Tài liệu đẳng thức, bất đẳng thức hình học. các điểm thẳng hàng, trùng nhau. các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng. quan hệ song song

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ---------- NGUYỄN THỊ LIỄU VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ CÁC BÀI TOÁN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội – 2012 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ---------- NGUYỄN THỊ LIỄU VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ CÁC BÀI TOÁN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GV. BÙI VĂN BÌNH Hà Nội – 2012 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 LỜI CẢM ƠN Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn. Để có được khoá luận hoàn thiện em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua. Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn, bổ sung cho khóa luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích cho tất cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình học, các thầy cô trong khoa Toán và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Văn Bình. Bản khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận được hoàn thiện hơn. Sinh viên Nguyễn Thị Liễu Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 MỤC LỤC Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU .......................................................................................... 1 PHẦN II: NỘI DUNG ..................................................................................... 3 Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ .......................................... 3 I. Vectơ .............................................................................................................. 3 II. Các phép toán vectơ ..................................................................................... 5 III. Tích vô hướng ............................................................................................. 7 IV. Ba vectơ đồng phẳng................................................................................... 8 V. Các bài toán cơ bản ...................................................................................... 9 Chƣơng II: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .............................................................................................. 13 I. Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức............................................... 13 II. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai điểm trùng nhau ............................. 17 III. Chứng minh các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng ........................... 27 IV. Ứng dụng điều kiện đồng phẳng, không đồng phẳng của ba vectơ.......... 32 V. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng .................................................................................................. 39 PHẦN III: KẾT LUẬN ................................................................................. 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48 Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành toán học. Hình học luôn luôn là một môn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ, tính lôgic và tính trừu tượng cao hơn những ngành học khác của toán học. Trong chương trình môn toán ở trung học cơ sở các em đã được làm quen với các khái niệm về đại lượng vô hướng. Khi lên bậc trung học phổ thông các khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm mới, trong đó vectơ là một ví dụ. Khi mở rộng đoạn thẳng vô hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ. Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các em trong quá trình học tập ở trường trung học phổ thông. Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có một phương pháp mới, một công cụ mới để giải toán. Khái niệm vectơ ra đời cho ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn. Nhờ có phương pháp này, các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng… nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn. Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Vectơ trong không gian và các bài toán”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghên cứu Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu… sẽ cho học sinh thấy được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ trong lời giải các bài tập hình học. Tạo cho học sinh coi đây là một phương pháp để giải toán hiệu quả, một cách suy nghĩ mới mẻ về hình học. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài tập trong hình học không gian. Nguyễn Thị Liễu 1 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Do thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải một số dạng bài tập cơ bản của Hình học không gian, với đối tượng là học sinh THPT, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu +) Hệ thống các khái niệm và tính chất cơ bản của vectơ trong hình học không gian. +) Hệ thống các dạng bài tập trong hình học không gian. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu +) Phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan. +) Tổng kết kinh nghiệm. Nguyễn Thị Liễu 2 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 PHẦN 2: NỘI DUNG Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I. Vectơ I.1. Định nghĩa vectơ: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu (điểm gốc) là A và điểm cuối (điểm ngọn) là B thì ta có một vectơ.  Kí hiệu là: AB . A B Chú ý:   +) Cho 2 điểm A, B phân biệt thì ta có 2 vectơ AB và BA khác nhau.   +) Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: AA,BB,... được gọi là vectơ - không. I.2. Hai vectơ cùng phƣơng, cùng hƣớng   Hai vectơ AB và CD gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm trên hai đường thẳng song song với nhau hoặc trùng nhau.   Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng, nếu chiều   từ A đến B trùng với chiều từ C đến D. Kí hiệu là: AB ­ ­ CD .   Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là ngược hướng, nếu chiều   từ A đến B ngược với chiều từ C đến D. Kí hiệu là: AB ­ ¯ CD . Chú ý: Khi đó ta cũng có các kết quả sau: +) Vectơ không được xem là cùng hướng với mọi vectơ. +) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ không thì hai vectơ đó cùng hướng với nhau. +) Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã có hai vectơ đó cùng phương. I.3. Độ dài của vectơ Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Nguyễn Thị Liễu 3 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2  Độ dài của vectơ AB là độ dài của đoạn thẳng AB, được kí hiệu là:   AB . Như vậy: AB = AB = BA . Theo đó, độ dài của vectơ - không có độ dài bằng O. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. I.4. Hai vectơ bằng nhau Định nghĩa:   Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.   Kí hiệu là: AB = CD . Chú ý từ định nghĩa: +) Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên tập các vectơ. Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như:  +) Hiển nhiên, mọi vectơ - không đều bằng nhau. Kí hiệu: 0  +) Khi cho trước vectơ a và điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho:   OA = a . I.5. Góc giữa hai vectơ Định nghĩa:      Cho hai vectơ a,b đều khác 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ OA = a    và OB = b . Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai     vectơ a,b . Kí hiệu: (a,b) . A a a O b  B b Nhận xét: Nguyễn Thị Liễu 4 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2   +) Hiển nhiên a,b Î éêë00 ,1800 ù ú û.     +) a,b = 00 Û a và b cùng hướng. ( ) ( )     0 +) (a,b)= 180 Û a và b ngược hướng.     +) a,b = 900 ta nói rằng hai vectơ a và b vuông góc với nhau. Kí   hiệu: a ^ b .    Quy ƣớc: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a và b là 0 thì ta có thể xem góc   a,b có giá trị tùy ý trong đoạn éëê00 ;1800 ù ú. û ( ) ( ) II. Các phép toán vectơ II.1 Phép cộng vectơ a) Định nghĩa   Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, sau đó xác định các điểm     B và C sao cho: AB  a ; BC  b .    Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b .     Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là: a + b .    Hay AC = a + b . Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. B a b a A C b Chú ý:       Nếu a + b = 0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a và kí hiệu là - a . Nguyễn Thị Liễu 5 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2    Vectơ - a luôn ngược hướng với a và có độ lớn bằng vectơ a , tức là:   a = - a . Mỗi vectơ có một vectơ đối là duy nhất.    b) Tính chất: Với mọi vectơ a , b và c ta có: +) Tính chất giao hoán:     a+ b= b+ a +) Tính chất kết hợp:       (a + b) + c = a + (b + c) +) Tính chất của vectơ - không:      a + 0= 0+ a = a c) Các quy tắc cần nhớ: Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc sau: +) Quy tắc ba điểm: A Với ba điểm A,B,C bất kỳ, ta có:    AB + BC = AC . B +) Quy tắc hình bình hành: C A Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn    có: AB + AD = AC . B C +) Quy tắc hình hộp: D Nếu ABCDA1B1C1D1 là hình hộp thì ta luôn có:     AB + AD + AA1 = AC1 . A C B D1 A1 II.2. Hiệu của hai vectơ D C1 B1 a) Định nghĩa      Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu: a - b , là tổng của vectơ a và vectơ      đối của b . Tức là: a - b = a + (- b) . Nguyễn Thị Liễu 6 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2  Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ (vectơ a  trừ đi vectơ b ). b) Từ định nghĩa ta có quy tắc ba điểm đối với phép trừ như sau:    Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có: AB - AC = CB II.3. Phép nhân vectơ với một số a) Định nghĩa   Cho số thực k ¹ 0 và vectơ a ¹ 0 .   Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k. a , được xác định như sau:   +) Nếu k ³ 0 thì vectơ k.a cùng hướng với vectơ a .   +) Nếu k < 0 thì vectơ k.a ngược hướng với vectơ a .   k.a = k . a . Phép lấy tích của một vectơ với một số còn được gọi là phép nhân vectơ với số thực. b) Các tính chất của phép nhân vectơ với một số:   Với hai vectơ a và b bất kỳ và mọi số thực k,h ta có:         +) k. a + b = k.a + k.b ; k. a - b = k.a - k.b ( ) ( ) +)    (h + k).a = h.a + k.a   h. k.a = (h.k ).a +)         1.a = a ; (- 1).a = - a ; k.a = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a = 0 . +) ( ) III. Tích vô hƣớng của hai vectơ III.1. Định nghĩa    Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là: a.b , được xác      định bởi công thức: a.b = a . b .cos a,b . ( ) Nguyễn Thị Liễu 7 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Chú ý: +) Từ định nghĩa ta suy ra công thức tính góc giữa hai vectơ:    a.b cos a,b =   a.b ( ) +) Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau:  1  2 2 2 a + b - a - b hay  Dạng độ dài: a.b = 2  1  2  2 a.b = a+ b - a- b 4 ( ( ) )  Dạng tọa độ:  Trong hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho hai vectơ a (x1, y1 ) và   b(x 2 , y2 ). Khi đó: a.b = x1.x 2 + y1.y 2  Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz , cho hai vectơ: a (x1, y1,z1 ) và   b(x 2 , y2 ,z2 ). Khi đó: a.b = x1.x 2 + y1.y2 + z1.z 2      Dạng hình chiếu: a.b = a.b' , trong đó: b' là hình chiếu của b trên  đường thẳng chứa vectơ a . III.2. Các tính chất cơ bản của tích vô hƣớng   Với ba vectơ a,b,c tùy ý và mọi số thực k  0 , ta có:    a.b = b.a     a.b = 0 Û a ^ b       (k.a).b = a.(k.b) = k(a.b)            a. b + c = a.b + a.c ; a. b - c = a.b - a.c ( ) Nguyễn Thị Liễu ( ) 8 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 IV. Ba vectơ đồng phẳng IV.1. Định nghĩa   Trong không gian cho ba vectơ a,b,c tùy ý. Nếu từ một điểm O bất kỳ      ta vẽ: OA = a;OB = b;OC = c thì có thể xảy ra hai trường hợp:  Nếu bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói ba vectơ   a,b,c đồng phẳng.  Nếu bốn điểm O,A,B,C không cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói   ba vectơ a,b,c không đồng phẳng. Hay ta định nghĩa như sau: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng. Từ định nghĩa ta có:     Nếu một trong ba vectơ a,b,c là 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.    Nếu hai trong ba vectơ a,b,c cùng phương với nhau thì ba vectơ đó đồng phẳng.      Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a,b,c tùy ý (trong đó a,b không cùng phương) đồng phẳng là tìm được cặp số thực duy nhất m, n sao cho:    c  ma  nb .    a,b,c là vectơ không đồng phẳng     Û éêk.a + h.b + m.c = 0 Û k = h = m = 0ù ú ë û     Cho a,b,c là ba vectơ không đồng phẳng, khi đó với mọi vectơ d luôn     tồn tại duy nhất ba số thực x, y,z sao cho: d = x.a + y.b + z.c V. Một số bài toán cơ bản Bài toán 1: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD . Chứng minh rằng:      MA + MB + MC + MD = 4.MG , với mọi điểm M . Nguyễn Thị Liễu 9 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh: A I G D B J C Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Sử dụng quy tắc ba điểm ta lần lượt có:       MA = MG + GA;MB = MG + GB;       MC = MG + GC;MD = MG + GD. Trong đó: G là trọng tâm của tứ diện ABCD và điểm M bất kỳ.          Suy ra: MA  MB  MC  MD  4MG  GA  GB  GC  GD   +) Chứng minh: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi:      GA + GB + GC + GD = 0 . (*) Gọi I,J,K,L,M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC, AD, BD,AC .  Điều kiện cần: Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD , suy ra G là trung điểm của    (1) IJ Þ GI + GJ = 0 . Do I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD . Suy ra:    GA + GB = 2.GI (2) Nguyễn Thị Liễu 10 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2    GC + GD = 2.GJ (3)        Từ (1), (2), (3) ta có: GA + GB + GC + GD = 2(GI + GJ) = 0  Điều kiện đủ: Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*), ta sẽ chứng minh G là trọng tâm của tứ diện ABCD . Thật vậy: Do I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD , nên với điểm G ta có:       GA + GB = 2.GI và GC + GD = 2.GJ            Mà GA + GB + GC + GD = 0 Þ 2.(GI + GJ) = 0 Þ GI + GJ = 0 Suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng IJ . Tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm chung của các đoạn thẳng KL và MN . Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD .      Suy ra: MA + MB + MC + MC = 4.MG Điều phải chứng minh. Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,BC và G là trọng tâm của tam giác BCD . Chứng minh rằng:  1   a) MN = (AB + DC) 2     AB + AC + AD = 3.AG b) A M Chứng minh: D B G N C a) Ta có:         MN = MA + AB + BN và MN = MD + DC + CN Nguyễn Thị Liễu 11 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2        Do đó: 2.MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN .    Vì M là trung điểm của đoạn AD nên: MA + MD = 0    Và N là trung điểm của đoạn BC nên: BN + CN = 0 . b)  1   Do đó: MN = (AB + DC). 2          Ta có: AB = AG + GB ; AC = AG + GC ; AD = AG + GD.        Suy ra: AB + AC + AD = 3.AG + GB + GC + GD.     Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên GB + GC + GD = 0.     Do đó ta suy ra: AB + AC + AD = 3.AG . Đpcm. Nguyễn Thị Liễu 12 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Chƣơng II: ỨNG DỤNG VÉCTƠ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Sử dụng phương pháp véctơ sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán trong không gian mà các phương pháp khác không đạt được tính ưu việt như phương pháp này. Nội dung của việc ứng dụng véctơ trong giải toán hình học không gian được thể hiện qua một số dạng toán sau: I. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC: I.1. Phƣơng pháp chung: Để chứng minh đẳng thức véctơ ta thường lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau: *) Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT Þ VP hoặc VP Þ VT ). Khi đó: - Nếu xuất phát từ vế phức tạp hơn ta cần thực hiện đơn giản biểu thức. - Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích véctơ. *) Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. *) Hướng 3: Biến đổi đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh. *) Hướng 4: Tạo dựng hình phụ. Trong quá trình biến đổi ta thường sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, các bài toán 1, bài toán 2,… , các phép toán véctơ. Khi gặp dạng toán chứa bình phương độ dài các đoạn thẳng ta chuyển hệ  2 thức cần chứng minh về dạng bình phương vô hướng như: AB2 = AB . Nguyễn Thị Liễu 13 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Khi gặp dạng toán chứa bình phương tích độ dài đoạn thẳng ta chuyển về tích độ dài vectơ hoặc sử dụng định nghĩa tích vô hướng để giải. I.2. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Trong không gian cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D bất kỳ.       Chứng minh: AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 ( công thức Euler ). Chứng minh: A Thực hiện biến đổi vế trái, ta có: B D       C AB.CD + AC.DB + AD.BC =          = AB.(AD - AC)+ AC.(AB - AD)+ AD.(AC - AB)             = AB.AD - AB.AC + AC.AB - AC.AD + AD.AC - AD.AB = 0. Nhận xét: Xuất phát từ vế phức tạp (vế trái) ta biến đổi để xuất hiện các vectơ    AB,AC,AD . Từ đó có ngay lời giải bài toán. Từ đẳng thức trên ta suy ra trong không gian nếu có bốn điểm A,B,C,D       phân biệt sao cho: AB.CD = 0 và AC.DB = 0 thì: AD.BC = 0 . Hay nếu bốn điểm A,B,C,D trong không gian tạo thành một tứ diện có AB ^ CD và AC ^ BD thì AD ^ BC . Nói cách khác: nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vông góc với nhau từng đôi một thì cặp cạnh đối diện còn lại cũng vuông góc với nhau. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, I1, J, J1, K, K1 lần lượt là trung điểm của DA, CB, BD, AC, BA và CD . Biết rằng: II1 = JJ1 = KK1 . Chứng minh rằng: DA DB DC = = .    cos BDC cosCDA cos ADB Nguyễn Thị Liễu 14 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh: Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh IJI1J1 là hình chữ nhật Þ IJ ^ IJ1 . A Mặt khác, ta có: IJ//AB và IJ1 / /CD . Suy ra: AB ^ CD .   Û AB.DC = 0    Û (DB ­ DA).DC = 0     Û DB.DC ­ DA.DC = 0     Û DB.DC = DA.DC I K J1 Chứng minh tương tự ta cũng có:     DB.DC = DA.DB       Vậy DB.DC = DA.DB = DA.DC D J B K1 I1 C  = DA.DB.cosADB  = DA.DC.cosADC  Û DB.DC.cosBDC Û DA DB DC . = =    cosBDC cosADC cosADB Điều phải chứng minh. Nhận xét: Thông qua biểu thức về tích vô hướng giữa các cạnh tại đỉnh D của tứ diện ABCD . Vận dụng định nghĩa tích vô hướng ta có ngay kết quả của bài toán. Rõ ràng việc sử dụng phương pháp vectơ trong chứng minh các hệ thức là một phương pháp hiệu quả giúp lời giải bài toán đơn giản, ngắn gọn, dễ dàng hơn và phần nhiều không phụ thuộc vào hình vẽ… I.3. Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Chứng     minh rằng: SA + SC = SB + SD . Nguyễn Thị Liễu 15 K34 – CN Toán