Tài liệu Các định lí giới hạn và ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *****♣♣♣ ***** LẠI THỊ THANH HUỆ CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng HÀ NỘI - 2010 Lại Thị Thanh Huệ 1 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *****♣♣♣ ***** LẠI THỊ THANH HUỆ CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GVC.ThS. Trần Mạnh Tiến HÀ NỘI - 2010 Lại Thị Thanh Huệ 2 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng với sự hỗ trợ của các các bạn sinh viên. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Trần Mạnh Tiến, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành được khoá luận này. Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em trình bày trong khoá luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Lại Thị Thanh Huệ Lại Thị Thanh Huệ 3 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Mạnh Tiến cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khoá luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu trách nhiệm! Sinh viên Lại Thị Thanh Huệ Lại Thị Thanh Huệ 4 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC Trang Mở đầu 2 Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Hội tụ 4 1.2. Hàm đặc trưng 8 1.3. Bất đẳng thức Chebyshev 11 Chuơng 2. Các định lí giới hạn và ứng dụng 14 2.1. Luật số lớn 14 2.1.1. Định nghĩa 14 2.1.2. Định lí Chebyshev 14 2.1.3.Ứng dụng của luật số lớn 18 2.2. Định lí giới hạn trung tâm 20 2.2.1. Định lí 20 2.2.2. Ứng dụng của định lí giới hạn trung tâm 22 2.3. Định lí giới hạn Moivre_Laplace 30 2.3.1. Định lí 30 2.3.2. Ứng dụng của định lí giới hạn Moivre_Laplace 31 2.4. Định lí giới hạn Laplace địa phương 37 2.4.1. Định lí 37 2.4.2. Ứng dụng của định lí giới hạn Laplace địa phương 39 2.5. Định lí Poisson 40 2.5.1. Định lí 40 2.5.2. Ứng dụng của định lí Poisson 41 Bài tập áp dụng 45 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Lại Thị Thanh Huệ 5 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Các nhà toán học Pháp thế kỉ 17 như Pierre de Fermat (1601 – 1665), Blaise Pascal (1623 – 1662) đã đặt nền móng đầu tiên cho lí thuyết xác suất bởi những lời giải cho các bài toán trong các trò chơi ngẫu nhiên. Cuối thế kỉ 17, James Bernoulli (1654 – 1705), nhà toán học Thụy Sĩ, được xem như người khởi xướng của lí thuyết xác suất với những nghiên cứu về luật yếu số lớn đối với dãy phép thử độc lập. Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), nhà toán học Pháp có nhiều cống hiến cho xác suất thống kê trong lĩnh vực các định lí giới hạn trung tâm. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nhà toán học vĩ đại của Đức có các đóng góp lớn đối với xác suất thống kê: Phương pháp bình phương cực tiểu và luật phân phối chuẩn. Andrei Kolmogrov (1903 – 1987), nhà toán học lỗi lạc của Nga, người cách mạng hoá cho lí thuyết xác suất với hệ tiên đề xác suất hiện đại mà ông đưa ra vào đầu những năm 1930. Không thể kể hết những tên tuổi của những nhà toán học tiên phong cũng như các nhà toán học lỗi lạc đương đại trên lĩnh vực “lý thuyết xác suất”. Ngày nay, “lý thuyết xác suất” đã trở thành một nghành toán học lớn trong nền toán học thế giới. Người ta biết đến “lí thuyết xác suất” không chỉ vì nó là một nghành toán học chặt chẽ về lí thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều nghành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng. Dưới sự hướng dẫn tận tình của GVC.ThS. Trần Mạnh Tiến cùng với hứng thú tìm hiểu về “Lí thuyết xác suất” em đã lựa chọn đề tài “Các định lí giới hạn và ứng dụng” để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình. Lại Thị Thanh Huệ 6 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Luận văn của em trình bày một số nghiên cứu về luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm, định lí giới hạn Moivre_Laplace, định lí giới hạn Laplace địa phương, định lí Poisson là những định lí giới hạn quan trọng nhất của lí thuyết xác suất và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Với khoá luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho những ai quan tâm tới vấn đề này. Hà Nội, tháng 5 năm 2010 Sinh viên Lại Thị Thanh Huệ Lại Thị Thanh Huệ 7 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hội tụ 1.1.1. Một số định nghĩa Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 và biến ngẫu nhiên X cùng xác định trên không gian xác suất  , A , P  Định nghĩa 1.1. Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,... được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến p ngẫu nhiên X , kí hiệu X n   X nếu   0 : lim P X n  X     0 n  (1.1) Hoặc tương đương, nếu   0 : lim P X n  X     1 n  (1.2) Định nghĩa 1.2. Hội tụ hầu chắc chắn Dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,... được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới h.c.c biến ngẫu nhiên X , kí hiệu X n   X nếu   P  :lim X n     X    1 n  (1.3) Định nghĩa 1.3. Hội tụ theo phân phối. Dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,... được gọi là hội tụ theo phân phối tới d biến ngẫu nhiên X , kí hiệu X n   X nếu lim Fn  x   F  x  , x  tập liên tục của F ( x) n (1.4) nghĩa là: nếu x là điểm liên tục của hàm phân phối F ( x) của X thì lim P  X n  x  P  X  x n Lại Thị Thanh Huệ 8 (1.5) K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp 1.1.2. Quan hệ giữa các dạng hội tụ Định lí 1.1. Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 là dãy giảm và p h.c.c X . X n   X , khi đó X n  Chứng minh Đặt Yn  X n  X p Vì  X n n1 là dãy giảm và X n hội tụ theo xác suất, X n   X nên Yn cũng là p dãy giảm và Yn  0 . h.c.c Ta đi chứng minh Yn   0 bằng phản chứng. Giả sử Yn không hội tụ hầu chắc chắn tới 0. Tức là   0 , và biến cố A A sao cho: P  A    0 và sup Yk     , n tuỳ ý,   A. k n nhưng vì Yn  là dãy giảm nên Yn    sup Yk   nên k n A    : Yn      suy ra P Yn     P  A    0, n. p Điều này mâu thuẫn với giả thiết Yn  0 . Suy ra điều giả sử sai.  Định lí 1.2. Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi và chỉ khi với   0 bất kì,   P sup X k    X      0, n   k n hay   P sup X n k    X      0, n   Lại Thị Thanh Huệ k 1 9 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh Đặt Z n  sup X k    X   ,n  1,2 ,... k n suy ra dãy  Z n n1 là dãy giảm ( khi n càng bé) về 0. h.c.c h.c.c Khi đó X n   X khi và chỉ khi Zn  0 . h.c.c p Nhưng  Z n n1 là dãy giảm, nên Zn   0 tương đương với Zn   0 hay tương đương với:   P sup X k    X      0, n   .  k n Định lí 1.3. Ta có các khẳng định sau: h.c.c p i) Nếu X n   X thì X n  X h.c.c p Nếu  X n n1 là dãy giảm thì X n   X khi và chỉ khi X n  X . p d ii) Nếu X n   X thì X n  X . Chứng minh i) Ta có X n   X     sup X k  X   k n  suy ra   0  P  X n  X     P sup X k  X    0, n   k n h.c.c ( do X n  X ) p Vậy X n  X .  ii) Giả sử x  R và F  x  liên tục,   0 ta có  X  x      X n  x, X  x      X n  x, X  x    suy ra F  x     P X  x     P X n  x, X  x     P X n  x, X  x    Lại Thị Thanh Huệ 10 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp mà  X n  x, X  x      X n  x  X n  x, X  x      X n  X    Nên ta có F  x     P  X n  x  P  X n  X     Fn  x   P  X n  X    , n  lim Fn  x  n  vậy F  x     lim Fn  x  (1.6) n  Tương tự ta chỉ ra được lim Fn  x   F  x    n  (1.7) Từ (1.6) và (1.7) ta có F  x     limFn  x   limFn  x   F  x    Cho   0 ta được F  x   lim Fn  x   lim Fn  x   F  x  n n Khi đó lim Fn  x   lim Fn  x   lim Fn  x   F  x  n n n Vậy lim Fn  x   F  x  n d Hay X n  X .  Lại Thị Thanh Huệ 11 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp 1.2. Hàm đặc trƣng Định nghĩa 1.4. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là kì vọng toán của biến ngẫu nhiên phức eitx ,  i 2  1 và được kí hiệu là  X  t  . Tức là  X  t   E eitx   E  cos tx   iE  sin tx  . Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm phân phối xác suất p j thì  X  t    eitx p j    cos tx j  p j  i   sin tx j  p j j j j j Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f ( x) thì        X  t    eitx f  x  dx    cos tx  f  x  dx  i  sin tx  f  x  dx . 1.2.1. Các tính chất của hàm đặc trưng i)  x  0   1 Thật vậy   x  0    f ( x)dx  1  ii)  x  t   1 Vì eitx  1 nên     itx itx  e f  x  dx   e f  x  dx  1 . iii) Nếu Y  aX  b thì Y  t   eibt . X  at  Ta có  it  aX  b   itb  itaX    e .E  e     Y  t   E eitY   E e   suy ra Y  t   eitb X  at  Lại Thị Thanh Huệ 12 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp iv) F ( x) xác định một cách duy nhất hàm đặc trưng  X  t  . v) Nếu X 1 , X 2 ,..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập thì n  X , X ,..., X  t    X  t  1 2 n k 1 k Vì các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., X n độc lập nên theo tính chất kì vọng toán, ta có   it   X , X ,..., X  n    eitX1 .eitX 2 ...eitX n   1 2  X1 , X 2 ,..., X n  t   E  e  E        n n itX   E e k     X k  t    k 1 k 1 vi) Nếu tồn tại E X thì hàm đặc trưng  X  t  cũng tồn tại đạo hàm đến bậc k k tại mọi điểm t . Hệ quả. Nếu tồn tại E X thì  X  t  sẽ có khai triển Taylor như sau k 2 k it  it     X  t   1  m1it  m2  ...  mk  o t k  2! k! trong đó mi  E  X i  , i  1, k . vii) Nếu  Fn  x  là dãy hàm phân phối xác suất và n  t  là dãy các đặc trưng tương ứng thì điều kiện cần và đủ để  Fn  x  hội tụ yếu (tức là hội tụ tại các điểm Fn  x  liên tục ) tới hàm phân phối xác suất F ( x) là n  t  hội tụ tại mọi t đến hàm đặc trưng   t  tương ứng với F ( x) . 1.2.2. Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên thường gặp Ví dụ 1.1. Cho biến ngẫu nhiên X ~ B(n, p). Tìm  X  t  . Lời giải Theo định nghĩa của quy luật B(n, p). px  Cnx p x 1  p  Lại Thị Thanh Huệ 13 n x , x  0, n K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp nên  X  t   E  eitx    eitxCnx p x 1  p  n n x x 0   Cnx  peit  1  p  n x n x x 0   peit  1  p   n Vậy  X  t    peit  1  p  n V í d ụ 1.2. Cho biến ngẫu nhiên X ~ Poi  . Tìm  X  t  . Lời giải Theo định nghĩa của quy luật Poi  px  e . x x! , x  0,1,... nên X t   E e itx  e n itx  e . x 0 x x!  eit     e x n x! x 0  e .ee  e (e it 1) it Vậy X t   e (e it 1) . Ví dụ 1.3. Cho biến ngẫu nhiên X ~ N (0,1). Tìm  X  t  . Lời giải Theo định nghĩa của quy luật N (0,1) , ta có: 2 1  x2 f  x  e 2 nên Lại Thị Thanh Huệ 14 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp X t   E e itx    e itx   1   e 2    x 1 e 2  x 2  1 dx   e 2   dx  2 2  itx 2  t 2 2  .e 1  x  it 2 2 dx 2 t e 2. Vậy X 2 t 2 t   e . Ví dụ 1.4. Cho biến ngẫu nhiên X ~ N   , 2  . Tìm  X  t  . Lời giải Ta có Z X   ~ N  0,1 suy ra X   Z   ~ N   , 2  suy ra X  t    Z   t   eit  .Z  t    2t 2   eit  e 2 22 it   t 2 e 1.3. Bất đẳng thức Chebyshev Định lí. Nếu X là biến ngẫu nhiên có kì vọng toán và phương sai hữu hạn thì với mọi số dương  tuỳ ý ta đều có: P  X  EX     1 Lại Thị Thanh Huệ 15 DX 2 (1.8) K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc, trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục được chứng minh tương tự. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có là x1 , x2 ,..., xn với các xác suất tương ứng p1 , p2 ,..., pn . Giả thiết xi  EX   với i  1, k , và xi  EX   với i  k  1, n . Vì các biến cố để thực hiện các bất đẳng thức X  EX   và X  EX   đối lập nhau, do đó  P  X  EX     1  P  X  EX    Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên DX   x1  EX  p1  ...   xk  EX  pk   xk 1  EX  pk 1  2 2 2 ...   xn  EX  pn 2 Tất cả các số hạng của tổng đều không âm. Do đó DX   xk 1  EX  pk 1  ...   xn  EX  pn 2 2 Theo giả thiết xi  EX   với i  k  1, n , suy ra 2  xi  EX    2 với i  k  1, n , do đó DX   pk 1  ...  pn   2 . Ta có tổng pk 1  ...  pn chính là xác suất P  X  EX    Từ đó ta có DX  P  X  EX     2 hay Lại Thị Thanh Huệ 16 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp P  X  EX     DX (1.9) 2 Thay (1.9) vào  ta được P  X  EX     1 DX 2 Biểu thức (1.9) cũng được sử dụng như một dạng khác của bất đẳng thức Chebyshev. Ví dụ 1.5. Cho X là biến ngẫu nhiên có DX   2 . Lấy   k , với k  . Tìm k để X nhận giá trị từ EX  k đến EX  k với xác suất không nhỏ hơn 0,95. Lời giải Vì là biến ngẫu nhiên X có DX   2 nên theo bất đẳng thức Chebyshev ta có   0 : DX P  X  EX     2  Lấy   k với k  ,  2  DX , ta được P  X  EX  k   2 1  2 2 2 k k hay P  X  EX  k   1  1 k2 Từ đó ta có P  EX  k  X  EX  k   1  1  0,95 k2 suy ra k 2  20 hay k  5 Vậy k  5 thì X nhận giá trị từ EX  k đến EX  k với xác suất không nhỏ hơn 0,95. Bất đẳng thức Chebyshev có ý nghĩa to lớn, nó được sử dụng để chứng minh các định lí của luật số lớn. Lại Thị Thanh Huệ 17 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG 2.1. Luật số lớn 2.1.1. Định nghĩa. Họ biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là tuân theo luật số lớn (dạng Chebyshev) nếu   0 : 1 n  1 n P   X k   EX k     1 n    n k 1  n k 1  (2.1) Hoặc tương đương nếu   0 : 1 n  1 n P   X k   EX k     0 n    n k 1  n k 1  (2.2) Tương đương với   1 n p X k  EX k  0 n     n k 1 2.1.2. Định lí Chebyshev Định lí 2.1. Nếu  X n n1 là họ biến ngẫu nhiên độc lập, có các kì vọng toán hữu hạn và các phương sai đều bị chặn bởi hằng số C ( DX i  C, i  1, n ) thì nó tuân theo luật số lớn. Chứng minh Xét biến ngẫu nhiên X là trung bình số học của các biến ngẫu nhiên nói trên X X 1  X 2  ...  X n n Tìm kì vọng và phương sai của X 1 n  1 n E ( X )  E   X i    EX i  n i 1  n i 1 Lại Thị Thanh Huệ 18 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp 1 n  1 n D( X )  D   X i    DX i  n i 1  n2 i 1 Áp dụng bất dẳng thức Chebyshev đối với biến ngẫu nhiên X n   P X  E X    1 DX  2  DX i  1  i 1 2 2 n theo giả thiết DX i  C, i  1, n do đó   P X  E X    1 nC C  1 2 2 2 n n cho n   , ta được    lim P X  E X    lim 1 n  n    C  1 n 2  mà xác suất của một biến cố không thể lớn hơn 1, do đó   lim P X  E X   1 n  Vậy định lí được chứng minh. Bản chất của định lí Chebyshev Định lí Chebyshev chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng tương ứng. Nói cách khác nó chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các kì vọng toán của các biến ngẫu nhiên ấy. Một số ví dụ Ví dụ 2.1. Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập  X n , n  1 có phân phối Xn n 0 n p 1 n2 n2 1 2n2 1 n2 Lại Thị Thanh Huệ 19 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh rằng 1 n p X k   0  n    (  là hằng số thực)  n k 1 Lời giải Từ bảng phân phối ta thấy họ  X n , n  1 không cùng phân phối. Nhưng ta tính 2 được EX n  0 , DX n  2 , n  1. Suy ra DX n bị chặn đều Vậy theo định lí Chebyshev ta có 1 n p X k  0 n    n k 1 Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2.2. Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập  X n , n  1 có phân phối được xác định như sau P X k  2k   2  2 k 1 P  X k  0  2 1 2k Chứng minh rằng 1 n p X k  0 n    n k 1 Lời giải Họ biến ngẫu nhiên độc lập  X n , n  1 có phân phối Xk 2 k p 2 2k 0 1 2 k 1 2 1 2k 2 1 2 k 1 Ta có EX k  0 và DX k  EX k2  1 Lại Thị Thanh Huệ 20 K32_CN Toán