Tài liệu Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược parabolic trong tài chính định lượng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ An CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ An CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn này là kết quả của sự làm việc nghiêm túc và cần mẫn, và không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ của nhiều người. Đầu tiên, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ của tôi vì những lời động viên, hỗ trợ quý báu, để tôi có thể vượt qua những giai đoạn khó khăn trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy GS.TS. Đặng Đức Trọng, người đã giới thiệu tôi vào lĩnh vực Toán tài chính và Lý thuyết bài toán ngược cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian làm luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô ở trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình dạy dỗ, cho tôi nền tảng kiến thức vững chắc; đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và thầy PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn. Xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ đã dành thời gian đọc luận văn của tôi và cho tôi những nhận xét quý báu. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa học. Nguyễn Vũ An. 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 6 1.1. Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính ...............................................................6 1.2. Một vài kiến thức cơ bản về giải tích.........................................................................9 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN.......................................................................................................... 14 2.1. Bài toán thuận: Phương trình Dupire .....................................................................14 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic ..........................................16 2.3. Các tính chất quan trọng của toán tử F(⋅) ............................................................19 2.4. Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương................................................28 2.4.1. Bài toán ngược của định giá quyền chọn châu Âu ...............................................28 2.4.2. Sự không chỉnh của bài toán ngược .....................................................................29 2.5. Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương ..................................29 CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG ................................................................................... 32 3.1. Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương ............................33 3.1.1. Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa .............................................33 3.1.2. Sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa ................................................................36 3.1.3. Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman ........................................................................38 3.1.4. Sự hội tụ với qui tắc Morozov .............................................................................44 3.2. Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler ............................................................................47 3.2.1. Định nghĩa và các kết quả đã biết ........................................................................47 3.2.2. Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler ..................................................49 CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG .............................................................................................. 58 4.1. Chỉnh hóa lặp Landweber trong W21,2 (Ω) ............................................................58 4.2. Chỉnh hóa lặp Landweber trong L2(Ω) ...................................................................61 4.3. Thực thi số ..................................................................................................................68 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 80 2 3 LỜI NÓI ĐẦU Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định tham biến khếch tán trong một phương trình đạo hàm riêng parabolic nảy sinh trong lĩnh vực tài chính định lượng. Đó chính là bài toán xác định độ biến động địa phương trong định giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu. Bài toán thuận ban đầu được viết dưới dạng phương trình mang tên Black-Scholes. Năm 1973, công thức này nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu quả cho việc định giá quyền chọn; và sau đó được phát triển thành phương trình Dupire bởi Bruno Dupire, năm 1994. Năm 1997, Scholes và Merton đã nhận giải thưởng Nobel kinh tế cho những đóng góp quan trọng này. Luận văn này sẽ tập trung vào khía cạnh lý thuyết của bài toán xác định độ biến động từ những quan sát giá của hợp đồng quyền chọn Châu Âu trên thị trường. Đây là bài toán không chỉnh, phi tuyến mà việc xác định nghiệm của nó sẽ cần đến những phương pháp chỉnh hóa. Chúng ta sẽ tập trung trình bày sự chỉnh hóa lồi Tikhonov và chỉnh hóa lặp Landweber cho bài toán ngược này. Nội dung luận văn bao gồm 4 chương: Chương 1: Trình bày một cách cơ bản các khái niệm, kết quả trong lĩnh vực toán tài chính và giải tích cần thiết được sử dụng trong luận văn. Chương 2: Ở phần đầu 2.1, chúng ta trình bày một vài tính chất của bài toán thuận theo mô hình Black-Scholes trong việc định giá hợp đồng quyền chọn kiểu châu Âu. Ở mục 2.2, chúng ta trình bày các kết quả về sự tồn tại, sự duy nhất và các ước lượng liên quan đến nghiệm phương trình parabolic trong bài toán thuận; và một vài kết quả ở đây cũng đã được phát biểu ở các tài liệu khác cho nên chúng ta chỉ trích dẫn mà không chứng minh chi tiết. Ở mục 2.3, chúng ta phát biểu các tính chất quan trọng của toán tử F từ đó dẫn đến tính không chỉnh của bài toán ngược; và các tính chất quan trọng liên quan đến toán tử đạo hàm F', những kết quả này là quan trọng để thu được tốc độ hội tụ của chỉnh hóa Tikhonov được trình bày ở chương 3. Một kết quả quan trọng khác là chúng ta đã chứng minh toán tử F thỏa mãn điều kiện h , và kết quả này sẽ được sử dụng cho chỉnh hóa lặp ở chương 4. Cuối chương, chúng ta trình 4 bày ngắn gọn một vài kết quả khác liên quan đến bài toán xác định độ biến động địa phương. Chương 3: Luận văn sẽ trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov bằng công cụ hàm chỉnh hóa lồi như một sự mở rộng của bài toán chỉnh hóa Tikhonov toàn phương. Do đó, chúng ta xem xét bài toán ngược trên khía cạnh của giải tích lồi và độ đo Bregman. Trong mục 3.1, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại, ổn định, và sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa với các qui tắc chọn tham số chỉnh hóa một cách tiên nghiệm và hậu nghiệm. Mặt khác, trong mục này, các tốc độ hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm chính xác cũng được phát biểu bằng việc sử dụng độ đo Bregman. Ở mục 3.2, luận văn sẽ trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov với hàm entropy Kullback-Leibler cho bài toán ngược của chúng ta. Chương 4: Luận văn sẽ phân tích việc sử dụng lý thuyết chỉnh hóa lặp cho bài toán ngược xác định độ biến động địa phương. Ở mục 4.1, chúng ta phát biểu và kiểm tra lại các giả thiết liên quan đến toán tử F cho việc sử dụng chỉnh hóa lặp Landweber. Việc áp dụng chỉnh hóa lặp Landweber trong W21,2 dẫn đến sự tính toán F  · với * tích vô hướng trong không gian này cho mỗi bước lặp. Tuy nhiên, sự phức tạp của tích vô hướng này lại gây khó khăn cho việc thực thi số. Do đó, trong mục 4.2, chúng ta tiếp tục phân tích sự hội tụ của chỉnh hóa lặp Landweber bằng cách sử dụng luật phân kỳ trong không gian L2 , điều này làm đơn giản hơn cho việc xây dựng một phương pháp số để tính toán F  · . Và trong mục 4.3, chúng ta cũng trình bày sơ * lược một vài kết quả của thực thi số để minh họa cho những kết quả lý thuyết ở mục 4.2. 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính Định nghĩa 1.1.1. Quyền chọn mua kiểu châu Âu là một hợp đồng cho phép người ta sở hữu quyền, mà không bắt buộc, để mua một cổ phần chứng khoán với một giá thực thi K>0 tại thời điểm đáo hạn T>0 trong tương lai. Các điều kiện của hợp đồng này là: • Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng nếu muốn thực thi hợp đồng thì trả cho người viết hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng. • Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì người viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn. Để mô hình giá tài sản S với quá trình chuyển động Brown hình học, ta cho (,U , F , P) là không gian xác suất với lọc F  ( Ft )t trong đó  là không gian mẫu U là s -đại số trong , P là độ đo xác suất. Định nghĩa 1.1.2. Một bộ lọc là một họ các s -đại số Ft t0 sao cho Ft  Fs với mọi 0t  s. Định nghĩa 1.1.3. Một quá trình ngẫu nhiên là một tập hợp các biến ngẫu nhiên xt tT được định nghĩa trong không gian xác suất (,U , P) . Ánh xạ w  xt w  với t  T cố định là một biến ngẫu nhiên và t  xt w  với w   được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.1.4. Một quá trình ngẫu nhiên Wt t0 tương ứng với bộ lọc Ft t0 trên không gian xác suất (,U , F , P) được gọi là một quá trình Wiener hay chuyển động Brown nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: * W0  0 hầu chắc chắn. * Các số gia của Wt là độc lập hay nói cách khác với 0  t1  t2  ...  tn thì các biến ngẫu nhiên Wt2  Wt1 ,Wt3  Wt2 ,...,Wtn  Wtn1 là độc lập. * Wt  Ws ~ N (0, t  s ) với mọi 0  s  t. * Wt t0 có các quỹ đạo liên tục hầu chắc chắn. 6 Một phương án đầu tư (portfolio) là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đấy. Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là S1 (t ), S2 (t ),..., S n (t ) . Một phương án đầu tư là một cách chọn ra a1 (t ) chứng khoán S1 ,..., an (t ) chứng khoán Sn tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của phương án ấy tại thời điểm t, ký hiệu bởi V a (t ) được xác định là: n V a (t )  a1 (t ) S1 (t )  ...  an (t ) Sn (t )   ai (t ) Si (t ) i1 Vì các giá chứng khoán S1 (t ), S2 (t ),..., Sn (t ) là các quá trình ngẫu nhiên, nên giá trị của một phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các ai (t ) ở đây là các hàm số tất định của t. Một phương án đầu tư cũng còn được gọi là danh mục đầu tư, ký hiệu là f  (a, S ) . Định nghĩa 1.1.6. Một phương án đầu tư (a, S ) được gọi là phương án bán đối với chứng khoán Si tại thời điểm t nếu ai (t )  0 và được gọi là phương án mua đối chứng khoán ấy nếu ai (t )  0 . Giá của chứng khoán Si tại thời điểm t được ký hiệu là Si (t ) . Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điều chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán Si (1  i  n) . Điều đó có nghĩa là thay đổi các trọng số của chúng từ a1 (t ),..., an (t ) sang b1 (t ),..., b n (t ). Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là: b1 (t ) S1 (t )  ...  b n (t ) Sn (t )  a1 (t ) S1 (t )  ...  an (t ) Sn (t ), thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self-financing). Điều đó có nghĩa là, với một phương án đầu tư tự tài trợ, thì muốn tăng đầu tư vào một chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác. Vậy một sự điều chỉnh tự tài trợ tại một thời điểm t của một phương án đầu tư không thể làm tăng hoặc giảm vốn đầu tư: (a, S )  (b , S )  V b (t )  V a (t ) , xét tại một thời điểm t nào đó. * Xét một mô hình thị trường M gồm các chứng khoán S và một họ các phương án đầu tư tự tài trợ   f  a, S  . Ta kí hiệu M   S ,  . Các giá chứng khoán St trong S được xem là các quá trình ngẫu nhiên xét trong một không gian xác suất có 7 lọc (,U , F , P ) , với F  Ft  là một bộ lọc hay nói cách khác chính là luồng thông tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cố xảy ra trên thị trường. Các quá trình giá tài sản tài chính đều được giả thiết là thích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với mỗi t, giá đó đo được đối với Ft . Định nghĩa 1.1.7. Một phương án đầu tư tự tài trợ f   được gọi là một cơ hội có độ chênh lệch thị giá nếu quá trình giá Vt f  thỏa mãn các điều kiện: * P V0 f   0  1; * P VT f   0  1; * P VT f   0  0; Với T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng. Điều kiện 1 nói lên hầu chắc chắn tại thời điểm ban đầu, vốn đầu tư là bằng không; điều kiện 2 có nghĩa là hầu chắc chắn đến lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư đó có lợi nhuận  0 ; điều kiện 3 nói rằng có khả năng kiếm lời thực sự tại thời điểm kết thúc hợp đồng. Cả ba điều kiện có nghĩa là phương án f là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận. Định nghĩa 1.1.8. Ta nói rằng thị trường M   S ,  là một thị trường không có độ chênh lệch thị giá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong  mà có độ chênh lệch thị giá. Định nghĩa 1.1.9. Cho (, F , G ) là một không gian xác suất, G là một s - đại số con của F , G  F và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (, F ) vào ( , B (  )) , trong đó B(  ) là s - đại số các tập Borel trên đường thẳng thực  . Khi đó, một biến ngẫu nhiên Y sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với s - đại số G , nếu: *Y là biến ngẫu nhiên đo được trên G. *Với mọi tập A  G thì ta có  YdP   XdP. A A Biến ngẫu nhiên Y này sẽ được ký hiệu là E  X G  . 8 Định nghĩa 1.1.10. Một độ đo xác suất Q trên (,U , P ) được gọi là một xác suất rủi ro trung tính nếu: *Q tương đương với P, có nghĩa là Q(A)=0 nếu và chỉ nếu P(A)=0 với A  U . *Hầu chắc chắn là ta có  S  S EQ  rTtt  Fs   rTss với mọi 0  s  t  T .  e  e trong đó EQ · Fs  là kỳ vọng có điều kiện đối với Fs và theo xác suất Q . Định lý 1.1.1 (19, Định lý cơ bản định giá tài sản) Một thị trường là không có độ chênh lệch thị giá khi và chỉ khi tồn tại một xác suất rủi ro trung tính Q. 1.2. Một vài kiến thức cơ bản về giải tích Định nghĩa 1.2.1. Hai đại lượng dương a và b được gọi là tương đương nếu tồn tại hai hằng số 0 < c < C <  , sao cho c.b  a  C.b và ta kí hiệu a ~ b. Định nghĩa 1.2.2. Cho f(x) và g(x) là hai hàm số được định nghĩa trên cùng tập con của  , ta có f ( x)  O  g ( x) khi x  0 nếu tồn tại hai số dương d và M sao cho f ( x)  M g ( x) với x  d . Định nghĩa 1.2.3 [Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard] Cho X và Y là những không gian định chuẩn, và ánh xạ K : X  Y (tuyến tính hoặc phi tuyến). Bài toán Kx=y được gọi là đặt đúng nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: *Sự tồn tại: Với mỗi y  Y tồn tại ít nhất một phần tử x  X sao cho Kx  y . *Sự duy nhất: Với mỗi y  Y tồn tại tối đa một phần tử x  X thỏa mãn Kx  y . *Sự ổn định: Nghiệm x phụ thuộc một cách liên tục vào y, theo nghĩa với mỗi dãy ( xn )  X sao cho Kxn  K x khi n   ta đều có xn  x khi n   . 9 Ngược lại, nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán sẽ được gọi là không chỉnh. Định nghĩa 1.2.4. Cho K : X  Y là toán tử ( tuyến tính hoặc phi tuyến) giữa các không gian Hilbert X và Y. Khi đó, ta định nghĩa sự chỉnh hóa là một họ các toán tử liên tục (không nhất thiết tuyến tính) Ra : Y  X với a  0 sao cho lim Ra Kx  x với mọi x  X . a0 Mệnh đề 1.2.1. Cho xn là một dãy trong không gian tô pô X. Khi đó xn  x  X khi và chỉ khi mỗi dãy con xn của xn có dãy con của chính nó hội tụ đến x. Định nghĩa 1.2.5. Cho X là không gian Banach và F : X   , ta nói hàm F là nửa liên tục dưới yếu nếu liminf F  xn   F ( x) với mọi xn  x. Định lý 1.2.1 Định lý biểu diễn Riesz] Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gian Hilbert X, hệ thức f ( x )  a, x (1.2.1) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian X, với f  a. (1.2.2) Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên không gian Hilbert X cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.2.1) trong đó a là một vectơ của X thỏa mãn (1.2.2). Định lý 1.2.2 [Bất đẳng thức Schwartz] Cho x và y trong không gian tiền Hilbert X, ta luôn có: x, y  x . y . (1.2.3) Định lý 1.2.3 [Bất đẳng thức Holder] Nếu f  Lp , g  Lp với 1 / p  1 / p   1 thì f .g  L1 và ta có: f .g L1  f Lp .g Lp  (1.2.4) . Định lý 1.2.4. [Không gian liên hợp của Lp với 1  p   ] 10 Cho không gian độ đo  X , m  . Ta có: *Nếu g  Lp  X , m  thì j ( f ) :  f ( x) g ( x)d m với f  Lp ( X , m ) (1.2.5) X là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Lp và j  g p . *Nếu m là độ đo s -hữu hạn và j   Lp  X , m  thì tồn tại duy nhất g  Lp  X , m  sao * cho ta có (1.2.5). Và ánh xạ J : j  g là song ánh, tuyến tính đẳng cự. Ta thường đồng nhất  Lp   Lp . * Định nghĩa 1.2.6. Cho I   là khoảng mở, T>0, ta kí hiệu  : 0,T  I và 1  p  . Khi đó, ta định nghĩa W p1,2  là không gian các hàm u t , y  thỏa mãn u : u W p1,2 (  ) Lp (  )  ut Lp (  )  uy Lp (  )  u yy Lp (  )  . (1.2.6) Định nghĩa 1.2.7 [Không gian Sobolev với bậc số thực không nguyên] Cho    N , p  [1, ) và s  k  s với k  0 là số nguyên và s  [0,1) . Khi đó ta định nghĩa không gian Sobolev W s, p   D a v( x)  Da v( y )   k,p p    L (), a : a  k   : v  W  sN / p   x y   với chuẩn p   D a v( x)  Da v( y )  p v W s , p    v W k , p     dxdy . s p N   x y a k   1/ p Khi p=2, H s ()  W s ,2 () là không gian Hilbert với tích vô hướng u, v s ,  u, v với u , v k , k ,     Dau ( x)  Dau ( y) Dav( x)  Dav( y)dxdy x y a k   D u ( x) D v( x)dx . a a  a k 11 2s  N Định nghĩa 1.2.8.    N , p  [1, ) và s  0 . Ta định nghĩa W0s , p () là bao đóng của C0 () trong W s , p () . Khi p=2, ta có không gian Hilbert H 0s ()  W0s ,2 (). Định nghĩa 1.2.9. Cho    N , p  [1, ) và s  0 và p  là số liên hợp của p theo nghĩa 1 1   1. Khi đó, ta định nghĩa W s , p () là không gian đối ngẫu của p p W0s , p () . Đặc biệt, H 1 ()  W 1,2 () . Ví dụ 1.2.1 Bất kỳ l  H 1 () là toán tử tuyến tính bị chặn trên H 01 (), chuẩn của l được cho bởi l H 1 () | l (v ) | . \end{vidu} v vH 01 (  )  sup Định nghĩa 1.2.10. Cho V và W là các không gian Banach với V  W . Ta nói V được nhúng liên tục vào W và viết V  W v W  C v V , v  V . Nếu V  W thì ta coi các hàm trong V là trơn hơn các hàm còn lại trong W. Định lý 1.2.5.[17, Định lý 9.38] Giả sử    N là một tập mở với biên Lipschitz. Cho j , l    0 và 1  p   . *Nếu lp  n và p  q  np thì phép nhúng i : W jl , p   W j ,q  . n  lp liên tục. Đặc biệt, phép nhúng i : W l , p   Lq  cũng liên tục. *Nếu lp  n và p  q   thì phép nhúng i : W jl , p   W j ,q  liên tục. Đặc biệt, phép nhúng i : W l , p   Lq  cũng liên tục. *Nếu lp  n thì phép nhúng i : W jl , p   CBj  liên tục. Định lý 1.2.6 [17, Định lý 9.39] Cho    N là tập mở với biên Lipschitz, và cho 0   là miền con bị chặn. Và j    0 , l   và 1  p   , khi đó các phép nhúng sau là compact: *Phép nhúng i : W jl , p   W j ,q 0  với lp  n và 1  q  np / n  lp  . *Phép nhúng i : W jl , p   W j ,q 0  với lp  n và 1  q   . 12 *Phép nhúng i : W jl , p   C j 0  với lp  n. Định nghĩa 1.2.11. Một hàm f : X     với X là không gian vec tơ được gọi là lồi nếu f l x  1  l  y   l f ( x)  1  l  f ( y ), x, y  X , l  0,1. Định nghĩa 1.2.12. Cho hàm lồi f : X     . Miền chính (domain) D( f ) của f được định nghĩa như sau D( f ) :  x  X : f ( x)  . Và f được gọi là chính thường (proper) nếu D( f )  . Định nghĩa 1.2.13. Cho hàm lồi f : X     với X là không gian lồi địa phương. Khi đó, x*  X * được gọi là subgradient của f tại x nếu f ( y )  f ( x )  x * , y  x , y  X . Tập hợp f ( x) tất cả các subgradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x. Định lý1.2.7 [16, Định lý 2.22] Cho không gian Banach X và các hàm lồi f , g : X     . Nếu tồn tại một điểm thuộc D( f )  D( g ) sao cho f liên tục tại đó thì với mọi x  X ta có   f  g  x  f ( x)  g ( x). 13 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Trong chương này, đầu tiên chúng ta trình bày bài toán thuận của định giá quyền chọn, toán tử F(⋅) và miền xác định của nó. Tiếp theo, chúng ta phát biểu các tính chất quan trọng của toán tử F(⋅) mà là nền tảng lý thuyết cho sự chỉnh hóa bài toán ngược được trình bày sau đó. Cuối chương, chúng ta điểm lại một vài sự kiện nổi bật liên quan đến việc xác định độ biến động địa phương. 2.1. Bài toán thuận: Phương trình Dupire  là độ đo  là không gian xác suất với lọc F = (Ft )t∈ thích hợp và P Cho (Ω ,U ,F,P) xác suất trung tính rủi ro. Chúng ta có giá cổ phiếu được xác định bằng mô hình sau dS(t) = S0 > 0. ν (t,S(t))S(t)dt + σ (t,S(t))S(t)dW (t),t ∈ [0,T ],S(0) = (2.1.1) Với {W(t)}t∈R là chuyển động Brown hay quá trình Wiener, ν là độ dịch chuyển và σ là độ biến động và là một hàm số xác định theo biến (t,S) ∈ [0,∞ ) × [0,∞ ) . Mặt khác, giá đúng của một hợp đồng quyền chọn châu Âu tại thời điểm T > 0 với giá đáo hạn K ≥ 0 được xác định bởi nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 1 Ut + σ 2 (t,S)S 2U SS + (r − q)SU S − rU= 0, t < T , S ≥ 0 2 (2.1.2) với điều kiện cuối U(t= T ,S) = (S − K )+ . (2.1.3) Trong đó, r và q lần lượt là lãi suất và cổ tức, nói chung chúng là các hàm chỉ phụ thuộc vào biến thời gian t. Hơn nữa, nếu chúng ta cố định t=0 và S ( 0 ) = S0 thì giá của hợp đồng quyền chọn U cũng phụ thuộc và T và K, và ta có U(S0 ,T ,K ) thỏa mãn phương trình Dupire 1 −UT + σ 2 K 2U KK − (r − q)KU K − qU= 0, T > 0, K ≥ 0 2 với điều kiện đầu 14 (2.1.4) U(T = 0,K ) =− (S0 K ) + , K > 0. (2.1.5) Do điều kiện không chênh lệch thị giá có được từ môi trường trung tính rủi ro, ta có U KK > 0 và với K>0, chúng ta có σ (K ,T ) được xác định từ U(S0 ,T ,K ) thông qua công thức σ (K ,T ) = 2 UT + (r − q)KU K + qU . K 2U KK (2.1.6) Nói cách khác, công thức (2.1.6) được trình bày đầu tiên bởi Dupire cho chúng ta một cách xác định trực tiếp σ như là một hàm số của (t,S) khi t=T và S=K từ giá của hợp đồng quyền chọn châu Âu. Tuy nhiên công thức (2.1.6) như thế lại quá thô theo nghĩa nó chứa đạo hàm của dữ liệu nên cực kỳ nhạy với sự thay đổi của giá, mặt khác chúng ta chỉ có thể có một lượng thông tin rời rạc về giá của hợp đồng quyền chọn mà nói chung bị nhiễu. Do đó, biểu thức dưới dấu căn có thể âm hoặc thậm chí không bị chặn. Vì vậy, chúng ta cần phải tìm một cách thay thế để xác định σ bởi vì σ là một công cụ rất quan trọng cho việc định giá chính xác trong thị trường tài chính. Để áp dụng những kỹ thuật cổ điển của lý thuyết PDE parabolic, chúng ta thực hiện việc đổi biến y = log(K / S0 ) và τ= T − t . Do đó, đặt 1 2 u(τ ,y) := U(τ + t,S0 e y ), a(τ ,y) := σ (τ + t,S0 e y ), b(τ ) := q(τ ) − r(τ ) 2 khi đó u(τ ,y) thỏa mãn −uτ + a(τ ,y) ( uyy − uy= ) + buy 0, τ > 0, y ∈  (2.1.7) với điều kiện đầu u(0,y) = S0 (1 − e y ) + , y∈. (2.1.8) Ở đây, σ và a được xem là dương và quan hệ với nhau thông qua một song ánh trơn như cách đặt của a. Do đó, chúng ta sẽ chỉ làm việc với tham biến a thay vì tham biến độ biến động σ bởi vì điều này sẽ làm đơn giản hóa sự phân tích bài toán thuận và bài toán ngược. Cho I ⊂  là một khoảng mở có thể không bị chặn, và= Ω : (0,T ) × I miền xác định của bài toán (2.7), (2.8). Với a1 ,a2 ∈  là các hằng số sao cho 0 < a1 ≤ a2 < ∞ và 15 một hàm cố định a0 ∈ H 1+ε (Ω ) , ε > 0 thỏa mãn a1 ≤ a0 ≤ a2 , ta định nghĩa D(F) := { a ∈ a0 + H 1+ε (Ω ) : a1 ≤ a ≤ a2 }. (2.1.9) Điều kiện a ∈ D(F) cho ta biết a không âm và bị chặn trên Ω và lưu ý tập D(F) là lồi và đóng yếu trong H 1+ε (Ω ) ([5]). Bây giờ chúng ta định nghĩa toán tử F(⋅) phi tuyến sau F : D(F) ⊂ H 1+ε (Ω ) ™ W21,2 (Ω ), (2.1.10) a ∈ D(F)  u(a) − u(a0 ) ∈ W21,2 (Ω ) với u(a) và u(a0 ) là các nghiệm duy nhất của (2.7), (2.8) với các tham biến khếch tán a và a0 tương ứng, chú ý rằng a0 đã được cho cố định. Thật sự cần thiết để cho a0 vào trong định nghĩa của toán tử F(⋅) vì mỗi nghiệm u(a) của (2.7), (2.8) tương ứng 1,2 với mỗi tham biến khếch tán a là thuộc W2,loc (Ω ) . Do đó, u(a) − u(a0 ) ∈ W21,2 (Ω ). Mặt khác, do tính tuyến tính của (2.7), (2.8) nên u(a) − u(a0 ) thỏa mãn bài toán parabolic với điều kiện biên thuần nhất. Theo trên, bây giờ chúng ta sẽ phát biểu bài toán thuận cho định giá quyền chọn như sau: Cho một hàm a ∈ D(F) , hãy xác định F(a) = u(a) − u(a0 ) với u(a) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.7), (2.8) với tham biến khuếch tán a. 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic 1,2 Trong phần này, chúng ta trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm u(τ ,y) ∈ W2,loc (Ω ) của bài toán parabolic (2.7), (2.8) thông qua các phát biểu sau. Mệnh đề 2.2.1 Cho a là hàm liên tục Holder với a1 ≤ a ≤ a2 , b ∈ L∞ (Ω ) , f ∈ L2 (Ω ) . Khi đó − vτ + avyy + bvy = f, (2.2.1) v ( 0, y ) = 0, (2.2.2) có nghiệm duy nhất v ∈ W21,2 (Ω ) . Hơn nữa, v W21,2 ( Ω ) ≤C f L2 ( Ω ) ( ) , vôùi C = C a L∞ ( Ω ) , b L∞ ( Ω ) . 16 (2.2.3) Chứng minh. Tham khảo Định lý 9.2 ở [14]. Mệnh đề 2.2.2. Cho a ∈ D(F), b ∈ L∞ (Ω ), f ∈ L2 (Ω ) . Khi đó, bài toán (2.11), (2.12) có nghiệm duy nhất v ∈ W21,2 (Ω ) . Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn (2.13). Chứng minh. Do không gian các hàm liên tục Holder trù mật trong H 1+ε (Ω ) nên tồn tại dãy {an } các hàm liên tục Holder sao cho an → a ∈ D(F) ⊂ H 1+ε (Ω ) theo ⋅ H 1+ ε (Ω ) . Theo Mệnh đề 2.2.1 với mỗi hàm an liên tục Holder thì tồn tại một nghiệm duy nhất v n ∈ W21,2 (Ω ) của bài toán − vτn + an vyyn + bvyn = f, (2.2.4) v n (0,y) = 0, và thỏa mãn vn W21,2 ( Ω ) ≤ Cn f L2 ( Ω ) ( , với Cn = Cn an L∞ ( Ω ) ,b L∞ ( Ω ) ). (2.2.5) Do sự tuyến tính của (2.2.4), w n = vyn thỏa mãn ( − wτn + an wyn ) + ( bw ) n y y = fy , (2.2.4) w n (0,y) = 0, và w n 2 W20 ,1 T 2 ≤ c1 ∫ f y (τ ) W −1 (  ) dτ ≤ c2 f 0 2 L2 ( Ω ) (2.2.6) với c1 , c2 là các hằng số mà việc xác định chỉ phụ thuộc vào cận dưới của a, a và b L∞ ( Ω ) . Hơn nữa, từ an → a và (2.2.6), v n L2 ( Ω ) cũng bị chặn, do 17 L∞ ( Ω ) , v τ 2 n L2 ( Ω ) d n2 v dτ d Ω Ω 0 dτ = ∫∫ τ { } = 2 ∫ ∫ an vyyn + bvyn − f v n dτ d Ω Ω 0 { ≤ c(T ) vyyn ≤ C(T ) f 2 L (Ω ) L2 ( Ω ) + vyn vn 2 L (Ω ) L2 ( Ω ) + f }v L2 ( Ω ) n L2 ( Ω ) . Suy ra vn L2 ( Ω ) ≤ C(T ) f (2.2.7) L2 ( Ω ) với C(T) là hằng số mà việc xác định chỉ phụ thuộc vào cận dưới của a, a b L∞ ( Ω ) L∞ ( Ω ) , . Mặt khác, vτn L2 ( Ω ) cũng bị chặn, do (2.2.4), (2.2.6), và an → a . Và theo (2.2.6), (2.2.7), ta có v n bị chặn theo chuẩn của không gian Hilbert W21,2 (Ω ) vn W21,2 ( Ω ) ˆ ≤C f  với C chỉ phụ thuộc vào cận dưới của a, a {v } ⊂ {v } sao cho v nk n nk (2.2.8) L2 ( Ω ) L∞ ( Ω ) , b L∞ ( Ω ) . nên tồn tại dãy con ˆ  v ∈ W21,2 (Ω ) . Do đó, với mỗi ψ ∈ C0∞ (Ω ) , ta có ˆ ˆ ∫Ω ( −vτ + av yy ˆ + bvy )ψ d Ω = lim ∫ − vτnk + avyynk + bvynk ψ d Ω = k →∞ Ω ( ) ∫Ω fψ d Ω . ˆˆ Bằng chính quy hóa lời giải yếu (tham khảo [8], Mệnh đề A1), v là nghiệm duy nhất của bài toán (2.2.1), (2.2.2). Hơn nữa do tính nửa liên tục dưới yếu của ⋅ W 1,2 2 (Ω ) ˆ ˆ (2.2.8), và v n  v ∈ W21,2 (Ω ) , ta có v k W21,2 ( Ω ) ˆ ≤C f L2 ( Ω ) . , ■ Trong hệ quả sau, chúng ta sẽ phát biểu về nghiệm của bài toán (2.1.7), (2.1.8}). Hệ quả 2.2.1. Cho a ∈ D(F), b ∈ L∞ (Ω ). Khi đó, bài toán (2.1.7), (2.1.8) có nghiệm duy nhất u ∈ W21,2 (Ω ) và thỏa mãn u ∞ ≤ S0 và uy 18 W20 ,1 ( Ω ) ≤C (2.2.9)