Tài liệu Chuyên đề rút gọn phân thức đại số

Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. II – Các dạng bài toán thường gặp: 1- Rút gọn phân thức. ( x  a)2  x 2 a 2  4 x 2  4ax ( x  a  x)( x  a  x)  (a  2 x) 2 a (2 x  a )  (2 x  a ) 2 a  2x  a Câu1: a ) c) a 4  3a 2  1 a 4  a 2  2a  1 a 4  3a 2  1  4 a  (a 2  2a  1) Câu : b)  a 4  2a 2  1  a 2 a 4  (a  1) 2  (a 2  1) 2  a 2 a 4  (a  1) 2  (a 2  1  a )(a 2  1  a ) (a 2  a  1)( a 2  a  1)  (a 2  a  1) (a 2  a  1) 2 y2  5 y  2 2 y 3  9 y 2  12 y  4 (2 y 2  4 y )  ( y  2)  (2 y 3  4 y 2 )  (5 y 2  10 y )  (2 y  4) 2 y ( y  2)  ( y  2)  2 2 y ( y  2)  5 y ( y  2)  2( y  2) ( y  2)(2 y  1)  ( y  2)(2 y 2  5 y  2) (2 y  1)  (2 y  1)( y  2) 1  y2 1 Với: y  -2 và y  2 2- Chứng minh. 1 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Câu2 : a) Hãy chứng minh: Giải: a 3  4a 2  a  4 a 1  3 2 a  7a  14a  8 a  2 a 3  4a 2  a  4 a 3  7 a 2  14a  8 (a 3  a )  (4a 2  4)  3 (a  8)  (7 a 2  14a)  a (a 2  1)  4(a 2  1) (a  2)(a 2  2a  4)  7a (a  2) (a  4)(a 2  1) (a  2)(a 2  5a  4) (a  4)(a  1)(a  1)  (a  2)(a  4)(a  1) a 1  a2  Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: ( x 2  a)(1  a)  a 2 x 2  1 ( x 2  a)(1  a)  a 2 x 2  1 Giải: ( x 2  a )(1  a )  a 2 x 2  1 ( x 2  a )(1  a )  a 2 x 2  1 x2  x2 a  a  a2  a2 x2  1  2 x  x2 a  a  a2  a2 x2  1 x2  x2 a  a2 x2  a2  a  1  2 x  x2 a  a2 x2  a2  a  1 x 2 (1  a  a 2 )  (1  a  a 2 )  2 x (1  a  a 2 )  (1  a  a 2 )  ( x 2  1)(1  a  a 2 ) ( x 2  1)(1  a  a 2 )  1  a  a2 1  a  a2 Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x. Câu2: c) Chứng minh rằng nếu 1 1 1 1 thì trong ba số x, y, z ít nhất    x y z x yz cũng có một cặp số đối nhau . Giải: 2 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1 1 1 1    x y z x yz yz  xz  xy 1 Ta có:  xyz x yz Từ đó ta có: ( x  y  z)( yz  xz  xy)  xyz Từ: Hay ( x  y  z)( yz  xz  xy)  xyz  0 Biến đổi vế trái: ( x  y  z )( yz  xz  xy )  xyz  xyz  x 2 z  x 2 y  y 2 z  xyz  xy 2  yz 2  xz 2  xyz  xyz  ( xyz  xz 2  y 2 z  yz 2 )  ( x 2 y  x 2 z  xy 2  xyz )  z ( xy  xz  y 2  yz )  x( xy  xz  y 2  yz )  ( xy  xz  y 2  yz )( x  z )  ( x  y )( y  z )( x  z ) Vậy: ( x  y)( y  z)( x  z)  0 Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau. 3- Tính giá trị. Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = x3  x 2  6 x với x = 2008 x3  4 x Giải: C = x3  x 2  6 x x3  4 x x( x 2  x  6)  x( x 2  4) x 2  2 x  3x  6 ( x  2)( x  2) x( x  2)  3( x  2)  ( x  2)( x  2) x3  x2 2011 Với x = 2008 thì C = 2010  Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức a3  b3  c3  3abc a 2  b2  c 2  ab  bc  ac Ta có:a3  b3  c3  3abc  a 3  b3  c3  3a 2 b  3ab 2  3a 2 b  3ab 2  3abc  a 3  3a 2 b  3ab 2  b3  c 3  3a 2 b  3ab 2  3abc  (a  b)3  c3  3ab(a  b  c)  (a  b  c)[(a  b) 2  (a  b)c  c 2 ]  3ab(a  b  c) 3 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Vậy: a3  b3  c3  3abc (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac )   abc 5 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac (a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac) Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn Tính: a b c x y z   0    1 và a b c x y z x2 y 2 z 2   a 2 b2 c 2 Giải: x y z   1 a b c x y z  (   )2  1 a b c x 2 y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz  2  2  2    1 ab ac bc a b c x 2 y 2 z 2 2 xyz c b a  2  2  2  (   ) 1 abc z y x a b c x 2 y 2 z 2 2 xyz a b c    (   ) 1 a 2 b 2 c 2 abc x y z a b c Mà:    0 x y z  Vậy: x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2 4- Tổng hợp Câu4 : a) Cho biểu thức A = mn2  n2 (n2  m)  1 m 2 n 4  2n 4  m 2  2 a1) Rút gọn A. a2) Chứng minh rằng A dương. a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất? Giải: 2 2 2 a1) A = mn2 4 n (n4  m2)  1 m n  2n  m  2 mn 2  n 4  mn 2  1  2 4 m n  m 2  2n 4  2 n4  1  4 (n  1)(m 2  2) 1  2 m 2 4 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 a2) Ta có: m2  0,  m. Nên: m2 + 2 > 0,  m. 1 > 0,  m. m 2 Vậy: A > 0,  m. Do đó: 2 a3) Ta có: m2  0,  m. Nên: m2 + 2  2,  m. 1 1  ,  m. m 2 2 1 Hay: A  ,  m. 2 Do đó: 2 Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 1 2 Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0 2 2 x2  2  4 x 3x  x  1   3 :  Câu4: b) Cho M =  . x 1  x 1 3x  3x b1) Rút gọn biểu thức M. b2) Tìm giá trị của M với x = 2008. b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ? b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên? Giải: b1) Điều kiện: x  0, x  -1, x  1 2 2 2 x2  2  4 x 3x  x  1   3 :  M =  3x x  1  x  1 3x  ( x  2)( x  1)  2.3 x  3.3 x.( x  1)  x  1 3x  x 2  1   . 2  4x  3 x.( x  1) 3x    x 2  3x  2  6 x  9 x 2  9 x  x  1 3x  x 2  1   . 2  4x  3 x.( x  1) 3x   (8 x 2  2)( x  1) 3 x  x 2  1   3 x.( x  1)(2  4 x) 3x  2(1  2 x)(1  2 x) 3 x  x 2  1  2.3x.(1  2 x) 3x 1  2 x  3x  x 2  1 3x x( x  1)  3x x 1  3  5 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 b2) Với x = 2008. M= 2008  1  669 3 b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện. Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) 3 hay x -1 = 3k Vậy: x = 3k +1 (k  Z) 1 . 2 (k  Z) Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau: 2 2 ab  ab  a b  a : M =  a    2 2 a  b  a  b   a b 2 2 Giải: ab  ab   a b a   a :  2 2 M =  a  b   a  b  a b  a 2  ab  ab  ab  a 2  ab  a 2  b 2   . 2 2 ab ab    a b a 4 a 2  b 2  2 . a  b2 a 2  b2 a 4  2 a  b2 Câu5: b) Chứng tỏ: a2  a  1 3  , 2 a2  1 a  R Giải: Ta có:  a  1  0  a 2  1  2a (1) Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được: 2 1 a  2 2 a 1 1 a Do đó:  1  2  1 2 a 1 2 3 a  a 1   2 a2  1 a2  a  1 3  , Vậy: 2 a2  1 a  R 6 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau: ab  x  a  x  2a  b với x  Q   2  x  b  x  a  2b 3 Giải: ab , ta có: 2 ab ba xa  a  2 2 ab a b x b  b  2 2 xa ba 2   .  1 x b 2 a b Với x  Ta lại có: ab 3b  3a 3(b  a)  2a  b   2 2 2 ab 3a  3b 3(a  b) x  a  2b   a  2b   2 2 2 x  2a  b 3(b  a) 2   .  1 x  a  2b 2 3(a  b) x  2a  b  Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0 Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau: A= 1 1 1   (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: A= 1 1 1   (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) 1 1 1    (a  b)(c  a ) (b  c)(a  b) (c  a )(b  c) (b  c)  (c  a )  (a  b)  (a  b)(b  c)(c  a) b  c  c  a  a  b  (a  b)(b  c)(c  a) (a, b, c đôi một khác nhau) 0 Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c. 7 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 B= 4a 2  1 4b2  1 4c 2  1   (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: B 4a 2  1 4b 2  1 4c 2  1   (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)   a2 b2 c2  4.      (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)    1 1 1      (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)    a 2 b 2 c 2  4.    0  (a  b)(c  a ) (b  c)(a  b) (c  a)(b  c)   a 2 (b  c)  b 2 (c  a)  c 2 (a  b)   4.   (a  b)(b  c)(c  a )    a 2 b  a 2 c  b 2 c  ab 2  ac 2  bc 2   4.   (a  b)(b  c)(c  a )    a 2 c  b 2 c  ab 2  a 2 b  ac 2  bc 2   4.   (a  b)(b  c)(c  a )    c(a 2  b 2 )  ab(a  b)  c 2 (a  b)   4.   (a  b)(b  c)(c  a )    (a  b)[c(a  b)  ab  c 2 ]   4.    (a  b)(b  c)(c  a )   (a  b)(cb  c 2  ab  ca )   4.    (a  b)(b  c)(c  a )   (a  b)(b  c)(c  a )   4.  4  (a  b)(b  c)(c  a )  ( a, b, c đôi một khác nhau ) Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau: P x  2a x  2b 4ab với x   x  2a x  2b ab Giải: 8 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 x  2a x  2b  x  2a x  2b ( x  2a)( x  2b)  ( x  2a)( x  2b)  ( x  2a )( x  2b) P  x 2  2bx  2ax  4ab  x 2  2bx  2ax  4ab x 2  2(a  b) x  4ab  2( x 2  4ab) x 2  2(a  b) x  4ab Thay x  4ab vào P ta có: ab  16a 2 b 2  2  4ab  2 ( a  b)  P 2 2 16a b  8ab  4ab ( a  b) 2  16a 2 b 2  2  4ab  2 ( a  b)    2 2  16a b   4ab   2  ( a  b)  2 9 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 10