên đề về chuẩn 1. " x = ( x1, x2,....xn) Î ¡ n , ta có: x i ³ 0 , " i = 1, n Þ max x i ³ 0 Þ 1£ i< n x 2³ 0 x 2 = 0 Û max x i = 0 Û x i = 0, " i = 1, n Û x = q . 1£ i< n 2. " x = ( x1, x2,....xn) Î ¡ n , " l Î ¡ ,ta có: max l x i = max ( l x i ) = l max x i 1£ i < n 1£ i < n Þ lx2= l x 1£ i < n 2 n n 3. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , y = (yi )i= 1 Î ¡ n , ta có: xi + yi £ xi + yi ." i = 1, n Þ x i + yi £ max x i + max yi , " i = 1, n 1£ i< n 1£ i< n Þ max x i + yi £ max x i + max yi , " i = 1, n 1£ i< n 1£ i< n Þ x+ y Vậy ¡ n £ 2 x 2 1£ i< n + y 2 , " x, y Î ¡ n cùng với chuẩn 2)là một không gian định chuẩn c. Công thức 3) cho ta một chuẩn trên ¡ n , thật vậy: n 1. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , ta có : 1 x i ³ 0 , " i = 1, n Þ Trường ĐHSP Hà Nội 2 æn öp ççå x p ÷ i ÷ ÷ ³ 0 çè i= 1 ø 10 hay x 3 ³ 0 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly 1 x æn p öp = 0 Û ççå x i ÷ ÷ ÷ =0 Û çè i= 1 ø 3 x i = 0 , " i = 1, n Û x =q n 2. " x = (x i )i= 1 Î ¡ , " l Î ¡ ,ta có: n n 3. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n 1 1 p öp æn öp p÷ ÷ ç ç = l .x ÷ = l .çå x i ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ çè i= 1 ø ø æn x 3 = ççå l x i çè i= 1 n , " y = (yi )i= 1 Î ¡ 3 n áp dụng bất đẳng thức Mincovski ta có 1 1 1 p æn öp æn æn öp pö ÷ ççå x + y p ÷ ç ççå y p ÷ £ x + ÷ ÷ ç å i i ÷ i i ÷ ÷ ÷ ,"p> 1 çè i= 1 ø èç i= 1 ø èç i= 1 ø Û x+ y 3 £ x 3 + y 3 ,"x ,yÎ ¡ n . Vậy ( ¡ 2 , . 3 ) là một không gian định chuẩn. 1.2. Không gian Banach ¡ n Giả sử trên không gian tuyến tính ¡ n cho một chuẩn nào đó, kí hiệu . 3 Định lý: 1.2.1 Không gian định chuẩn ¡ n là một không gian Banach. Chứng minh: Theo định lý “ Mọi không gian định chuẩn n chiều đều đồng phôi tuyến tính” nên chỉ cần chứng minh tính Banach của ¡ n theo một chuẩn (chẳng hạn . 2 ). Từ đó suy ra tính Banach của ¡ n theo các chuẩn còn lại. Giả sử: (x (k) )¥k= 1 là một dãy cơ bản bất kỳ trong ¡ n với (k) x( ) = (x1(k) ,x (k) 2 ,...,x n ) . Nghĩa là: k (" e > 0) ,($ k 0 Î ¥ * ), (" m, k ³ k 0 ) .Ta có x (m) - x (k) £ e 2 hay max xi (m) - xi (k) £ e Û xi(m) - xi(k) < e, " i = 1, n 1£ i< n Trường ĐHSP Hà Nội 2 11 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Suy ra với mỗi i cố định ( i = 1, n ) , dãy (x(i k) )¥k= 1 là một dãy số cơ bản, do đó tồn tại xj(0) = lim x(j ) k (*) i Đặt x(0) = (x1(0) ,x(2 ),...,x(0) n ) Î ¡ 0 n Từ (*) ta có ( " e > 0) , ( $ k1 Î ¥ * ) ( " k ³ k1 ) ta luôn có x i(k) - x i(0) < e Þ x (k) - x (0) 2 1 i= 1 Khi đó " f Î ( ¡ n )* ta có n f (x) = n å x ifi £ i= 1 å x ifi i= 1 áp dụng bất đẳng thức Holder ta có: 1 n f (x) £ å x if i i= 1 Trong đó: 1 1 n q p æn æn qö p öp æ qö ÷ ÷ ç ç £ ççå x i ÷ . f = x . fi ÷ çå i ÷ å ø÷÷ 3 ç ÷ èç i= 1 ÷ çè i= 1 ø ø èç i= 1 1 1 + =1 p q 1 æn q öq Þ f £ ççå fi ÷ ÷ ÷ çè i= 1 ø (0) ¥ n= 1 i Mặt khác chọn x0 = (x ) Trường ĐHSP Hà Nội 2 0 trongđó x i = 14 fi q- 1 sign(f i ) æn çç f ççå i è j= 1 1 q p ö÷ ÷ ÷ ÷ ø K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp p Þ x0 = n å Nguyễn Thị Khánh Ly n x = 0 i i= 1 å fi q- 1 sign(fi ).fi n å i= 1 fi = . n å q n 1 i= 1 fi q å q fi = 1 i= 1 i= 1 n n f (x) = å n f i0 x i0 = å i= 1 i= 1 1- æn qö = ççå fi ÷ ÷ ÷ çè i= 1 ø Þ 1 p fi q- 1 sign(fi ),f i æn ççå f çè i= 1 i 1 q p å = ö ÷ ÷ ÷ ø fi q i= 1 1 æn öp ççå f q ÷ i ÷ ÷ èç i= 1 ø 1 æn q öq = ççå fi ÷ ÷ ÷ èç i= 1 ø æn f = sup f (x) ³ f (x) = ççå f i çè i= 1 1 q öq ÷ ÷ ÷ ø x =1 1 æn q öq Hay f ³ ççå f i ÷ ÷ ÷ çè i= 1 ø (8) 1 æn q öq Từ (7) và (8) ta nhận được f = ççå fi ÷ ÷ ÷ çè i= 1 ø Vậy chuẩn trên ( ¡ n )* cho bởi hệ thức Trường ĐHSP Hà Nội 2 15 (9) (9) K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Chương 2: Không gian l p (p ³ 1) 2.1. Trường hợp 1 £ p < + ¥ 2.1.1.Định nghĩa ¥ n n= 1 Tập hợp l p = {x = (x ) ¥ xn Î ¡ , å xn < + ¥ } , 1 £ p + ¥ n= 1 2.1.2. Không gian tuyến tính l p (p ³ 1) Với 2 phần tử tuỳ ý x = (x n )¥n= 1 Î l p , y = (yn )¥n= 1 Î l p và a Î ¡ ta định nghĩa các phép toán như sau: Ta gọi tổng của 2 phân tử x và y, kí hiệu x + y là phần tử x + y = (xn + yn) ¥ n= 1 Ta gọi tích của 2 phân tử x và a , kí hiệu và a x là phân tử a x = ( a xn) ¥ n= 1 Định lý: 2.1.1. l p đóng kín đối với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên . Chứng minh: + " x = (xn) ¥ n= 1 ; y = (yn) ¥ n= 1 Î l p, ta có: p p x n + y n £ x n + y n Û x n + y n £ ( x n + y n , " n Î ¥ * (1) Mặt khác x n + yn £ 2 max {x n ; yn } p p * Þ ( x n + y n £ 2p éêëmax {x n ; y n }ù ú "nÎ ¥ û Do đó, " k Î ¥ * ta có Trường ĐHSP Hà Nội 2 16 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp p k å Nguyễn Thị Khánh Ly k x n + yn £ n= 1 å ( p 2p x n + y n p ) n= 1 æk p = 2p ççå x n + çè n= 1 k å n= 1 pö yn ÷ ÷ ÷ ø ¥ æ¥ p pö ç ; " k Î ¥* £ 2 çå x n + å y n ÷ ÷ ÷ èç n= 1 ø n= 1 p Cho k ® ¥ ta được p ¥ å x n + yn p æ¥ ç £ 2 ççå x n + çè n= 1 p n= 1 Suy ra x + y = (xn + yn) ¥ n= 1 + " x = (xn) p k å k a xn £ n= 1 å ¥ n= 1 ö ÷ yn ÷ < +¥ ÷ ÷ ø p ¥ å n= 1 Î lp Î ¡ , " a Î ¡ ta có p p a . xn = a p n= 1 k å k x n = a .å x n £ a p p n= 1 p p n= 1 ¥ å p xn , n= 1 "kÎ ¥ * Cho k ® ¥ ta được p ¥ å a xn £ a p n= 1 p ¥ å xn < + ¥ Þ a x = (a x n )¥n= 1 Î l p n= 1 Vậy l p đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên Định lý 2.1.2. l p cùng với 2 phép cộng và nhân xác định ở trên lập thành một không gian tuyến tính. Chứng minh: Ta chỉ ra 2 phép cộng và nhân xác định ở trên thoả mãn 8 tiên đề của không gian tuyến tính 1. " x = (xn) ¥ n= 1 , y = (yn) ¥ n= 1 Î l p ta có " n = 1,2..... xn + yn = xn + yn, Þ x+y =x+y 2. " x = (xn) ¥ n= 1 , y = (yn) Trường ĐHSP Hà Nội 2 (tiên đề 1 thoả mãn) ¥ n= 1 , z = (zn) 17 ¥ n= 1 Î l p ta có K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly (xn + yn) + zn = xn + (yn + zn) Þ (x + y) + z = x + (y + z ) " n = 1,2..... ( tiên đề 2 thoả mãn) 3. Xét phần tử q = (0,0...) Î l p, " x = (xn) xn + 0 = 0 + xn Þ ¥ n= 1 Î l p ta có " n = 1,2..... x+ q = q +x=x (tiên đề 3 thoả mãn) Phần tử q được gọi là phần tử không của l p 4. " x = (xn) ¥ n= 1 Î l p , đặt " - x = (-xn) ¥ n= 1 Rõ ràng -x Î l p và xn + (- xn) = 0, " n = 1,2..... (tiên đề 4 thoả mãn) Þ x +(-x) = q 5. " x = (xn) ¥ n= 1 Î l p , " y = (yn) ¥ n= 1 , Î l p ta có " n = 1,2..... a (xn + yn) = a xn + a yn, Þ a (x + y) = a x + a y 6. " x = (xn) ¥ n= 1 (tiên đề 5 thoả mãn) Î l p, " a , b Î p ta có ( a + b ) xn = a x n + b x n , " n = 1,2..... Þ (a + b) x = a x + bx 7. " x = (xn) ¥ n= 1 (tiên đề 6 thoả mãn) Î l p, " a , b Î p ta có a ( b xn) = ( a b )xn, " n = 1,2..... Þ a ( b x) = ( a b )x 8. " x = (xn) ¥ n= 1 (tiên đề 7 thoả mãn) Î l p, ta có " n = 1,2..... x n . 1 = xn, Þ x.1=x (tiên đề 8 thoả mãn) Vậy l p là không gian tuyến tính thực Bổ đề 2.13. ( Bất đẳng thức Holder) Nếu p,q là cặp số mũ liên quan ( tức Trường ĐHSP Hà Nội 2 18 1 1 + = 1) , 1 £ p < + ¥ p q K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp " x = (xn) ¥ n= 1 Nguyễn Thị Khánh Ly ¥ n= 1 Î l p, " y = (yn) , Î l p , ta có 1 å 1 p æ¥ æ¥ öq pö ÷ ç ççå y q ÷ £ çå x n ÷ . n ÷ ÷ èç çè n= 1 ø ø÷ n= 1 ¥ x n .y n n= 1 Chứng minh: 1 1 æ¥ p öp Đặt A = ççå x n ÷ ÷ ÷ çè n= 1 ø æ¥ p öp , B = ççå y n ÷ ÷ ÷ çè n= 1 ø Nếu A . B = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu A > 0 , B > 0 thì theo bổ đề 1.1.1 ta có: p q x n .y n x y £ np+ nq A.B p.A q.B Do đó K Î ¥ * tuỳ ý ta có k k å x n .yn £ n= 1 A.B å xn + n= 1 p.A k p p å yn £ n= 1 p.A ¥ p p å xn n= 1 p.A p ¥ p + å yn q n= 1 q.Bq Cho k ® ¥ ta có ¥ å x n .y n ¥ p £ n= 1 B.A å xn + n= 1 p.A ¥ q p å yn q = n= 1 q q.B 1 1 + =1 p q 1 ¥ Þ å x n .y n n= 1 Vậy 1 ¥ å 1 p æ¥ æ¥ öq pö ÷ ç ççå x q ÷ . £ A.B = çå x n ÷ n ÷ ÷ çè ÷ çè n= 1 ø ø n= 1 x n .y n n= 1 1 p æ¥ æ¥ öq pö ÷ ç ççå y q ÷ £ çå x n ÷ . n ÷ ÷ èç ÷ çè n= 1 ø ø n= 1 Bổ đề 2.1.4. ( Bất đẳng thức Mincovxki) Với " x = (xn) ¥ n= 1 , Î l p, " y = (yn) Trường ĐHSP Hà Nội 2 19 ¥ n= 1 ,Î l p ta có K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly 1 æ¥ öp æ ¥ ççå x + y ÷ ç n n ÷ ÷ £ ççèå x n èç n= 1 ø n= 1 1 p pö ÷ ÷ ÷ ø æ¥ + ççå yn èç n= 1 1 p pö ÷ ÷ ÷ ,1 £ p < + ¥ ø Chứng minh: Do l p là một không gian tuyến tính thực nên " x, y Î l p suy ra ¥ n= 1 x + y = ( xn + yn) ¥ Þ å (x n + yn p ¥ p- 1 q ) =å n= 1 Với q : Î l x n + yn p <+¥ n= 1 1 1 + = 1 hay ( x n + yn ) ¥n= 1 Î l p q p Ta có: p ¥ å x n + yn n= 1 p- 1 ö æ¥ ÷ ç £ ççå x n + y n ÷ ( x n + yn ) (1) ÷ ÷ çè n= 1 ø Mặt khác, áp dụng bổ đề 2.1.3. ta có 1 ¥ å x n + yn p- 1 xn n= 1 æ¥ öp (p- 1).q ÷ £ ççå x n + y n ÷ ÷ çè n= 1 ø 1 1 ¥ æ¥ p öp æ p öp = ççå x n + y n ÷ ÷ .ççå x n ÷ ÷ ÷ èç n= 1 ÷ çè n= 1 ø ø 1 ¥ å (2) x n + yn p- 1 yn n= 1 æ¥ = ççå x n + y n çè n= 1 1 q p ö ÷ ÷ ÷ ø 1 p æ¥ æ¥ (p- 1).q ö p öp ÷ ç £ çå x n + y n ÷ .ççå y n ÷ ÷ ÷ èç n= 1 ÷ èç n= 1 ø ø æ¥ .ççå y n èç n= 1 1 p p (3) ö ÷ ÷ ÷ ø Từ (1), (2) và (3) suy ra 1 æ¥ öp ççå x + y p ÷ n ÷ £ ÷ çè n= 1 n ø 1 1 p æ¥ öp æ ¥ pö ÷ ççå x p ÷ ç + y n ÷ n ÷ ÷ èççå ÷ èç n= 1 ø ø n= 1 Định lý 2.1.3 Trường ĐHSP Hà Nội 2 20 K29E – Toán