Tài liệu Chéo hoá ma trận

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán, các thầy cô trong bộ môn Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp em trong thời gian vừa qua. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thuý đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em, để em hoàn thành tốt khoá luận tốt nghiệp và quá trình học tập. Bên cạnh đó, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này. Do điều kiện thời gian có hạn, nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Đông Nguyễn Thị Quỳnh Đông 1 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả của em trong thời gian học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của cô Đinh Thị Kim Thuý. Em xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp về đề tài ― Chéo hoá ma trận‖ không trùng với bất cứ khoá luận tốt nghiệp nào khác. Ngƣời thực hiện Nguyễn Thị Quỳnh Đông Nguyễn Thị Quỳnh Đông 2 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Cấu trúc luận văn B. NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1. Ma trận và hạng của ma trận 1.1.1. Ma trận 1.1.2. Hạng của ma trận 1.2. Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.1. Không gian con bất biến 1.2.2. Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.3. Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính 1.2.4. Định lí Cayley – Hamilton, đa thức tối tiểu 1.2.5. Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f 1.3. Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu 1.4. Chéo hoá trực giao 1.4.1. Cơ sở trực chuẩn 1.4.2. Phương pháp trực giao trực chuẩn Gram – Schmidt 1.4.3. Ma trận trực giao Chương 2. BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1. Bài toán 1 2.2. Bài toán 2 2.3. Bài tập C. KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Quỳnh Đông 3 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chéo hóa ma trận là một vấn đề lý thú và quan trọng của Toán học. Nó có rất nhiều ứng dụng trong các chuyên ngành khác nhau của toán học như: Giải tích, Hình afin,... Vì vậy đề tài ―Chéo hóa ma trận‖ là đề tài hấp dẫn đối với nhiều lớp sinh viên yêu thích bộ môn hình học. Đặc biệt trong quá trình học tập các môn học và bài giảng chuyên đề, chúng em đã tiếp thu được một số kiến thức: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận, cơ sở trực chuẩn, ma trận trực giao,chéo hóa ma trận và chéo hóa trực giao…Chính những kiến thức này đã tạo cho em niềm say mê và mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về bài toán chéo hóa ma trận. Vì lý do trên và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô Đinh Thị Kim Thúy nên em đã quyết định chọn đề tài: “ Chéo hóa ma trận”. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy lôgic đặc thù của bộ môn. Khắc sâu và tìm hiểu những kiến thức về chéo hóa ma trận. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận . Nghiên cứu hai bài toán chéo hóa ma trận. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận. Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp. Nguyễn Thị Quỳnh Đông 4 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 5. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở lí thuyết. Chương 2: Bài toán chéo hóa ma trận. Nguyễn Thị Quỳnh Đông 5 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp B. NỘI DUNG CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1. Ma trận và hạng của ma trận 1.1.1. Ma trận Định nghĩa 1.1: Cho K là một trường tuỳ ý. Một bảng gồm mxn phần tử aij  K (1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) có dạng:  a11 a12   a21 a22  ... ...   am1 am 2 ... a1n   ... a2 n  ... ...   ... amn  được gọi là một ma trận kiểu (m,n). Mỗi aij được gọi là thành phần của ma trận. Kí hiệu là : A = ( aij )mxn Vectơ dòng ( hay hàng)  ai1 ai 2 ... ain  được gọi là dòng (hay hàng) thứ i của ma trận A.  a1j     a2j  Vectơ cột  ...  được gọi là cột thứ j của ma trận A.    amj  Khi m = n thì ma trận ( aij )nxn được gọi là ma trận vuông cấp n. Kí hiệu A= ( aij )nxn Định nghĩa 1.2: Hai ma trận vuông A và B cùng  Mat (n  n, K ) ta nói hai ma trận Avà B đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch C  Mat (n  n, K ) sao cho Nguyễn Thị Quỳnh Đông 6 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp B =C-1AC. Định nghĩa 1.3: Ma trận A được gọi là đối xứng nếu At = A. 1.1.2. Hạng của ma trận Định nghĩa 1.4: Cho ma trận A có dạng : A  (aij )mn  a11 a12  a a22   21  ... ...   am1 am 2 ... a1n   ... a2 n  . ... ...   ... amn    Hạng của ma trận A là hạng của hệ vectơ cột a1 ,...., an  với  a1 j      a2 j  aj     ...  a   mj  (j=1,…,n) Kí hiệu là: r(A) hoặc rank(A). Định lí 1.5: Giả sử một ma trận A  (aij )  Mat (m  n, K ) . Khi đó, hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức con khác không của A. Nói rõ hơn, r(A) = k nếu có định thức con cấp k của A khác 0 và mọi định thức con cấp lớn hơn k (nếu có) của A đều bằng không. Nhận xét: Định thức con cấp r của A như định lí 1.5 được gọi là định thức con cơ sở của ma trận A. Hệ quả 1.6: Hạng của một ma trận bằng hạng của các vectơ hàng của nó. Chú ý: Một ma trận có thể có nhiều định thức con cơ sở khác nhau nhưng cấp của chúng đều bằng hạng của ma trận đó. Nguyễn Thị Quỳnh Đông 7 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp * Quy tắc tính r(A) bằng định thức: Bước 1: Bằng một cách nào đó ta tìm một định thức con Dk cấp k ≠ 0 (1 ≤ k ≤ min{n,m}). Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 bao Dk (nếu có) + Nếu các định thức này cấp k + 1 này đều bằng không thì kết luận r(A) = k. + Nếu tồn tại một định thức cấp r+1 khác không thì ta tính các định thức cấp k + 2 bao Dk+1 ≠ 0 này (nếu có). Cứ tiếp tục như vậy ta tìm được r(A). Ví dụ 1: Tính hạng của ma trận sau:  1   0  A 1  4   3  0 1 1 2 1 0 1 1 3 2 1  2  1 1  0  Lời giải: Ta thấy D2  1 0  1  0 0 1 Vì D2 ≠ 0 nên xét tiếp một định thức cấp 3 bao D2 là: 1 0 0 D3  0 1 1  1  0 4 2 3 Vì D3 ≠ 0 nên xét tiếp định thức cấp 4 bao D3 bao là: Nguyễn Thị Quỳnh Đông 8 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 1 0 D4  1 4 0 1 1 2 0 1 1 3 1 2 0 1 1 Vậy r(A)=3. * Quy tắc tính r(A) bằng phép biến đổi sơ cấp: Bước 1: Bằng các phép biến đổi sơ cấp đưa A về dạng ma trận bậc thang A . Bước 2: Đếm số hàng khác không của A , số đó chính là r(A). Ví dụ 2: Tìm giá trị của  sao cho ma trận sau đây có hạng thấp nhất: 3   A 1  2 1 1 4  4 10 1  7 17 3   2 4 3 Lời giải: Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp: 3   1  2 1 1 4  1 7 17 3   1 7 17     4 10 1  L3  L1   4 10 1  3 L1  L3  L3  4 10     2 L1  L4  L4  3 1 1 4  0 20 50 7 17 3      2 4 3  2 2 4 3  0 12 30  1 7 17 3   1 7 17 3    1 L3  L3  4 10 1   1 L3  L4  L4   4 10 1  5     1 L4  L4    0 4 10 1  0 4 10 1 3      0 4 10 1   0 0 0 0 3  1 5  3 Như vậy ta thấy r(A)min = 2   0 Vậy   0 thì ma trận trên có hạng nhỏ nhất. Nguyễn Thị Quỳnh Đông 9 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.2. Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.1. Không gian con ổn định Định nghĩa 1.7: Cho một không gian vectơ V trên trường K và f là một tự đồng cấu của V. Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian con ổn định đối với f ( hay một không gian f - ổn định) nếu f(U)  U. Ví dụ 1: Đối với tự đồng cấu f: V  V bất kì, các không gian con sau  đây đều là f – ổn định: 0 ; V; Kerf ; Imf.  Xét trường hợp không gian con ổn định 1 chiều:    Giả sử L là không gian con f - ổn định một chiều, và   L (   0 ).  Khi đó (  ) là một cơ sở của L. Vì f(L)  L cho nên có một vô hướng   K     sao cho f ( )  . (   0 ).   Ngược lại nếu có một vectơ   0 và một vô hướng   K sao cho    f ( )   thì L  L( ) là một không gian con f - ổn định một chiều. Ta đi tới định nghĩa sau đây: 1.2.2. Vectơ riêng và giá trị riêng Định nghĩa 1.8: Giả sử f là một tự đồng cấu của K-không gian vectơ V. Nếu có vectơ       0 và vô hướng   K sao cho f( ) =  .  thì  được gọi là một giá trị riêng của f còn vectơ   được gọi là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  . Nhận xét : Như vậy việc tìm các không gian con một chiều tương đương với việc tìm các vectơ riêng. Nguyễn Thị Quỳnh Đông 10 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.2.3. Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính Định nghĩa 1.9: Đa thức bậc n của một ẩn X với hệ số trong K Pf(X)= det (f-X.idv). được gọi là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f. Định nghĩa 1.10: Đa thức bậc n của ẩn X với hệ số trong K PA(X)= det (A-X.En). được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Nghiệm của đa thức này được gọi là giá trị riêng của A. Mệnh đề 1.11: Vô hướng   K là một giá trị riêng của tự đồng cấu f: V  V nếu và chỉ nếu  là một nghiệm của đa thức đặc trưng của f. det (f-  .idv)= det (A-  .En). 1.2.4. Định lí Cayley- hamilton, đa thức tối tiểu Định lí 1.12 (Cayley- hamilton ) Mỗi ma trận vuông A đều là một nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó. Chứng minh: Gọi B(X) là ma trận phụ hợp của ma trận (A – X.En). Vì phần bù đại số của mọi phần tử trong (A – X.En) đều là một đa thức của X có bậc không quá (n - 1), nên ta có thể viết: B(X) = Bn – 1 .Xn – 1 + ........+ B1.X + Bo. trong đó Bo,...., Bn – 1 là những ma trận vuông cấp n với các phần tử trong K (không phụ thuộc X). Mà ta có : (A – X.En)B(X) = det (A – X.En)En = PA(X).En. Thay X = A vào đẳng thức trên ta được : Nguyễn Thị Quỳnh Đông 11 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp PA(A)En = (A – A.En)B(A) = 0.B(A) = 0. Điều đó có nghĩa là: PA(A) = 0. Định nghĩa 1.13: a. Đa thức tối tiểu của ma trận A, được kí hiệu:  A  X  là đa thức với hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác không nhận A làm một nghiệm. b. Đa thức tối tiểu của đồng cấu f được kí hiệu:  f  X  là đa thức với hệ số bậc cao nhất bằng 1 và bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác không nhận f làm một nghiệm. 1.2.5 Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f a. Phương pháp định thức Trong thực hành có thể tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f như sau:   Bước 1: Lấy một cơ sở (e)= ( e1 ,..., en ) trong V và tìm ma trận A của f trong cơ sở đó . Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det(A-  .En) của ma trận A Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn λ : det(A-  .En)= 0 Bước 4: Với mỗi nghiệm  của phương trình. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất suy biến : (a11   ).x1  a12 .x2  ....  a1n .xn  0  a21.x1  (a22   ).x2  ....  a2 n .xn  0  ............................ a .x  a .x  ....  (a   ).x  0 22 2 nn n  n1 1 Với mỗi nghiệm không tầm thường (c1, c2,...,cn ) của hệ này ta có :     = c1. e1 +...+ cn. en là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  . Nguyễn Thị Quỳnh Đông 12 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1:    Cho tự đồng cấu f : V  V có ma trận A trong cơ sở { e1 , e2 , e3 } của V là:  2 1  A=  5 3   1 0 2  3  2  Hãy tìm các vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận A. Lời giải: Ta có phương trình đặc trưng của ma trận A là : 2 Det(A-  .E3) = 5 1 1 3   0 2 3 =0 2   Khai triển định thức cấp 3 ta được phương trình:  3. 3. 10 3 2 Phương trình này có nghiệm bội :  = -1 (bội 3) Với  = -1 ta giải hệ phương trình: 3.x1  5.x1    x1  x2  2.x2  2.x3  0  3.x3  0  x3  0  x1    x1  x2  0  x3  0 Có nghiệm không tầm thường là :( x1= a, x2= a, x3= -a) với (a  0)     Vậy vectơ  = a.( e1 e2  e3 ) (a  0) là các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  = -1 Ví dụ 2: Hãy tìm giá trị riêng của ma trận vuông cấp n sau đây: Nguyễn Thị Quỳnh Đông 13 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 0 x x  y 0 x  A y y 0  ... ... ...   y y ...  ... ... ... ... ... x  x  x ...  0  Lời giải : Trước hết ta đi tính định thức : a x x ... y a x ... Dn  y y a ... ... ... ... ... y y y ... x a x x x ya a x 0 x  0 ya a x ... ... ... ... a 0 0 0 ... x x ... 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... y  a a  x ( Vì lấy mỗi hàng (kể từ hàng thứ 2) trừ đi cho hàng đứng trước nó). Khai triển theo cột cuối ta được : Dn   1 n 1 .x.  y  a    1 .x.  a  y  2n  x.  a  y   x.  a  y   x.  a  y   x.  a  y  n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1   a  x  .Dn 1   a  x  .Dn 1   a  x  .Dn 1   a  x  .  x.  a  y    x.  a  x  .  a  y   x.  a  x  .  a  y  n2 n2 n2   a  x  .Dn  2     a  x  .Dn 2 2  x.  a  x  .  a  y  2 n 3   a  x  .Dn 3 3 ............  x.  a  y   n 1   a  x  . a  y  n2   a  x  . a  y  2 n 3  ....   a  x  n4 3 n 3 .  a  y     a  x  D3  Mà : a x x 2 2 3 D3  y  a a  x 0  x.  a  y   x.  a  x  .  a  y   x.  a  x    a  x  0 ya ax Thay vào công thức toán ở trên ta được : Nguyễn Thị Quỳnh Đông 14 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Dn  x.  a  y    a  x  .  a  y    a  x  .  a  y   n n x.  a  y    a  x     ax n     x y n 1 n2 x.  a  y   y.  a  x   x y Thay a =  ta được : n det( A   E n )   1 n 2 n 3 n 1 n  .....   a  x     a  x   n .x.    y    1 . y.    x  0 x y  x.    y   y.    x  n n n n n n x x hay    y  y x x  n   y y y.  x   1   Vậy giá trị riêng của ma trận vuông A là :   y.  x 1    với n x y b. Phương pháp Krylow - Trước hết xác định các giá trị riêng của ma trận A=(aij)nxn cho trước. Xét En là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó phương trình ẩn  sau đây là phương trình đặc trưng của ma trận A det (A-  .En) = 0 + Nếu khai triển det (A-  .En) theo lũy thừa  thì ta có det (A-  .En) là đa thức bậc n của  . Kí hiệu:D(  ) và gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A: D(  ) = (-1)n. [  n - P1.  n-1 -…- Pn-1.  - Pn] + Nếu φ(A) = ao .An + a1. An-1 + …+ an .En = 0 ta nói rằng đa thức Nguyễn Thị Quỳnh Đông 15 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp φ(  ) = ao.  n + a1.  n-1 +…+ an-1.  + an nhận ma trận A làm nghiệm. Theo định lí Cayley- hamilton thì đa thức đặc trưng D(λ) của ma trận A nhận A làm nghiệm, đồng thời nó còn nhận ma trận chuyển vị của A là At là nghiệm, nghĩa là: D(A) = (-1)n[An - P1 .An-1 - …- Pn.En] = 0 D(At) = (-1)n[(At) - P1.(At)n—1 -…- Pn .En] = 0 Trong tập hợp các đa thức nhận A làm nghiệm sẽ tồn tại duy nhất đa thức φ(  ) có hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đa thức nhận A làm nghiệm là đa thức tối tiểu của ma trận A + Với vec tơ bất kỳ C(o) = (C1(o),..., Cn(o)) xác định hệ véctơ bất kì (C(i))ni=0 bởi C(i) = A. C(i-1) i = 0,…, n Từ định lí Cayley- hamilton ta có D(A).C(o) = 0, nghĩa là : An .C(o) + P1.An-1.C(o) + …+ Pn.En.C(o) = 0 Chú ý rằng : Ai .C(o) = C(i) i = 1,…, n C(n-1) + P1. C(n-2) + …+ Pn.C(o) = C(n) (1) + Hệ phương trình (1) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn P1,…, Pn  Nếu hệ C(o),…, C(n-1) độc lập tuyến thì hệ sẽ duy nhất nghiệm P1,…, Pn.  Nếu hệ C(o),…, C(n-1) là phụ thuộc tuyến tính và có C(o),…, C(m) (1 ≤ m ≤ n-1) là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ này, khi đó ta không xác định được các hệ số của đa thức D(  )mà chỉ xác định hệ số của đa thức tối thiểu của ma trận A là: Ψ(  ) =  m - α1.  m-1 -…- α m-1.  - αm Từ đó ta có: Am.C(o)- α1.Am-1.C(o)- ……- α m-1.A.C(o)- αm.C(o) = 0 Vậy α1.C(m-1) + …..+ αm-1.C(1) + αm .C(o) = C(m) Nguyễn Thị Quỳnh Đông 16 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Đây chính là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn là α1,...,αm có định thức của ma trận hệ số khác không nên nó có nghiệm duy nhất là các hệ số của đa thức Ψ(  ) đồng thời cũng là các giá trị riêng của A. Tuy nhiên trường hợp này ta không xác định được tất cả giá trị riêng của A. - Tiếp theo tìm các vectơ riêng của ma trận A Giả sử hệ C(o),…, C(n-1) là hệ vectơ độc lập tuyến tính (trong trường hợp ngược lại, chúng ta lấy C(o),…, C(m) là hệ vec tơ độc lập tuyến tính tối đại của  hệ vectơ trên). Khi đó vectơ riêng xi của ma trận A ứng với giá trị riêng λi sẽ tìm được ở dạng sau đây:  xi = d1.C(n-1) + d2 .C(n-2) + …+ dn .C(o)  Chú ý rằng: A. xi =  i. x i ; C(i) = A.C(i-1) i = 1,…,n; Từ đó rút ra: d1 .C(n) + d2 .C(n-1) +...+ dn .C(1) =  i[d1.C(n-1) + d2.C(n-2) + …+ dn .C(o)] Mặt khác : D(A).C(o) = 0  (-1)n. [C(n) + P1. C(n-1) + …+ Pn. C(o) ] = 0 Kết hợp hai hệ thức trên ta có: d1.[ C(n) + P1.C(n-1) + …+ Pn.C(o)] + d2 .C(n-1) +…+ dn .C(1) =  i.[d1.C(n-1) + d2 .C(n-2) + …+ dn . C(o)] Từ đó ta có: (d1.P1 -  i .d1 + d2).C(n-1) + (d1 .P2 -  i.d2 + d3).C(n-2) +…. +(d1 .Pn-1 -  i.dn-1 + dn).C(1)+ (d1 .Pn -  i.dn).C(o) = 0 Vì hệ C(o),…, C(n-1) là hệ độc lập tuyến tính nên ta có : d1.P1  i .d1  d 2  0  d1.P2  i .d 2  d3  0  ........................ d .P   .d  d  0 i n 1 n  1 n 1 d1.Pn  i .d n  0 Nguyễn Thị Quỳnh Đông 17 (2) K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Chọn d1 bất kì khác 0, hệ này cho di, i  1, n và từ đó tìm được các  vectơ xi . * Tóm lại phương pháp krylov gồm các bước như sau: Bước 1: Lấy vectơ C(o) = (C1(o),…, Cn(o)) bất kì, xác định hệ vectơ (C(i))ni=0 bởi công thức: C(i) = A. C(i-1) i  0, n , trong đó A là ma trận biểu thị 1 cơ sở nào đó của f . Bước 2 : Xác định được Pi theo hệ phương trình : C(n-1) + P1. C(n-2) + …+ Pn .C(o) = C(n) Bước 3: Từ đó lập được đa thức đặc trưng của A là: D(  ) = (-1)n. [  n - P1.  n-1 -…- Pn-1.  - Pn] từ đó tính được các giá trị riêng Bước 4: Xác định các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng dựa vào hệ (2). Chú ý: Phương pháp krylov chỉ được áp dụng để tính giá trị riêng- vectơ riêng của ma trận đối xứng. Ví dụ 3: Hãy xác định giá trị riêng của ma trận A và vectơ riêng ứng với giá trị riêng theo phương pháp krylow: 3  A=  1  0 1 0  2 1  1 3  Lời giải: Lấy C(o) = (1, 0, 0)  C(1) = A.C(o) Nguyễn Thị Quỳnh Đông 3  = 1  0 1 0  2 1  . (1, 0, 0)  1 3  18 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp  C(1) = ( 3, 1, 0) Tương tự ta có: C(2) = ( 10, 5, 1); C(3) = ( 35, 21, 8); Vậy P1.C(2) + P2. C(1) + P3. C(o) = C(3)  P1.( 10, 5, 1) + P2.( 3, 1, 0) + P3.( 1, 0, 0) = ( 35, 21, 8)  ( 10.P1+ 3.P2 +P3 , 5.P1 + P2 , P1) = ( 35, 21, 8)   10.P1   5.P1   P1  8  3.P2  P2  P3  35  21  P1    P2   P3 8  19  12 Từ đó có đa thức đặc trưng của A là:  3  8 2  19 12  0  ( 1).( 2  7  12)  0 Giải phương trình trên ta được :  1 = 1;  2 = 4;  3 = 3 Vậy ma trận A có các giá trị riêng là :  1 = 1;  2 = 4;  3 = 3 Với  1 = 1, xét hệ:  d1.P1  d1.P2   d1.P3  1.d1  1.d2  1.d3  d2  0  d3  0 0  8.d1   19.d1   12.d1  d1  d2  d3  d2  0  d3  0 0 Chọn d1 = 1, ta có : d2 = - 7, d3 = 12  Vậy vectơ riêng  1 có dạng :   1 = 1.C(2) + (-7).C(1) + 12.C(o)    1 = ( 10, 5, 1) – 7.( 3, 1, 0) +12.( 1, 0, 0)    1 = ( 1, -2, 1) Với  2 = 4, xét hệ : Nguyễn Thị Quỳnh Đông 19 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp  2 .d2  2 .d2  2 .d3  d1.P1  d1.P2   d1.P3  8.d1   19.d1   12.d1  4.d1  4.d2  4.d3  d2  0  d3  0 0  d2  0  d3  0 0 Chọn d1 = 1 ta có :d2 = -4, d3 = 3.  Vậy vectơ riêng  2 có dạng :   2 = 1.C(2) + (-4).C(1) + 3.C(o)    2 = ( 10, 5, 1) – 4.( 3, 1, 0) +3.( 1, 0, 0)    2 = ( 1, 1, 1) Với  3 = 3, xét hệ:  d1.P1  d1.P2   d1.P3  8.d1   19.d1   12.d1  3.d1  3.d2  3.d3  3.d1  3.d2  3.d3  d2  0  d3  0 0  d2  0  d3  0 0 Chọn d1 = 1, ta có :d2 = - 5, d3 = 4.  Vậy vectơ riêng  3 có dạng :   3 = 1.C(2) + (-5).C(1) + 4.C(o)    3 = ( 10, 5, 1) – 5.( 3, 1, 0) +4.( 1, 0, 0)    3 = ( -1, 0, 1) Vậy ma trận A có các giá trị riêng là:  1 = 1;  2 = 4;  3 = 3 và các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng là:     1=(1, -2, 1),  2 =( 1, 1,1),  3 =(-1, 0, 1) Nguyễn Thị Quỳnh Đông 20 K32G Toán