Tài liệu Chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nhi CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Nhi CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC VỚI NGUỒN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CÁM ƠN Trong quá trình làm luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất nhiệt tình từ Thầy hướng dẫn Đặng Đức Trọng, Thầy đã nhận xét cũng như góp ý cho tôi rất nhiều để tôi có thể hoàn thành tốt đề tài luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy và tôi cũng xin cảm ơn ban quản lý thư viện của nhà trường, một số thầy cô trong khoa đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tài liệu tham khảo. Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua. Do thời gian có hạn và trình độ bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận văn chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn học viên. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2013 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Hồng Nhi 1 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ..................................................................................... 4 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.................................................................... 9 1.1. Một số kiến thức cơ bản về không gian hàm............................................................. 9 1.1.1. Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ ........................................................................................ 9 1.1.2. Không gian Sobolev................................................................................................ 9 1.2. Một số bất đẳng thức quan trọng ............................................................................. 11 1.2.1. Bất đẳng thức Holder ............................................................................................ 11 1.2.2. Bất đẳng thức Gronwall ........................................................................................ 12 1.3. Biến đổi Fourier ......................................................................................................... 13 1.4. Nguyên lý ánh xạ co Banach ..................................................................................... 18 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT ................................................................................ 21 2.1. Định nghĩa .................................................................................................................. 21 2.2. Biến đổi Fourier của bài toán (2.1) .......................................................................... 21 2.3. Tính không chỉnh của bài toán (2.2) ........................................................................ 22 2.4. Chỉnh hóa bài toán (2.2) ............................................................................................ 23 2.4.1. Các kết quả chính .................................................................................................. 24 2.4.2. Tính chỉnh của bài toán ( P ) ..............................................................................26 ϕ 2.4.3. Sự chỉnh hóa và các ước lượng sai số ................................................................... 32 CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT VỚI BIẾN KHÔNG GIAN HAI CHIỀU .......... 40 3.1. Định nghĩa .................................................................................................................. 40 3.2. Biến đổi Fourier của bài toán (3.1) .......................................................................... 40 3.3. Tính không chỉnh của bài toán (3.2) ........................................................................ 42 3.4. Chỉnh hóa bài toán (3.2) ............................................................................................ 43 3.4.1. Các kết quả chính .................................................................................................. 44 3.4.2. Tính chỉnh của bài toán ( P ) ..............................................................................47 ' ϕ 3.4.3. Sự chỉnh hóa và các ước lượng sai số ................................................................... 53 2 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 62 3 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU x Biến không gian. t Biến thời gian. RN Không gian Euclide N chiều. u Hàm nhiệt hoặc hàm tổng quát. ut Đạo hàm cấp 1 của u theo biến t . ux Đạo hàm cấp 1 của u theo biến x . u xx Đạo hàm cấp 2 của u theo biến x . f Môđun của f . χ Aε ( p ) Hàm đặc trưng của tập Aε . H m (Ω) Không gian Sobolev cấp m trên Ω . C ([ 0, T ] ; X ) {u : [0, T ] → X .1 Chuẩn trong H 1 ( R ) . . Chuẩn trong L2 ( R ) . } đo được, liên tục theo t và max t u ( t ) < ∞ . ( ) |||.||| Chuẩn trên trong C [ 0, T ] ; H 1 ( R ) .  Kết thúc chứng minh. 4 MỞ ĐẦU Bài toán ngược là một hướng nghiên cứu được phát triển một cách mạnh mẽ trong nhiều năm gần đây, với những ứng dụng rộng rãi ở nhiều lĩnh vực khác nhau như: Vật lý, Hệ đồng nhất, Trắc địa…Đặc trưng phổ biến của bài toán này là tính không chỉnh mà đặc biệt là tính không ổn định của nghiệm. Ở đây, tính không chỉnh của bài toán được hiểu theo nghĩa Hadamard, tức là có ít nhất một trong ba trường hợp sau xảy ra: 1. Nghiệm không tồn tại. 2. Nghiệm (nếu tồn tại) không duy nhất. 3. Nghiệm không ổn định (tức nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu). Chính vì đặc điểm này mà các nhà khoa học phải tập trung tìm các phương pháp để chỉnh hóa nó, nghĩa là tìm một nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ liệu để có thể ứng dụng tính số trong các bài toán cụ thể. Trong khoảng 40 năm gần đây, có rất nhiều tác giả đã nghiên cứu các bài toán nhiệt ngược thời gian tuyến tính. Các tác giả Lattes-Lions [11], Miller [12], Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn [17] đã nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa được gọi là phương pháp tựa khả nghịch bằng cách làm nhiễu phương trình chính. Các tác giả Clark và Oppenheiner [8] đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa khác bằng cách làm nhiễu giá trị cuối (phương pháp giá trị tựa biên). Gần đây, bài toán cũng được nghiên cứu trong nhiều tài liệu. Sau năm 2000, ta có thể tìm thấy một vài bài báo liên quan đến bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến. Trong tài liệu [6, 7], các tác giả đã đưa ra một kết quả về tính ổn định cấu trúc cho phương trình Ginzburg-Landau. Các tác giả Phạm Hoàng Quân và Nguyễn Dũng, trong tài liệu [13], đã nghiên cứu một phương pháp chỉnh hóa bằng cách biến đổi bài toán thành bài toán cực tiểu một phiếm hàm thích hợp. Trong tài liệu [14], các tác giả sử dụng biến đổi Fourier để có phương trình tích phân trong không gian tần số. Bằng cách gây nhiễu trực tiếp phương trình tích phân, họ đã xây dựng được một phương pháp chỉnh hóa. Trong tài liệu [16], các tác giả đã kết hợp hai phương pháp tựa khả nghịch và tựa giá trị biên để chỉnh hóa bài toán. Và gần đây, trong tài liệu [19], các tác giả đã sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier để chỉnh hóa bài toán, đây là một phương pháp chỉnh hóa mới khá hiệu quả. Tuy nhiên, rất hiếm tài liệu đề cập đến việc chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp một. Bởi vậy, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “Chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn phi tuyến” với mục đích chính là sẽ trình bày sự 5 chỉnh hóa bài toán này một cách tốt hơn. Trong luận văn, chúng tôi tham khảo các chi tiết của bài báo “Regularization of a backward heat transfer problem with a nonlinear source”, xem [20]. Ý tưởng của bài báo là từ điều kiện cuối u ( x, T ) , ta xét bài toán tìm hàm u thỏa = ut − u xx f ( x, t , u ( x, t ) , u x ( x, t ) ) , ( x, t ) ∈ R × ( 0, T ) . Bài toán là không chỉnh và ta sẽ dùng biến đổi Fourier để được một phương trình tích phân trong không gian tần số. Bằng việc cắt ngắn các tần số cao ta sẽ cho ra một nghiệm chỉnh hóa. Các ước lượng sai số được cho trước. Về bố cục, ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương với nội dung tóm tắt như sau: • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết được sử dụng trong các chương tiếp theo của luận văn. Các kiến thức được nhắc tới ở đây bao gồm:  Một số kiến thức cơ bản về không gian hàm.  Một số bất đẳng thức quan trọng.  Biến đổi Fourier.  Nguyên lý ánh xạ co Banach. • Chương 2. Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp một Chương này là chương chính của bản luận văn. Dựa vào nội dung của bài báo, luận văn sẽ trình bày và phân tích các nội dung một cách chi tiết và rõ ràng hơn về các vấn đề sau:  Định nghĩa bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp một (bài toán (2.1)). Cho T là một số dương, ta xét bài toán tìm một nghiệm u ( x, t ) , ( x, t ) ∈ R × [0, T ] , thỏa hệ ut − u xx f ( x, t , u ( x, t ) , u x ( x, t ) ) , =  u ( x, T ) = ϕ ( x ) , ( x, t ) ∈ R × ( 0, T ) trong đó ϕ ( x ) , f ( x, t , y, z ) là các hàm cho trước. Bài toán được gọi là bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến có chứa đạo hàm cấp một.  Biến đổi Fourier của bài toán (2.1). 6 Bằng cách sử dụng biến đổi Fourier, ta đưa bài toán (2.1) về bài toán (2.2) như sau: T T −t p 2 s −t p 2  = u ( p, t ) e( ) ϕ ( p ) − ∫ e( ) F u ,u x ( p , s ) ds , t trong đó g ( p, t ) = 1 2π ∫ +∞ −∞ g (ξ , t ) e − ipξ dξ , và Fu ,v ( x, t ) := f ( x, t , u ( x, t ) , v ( x, t ) ) .  Chứng minh tính không chỉnh của bài toán (2.2). Ở bài toán (2.2), ta chú ý các nhân tử xấu là e( Vì e( s −t ) p 2 T −t ) p 2 , e( s −t ) p 2 , 0 0 nhỏ tùy ý, ta có ξ ( t ) ≤ C1 ∫ ξ ( s ) ds + ε , T t từ đó ta có ξ ( t ) ≤ ε eC (T −t ) ≤ ε eC T , 1 1 vì ε nhỏ tùy ý nên ξ ( t ) = 0 .  1.3. Biến đổi Fourier Cho f ∈ L1 (  ) , hàm f định bởi 1 2π f ( λ ) = ∫ +∞ −∞ f ( t ) e − iλt dt , được gọi là biến đổi Fourier của f . Một số tính chất của biến đổi Fourier Tính chất 1. Cho dãy ( f n )n=1,2,... ( ) fn hội tụ trong L1 ( R ) . Khi đó, dãy  n =1,2,... hội tụ đều trên R. Chứng minh. Ta có  fm ( λ ) −  fn ( λ ) ≤ ≤ 1 2π 1 2π ∫ +∞ −∞ ∫ +∞ −∞ f m ( x ) − f n ( x ) . e − iλt dx f m ( x ) − f n ( x ) dx → 0 khi m, n → ∞ . Tính chất 2. Cho f ∈ L1 ( R ) thỏa tính chất f ' ∈ L1 ( R ) và f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó  f ' = iλ f . 13 Chứng minh. Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên f= ( x ) f ( 0 ) + ∫ f ' ( t ) dt . x 0 Hơn nữa, f ' ∈ L1 ( R ) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi x → ±∞ . Ngoài ra giới hạn đó phải bằng 0 vì f ∈ L1 ( R ) . Vậy  f '(λ ) = ∞ 1 2π ∫ = 1 2π ∫ = 1 2π  e − iλ x f ( x )  −∞ f ' ( x ) e − iλ x dx ∞ −∞ e − iλ x df ( x ) ∞ −∞ + iλ ∫ ∞ −∞ f ( x ) e − iλ x dx  = iλ f ( λ ) .   Tính chất 3. Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1 ( R ) thì f hội tụ về 0 càng nhanh khi λ → ∞ , là vì  f (λ )) ( f ( λ ) = . ( n) λ n Chứng minh. Điều này dễ thấy nhờ vào tính chất 2.  Tính chất 4. Cho f ∈ L1 ( R ) và thỏa I . f ∈ L1 ( R ) , I là ánh xạ đồng nhất x  x , (do thói quen, người ta hay viết xf ( x ) thay cho I . f ). Khi đó f khả vi và d f iI . f ( λ ) , ( λ ) = − dλ (cũng có thể viết là ( −ixf ) ( λ ) ). ∧ Chứng minh. Ta có d  1 d λ  2π ∫ +∞ −∞ i  f ( x ) e − iλ x dx  = − 2π  ∫ +∞ −∞ xf ( x ) e − iλ x dx . Tính chất (4) cho ta thấy nếu f giảm càng nhanh thì f càng trơn.  Tính chất 5. Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, tức là f ∈ C ∞ và ∀p, q ∈ N , ∃M > 0, ∀x, x p f ( Khi đó f ∈ S . 14 q) ( x) ≤ M . Chứng minh. Cho p, q ∈ N bất kì, ta có x p + 2 f ( q ) ( x ) ≤ M nào đó, suy ra xp f ( q) ( x) ≤ M . x2 Bất đẳng thức trên cho thấy x p f ( q ) ∈ L1 ( R ) . Theo tính chất (4) thì f ∈ S . Tiếp theo, f ( q ) ∈ L1 ( R ) với mọi q ∈ N nên áp dụng tính chất (3), ta có f giảm nhanh hơn 1 λ q khi λ → ∞ , với mọi q ∈ N . Do đó λ q f ( λ ) ≤ M . Hơn nữa, theo tính chất (4) và (2) thì ( iλ ) ( ) ( ) f = (λ ) q p ( iλ ) ( −ix ) q = ( −i ) ( iλ ) = ( −i ) p p q p f ( x )  ∧  x p f ( x )  ∧ ∧  x p f (q) ( x ) , ( )   (q) (q) ta suy ra f ∈ S vì ( x p f ) ( x ) ≤ M và ( x p f ) ∈ L1 ( R ) .  Tính chất 6. Giả sử f ∈ L1 ( R ) và f ∈ L1 ( R ) . Đặt g ( x) = 1 2π +∞ ∫ −∞ f ( λ ) eiλ x d λ , (tích phân trên được hiểu theo nghĩa Lesbesgue). Khi đó a) g ∈ C0 , với C0 là không gian các hàm số liên tục trên R và tiến dần về 0 tại vô cực. b) g ( x ) = f ( x ) h.k.n. trên R . Chứng minh. Chúng ta có thể tìm chứng minh trong [15], chương 9.  Định lý 1.3.1 (Định lý Plancherel). Với mọi f ∈ L2 ( R ) , N > 0 , ta đặt FN { f }( λ ) = 1 2π ∫ N −N f ( x ) e − iλ x dx . Khi đó a) FN { f } hội tụ trong L2 ( R ) đến một hàm F { f } khi N → ∞ . Hơn nữa = F{ f } 2 2 ∫ +∞ −∞ F= { f }( λ ) d λ 2 15 +∞ f ( x ) dx ∫= −∞ 2 2 f 2. b) Nếu f ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) thì F { f } = f h.k.n. trên R . c) Đặt φN ( x ) = ∫ F { f }( λ ) eiλ x d λ , N −N thì φN hội tụ trong L2 ( R ) đến f khi N → ∞ . d) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 ( R ) vào L2 ( R ) . Chứng minh. Với mọi f1 , f 2 ∈ S (xem lại tính chất (5) của biến đổi Fourier), ta có  f1 ,  f 2 ∈ S ⊂ L1 ( R ) . Suy ra từ tính chất (6) và định lý Fubini rằng ∫ +∞ −∞ f1 ( x ) f 2 ( x )dx = ∫ +∞ −∞ 1 2π = =∫ +∞ −∞ ∫ (∫ 1 2π +∞ −∞ +∞ −∞ )  f1 ( λ ) eiλ x d λ f 2 ( x )dx  +∞   f1 ( λ )  ∫ f 2 ( x ) e − iλ x dx  d λ  −∞   f1 ( λ )  f 2 ( λ )d λ , trong đó dấu gạch ngang có nghĩa là liên hiệp phức. Suy ra = g 2 ∀g ∈ S , g 2, (1.4) trong đó . 2 là chuẩn trong L2 ( R ) . Với f ∈ L2 ( R ) triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn [ − a, a ] , thì f cũng thuộc L1 ( R ) . Ta có CC∞ ( − a, a ) trù mật trong L2 ( − a, a ) , do đó có một dãy hàm ( fn ) chứa trong CC∞ ( − a, a ) hội tụ về f trong L2 ( − a, a ) , dẫn đến hội tụ trong L1 ( −a, a ) bởi bất đẳng thức Holder fn − f L1 ( − a , a ) ≤ 2a f n − f L2 ( − a , a ) . Ta có thể xem như f n ∈ S nếu nới rộng miền xác định của f n lên toàn R với f n triệt tiêu bên ngoài ( − a, a ) . Như vậy f n hội tụ về f trong L2 ( R ) và L1 ( R ) . Từ tính chất (1) của biến đổi Fourier, ta có  f n → f đều trên R . Theo (1.4) thì  fn −  fm 2 = fn − fm 2 , 16 (1.5) ( ) do đó  f n là dãy Cauchy trong L2 ( R ) , sẽ hội tụ trong L2 ( R ) về một hàm g . Định lý Fischer-Riesz và (1.5) cho f= g ∈ L2 ( R ) , (1.6)  f = = = = g 2 lim fn fn 2 lim n →∞ 2 2 n →∞ f 2 (1.7) , đúng cho hàm f bất kì trong L2 ( R ) và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn. Tiếp theo, xét f ∈ L2 ( R ) tùy ý. Đặt  f ( x ) fN ( x ) =  0 Ta có lim f N − f N →∞ 2 nÕu − N ≤ x ≤ N, nÕu x > N. 0 . Ngoài ra f N ∈ L1 ( R ) nên = 1  fN (λ ) 2π ∫ +∞ −∞ f N ( x ) e − iλ x dx = FN { f }( λ ) . Theo (1.6) và (1.7) thì FN {= f} 2  = fN fN 2 , 2 và FN { f } − FM { f } =  fN −  fM 2 = f N − fM 2 , suy ra ( FN { f } ) là dãy Cauchy trong L2 ( R ) , sẽ hội tụ về một hàm F { f } trong L2 ( R ) . Vậy lim = F { f } 2 lim F = = fN 2 N{f} 2 N →∞ N →∞ f 2 , nghĩa là ta chứng minh xong a). Xét trường hợp f ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) . Do f N hội tụ về f trong L1 ( R ) nên  f N (chính là FN { f } ) hội tụ đều về f bởi tính chất (1) của biến đổi Fourier. Mặt khác, FN { f } cũng hội tụ trong L2 ( R ) về F { f } . Vậy f = F { f } h.k.n. trên R , nghĩa là ta chứng minh được b). Phần chứng minh c) thì hoàn toàn tương tự như kỹ thuật chứng minh a). Từ các kết quả đã chứng minh ở trên, dễ dàng suy ra toán tử F là tuyến tính liên tục và là đơn ánh từ L2 ( R ) vào L2 ( R ) . Riêng phần chứng minh tính chất toàn ánh của F, bạn đọc có thể xem trong  [20]. 17 Kết quả c) trong định lý Plancherel cho hệ quả sau Hệ quả 1.3.2. Nếu f ∈ L2 ( R ) và f ∈ L1 ( R ) thì 1 2π f ( x) = ∫ +∞ −∞ f ( λ ) eiλ x d λ , với h.k.n. x. Nhận xét 1.3.3. Trong phần b) của định lý Plancherel, ta thấy F { f } trùng với f trong trường hợp f ∈ L2 ( R ) ∩ L1 ( R ) . Do vậy người ta cũng gọi F { f } là biến đổi Fourier (hay Plancherel) của f trên L2 ( R ) và vẫn sử dụng kí hiệu f thay cho F { f } . 1.4. Nguyên lý ánh xạ co Banach Cho ( X , d ) là không gian metric và T : X → X . Ta có • T là ánh xạ co nếu với x ≠ y , d (Tx, Ty ) < d ( x, y ) . • T thỏa điều kiện Lipschitz hay đơn giản T là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số k ≥ 0 sao cho với mọi x, y thuộc X , ta có d (Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y ) (1.8) • Số k (T ) bé nhất thỏa mãn (1.8) được gọi là hệ số Lipschitz của T . • Nếu k (T ) < 1 ta nói T là ánh xạ co hệ số k = k (T ) hay đơn giản T là k − co. • Nếu S , T : X → X là ánh xạ Lipschitz thì k (T  S ) ≤ k (T ) .k ( S ) và đặc biệt k (T n ) ≤ ( k (T ) ) với mọi n ∈ N . n • Điểm x0 ∈ X là điểm bất động của T nếu Tx0 = x0 . Hiển nhiên nếu T là ánh xạ co thì T liên tục đều và điểm bất động của T , nếu có, sẽ là duy nhất. Định lý 1.4.1 (Nguyên lý ánh xạ co). Cho ( X ,d ) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ k − co. Khi đó T có điểm bất động duy nhất, ghi là x0 , và lim T n ( x ) = x0 , với mọi x ∈ X . n →∞ Hơn nữa d ( x0 , T n x ) ≤ kn d ( x, Tx ) , với mọi x ∈ X . 1− k = x1 Tx,= xn+1 Txn , n ∈ N * . Chứng minh. Với x ∈ X , đặt 18