Tài liệu Các pi.đại số không có nil ideal khác (0)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ĐÌNH HIỀN CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.Hồ CHÍ MINH NGUYỄN ĐÌNH HIỀN CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0) CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ MÃ SỐ : 1.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ TP.HỒ CHÍ MINH - năm 2003 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................................. 1 CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN. . 3 1.1. Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành: ............................................................................ 3 1.2. Một vành đặc biệt : .......................................................................................................... 9 1.3. Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn. ........................................... 11 1.4. Tổng trực tiếp con : ........................................................................................................ 13 CHƢƠNG2: CÁC PI. ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ. ........................... 15 2.1. PI. đại số trên vành giao hoán có đơn vị : ..................................................................... 15 2.2. Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky : ..................................................................... 19 2.3. Đa thức tâm của đại số ma trận ...................................................................................... 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÁC PI. ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NILIDEAL KHÁC KHÔNG. .......................................................................................................... 34 3.1. Tổng quan về lớp vành không có nil-ideal khác không ................................................. 34 3.2. Đồng nhất thức thực sự của đại số nguyên tố ................................................................ 39 3.3. PI.đại số không có ideal lũy linh khác 0. ....................................................................... 48 KẾT LUẬN ................................................................................................................................... 51 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tôn kính Quý Thầy, Cô trong tổ Đại số Trƣờng Đại học Sƣ phạm TP. Hồ Chí Minh và trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này, cùng toàn thể Quý Thầy, Cô Khoa Toán, Phòng Khoa học Công nghệ & Sau Đại Học và Ban Giám Hiệu Trƣờng ĐHSP TP.HỒ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Bình Thuận, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu hoàn thành chƣơng trình khoa học. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đôi với thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo trong quá trình xây dựng hoàn thành luận văn này. Quá trình xây dựng luận văn, tôi đã nhận đƣợc nhiều sự động viên về mặt tinh thần của các học viên cao học khoa 11. Xin các anh, chị cùng toàn thể các bạn ghi nhận nơi đây một tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tác giả luận văn. 1 LỜI MỞ ĐẦU Mục đích của luận văn này là: Từ các kết quả định lý Kaplansky-Amitsur-Levitiky trên PI. đại số nguyên thủy, mở rộng dần kết quả đó trên lớp các PI. đại số không có nil-ideal khác (0) và trên lớp các PI.đại số không có ideal lũy linh khác (0). Đồng thời hệ thống lại một số kiến thức cơ bản có liên quan, nhằm làm cơ sở lý luận cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu trong luận văn này. Như chúng ta đã biết nhà toán học Wedderburn đã chứng minh được "Định lý dày đặc", còn trong PI.đại số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky, đã đặt nền móng trong việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở ra những phương hướng nghiên cứu mới trong toán học. Sau những kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học trên thế giới đã phát triển và mở rộng các kết quả này theo nhiều hướng khác nhau. Do phạm vi nghiên cứu của đề tài, trong luận văn này không thể đề cập hết được các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nói trên, mà luận văn chì trình bày những kết quả nghiên cứu theo định hướng nói trên cho lớp PI. đại số không có nil-ideal khác 0 và trên lớp các PI. đại số không có ideal lũy linh khác (0). Tuy nhiên một số định lý, bổ đề và hệ quả ở chương 1 luận văn bỏ qua phép chứng minh (do đặc điểm của chương 1) mà chỉ nêu ra để vận dụng, làm cơ sở cho các phép chứng minh các kết quả ở chương 2 và chương 3. Nội dung luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng nhƣ sau: 2 CHƢƠNG 1: Một số khái niệm và định lý về vành không giao hoán. Trong phần này chủ yếu trình bày một số khái niệm, định lý, bổ đề cơ bản đã có sẵn về vành không giao hoán, nhằm đặt nền móng cơ sở lý luận cho các chƣơng 2 và chƣơng 3 nhƣ: cấu trúc Radical Jacobson của một vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy... và mối quan hệ giữa chúng. Đặc biệt là định lý dày đặc của Wedderburn. CHƢƠNG 2: PI. Đại số trên vành giao hoán có đơn vị. Hệ thống hóa các kiến thức chung nhất về PI.đại số trên một vành giao hoán. Nội dung cơ bản nhất trong chƣơng này là giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nền móng, định hƣớng cho việc mở rộng nghiên cứu trên các lớp PI.đại số rộng hơn, đó là định lý Kaplansky- Amitsur-Levitzky trên đại số nguyên thủy. CHƢƠNG 3; Một số kết quả nghiên cứu các PI. đại số không có nil-ideal khác không. Đầu tiên trình bày một số kết quả nghiên cứu những đặc điểm đặc biệt về cấu trúc của lớp vành không có nil-ideal khác (0), nhằm giúp chúng ta có một cách nhìn tổng quan về lớp vành khá đặc biệt này và tiếp theo là trình bày các kết quả nghiên cứu theo hƣớng mở dần định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky trên lớp các PI. đại số rộng hơn, đó là lớp Pl.đại số không có nilideal khác (0) và trên lớp các Pl.đại số không có ideal lũy linh khác (0). Chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Tác giả luận văn rất mong và sẽ ghi nhận những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy, cô cùng tất cả bạn bè gần xa. 3 CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN. Trong phần này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản đã có sẵn về vành không giao hoán, nhằm đặt nền móng cơ sở lý luận cho các chương 2 và chương 3 như: cấu trúc Radical Jacobson của một vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy... và mối quan hệ giữa chúng. Đặc biệt là định lý dày đặc của Wedderburn đặt nền móng, định hướng và có nhiều ứng dụng cho việc nghiên cứu sau này. 1.1. Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành: Trong phần này ta kí hiệu R là vành không giao hoán, M là R-module. 1.1.1 Định nghĩa: Ta gọi Radical Jacobson của vành R là tập hợp các phần tử của R linh hoa được tất cả các module bất khả quy trên R. Kí hiệu J(R) hoặc Rad(R). Nếu R không có module bất khả quy, ta quy ƣớc J(R) = R. Khi đó ta gọi R là vành Radical. Nhƣ vậy theo định nghĩa ta có : J(R) = {x ∈ R/ Mx{0} với mọi M là R- module bất khả quy} Nhắc lai : M là R-module bất khả quy nếu MR ≠ {0} và M không có module con thực sự nào. Đặt A(M) = {a ∈ R/Ma ={0}, M là R- module bất khả quy}. Từ đó ta có thể định nghĩa J(R) theo cách khác: Nhƣng do A(M) là ideal hai phía của R. Do vậy J(R) là ideal hai phía của vành R. Mặt khác, vì M đƣợc hiểu là R-mdule phải nên J(R) còn đƣợc gọi là Radical phải, tuy nhiên 2 khái niệm Radical phải và Radical trái này trùng nhau nên ta không nhấn mạnh tính phải và trái của Radical. Sau đây ta đi mô tả cấu trúc Radical Jacobson của một vành không 4 giao hoán bằng các bổ đề và định lý . 1.1.2. Bổ đề: M là R-module bất khả quy khi và chỉ khi M đẳng cấu với R/p ( vành thương) trong đó p là ideal phải, tối đại, chính quy. Nhắc lai: Ideal p phải là chính quy nếu ∃ a ∈ R: ∀x ∈ R thì x- ax∈ p. Chứng minh: * (⇒) Giả sử M là là R-module bất khả quy ⇒ MR ≠ (0). Đặt S { u ∈ M /uR = (0)}, ta dễ dàng kiểm tra s là một module con của M. Nếu S ≠ 0 suy ra S= M (vì M là R-module bất khả quy), do đó MR = {0}.(!) mâu thuẩn. Vậy S = {0}. Do đó với ∀ u ∈ M, u ≠ 0 thì uR ≠ {0}. Mà uR là mdule con của M và M bất khả quy cho nên uR = M. Nhƣ vậy với u ∈ M cho trƣớc và mỗi r ∈ R ta có duy nhất một phần tử ur ∈ M. Điều này.cho phép ta thiết lập một ánh xạ φ : R → M, định bởi công thức φ(r) = ur. Ta dễ dàng kiểm là đồng cấu. Mặt khác uR ⇒ M ⇒ φ là toàn cầu. Đặt ρ = ker φ thì ρ là ideal phải của R. Ta chứng minh ρ là ideal phải tối đại của R. Thật vậy, giả sử có ideal phải α của R chứa thực sự ρ. Theo định lý Noether ta có: Im φ= M ≅ R/ ρ ( do φ toàn cấu) ⇒ α/ρ là module con của R/ρ khác (0). Do M bất khả quy nên R/ρ cũng bất khả quy ⇒ α/ρ = R/ρ ⇒ α = R(!). Vậy ρ là ideal phải tối đại. Từ đẳng thức uR = M ⇒ ∃a ∈ R :ua = u ⇒ ∀x∈ R, uax = ux ⇒ u(x-ax) =0 ⇒ x-ax ∈ ker φ = ρ ⇒ ρ là ideal phải, tối đại, chính quy.( ⇐) Ngƣợc lại nếu ρ là ideal phải, tối đại, chính quy của R.Khi đó ta có: (R/ρ)R ≠ (0). Thật vậy, giả sử (R/ρ)R =(0) ⇒ ∀x ∈ R, ∀y ∈ R ⇒ (y + ρ)x = 0⇒ yx ∈ ρ. Vậy ρ ⊃ R ⇒ ρ = R(!). Mâu thuẫn. Vậy (R/ ρ) R ≠ (0). Do ρ tối đại nên R/ ρ là R-module bất khả quy ⇒ đpcm. 5 Nhân xét: Nếu vành R có đơn vị thì R không thể là vành Radical. 1.1.3. Định lý: J(R) = ∩ (ρ : R)trong đó p chạy khắp mọi ideal tối đại, chính quy, (ρ: R) là ideal 2 phía lớn nhất của R nằm trong ρ. Nhắc lai:Cho ρ là ideal phải của R. Ta định nghĩa: (ρ: R) = {x ∈ R/Rx ⊂ ρ }. Chứng minh: * Dễ dàng ta kiểm đƣợc (ρ: R) là ideal hai phía của R. * Với ∀x∈ (ρ: R) ⇒ Rx ⊆ ρ ⇒ ax ∈ ρ , lại do p chính quy nên x-ax ∈ ρ. Do đó x ∈ ρ. Vậy (ρ: R) ⊆ ρ. * (ρ: R) là ideal hai phía lớn nhất nằm trong ρ . Thật vậy, giả sử ρ1 là ideal hai phía nào đó của R mà nằm trong ρ. Nếu ρ là ideal Ta có : phải, tối đại, chính quy và giả sử M = R/ ρ. Khi đó ta có: Nhƣ vậy: 1.1.4. Định lý:J(R) = ∩ ρ , với ρ là ideal phải, tối đại, chính quy. Chứng minh: Theo định lý I.3 ta có Ta chứng minh bao hàm ngƣợc lại, đặt T = ∩ ρ. Với mọi x ∈ T, xét tập S{xy +y /y ∈ R }. Dễ dàng kiểm tra đƣợc s là ideal phải, chính quy của R (tính chính quy suy ra bằng cách lấy a = x. . .). Do đó sẽ tồn tại một ideal phải, tối đại, chính quy ρ0 của R sao cho S ⊂ ρ0 . Ta sẽ chứng minh s ≡ R bằng phƣơng pháp phản chứng. Thật vậy. giả sử s ≠ R. Với x ∈ T= Suy ra Do đó với mọi mâu thuẫn với Po là ideal tối đại. Vậy s ≡ R. .Nhƣ vậy với 6 mọi x ∈ T luôn tồn tại w ∈ R thỏa xw + w = -x hay x + w + xw = 0. Chú ý : Đây là một thuộc tính quan trọng của các phần tử thuộc T. Bây giờ ta chứng minh: ∩ ρ ⊂ J(R) bằng phƣơng pháp phản chứng. Giả sử ngƣợc lại T = ∩ ρ ⊄ J(R) suy ra tồn tại module bất khả quy R không bị T linh hóa, tức là MT ≠ {0} ⇒ ∃m ∈ M: mT ≠ (0). Ta dễ dàng thấy mT là module con của M, cho nên mT = M ( do M bất khả quy) ⇒ ∃t ∈ T: mt = -m. Lại do t ∈ T ∈ R : t + s +ts = 0 ⇒ m (t + s + ts) = 0 ⇒ mt + ms + mts = 0 ⇒ - m +ms - ms = 0 ⇒ m = 0 (!) mâu thuẫn với mT ≠ (0). Vậy T = ∩ ρ J(R). Tóm lại J(R) = ∩ ρ. 1.1.5. Định nghĩa: Phần tử a ∈ R được gọi là tựa chính quy phải nếu ∃a’ ∈ R sao cho a +a’+ aa’ = 0. Phần tử a’ gọi là tựa nghịch đảo phải của a. * Tƣơng tự ta cũng định nghĩa phần tử tựa chính quy trái. Lƣu ý: Nếu vành R có đơn vị 1, thì phần tử a ∈ R là tựa chính quy phải khi và chỉ khi 1 + a có nghịch đảo trong R. Thật vậy, nếu a tựa chính quy phải ⇒ ∃a’ ∈ R: a + a’ +aa’ = 0 ⇒ 1 +a + a’ + aa’ = 1 ⇒ (1 + a) (1 + a’ ) = 1 ⇒ đpcm. Ngƣợc lại, nếu 1 + a có nghịch đảo phải x ∈ R, tức là ( 1+ a )x = 1 ⇒ (x -1) +ax =0. Đặt a’ = x -1 ta có a’ + a(a’ +1) = 0 ⇒ a +a’ +aa’ = 0 ⇒ a là tựa chính quy phải. * Một ideal phải của R đƣợc gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó đều là tựa chính quy. Nhƣ vậy, từ phép chứng minh định lý 1.1.4 ta có J(R) là ideal tựa chính quy phải. Tuy nhiên ta có kết quả mạnh sau đây: 1.1.6. Định lý: J(R) là ideal phải tựa chính quy phải của R và nó chứa 7 mọi ideal phải tựa chính quy phải của R, do đó J(R) là ideal phải tựa chính quy phải lớn nhất của R. Chứng minh: Trƣớc hết ta có nhận xét: Các tựa nghịch đảo trái và tựa nghịch đảo phải (nếu có) của một phần tử thuộc R thì trùng nhau. Thật vậy, giả sử a e R có tựa nghịch đảo phải b và có tựa nghịch đảo trái c, tức là: * Bây giờ ta chứng minh mọi ae J(R) thì a vừa tựa chính quy phải, vừa tựa chính quy trái. Thật vậy, nếu ae J(R) ⇒ a là tựa chính quy phải ⇒ ∃a’ ∈ R: a + a’ + aa’ = 0 (1) ⇒ a’ = -a - aa’ ⇒ a’ ∈ J(R), do J(R) là ideal phải và a ∈ J(R) ⇒ a’ là tựa chính quy phải ⇒ ∃a’’∈ R sao cho a’ + a’’ + a’ a’’ = 0. Nhƣ vậy a’ có a là tựa nghịch đảo trái và a’’ là tựa nghịch đảo phải, do đó a = a’’ (theo kết quả trên) ⇒ a + a’ + a’ a = 0 (2). Từ (1)và (2) ⇒ a ∈ J(R) vừa tựa nghịch đảo phải vừa tựa nghịch đảo trái. * Để kết thúc việc chứng minh định lý, ta giả sử ρ là ideal phải, tựa chính quy phải bất kỳ của R thì ρ ⊆ J(R) và giả sử ngƣợc lại ρ ⊄ J(R) ⇒ tồn tại module bất khả quy M sao cho Mρ ≠ 0 ⇒ ∃m ∈ M : mρ ≠ 0. Vì mρ là module con của module bất khải quy M nên mρ = M ⇒ ∃t ∈ρ sao cho mt = -m và t là tựa chính quy phải ⇒ ∃t’ ∈ R : t + t’ +tt’ = 0 ⇒ m(t + t’ + tt’) = 0 ⇒ mt + mt’ + mtt’ = 0. Suy ra -m + mt’ - mt’ = 0 ⇒ m = 0 ⇒ mρ = 0 (!) mâu thuẩn với mρ ≠ 0. Vậy ρ ⊆ J(R). 1.1.7. Phần tử lũy linh, ideal lũy linh và nil-ideal. * Phần tử a ∈ R đƣợc gọi là phân tử lũy linh nếu ∃n ∈ N : an = 0. * Ideal phải (trái, 2 phía) của R đƣợc gọi là lũy linh nếu ∃n ∈ N* sao cho a1.a2...am = 0, với ai ∈ ρ,i = 1,2,3... m; tức là ∃n ∈ N* : ρm = 0. 8 * Ideal phải (trái, 2 phía) của R đƣợc gọi là nil-ideal phải (trái, hai phía) nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh. Nhận xét: 1)Ideal lũy linh thì nil-ideal, nhƣng ngƣợc lại không đúng. 2) Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy. Thật vậy, giả sử a ∈ R là phần tử lũy linh ⇒ ∃n ∈ N* : am = 0. Đặt 3) J(R) chứa mọi nil-ideal một phía. 1.1.8. Xây dựng Radical Jacobson của một đại số; 1.1.8.1. Khái niệm đại số trên một trƣờng; A đƣợc gọi là đại số trên trƣờng F nếu thỏa mãn các tiến đề sau: a) A là một vành. b) A là một không gian vectơ trên trƣờng F. c) Với Nếu A có đơn vị 1 thì (α.1)x = x(α.1). Vì (α.1)x = α (x.1) = α(x.1)= x(α.1) ⇒ α.1 ∈ C tâm của A với ∀ α ∈ F. 1.1.8.2. Xây dựng Radical Jacobson của một đại số: Việc xây dựng Radical Jacobson của một đại số A đƣợc lặp lại một cách hoàn toàn tƣơng tự nhƣ việc xây dựng khái niệm này trên một vành, nhƣng chỉ có một lƣu ý là khái niệm một ideal của một đại số, thì nó vừa có cấu trúc ideal của một vành, vừa có cấu trúc một không gian vectơ con. Vì vậy tác giả luận văn không trình bày chi tiết các bƣớc xây dựng Radical Jacobson của một đại số. Từ đây một vấn đề được đặt ra là: Nếu A là đại số trên trường F.Hai khái niệm Jvành(A) và Jđại số(A) chúng có quan hệ như thế nào với nhau ? Khi đi 9 vào giải quyết vấn đề này, một điều bất ngờ là đưa đến cho chúng ta kết quả thật đẹp, nhờ một nhận xét sau đây: Nếu A là một đại số trên trƣờng F thì mọi ideal tối đại, chính quy của vành A(xem A nhƣ là một vành) cũng là không gian vectơ trên trƣờng F. Thật vậy, giả sử ρ là ideal tối đại chính quy của vành A và ρ không là không gian vectơ con trên trƣờng F, suy ra Fρ ≠ ρ và Fρ là ideal phải của A ⇒ A =Fρ + ρ ( do ρ là tối đại) ⇒ A2 = (Fρ + ρ). A ⊆ (Fρ)A + ρA ⊆ ρ. Lại do ρ chính quy ⇒ ∃a ∈ A; x - ax ∈ ρ với ∀x ∈ A. Nhƣng .Vậy A = ρ (!) mâu thuẫn với tính tối đại của ρ. Tóm lại ρ là không gian vectơ con trên trƣờng F. Nhƣ vậy ta có Jvành(A) = Jđại số(A). 1.2. Một vành đặc biệt : 1.2.1. Vành nửa đơn: 1.2.1.1. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nửa đơn (còn gọi là nửa nguyên thủy) nếu J(R)=0. 1.2.1.2. Định lý: Giả sử R là một vành thì R/J(R) là vành nửa đơn. 1.2.1.3. Định lý: Nếu A là ideal hai phía của vành R thì J(A) = J(R) ∩ A. Hệ quả: Nếu R là vành nửa đơn thì các ideal hai phía đều nửa đơn. Chú ý rằng: Hệ quả và định lý chỉ đúng cho các ideal hai phía,trong trường hợp ideal một phía thì hệ quả không còn đúng nữa. 1.2.2. Vành Artin. 1.2.2.1.Định nghĩa: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của nó đều có phần tử tối tiểu. Để ngắn gọn ta thƣờng gọi vành Artin phải là vành Artin. Ta dễ dàng suy ra kết quả sau: * Vành A là vành Artin khi và chỉ khi 10 mọi dãy giảm các ideal phải của nó đều dừng sau hữu hạn bƣớc. * Trƣờng, thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin. * Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin. * Ảnh đồng cấu của một vành Artin là vành Artin. 1.2.2.2. Định lý : Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh. Nhận xét: 1) Nếu R là vành Artin thì mọi nil-ideal ( một phía, hai phía) đều là lũy linh. 2) Nếu vành R có ideal một phía lũy linh khác (0), thì sẽ có ideal hai phía lũy linh khác (0). 1.2.2.3. Lũy đẳng: Phần tử e ≠ 0 của vành R gọi là lũy đẳng nếu e2 = e. 1.2.3. Vành nguyên thủy: 1.2.3.1. định nghĩa: Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có module bất khả quy và trung thành. Nhận xét: 1) Nếu R là vành nguyên thủy và M là R-module bất khả quy, trung thành thì φ : R → E(M) định bởi, với ∀r ∈ R, φ(r) = Tr : M → M là một đơn cấu. Theo bổ đề Schur tập ∆ = { φ ∈ E(M) / φ. Tr = Tr . φ, ∀r ∈ R } là một thể. Khi đó M là một không gian vectơ trên ∆, với phép nhân ngoài μ :(M, ∆) → M, được xác định bởi μ :(m, φ) =(m) φ. Kí hiệu ∆ =C(M). 2) Nếu R là vành nguyên thủy thì J(R) = (0). Như vậy mọi vành nguyên thủy đều là vành nửa đơn. 3) Cho R là vành bất kỳ, M là R-module bất khả quy thì: * A(M) là ideal 2 phía của R, khi đó R/A(M) là vành nguyên thủy. * Với ρ là idealphải tối đại, chính quy của R và M = R/ρ ⇒ A(M) = (ρ : R) là ideal hai phía lớn nhất còn nằm trong ρ ⇒ R /( ρ: R) là vành nguyên 11 thủy.Do vậy (ρ: R) còn gọi được là ideal nguyên thủy. 1.2.3.2. Định lý: R là vành nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại, chính quy p của R sao cho (ρ : R) = (0). Nếu R là vành nguyên thủy, giao hoán thì R là một trƣờng. 1.2.4. Vành đơn: Vành R được gọi là vành đơn nếu R2 ≠ (0) và R không có ideal thực sự nào. Ví dụ : Một thể là vành đơn. 1.2.5. Vành nguyên tố: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu mọi a, b ∈ R mà từ đẳng thức aRb = 0 kéo theo a = 0 hoặc b = 0. Ta có mệnh đề tƣơng đƣơng: Vành R được gọi là vành nguyên tố khi và chì khi ideal (0) là ideal nguyên tố. 1.3. Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn. (1) . Nếu R là vành đơn có đơn vị 1 thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, nếu R là vành đơn, khi đó hoặc J(R) = (0) hoặc J(R) = R. Nhƣ vậy: * Nếu xảy ra trƣờng hợp J(R) = (0) thì R là nửa đơn. * Nếu xảy ra trƣờng hợp J(R) =(R) ⇒ R là vành Radical, điều này không thể xảy ra vì R có đơn vị 1 (2) . Nếu R là vành đơn và Artin thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, vì R là vành đơn nên R2 ≠ (0) và R2 là ideal của R, do đó R2 = R . Giả sử J(R) ≠ (0) ⇒ J(R) = R = R2 . Tƣơng tự ta có [J(R)]n = R2 ≠ (0) với ∀n ∈ N (1). Mặt khác vì R là vành Artin nên J(R) là lũy linh, tức là ∃n ∈ N: [J(R)]n = (0) (2). So sánh (1) & (2) ta có điều mâu thuẩn. Vậy J(R) = (0) ⇒ R là vành nửa đơn. (3) . R là vành nguyên thủy thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, nếu R là vành nguyên thủy ⇒ tồn tại ideal phải tối đại, chính quy ρ sao cho (ρ : R) = 0, mà J(R) = ∩ (ρ : R) = (0). Vậy R là vành nửa đơn. 12 (4). Nếu R vừa là vành đơn, vừa là vành nửa đơn thì R là vành nguyên thủy. Thật vậy, Vì R là vành đơn nên R2 ≠ (0) và không có ideal nào khác R và (0). Mà R là vành nửa đơn nên J(R) = (0) ⇒ (0) = ∩ (ρ : R) với ρ chạy khắp tập ideal phải tối đại, chính quy của R. Ta có (ρ : R) là ideal của R ⇒ hoặc (ρ : R) = (0) hoặc (ρ : R) = R. Nếu (ρ : R) = R thì ∩ (ρ : R) = R (!) vô lý ⇒ chỉ có (ρ : R) = (0). Vậy R là vành nguyên thủy. Nhận xét: Vành nguyên thủy là vành nguyên tố, ngược lại không đúng. Để kết thúc phần này ta phải kể đến một định lý khá mạnh được vận dụng nhiều sau này.Đó là định lý dày đặc. 1.3.1. Định nghĩa tác động dày đặc: Vành R được gọi là tác động dày đặc trong Rmodule M nếu với mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính {vn}n ∈N ⊂ M trên thể ∆ và bất kỳ hệ n vectơ {wn} n ∈N ⊂ M thì tồn tại r ∈ R sao cho wi = vir, i = 1,2,3,...,n. 1.3.2. Định lý dày đặc: Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-module bất khả quy và trung thành, nếu ∆ = C(M) thì R là vành dày đặc các ghép biến đổi tuyến tính trong M trên ∆. 1.3.3. Định lý: Giả sử R là vành nguyên thủy. Khi đó với thể ∆ nào đó thì hoặc R ≅ ∆n (vành ma trận cấp n x n trên ∆) hoặc với ∀m ∈ N* tồn tại vành con Sm của R sao cho ∆m là ảnh đồng cấu của Sm . 13 1.4. Tổng trực tiếp con : 1.4.1. Các định nghĩa: Ta gọi tích trực tiếp (hay tổng trực tiếp toàn phần) họ các vành {R λ }λ ∈ I là tập hợp : Trên ta định nghĩa các phép toán: Phép cộng: (f +g)( λ) = f(λ) +g(λ). Phép nhân : (f g)( λ) = f(λ) g(λ). Lúc đó cùng 2 phép toán lập thành một vành. Kí hiệu πλ là phép chiếu vành lên Rλ . *Vành R đƣợc gọi là tổng trực tiếp con của họ các vành {R λ }λ ∈ I nếu tồn tại đơn cấu ψ : R→ sao cho Rψπλ = Rλ , ∀λ ∈ I. Theo tài liệu Noncommutative của I.N.Herstein, bản dịch tiếng Nga NXB Mockba năm 1972 trang 54; ta có các kết quả sau: 1.4.2. Một số tính chất: 1.4.2.1. Mệnh đề: Giả sử R là vành, và họ các vành {R λ }λ ∈ I , φλ : R → Rλ là đồng cấu vành và φ : là đồng cấu vành đƣợc thiết lập từ các đồng cấu vành φλ . Đặt Uλ = Ker φλ. Khi đó φ là một cấu vành khi và chỉ khi 1.4.2.2. Định nghĩa: Vành R gọi là không phân tích trực tiếp con được nếu giao của tất cả các ideal khác (0) của R là một ideal khác (0). 1.4.2.3. Mệnh đề: Mỗi vành đều có thể biểu diễn tổng trực tiếp con các vành không phân tích trực tiếp con được. 14 1.4.2.4. Mệnh đề: Giả sử R là vành không có nil-ideal khác (0) thì R là tổng trực tiếp con các vành nguyên tố. 1.4.2.5. Mệnh đề: Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp con các vành nguyên thủy. Như chúng ta đã biết về lý thuyết cấu trúc tổng quát được đề cập rõ nét trong việc nghiên cứu những vành mà được giới hạn bởi một loại điều kiện đa thức nào đó. Một ví dụ cụ thể của nội dung trên được thể hiện trong việc nghiên cứu tính giao hoán của lớp vành này. Bây giờ chúng ta đề cập đến lớp vành - mà theo một nghĩa nào đó các vành này thỏa mãn một điều kiện giao hoán cao hơn. Chủ đề cho sự hiện diện của một mối quan hệ đó trong việc nghiên cứu các PI. đại số. Hướng nghiên cứu nội dung này chúng ta dựa vào kết quả của định lý của Kaplansky. Lĩnh vực này đã và đang được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau. Ví dụ như Amitsur, Levitzki . . . đã bỏ ra nhiều công sức và đã đạt được nhiều kết quả nổi tiếng khi nghiên cứu bản chất của các đồng nhất thức trên lớp vành này. Để dần dần làm rõ các ý tưởng trên đây, trong chương 2 sau đây, sẽ hệ thống hóa các kiến thức chung nhất vế PI.đại số trên một vành giao hoán có đơn vị. Nội dung cơ bản trọng tâm chương này là giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nền móng, định hướng cho việc mở rộng nghiên cứu trên các lớp PI.đại số rộng hơn, đó là định lý Kaplansky-AmitsurLevitzky trên đại số nguyên thủy. 15 CHƢƠNG 2: CÁC PI. ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ. 2.1. PI. đại số trên vành giao hoán có đơn vị : Trong chƣơng này ta kí hiệu K là vành giao hoán có đơn vị 1, A là đại số trên K và trong mục 2.1 này chủ yếu liệt kê các khái niệm nhƣ: đại số trên vành giao hoán có đơn vị, đa thức, đồng nhất thức của một đại số và một số tính chất về đa thức. . . Định nghĩa: A đƣợc gọi là đại số trên K nếu thoa mãn các tiên đề sau: a) A là một vành. d) A là một không gian vectơ trên K. e) Với Nếu A có đơn vị 1 thì (k.1)x = x(k.1). Vì (k.1)x =k(1.x) =k(x.1) =x(k.1) ⇒ k.1 ∈ C tâm của A với ∀k ∈ K. Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi đếm đƣợc các phần tử x1 , x2, . . , Khi đó X là tập tất cả các phần tử có dạng: 1, xi1 xi2 ...xir , . . . Các phần tử của vị nhóm X đƣợc gọi là các đơn thức. Hai đơn thức xi1 xi2 ...xir = xj1 xj2 ...xjs nếu và chỉ nếu i1 = j1 , i2 = j2 , ... Phép nhân: 1 ( xi1 xi2 ...xir ) = (xi1 xi2 ...xir )1 = xi1 xi2 ...xir còn phép nhân hai đơn thức đƣợc định nghĩa ( xi1 xi2 ...xir ) (xj1 xj2 ...xjs) = xi1 xi2 ...xir xj1 xj2 ...xjs . Kí hiệu K{X} là đại số của vị nhóm X trên vành giao hoán có đơn vị K. Ta gọi K{X} là đại số tự do sinh bởi tập đếm đƣợc các phần tử xi . Tập đếm đƣợc các phần tử xi này gọi là cơ sở của K{X}. Với A là một đại số bất kỳ và ánh xạ σ : X → A thì luôn tồn tại đồng cấu η : K{X}→ A sao cho biểu đồ sau giao hoán: 16 Ta kí hiệu K{x1, . . . , xm} là đại số con của K{X} sinh bởi tập hữu hạn {x1,. ., xm} và nếu f ∈ K{X}, f ∈ K{x1 , . . . , xm} ta viết f = f(x1, . . xm). Ảnh của f qua đồng cấu η tƣơng ứng xi → ai,1 ≤ i < ∞, viết f(a1, .. , am). 2.1.1.Một số định nghĩa: 1) Bậc của đơn thức là 2) Bậc của đa thức f ∈ K[X] là bậc lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f. Bậc của đa thức f kí hiệu degf. 3) Bậc theo Xi của đa thức f(x1 , x2 , . . , xn) là bậc của Xi khi xem f là đa thức theo biến Xi, kí hiệu degxif. 4) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là thuần nhất theo Xi nêu tất cả các đơn thức của f đều có cùng một bậc theo xi. 5) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là hoàn toàn thuần nhất nếu f thuần nhất theo mọi xi. 6) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là trộn đều theo xi nếu xi có mặt trong mọi đơn thức của của f. 7) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là trộn đều nếu nó trộn đều theo mọi xi 8) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là tuyến tính theo xi nếu bậc của x1 trong mỗi đơn có mặt trong f đều bằng 1. 9) Chiều cao của một đơn thức là bậc của nó trừ đi số các biến có mặt trong đơn thức ấy. 10) Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức trong f, được ký hiệu ht(f). 11) Đa thức f ∈ K[X] được gọi là đa thuyến tính nếu nó tuyến tính theo mỗi biến xi.