Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..........................................................................................................1
Chương 1: Cơ sơ lí thuyết ..............................................................................2
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Tích vô hướng ..............................................................................2
1.1.1 Định nghĩa ...........................................................................2
1.1.2 Một số tính chất của tích vô hướng .........……....................2
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ................................................2
Đa thức trực giao..........................................................................3
Bài toán Sturm – Liouville ...........................................................5
Tích phân Euler loại 1,2 ...............................................................5
1.5.1 Tích phân Euler loại 1 ........................................................5
1.5.2 Tích phân Euler loại 2 ........................................................5
1.5.3
Liên hệ B và là ..............................................................6
Chương 2: Các đa thức trực giao ...................................................................7
2.1. Đa thức Legendre ................................................................................7
2.1.1. Định lí 1 ..............................................................................8
2.1.2. Định lí 2 ............................................................................11
2.1.3. Định lí 3 ............................................................................13
2.1.4. Định lí 4 ............................................................................14
2.1.5. Định lí 5 ............................................................................15
2.1.6. Định lí 6 ............................................................................18
2.2. Tọa độ cầu và phương trình Legendre .........................................19
2.2.1. Định lí 7 ...........................................................................23
2.2.2. Định lí 8 ...........................................................................27
2.2.3. Định lí 9 ...........................................................................28
Bùi văn lăng – k32g toán
1
Khóa luận tốt nghiệp
2.2.4. Định lí 10 .........................................................................29
2.3. Đa thức Hermite ..........................................................................30
2.3.1. Định lí 11 ..........................................................................31
2.3.2. Định lí 12 ..........................................................................32
2.3.3. Hệ quả……………………….……………………………33
2.3.4. Định lí 13 ..........................................................................33
2.3.5. Định lí 14 .........................................................................35
2.4. Đa thức Laguerre ...........................................................................37
2.4.1. Định lí 15 ..........................................................................37
2.4.2. Định lí 16 ..........................................................................40
2.4.3. Định lí 17 ..........................................................................42
2.5. Đa thức Chebyshev .......................................................................43
2.6. Đa thức Jacobi ..............................................................................44
KẾT LUẬN ....................................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..............................................................................48
Bùi văn lăng – k32g toán
2
Khóa luận tốt nghiệp
MỞ ĐẦU
Giải tích là ngành Toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong khoa học kỹ thuật,
nhất là trong lĩnh vực Vật lý.
Đặc biệt, qua quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng thường gặp
trong Vật lý, đã dẫn đến việc hình thành một ngành giải tích mới là Phương trình
toán lí vào thế kỷ thứ XVIII. Ngành toán học mới này giúp liên hệ giữa các đại
lượng vật lí trong tự nhiên rất phức tạp nhưng có quy luật.
Trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng
phương pháp tách biến, ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thông thường mà
nghiệm của nó là các hàm cầu, hàm Betsen,..., đậc biệt là các đa thức trực giao là đa
thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đa thức
Jacobi...
Tuy nhiên, trong quá trình học tập và nghiên cứu, bản thân em cũng như các bạn
sinh viên cùng khoá để hiểu một cách sâu sắc các đa thức trực giao, các tính chất
của chúng, và các ứng trong vật lí là rất khó.
Từ những suy nghĩ trên, và dưới sự hướng dẫn của thầy TS.BÙI KIÊN
CƯỜNG. Em dã chọn đề tài “Các đa thức trực giao” làm đề tài luận văn tốt nghiệp
của mình.
Khoá luận của em gồm các nội dung sau:
Chương1: Cơ sở lí thuyết
Chương2: Các đa thức trực giao
Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn TS. BÙI
KIÊN CƯỜNG người đã hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này.
Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô trong khoa
toán đã giúp đỡ em trong 4 năm học qua !
Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2010
Sinh viên
BÙI VĂN LĂNG
Bùi văn lăng – k32g toán
3
Khóa luận tốt nghiệp
Chương 1
cơ sở lí thuyết
1.1.Tích vô hướng
1.1.1. Định nghĩa:
Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là trường số thực R hoặc
trường số phức C). ta gọi là tích vô hướng trên không gian X với mọi ánh xạ
từ tích Descartes X X vào trường K, ký hiệu .,. , thỏa mãn tiên đề:
i.
x, y X , y, x x, y
ii.
;
x, y, z X , x y, z x, z y, z
;
x, y X , K , x, y x, y
iii.
iiii.
x X , x, x 0
nếu
;
x 0 , x, x 0
nếu
x 0;
1.1.2. Một số tính chất đơn giản của tích vô hướng:
i.
x X , 0, x 0
ii.
x, y X , K , x, y x, y
iii.
x, y, z X , x, y z x, y x, z
.
1.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Đối với mỗi
x X ta đặt:
Bùi văn lăng – k32g toán
4
Khóa luận tốt nghiệp
x
Khi đó
x, y X
x, x
ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
x, y x y
1.3. Đa thức trực giao
Cho (a,b) là khoảng mở trong R, hữu hạn hoặc vô hạn, hàm ( x) 0
b
trên khoảng (a,b) , sao cho
x ( x)dx (n 0,1, 2...) là hội tụ tuyệt đối. Tồn
n
a
tại duy nhất dãy Pn 0 các đa thức có dạng
P0 1; P1 x a0 ;
P2 x 2 b1 x b0 ; P3 x 3 c3 x 2 c2 x c0 ;...
là trực giao với hàm trọng ( x) 0 trên khoảng (a,b); nghĩa là
b
Pn , Pm
Pn Pmdx 0 nếu m n
a
Thật vậy, tìm điều kiện a0 để P1 trực giao P0 :
b
b
0 P1 , P0
( x a0 ) ( x)dx a0
a
x ( x)dx
a
b
.
( ( x)dx
a
Tiếp theo nhờ tính trực giao của đa thức P2 với đa thức P0 và P1 , nên
P2 , P1
0 và P2 , P0
0,
giải hệ phương trình ta xác định được hệ số b0 và b1 trong đa thức P2 .
Tương tự như trên ta giải hệ ba phương trình
Bùi văn lăng – k32g toán
5
Khóa luận tốt nghiệp
P3 , P2
P3 , P1
P3 , P0
0,
ta xác định được hệ số c0 , c1 , c3 trong đa thức P3 .
Tiếp tục quá trình trên ta xác định được hệ số của Pn nhờ điều kiện trực
giao.
Như vậy, hàm ( x) ở trên là hàm trọng trên khoảng (a,b), tồn tại duy
nhất
dãy Pn 0 của các đa thức xác định bởi điều kiện:
i. Pn là đa thức bậc n.
ii. Pn , Pm
0 với mọi m n .
iii. Hệ số của x n trong Pn là 1.
Bổ đề 1: Giả sử Pn 0 là dãy các đa thức, sao cho Pn là đa thức bậc n
với mọi n. Khi đó mọi đa thức bậc k (k=1,2,3,...) là tổ hợp tuyến tính của
P1 ,..., Pk .
Chứng minh:
Nếu f là đa thức bậc k, chọn hằng số ck sao cho f và ck Pk có cung hệ số
của x k .Do đó f ck Pk là đa thức bậc k-1, ta chọn ck 1 sao cho và ck 1 Pk 1
f ck Pk có cùng hệ số của x k 1 .Do đó f ck Pk ck 1 Pk 1 là đa thức bậc k-2.
Chúng ta tiếp tục quá trình này cho ck 1,..., c0 sao cho
k
f cn Pn 0 .
n 0
Bổ đề được chứng minh.
Pn xác đinh bởi công thức:
Bùi văn lăng – k32g toán
6
Khóa luận tốt nghiệp
cn d n
( x) P( x) n
Pn ( x)
n
( x) dx
(1)
trong đó cn là hằng số, ( x) >0 là hàm trọng, Pn ( x) là đa thức trực giao ,
P( x) là đa thức cố định đã có.
Với m n thì
b
Pn ( x), Pm ( x)
( x) Pn ( x) Pm ( x)dx
a
b
Với m=n thì Pn ( x) Pn ( x), Pn ( x)
( x) Pn ( x) Pm ( x)dx
a
1.4. Bài toán Sturm- Liouville :
y" y 0, 0 x T
Dạng 1:
;
y
(0)
0;
y
(
T
)
0
"
y y 0, T x T
Dạng 2:
'
'
y (T ) y (T ); y (T ) y (T )
1.5.Tích phân Euler loại 1,2:
1.5.1.Tích phân Euler loại 1:
1
B(a,b) = x a 1 (1 x)b1 dx, a 0, b 0.
0
1.5.2.Tích phân Euler loại 2:
(a) x a1e x dx, a 0.
0
(a 1) a(a), a 0
(n 1) n!
Bùi văn lăng – k32g toán
7
Khóa luận tốt nghiệp
1
( )
2
1.5.3.Liên hệ B và là:
B(a, b)
Bùi văn lăng – k32g toán
(a).(b)
( a b)
8
Khóa luận tốt nghiệp
Chương 2
Các đa thức trực giao
2.1. Đa thức Legendre
Đa thức Legendre, kí hiệu Pn , được xác định bởi:
1 dn 2
Pn ( x) n
( x 1)n
n
2 n! dx
(2)
Hàm số ( x 2 1) n là đa thức bậc 2n, với số hạng cao nhất là x 2n . Như
vậy Pn là một đa thức bậc n.
Một vài đa thức Legendre bậc nhỏ:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x
1
3x 2 1
2
1
P3 ( x) 5 x3 3x
2
1
P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3)
8
1
P5 ( x) 63x5 70 x3 15 x
8
1
P6 ( x) 231x 6 315 x 4 105 x 2 5
8
P2 ( x)
§a thøc Pn ( x ) ®-îc tÝnh b»ng c«ng thøc
1
(1) j (2n 2 j)! n2 j
Pn ( x) n
x
2 j n j !(n j )!(n 2 j )!
2
Bùi văn lăng – k32g toán
9
Khóa luận tốt nghiệp
§©y lµ ®Þnh lÝ nhÞ thøc.
Tõ (2) ta thÊy
1 d n 2n
Pn ( x) n
( x ...)
2 n! dx n
1
((2n)(2n 1)...( n 1) x n ...)
2 n!
(2n)! 2
x ...
2n (n!)2
n
(3)
2.3.Đa thức Hermite
Đa thức hermine thứ n kí hiệu là H n ( x) được xác định bởi:
d n x2
H n ( x) (1) e
e .
dx n
n
x2
(29)
Tính toán đơn giản ta thấy:
H 0 ( x) 1,
H1 ( x ) 2 x ,
H 2 ( x) 4 x 2 2,
H 3 ( x) 8 x3 12 x,
H 4 ( x) 16 x 4 48 x 2 12.
Nói chung ta có:
e
x2
d n x2
d x2
H n ( x) (1)
e
[e H n1 ( x)]
dx n
dx
n
= e x 2 xH n1 ( x) H n1 ( x) ,
2
Bùi văn lăng – k32g toán
10
Khóa luận tốt nghiệp
Hoặc
H n ( x) 2 xH n1 ( x) H n1 ( x),
(30)
Hn là chăn hoặc lẻ tùy vào n là chẵn hay lẻ ( vì e x là hàm chẵn ).
2
Hn là đa thức bậc n, số hạng cao nhất là (2 x) n .
Xét trong không gian L2 ( R) vµ L2 ( R) với hàm trọng ( x) e x .
2
Lưu ý rằng
e
x2
dx 2 e
x2
0
1
dx y 1/2 e y dy ( ) .
2
0
2.3.1.Định lí 11:
Đa thức H n 0 là trực giao trên R với hàm trọng ( x) e x và
2
Hn
2
2n.n! .
Chứng minh:
Nếu f là đa thức bất kì, ta có:
f , Hn
f ( x ) H n ( x )e
dx (1)
n
u f ( x)
Đặt
d n x2
dv n e dx
dx
f , Hn
x2
d n x2
f ( x) n e dx
dx
du f ' ( x)dx
ta có
d n1 x2
v n1 e
dx
d n1 x2
d n1 x2
'
f ( x) n1 e
f ( x) n1 e dx
dx
dx
=
Bùi văn lăng – k32g toán
d n1 x2
f ( x) n1 e dx
dx
'
11
Khóa luận tốt nghiệp
Tích phân tiếp tục (n-1) lần ta được:
f , Hn
f ( n ) ( x)e x dx.
2
Nếu f=Hn với m < n thì f ( n ) 0 nên
f , Hn
0 . Điều này chứng
minh được tính trực giao của đa thức Hermite.
Mặt khác, Nếu f=Hn ta có f ( x) (2 x) n ...
Nên f ( n ) 2n n!
Hn
2
2 n! e x dx 2n n ! .
2
n
2.3.2.Định lí 12:
Giả sử f là một hàm trên R sao cho f ( x) e e x là khả tích trên R với
tx
2
tất cả t R nếu:
f ( x) P( x)e x dx 0
2
với tất cả đa thức P thì f=0 ( hầu khắp nơi)
Chứng minh:
(itx)n
Từ e
và
n!
0
itx
n
tx
(itx)n
0 n! 0 n! e tx với tất cả N 0 ,
N
Theo định lí hội tụ trội thì:
e f ( x )e
itx
x2
(it ) n
dx
n!
0
Bùi văn lăng – k32g toán
x n f ( x)e x dx.
2
12
Khóa luận tốt nghiệp
Do giả thuyết trên các tích phân ở bên phải đều triệt tiờu. Theo định lí
x
đảo Fourier thì f ( x)e 0 , do đó f(x)=0 hầu khắp nơi.
2
2.3.3.Hệ quả 2:
H n 0
là cơ sở trực giao của L2 ( R) .
Chứng minh:
Nếu f L2 ( R ) và
f , Hn
0 với tất cả n thì f , H n
0 với tất
cả đa thức P. Và
tx
f ( x) e e
x2
dx ( f ( x) e
2
) ( e e x dx)1/2
x 2 1/2
2 tx
2
( Theo bất đẳng thức cauchy – Schwar)
2.3.4.Định lí 13:
Với bất kì x R và z C ta có:
zn
2 xz z 2
H
(
x
)
e
.
0 n n!
(31)
Chứng minh:
Đặt u=x-z
du=
d
và ở đó:
dz
n
d n ( x z )2
n d
e
(1)
eu
n
n
z0
ux
dx
du
= eu H (u )
2
Bùi văn lăng – k32g toán
e x H n ( x) .
2
ux
13
Khóa luận tốt nghiệp
Như vậy công thức Taylor:
e
( x z )2
e
x2
0
zn
H n ( x) ,
n!
2
Nhân hai vế với e x ta được:
2
zn
0 H n ( x) n! e z 2 xz
Đạo hàm (35) đối với x ta được
zn
z n1
2 xz z 2
2 H n
0 H n ( x) n! 2 ze
n!
0
zn
=2 H n1 ( x)
(n 1)!
1
Ta thấy H 0 0, H n 2nH n1 với n>0
(32)
Kết hợp (36) và (34) ta có công thức:
H n ( x) 2 xH n1 ( x) 2(n 1) H n2 ( x)
(33)
Và
H n ( x)
xH n ( x) 1
H n ( x),
n
2n
Hoặc
H n ( x) 2 xH n ( x) 2nH n ( x) 0 .
Phương trình có thể được viết dạng Sturm-Liouville bằng cách nhân cả
hai vế với e x :
2
e x2 H ( x) 2ne x2 H ( x) 0 .
n
n
Bùi văn lăng – k32g toán
14
Khóa luận tốt nghiệp
Như vậy, các đa thức Hermite là cỏc hàm riêng của bài toán SturmLiouville kỡ dị:
2
2
e x y e x y 0, x ,
(34)
với “điều kiện biên” là nghiệm của bài toán thuộc L2 (R) .
Với mục đích khỏc nhau người ta cú thể thay thế đa thức Hermite bằng
phương trình Hermite hn được xác định bởi:
hn ( x) e x /2 H n ( x).
2
2.3.5.Định lí 14:
Đa thức Hermite
hn 0
là cơ sở trực giao L2 ( R) với hàm trọng
( x) 1 . Thỏa mãn:
xhn ( x) hn ( x) 2nhn1 ( x)
(35)
xhn ( x) hn ( x) hn1 ( x)
(36)
hn ( x) x 2 hn ( x) (2n 1)hn ( x) 0
(37)
Chứng minh: Tính trực giao của hn từ định lí 11, ở đó
hn , hm
H n ( x) H m ( x)e x dx
2
= Hn , Hm
Như vậy tính đầy của hn 0 theo định lí 12.
Nếu ta có:
H n ( x) e x /2 hn ( x) theo (36)
3
Bùi văn lăng – k32g toán
15
Khóa luận tốt nghiệp
Ta có
2ne x /2 hn1 ( x) [e x /2 hn ( x)]
2
2
= e x /2 [ xhn ( x) hn ( x)]
2
Nên
xhn ( x) hn ( x) 2nhn1 ( x)
Từ (37) ta có:
H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x)
2 xhn ( x) xhn ( x) hn ( x)
xhn ( x) hn ( x)
Đây là công thức (35).
Từ công thức (35) , và (34) ta có:
2nhn ( x) 2n xhn1 ( x) hn1 ( x)
x xhn ( x) hn ( x) xhn ( x) hn ( x)
Ta có công thức ( 37)
Từ phương trình (37), ta thấy phương trình Hermite ,là hàm riêng của
phương trình Sturm- Liouville:
y x 2 y y 0
(38)
2.4. Đa thức Laguerre
Cho là một số thực sao cho >-1. Đa thức laguerre thứ n ,
Kí hiệu Ln tương ứng với một tham số được xác định bởi:
Bùi văn lăng – k32g toán
16
Khóa luận tốt nghiệp
x e x d n n x
Ln ( x)
(x e )
n! dx n
(39)
=0 là đa thức Laguerre
≠0 là đa thức Laguerre tổng quát
Công thức tích số của đạo hàm ta có:
1
d k e x d nk x n
Ln ( x) x e
k
dx nk
k 0 k !(n k )! dx
n
x
(n )(n 1 )...( k 1 )
( x) k
k !(n k )!
k 0
n
(40)
(1)n x n
Vì vậy L là đa thức bâc n,với số hạng cao nhất bằng
n!
n
2.4.1.Định lí15:
Các đa thức {Ln }n0 là trực giao đầy đủ trên (0, ) , với hàm trọng
( x) x e x và
Ln
2
(n 1)
n!
Chứng minh:
Nếu f là đa thức bất kì
0
1
d n n x
f ( x) Ln ( x) x e dx f ( x) n ( x e )dx
n! 0
dx
x
Tich phân từng phần n lần ta được:
0
(1)n
f ( x) Ln ( x) x e dx
n!
x
Bùi văn lăng – k32g toán
f
(n)
( x) x n e x dx
0
17
Khóa luận tốt nghiệp
Nếu f là đa thức bậc nhỏ hơn n , Nếu f Lm với m< n thì f ( n ) 0
nên ta chứng minh được Ln , Lm
0
Với m=n thì f Ln thì f (n) (1)n (theo 40)
Vì vậy:
2
Ln
(1) n
(1) n x n e x dx
n! 0
1
(n 1)
= x n e x dx
n! 0
n!
Để chứng minh tính đầy, ta giả sử rằng g L2 (0, ) thỏa mãn
g , Ln 0 với mọi n thì g=0.
Để làm điều này ta chuyển bài toán từ (0, ) đến (, ) bằng cách
sử dụng công thức sau:
F ( x)dx F ( y
0
2
)2 ydy
F(y
2
) y dy
(41)
0
Hàm F khả tích trên (0, ) , Ln là tổ hợp tuyến tính ( theo Bổ đề 1), các
điều kiện g , Ln
0 cùng (41) nên:
0 g ( x) x x e dx
n
x
0
g( y2 ) y
2 1
y 2 n e y dy
2
Với tất cả n, nên:
0
g( y2 ) y
2 1
y 2 n e y dy
2
Với tất cả n, Vì Tích phân là hàm lẻ, do đó:
Bùi văn lăng – k32g toán
18
Khóa luận tốt nghiệp
0
g( y2 ) y
2 1
P( y ) e y dy
2
Với tất cả đa thức P. Nhưng hàm f ( y ) g ( y 2 ) y
2 1
thỏa mãn các giả
thuyết của định lí (12). Theo định lí cauchy-schwarz và (41),
g( y2 ) y
2 1
e e y dy
ty
2
1/2
1/2
2 1 2 ty y2
2 1 y 2
2 2
g( y ) y
e dy y
e e dy
1/2
2 1 2 ty y2
g y
e e dy
Vì vậy theo định lí (12), g=0
Chú ý: Giả thiết >-1 cần thiết trong định lí 15. Nếu ≤ -1 ,
( x) x e x là không khả vi tại gốc. Vì vậy tích phân Ln , Lnk
định Ln
2
không xác
là tất cả phân kì.
Ta thấy đa thức Laguerre thỏa mãn phương trỡnh Laguerre:
x 1e x y nx e x y 0
(42)
Có thể viết dưới dạng:
xy ( 1 x) y ny 0
(43)
Vì
x 1e x y x 1e x y ( 1 x) x e x y.
(44)
2.4.2.Định lí 16:
Bùi văn lăng – k32g toán
19
Khóa luận tốt nghiệp
Các đa thức Laguerre Ln 0,1 thỏa mãn phương trình (42)
Chứng minh:
Đặt yn Ln theo (44)
x 1e x y x e x xy xy ( 1) y .
n
n
n
n
Biểu thức trong ngoặc vuông bên phải là đa thức bậc n. Số hạng đầu là
xyn' . Theo (40) số hạng đầu là nyn cụ thể là (1)n1 x n / (n 1)! , nói cách
khác,
x 1e x y x e x (ny P)
n
n
(45)
Mà đa thức P có bậc nhỏ hơn n. P là tổ hợp tuyến tính của đa thức
Laguerre
yk Lk với k
- Xem thêm -
.PDF 
67 
79 
60 
