Tài liệu Cơ sở trong không gian banach

Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lí thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng. Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo – TS. Bùi Kiên Cường, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề tài : “Cơ sở trong không gian Banach”. 2. Mục đích nghiên cứu Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm hiểu sâu về cơ sở trong không gian Banach. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những tính chất đặc trưng của cơ sở tổng quát trong không gian Banach, mối liên hệ giữa cơ sở với một số dãy dặc biệt, tính đối ngẫu của cơ sở. Từ đó, nghiên cứu sâu các tính chất đặc trưng của một số cơ sở cụ thể: cơ sở hội tụ tuyệt đối, cơ sở yếu và yếu* trong không gian Banach. Qua đó, bổ sung thêm những tính chất quan trọng và làm phong phú thêm nội dung của bộ môn Giải tích hàm. 4. Phương pháp nghiên cứu Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá. 1 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán 5. Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm ba chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị  Chương 2: Cơ sở trong không gian Banach  Chương 3: Cơ sở hội tụ tuyệt đối, cơ sở yếu và yếu * trong không gian Banach Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo – TS. Bùi Kiên Cường chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, em đã hoàn thành khoá luận này. Một lần nữa cho em được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy. Em rất mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Tác giả Vũ Thị Hương 2 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kí hiệu F : kí hiệu là trường vô hướng, F =  hoặc F =  . A : lực lượng của tập A hữu hạn. c n   : để chỉ chuỗi 1 0  mn   c n hội tụ. nÕu m  n, : chỉ số Kronecker. nÕu m  n Cho X, Y là các tập hợp. Khi đó : f : X  Y là một hàm với miền xác định X , miền giá trị Y. Range( f )  f ( X)   f ( x) : x  X : ảnh hoặc miền giá trị của f . x  : là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X .  x, x  x ( x) : tác động của x  lên x  X . x  sup  x, x  . x X 1 3 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán §1. Không gian Banach 1. Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ Định nghĩa 1.1. Không gian vectơ X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn (không gian định chuẩn) nếu với mỗi x  X tồn tại số thực x , gọi là chuẩn của x , thoả mãn: a) x  0, b) x  0 nếu và chỉ nếu x  0 , c) cx  c x , với mọi vô hướng c, với mọi x  X , d) x  y  x  y , x, y  X . Nếu chỉ có tính chất a), c) và d) thì  được gọi là một nửa chuẩn. Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn a) Một dãy các vectơ  xn  trong X hội tụ tới x  X nếu lim xn  x  0, nghĩa là, nếu n   0, N  0, n  N , xn  x   . Trong trường hợp này, ta viết xn  x hoặc lim xn  x. n  b) Một dãy các vectơ  xn  trong X là dãy Cauchy nếu lim xn  xm  0, nghĩa là, nếu m ,n   0, N  0, m, n  0, xn  xm   . c) Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không định chuẩn đều là dãy Cauchy. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Ta nói rằng X là không gian đầy nếu nó thoả mãn mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach. 4 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Định nghĩa1.3. Dãy  xn  trong không gian Banach X là a) Bị chặn dưới nếu inf xn  0, b) Bị chặn trên nếu sup xn   , c) Chuẩn hoá nếu xn  1 với mọi n. Định nghĩa 1.4. Cho không gian định chuẩn X và  1 ,  2 là hai chuẩn trên X . Hai chuẩn  1 và  2 gọi là tươmg đương nếu tồn tại hai số dương  ,  sao cho  x 1  x 2   x 1 x  X . Định lí 1.1. Nếu  1 ,  2 là tương đương thì cùng xác định một sự hội tụ với một dãy bất kì, nghĩa là lim x  xn 1  0  lim x  xn 2  0. n n Ví dụ 1.1. Cho f là hàm giá trị phức xác định trên tập E   . Khi đó a) Với 1  p  , đặt   p Lp ( E )   f : E   :  f ( x) dx   .  E  Đây là một không gian Banach với chuẩn f  (  f ( x) dx)1/ p . p p L E b) Trường hợp p =  , đặt L ( E )   f : E   : f là hàm bị chặn trên E . Đây là không gian Banach với chuẩn_sup f  x L  ess sup f ( x) = inf M  0 : f ( x)  M hầu khắp nơi xE Ví dụ 1.2. Đặt C ( E ) =  f : E  C : f liên tục trên E 5 . . Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Nếu E là một tập compact trong  thì mọi phiếm hàm liên tục trên E đều bị chặn. Trong trường hợp này, C  E  là một không gian Banach với chuẩn_sup f L  sup f ( x) . xE Ví dụ 1.3. Với 1  p   , đặt   p l p  c  (cn ) :  cn    . n   Đây là một không gian Banach với chuẩn c lp  (cn )  ( cn )1/ p . p lp n Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Holder). Với 1  p   và xác định p thoả mãn hệ thức 1 1 1 1   1. Đặt   và  0. p q 0  a) Nếu f  Lp ( E ) và g  Lp ( E ) thì fg  L1 ( E ) và , fg  f L1 g Lp Lp , . Với 1  p   bất đẳng thức này tương đương với mệnh đề  E f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ p (  g ( x) )1/ p . p, p E , E b) Nếu (an )  l p và (bn )  l p thì (anbn )  l1 và , (anbn ) l1  ( (an ) lp (bn ) lp , . Với 1  p   bất đẳng thức này tương đương với mệnh đề  anbn  ( an )1/ p ( bn )1/ p . p, p n n , n Đặc biệt, nếu p  p, =2 thì ta có bất đẳng thức Schwarz hoặc Cauchy – Schwarz : 6 Khoá luận tốt nghiệp  E Vũ Thị Hương - K29K - Toán f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ 2 (  g ( x) )1/ 2 và 2 2 E a b n n n E  ( an )1/ 2 ( bn )1/ 2 .. 2 n 2 n 2. Tôpô trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.5. Tập X 0   gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn X nếu X 0 là không gian tuyến tính con của không gian X và chuẩn xác định trên X 0 là chuẩn xác định trên X . Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong không gian X thì X0 gọi là không gian định chuẩn con đóng của không gian X . Định nghĩa 1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X . Ví dụ 1.4. Với 1  p   thì l p là không gian tách được. Định nghĩa 1.7. Cho  xn là một dãy tuỳ ý trong không gian tuyến tính định chuẩn X . a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy  xn là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính các phần tử của dãy  xn . Kí hiệu span  xn N  =  cn xn : N  0 vµ c1,..., cN  F  .  n1  b) Bao đóng tuyến tính của  xn là bao đóng của bao tuyến tính hữu hạn và được kí hiệu là span  xn . c)  xn là đầy trong X nếu span  xn = X hay span  xn trù mật trong X . 7 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán 3. Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X vµ Y trên trường F . Một ánh xạ T : X  Y được gọi là một toán tử. Nếu Y  F thi toán tử T : X  F là phiếm hàm trên X . T là tuyến tính nếu T(a x  by) = aT x  bTy , a, b  F , x, y  X . T là đơn ánh hoặc 1  1 nếu Tx  Ty khi và chỉ khi x  y . Ảnh hay miền giá trị của T là Range(T)  T( X)  Tx : x  X. T là toàn ánh hoặc lên nếu Range(T)  Y . Chuẩn của toán tử tuyến tính hoặc đơn giản là chuẩn của toán tử T là T  sup Tx . x 1 T được gọi là bị chặn nếu T   . T là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Tx Y  x X x  X. Định lí 1.3. Cho T : X  Y là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó T liên tục  T bị chặn. Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi nói về các toán tử tuyến tính. 4. Không gian liên hợp, toán tử liên hợp Định nghĩa 1.9. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường F . Ta gọi không gian X các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không gian X. Định lí 1.4. Nếu X là không gian định chuẩn, khi đó không gian đối ngẫu X là không gian Banach với chuẩn x 8 X  sup  x, x  . x X 1 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Định lí 1.5. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó, x  X x X  sup  x, x  . x 1 Định nghĩa 1.10 a) Không gian liên hợp của không gian X gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu là X . b) Mỗi phần tử x  X xác định một phần tử  ( x)  X cho bởi công thức  x , ( x)  x, x  với x  X . Ánh xạ  : X  X được gọi là phép nhúng chính tắc X vµo X , từ đó đồng nhất X với không gian con  ( x)  X . Nếu  là song ánh thì ta viết X  X và nói rằng X là không gian phản xạ. Ví dụ 1.5. Lp ( E) vµ l p là các không gian phản xạ nếu 1  p   , nhưng c p  . không là không gian phản xạ với p  1hoÆ Với 1  p  , q  0 thoả mãn 1 1   1 thì: p q ( Lp ( E))  Lq ( E), (l p )  l q . Định nghĩa 1.11. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, S là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vµo Y . Toán tử S : Y  X xác định bởi S y  y  S, y  Y , nghĩa là  x, S y    Sx, y  , x  X gọi là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn S. Dễ thấy S tuyến tính và với mọi y  Y ta có 9 (1.1) Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán (S y ) x   Sx, y   y S x ,x  X . Do đó, S y  S y . Vậy S là một toán tử tuyến tính bị chặn. Định lí 1.6. Nếu S là toán tử tuyến tính liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn S từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y thì S  S . 5. Sự hội tụ yếu Định nghĩa 1.12. Giả sử X là một không gian Banach. a) Dãy xn các phần tử của X hội tụ tới điểm x  X nếu lim x  xn  0 . Khi đó, ta cũng gọi sự hội tụ này là sự hội tụ mạnh hoặc sự n hội tụ theo chuẩn. b) Dãy  xn các phần tử của X hội tụ yếu đến x  X nếu x  X , lim  xn , x   x, x  . n Khi đó, ta nói rằng xn  x yếu.   c) Dãy xn các phiếm hàm của X hội tụ yếu* đến x  X nếu x  X , lim  xn , x   x , x  . n Trong trường hợp này, ta nói rằng xn  x yÕu hoặc trong tôpô yÕu . Chú ý rằng, sự hội tụ yÕu chỉ áp dụng đối với sự hội tụ của các phiếm hàm trong không gian đối ngẫu X . Tuy nhiên, do X là không gian đối ngẫu của chính nó, ta có thể chỉ ra sự hội tụ mạnh hoặc yếu của các phiếm hàm trong X cũng chính là sự hội tụ yÕu của các phiếm hàm này. Đặc biệt, nếu X là không gian phản xạ thì X  X , do đó xn  x yếu trong X nếu và chỉ nếu xn  x yÕu trong X . 10 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Bổ đề 1.1. Cho X là một không gian Banach. a) Sự hội tụ mạnh trong X thì kéo theo sự hội tụ yếu trong X . b) Sự hội tụ yếu trong X kéo theo sự hội tụ yÕu trong X . Bổ đề 1.2. Mọi dãy hội tụ yếu thì đều có chuẩn bị chặn trên, nghĩa là, nếu xn  X và xn  x  X yếu thì sup xn   . §2. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường F . Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X vào F , kí hiệu  ,  thoả mãn tiên đề : a) (x, y  X)  y, x   x, y  ; b) (x, y, z X)  x  y, z   x, z  y, z  , c) (x  X)  x, x  0 nếu x   ( là kí hiệu phần tử không),  x, x  0 nếu x   . Nếu  x, y  0 thì x, y được gọi là trực giao. Khi đó ta viết x  y . Nếu x  X , ta đặt x   x, x  , (1.2) thì công thức này xác định một chuẩn trên X . Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính trên trường F cùng với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert. Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn (1.2). Định nghĩa 1.15. Ta gọi một tập H   gồm những phần tử x, y, z... nào đấy là không gian Hilbert nếu H thoả man các điều kiện: 11 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán 1) H là không gian tuyến tính trên trường F ; 2) H được trang bị một tích vô hướng  ,  ; 3) H là không gian Banach với chuẩn x   x, x  , x  H . Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H . Ví dụ 1.6. a) Lp ( E) là không gian Hilbert khi p  2 và tích vô hướng được xác định bởi  f , g    f ( x)g( x) dx . Khi p  2 thì Lp ( E) không là không E gian Hilbert. b) p  2 thì l p là không gian Hilbert với tích vô hướng   (an ),(bn )   an bn . n1 p  2 thì l p không là không gian Hilbert. Định lí 1.7. Cho H là một không gian Hilbert và lấy x, y  H .  x, y   x y . a) (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz) b) x  sup  x, y  . y 1 2 2 2 2 2 2 x  y  x  y  2( x  y ) . c) (Đẳng thức hình bình hành) d) (Định lí Pythagorean) Nếu  x, y  0 thì x  y  x  y . Định nghĩa 1.16. Cho  xn là một dãy trong không gian Hilbert H . a)  xn là dãy trực giao nếu  xn, xm  0 khi m  n . b)  xn là dãy trực chuẩn nếu  xm, xn  mn , nghĩa là,  xn trực giao và x  1 với mọi n . 12 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán  c)  xn là cơ sở của H nếu x  H đều cố thể viết x   cn xn với n1 cách chọn các vô hướng cn là duy nhất. d) Dãy  xn là cơ sở trực chuẩn nếu nó vừa là dãy trực chuẩn vừa là cơ sở. Trong trường hợp này, sự biểu diễn duy nhất của x  H theo cơ sở này là x    x, xn  xn (xem định lí 1.10) Ví dụ 1.7. Sau đây là một vài ví dụ về cơ sở trực chuẩn. a) Lấy H  l 2 và xác định dãy en  ( mn )m1  (0,...,0,1,0,...) , trong đó số 1 ỏ vị trí thứ n . Khi đó, en là một cơ sở trực chuẩn của l 2 , thường gọi là cơ sở chính tắc. b) Lấy H  L2  0,1 , không gian các hàm có bình phương khả tích trên  0,1 . Đặt en ( x)  e2 inx với n . Khi đó enn là một cơ sở của H . Nếu f  L2  0,1 thì f    f , en  en được gọi là chuỗi Fourier của f và n ( f , en )n là dãy các hệ số Fourier của f . Các hệ số Fourier thường được ^ 1 kí hiệu bởi f (n)  f , en    f ( x)e2 inxdx . 0 Nếu en là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H bất kì thì biểu diễn x    x, en  en được gọi là chuỗi Fourier suy rộng của x  H và ( x, en ) được gọi là dãy các hệ số Fourier suy rộng. Định lí 1.8 (Định lí Friesz). Nếu x là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H thì tồn tại duy nhất phần tử y của H sao cho x ( x)  x, y  , x  H và x  y . 13 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Nhờ định lí Friesz, mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục x trên không gian Hilbert H tương ứng với một phần tử y  H . Hiển nhiên tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự. Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm x  H  với phần tử y  H , nghĩa là H   H . Định lí 1.9. Cho  xn là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H . a) Chuỗi x   cn xn hội tụ nếu và chỉ nếu (cn )  l 2 . Trong trường hợp x   cn . 2 này, ta có công thức Plancherel 2 b) Nếu x   cn xn hội tụ thì cn  x, xn  . Đặc biệt, (cn )  ( x, xn ) là các hệ số được xác định duy nhất sao cho x   cn xn . c) (Bất đẳng thức Bessel) Nếu x  H thì   x, x 2 n 2   x . Định lí 1.10. Cho  xn là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: a) xn là đầy trong b) xn là cơ sở trực chuẩn trong H. c) (Công thức Plancherel) d) x    x, xn  xn H.   x, x n 2   x 2 x  H . x  H . Định lí 1.11. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không gian đó là tách được. Định nghĩa 1.17. Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tử S ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp của toán tử  Sx, y  x, S y  , x  X,y  Y . 14 S nếu Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Định nghĩa 1.18. Giả sử H là không gian Hilbert. a) Toán tử tuyến tính bị chặn S ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu  Sx, y   x, Sy  x, y  H . Có thể chỉ ra rằng S là tự liên hợp khi và chỉ khi  Sx, x  là số thực và S  sup  Sx, x  . x 1 b) S: H  H là xác định dương, kí hiệu S 0 , nếu  Sx, x  là số thực và  Sx, x  0 x  H . Ta có thể chỉ ra rằng toán tử xác định dương trong không gian Hilbert phức là tự liên hợp. c) S: H  H xác định dương hữu hạn, kí hiệu S 0 , nếu  Sx, x  là số thực và  Sx, x  0 , x  H . d) Nếu S, T : H  H thì viết S T nếu S T  0. Tương tự, S T nếu S T  0 . Ví dụ 1.8. Giả sử S:  n   m là toán tử tuyến tính liên tục xác định bởi ma trận (aij ) cấp m n , aij   , i  1, m, j  1, n . Khi đó, S :  m   n xác định bởi ma trận cấp n  m và (aij )  (aij )t . Nếu m  n thì S là tự liên hợp và (aij )  (aji ) . 15 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán §3. Các nguyên lí cơ bản của giải tích hàm Định lí 1.12 (Định lí Haln- Banach). Cho X là một không gian vectơ và p là một hàm giá trị thực trên X thoả mãn x, y  X,a, b   , a  b  1  p(a x  by)  a p( x)  b p( y) . Lấy  là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Y của X và giả sử  thoả mãn x  Y,  ( x)  p( x) . Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính  trên X sao cho: x  X ,  ( x)  p( x) và x  Y , ( x)   ( x) . Hệ quả 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và lấy Y là một không gian con của X ,   Y . Khi đó, tồn tại   X sao cho: x  Y,  x,  x,   vµ  X   Y . Hệ quả 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và lấy y  X . Khi đó, tồn tại   X sao cho  y,   X y X. Trong trường hợp đặc biệt, tồn tại   X sao cho  X  1 vµ  y,  y X . Hệ quả 1.3. Cho Z là một không gian con của không gian tuyến tính định chuẩn X và y  X . Đặt d  dist(y, Z)=inf y  z X . z Khi đó tồn tại   X sao cho : a)  X  1, b)  y,  d , c) z Z ,  z,   0 . Hệ quả 1.4. Cho X là một không gian Banach. Khi đó, xn  X là đầy nếu và chỉ nếu tồn tại x  X thoả mãn  xn , x  0 n thì x   . 16 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Nếu H là một không gian Hilbert thì H   H . Do đó, hệ quả 4 suy ra rằng dãy  xn trong không gian Hilbert H là đầy nếu và chỉ nếu mỗi y  H thoả mãn  xn, y  0 với mọi n thì y   . Định lí 1.13 (Nguyên lí bị chặn đều). Cho X là một không gian Banach và Y là một không gian tuyến tính định chuẩn. Lấy T   là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ X vào Y . Khi đó, (x  X ,sup T ( x) Y  )  sup T   . y Định lí 1.14 (Nguyên lí ánh xạ mở). Cho T : X  Y là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach X lên không gian Banach Y . Khi đó T(U )  T( x) : x U là tập mở trong Y khi U là tập mở trong X . Định lí 1.15 (Nguyên lí ánh xạ ngược). Một song ánh liên tục T : X  Y ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y có song ánh ngược T1 : Y  X . Định nghĩa 1.19. Cho hai không gian định chuẩn X vµ Y . Nếu toán tử tuyến tính liên tục T ánh xạ không gian X lên không gian Y có toán tử T 1 liên tục thì toán tử T gọi là phép đồng phôi tuyến tính ánh xạ không gian X lên không gian Y . Hệ quả 1.5. Song ánh tuyến tính liên tục T ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y là một phép đồng phôi tuyến tính. Định lí 1.16 (Nguyên lí đồ thị đóng). Cho toán tử tuyến tính T ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y . Toán tử T liên tục khi và chỉ khi graph(T)  ( x, y)  X  Y : y  T( x) là tập đóng trong X  Y , nghĩa là T bị chặn nếu và chỉ nếu với mỗi xn  X ta có: ( xn  x vµ T( xn )  y)  y  T( x) . 17 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Chương 2 CƠ SỞ TRONG KHÔNG GIAN BANACH §1. Sự hội tụ của chuỗi 1. Các định nghĩa Định nghĩa 2.1. Cho  xn là một dãy trong không gian Banach X . N a) Chuỗi  xn hội tụ và bằng x  X nếu dãy tổng riêng SN   xn n1 hội tụ tới x theo chuẩn của X , nghĩa là, nếu N   0, N0  0, N  N0 , x  SN  x   xn   . n1 b) Chuỗi x n là chuỗi Cauchy nếu dãy các tổng riêng SN  là dãy Cauchy trong X , nghĩa là, nếu   0, N0  0, N  M  N0 , SN  SM  Do X là không gian Banach, chuỗi N  n M 1 x n xn   . hội tụ nếu và chỉ nếu nó là chuỗi Cauchy. Định nghĩa 2.2. Cho  xn là một dãy trong không gian Banach X . a) Chuỗi x n hội tụ vô điều kiện nếu  x x . ( n) hội tụ với mọi sự hoán vị  của  * . b) Chuỗi x n hội tụ tuyệt đối nếu n Ta thấy trong định nghĩa 2.2 không đòi hỏi chuỗi tới cùng một giá trị với mọi sự hoán vị  . 18  x ( n) phải hội tụ Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Ví dụ 2.1. Cho en là một dãy trực chuẩn vô hạn trong không gian Hilbert H vô hạn chiều. Khi đó, từ định lí1.9a), chuỗi c 2 n c e hội tụ nếu và chỉ nếu n n   . Tuy nhiên, theo bổ đề 2.2 sau đây, điều này xảy ra nếu và chỉ  c ( n)   với mọi hoán vị  cña  * . Do đó, e (n) cũng là một dãy 2 nếu c e trực chuẩn. Từ đó suy ra n n hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi đó hội tụ vô điều kiện và điều này xảy ra với mọi (cn )  l 2 . Trong trường hợp khác, do en  1, ta có và chỉ nếu c n c e n n hội tụ tuyệt đối nếu   . Do đó, sự hội tụ của chuỗi đúng với (cn )  l 1 . Do l 1 là tập con của l 2 nên có những chuỗi c e n n hội tụ vô điều kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối. Chú ý rằng trong ví dụ này, ta có thể mô tả chính xác tập hợp các hệ số (cn ) sao cho c e n n hội tụ vì ta đã biết en là dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert hoặc không gian Banach luôn gặp rất nhiều khó khăn để mô tả chính xác tập hợp các hệ số (cn ) sao cho c a hội tụ hoặc hội tụ n n vô điều kiện. 2. Mối liên hệ giữa sự hội tụ tuyệt đối và sự hội tụ vô điều kiện của chuỗi trong không gian Banach Bổ đề 2.1. Giả sử (cn ) là một dãy các vô hướng thực hoặc phức. Khi đó, c n n hội tụ tuyệt đối   cn hội tụ vô điều kiện. n Chứng minh  ] Giả sử N  n M 1 c n   và với   0 bất kì. Khi đó, tồn tại N0  0 sao cho cn   với bất kì N  M  N0 . 19 Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán Lấy  là một hoán vị bất kì của     và lấy N1   1(1),..., 1(N0 ) . Giả sử rằng N  M  N1 . Nếu M  1  n  N , khi đó n  N1 . Do đó, n   1(1),..., 1(N0 ) , vì vậy  (n)  1,..., N0 . Do đó,  (n)  N0 . Đặc biệt, K  min ( M  1),..., (N )  N0 và L  max (M+1),..., (N)  K . Vì vậy, N  n M 1 c ( n)  N  L n M 1 c ( n)   cn   . Do đó, K  c ( n) là chuỗi Cauchy của các vô hướng và do đó nó phải hội tụ. c  ] Trước hết, giả sử n là một chuỗi các vô hướng thực hội tụ vô điều kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối. Lấy ( pn ) là một dãy các số hạng không âm của (cn ) theo thứ tự và lấy (qn ) là một dãy các số hạng âm của dãy (cn ) p theo thứ tự. Nếu n vµ  qn đều hội tụ, khi đó dễ thấy c n hội tụ vã  p   q , điều này mâu thuẫn. Vì vậy, một trong hai chuỗi  p hoÆc  q phải phân kì. Giả sử  p phân kì. Do p  0 với mọi n , phải tồn tại m  0 sao bằng n n n n n n 1 cho: p1    pm1  1. Khi đó, tồn tại m2  m1 sao cho: p1    pm1  q1  pm11    pm2  2 . Cứ tiếp tục như vậy, ta thấy rằng p1    pm1  q1  pm11    pm2  q2   là sự hoán vị của c n mà chuỗi này phân kì. Do đó, tụ vô điều kiện. Chứng minh tương tự, ta cũng có điều kiện nếu q n phân kì. 20 c n c n không thể hội không thể hội tụ vô