Tài liệu Các công thức lượng giác cần ghi nhớ

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ sin 2 a + cos2 a = 1 sin a 2/ t ga = cos a cos a 3/ cot ga = sin a 1 4/ 1 + t g2a = cos2 a 1 5/ 1 + cot g2a = sin 2 a 6/ t ga. cot ga = 1 t } cot ga cotg a { cos Cosa sin tg II. Công thức cộng - trừ: ( ) 2/ sin ( a - b ) = sin a. cos b - sin b. cos a 3/ cos ( a + b ) = cos a. cos b - sin a. sin b 4/ cos ( a - b ) = cos a. cos b + sin a. sin b 1/ sin a + b = sin a. cos b + sin b. cos a ( ) 5/ t g a + b = ( ) t ga + t gb 1 - t ga.t gb 7/ cot g a + b = ( ) 6/ t g a - b = t ga - t gb 1 + t ga.t gb cot ga. cot gb - 1 cot ga + cot gb 8 / cot g ( a - b ) = cot ga cot gb + 1 cot ga - cot gb III. Công thức góc nhân đôi: ( 1/ sin 2a = 2 sin a. cos a = sin a + cos a ) 2 - 1 = 1 - ( sin a - cos a ) 2 2/ cos 2a = cos2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a 2t ga 3/ t g2a = 1 - t g2 a cot g2a - 1 4/ cot g2a = 2 cot ga IV. Công thức góc nhân ba: 1/ sin 3a = 3 sin a - 4 sin 3 a 2/ cos3a = 4 cos 3 a - 3 cos a 3/ t g3a = 3t ga - t g 3a 1 - 3t g 3a 4/ cot g3a = cot g 3a - 3 cot ga 3 cot g2a - 1 V. Công thức hạ bậc hai: 1 - cos 2a t g 2a = 1/ sin a = 2 1 + t g 2a 2 2/ 1 + cos 2a cot g2a cos a = = 2 1 + cot g2a 2 3/ t g2a = 1 - cos 2a 1 + cos 2a 4/ sin a cos a = 1 sin 2a 2 VI. Công thức hạ bậc ba: 1/ sin 3 a = 1 ( 3 sin a - s in3a ) 4 2/ cos 3 a = 1 ( 3 cos a + cos 3a ) 4 t gx VII. Công thức biểu diễn sin x, cos x, t gx qua t = : 2 2t 1 + t2 2t 3/ t gx = 1- t2 1/ sin x = 1 - t2 1 + t2 1- t2 cot gx = 2t 2/ cos x = VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1é cos ( a - b ) + cos ( a + b ) ù ê ú ë û 2 1 2/ sin a. sin b = é cos ( a - b ) - cos ( a + b ) ù ê ú ë û 2 1 3/ sin a. cos b = é sin ( a + b ) + sin ( a - b ) ù ê ú ë û 2 1/ cos a. cos b = IX. Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a- b . cos 2 2 a+ b a- b 2/ cos a - cos b = - 2 sin . sin 2 2 a+ b a- b 3/ sin a + sin b = 2 sin . cos 2 2 1/ cos a + cos b = 2 cos a+ b a- b . sin 2 2 sin ( a + b ) 4/ sin a - sin b = 2 cos 5/ t ga + t gb = cos a. cos b sin ( a + b ) 7/ cot ga + cot gb = sin a. sin b - sin ( a - b ) cot ga - cot gb = sin a. sin b sin ( a - b ) 9/ t ga + cot gb = cos a. sin b cos ( a + b ) 10/ cot ga - t gb = sin a. cos b 6/ t ga - t gb = sin ( a - b ) cos a. cos b 8/ 9/ t ga + cot ga = 2 sin 2a 11/ cot ga - t ga = 2 cot g2a X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt: ìï sin ( - a ) = - sin a ïï ïï cos - a = cos a ( ) ï 1/ Góc đối: í ïï t g ( - a ) = - t ga ïï ïï cot g ( - a ) = - cot ga î ìï sin ( p - a ) = sin a ïï ïï cos p - a = - cos a ( ) ï 2/ Góc bù: í ïï t g ( p - a ) = - t ga ïï ïï cot g ( p - a ) = - cot ga î ìï sin ( p + a ) = - sin a ïï ïï cos p + a = - cos a ( ) ï 3/ Góc sai kém p : í ïï t g ( p + a ) = t ga ïï ïï cot g ( p + a ) = cot ga î æ ö ïìï p ÷ - a÷ = cos a ïï sin ç ç ÷ ç ÷ è2 ø ïï ïï æ ö p ïï cos ç ÷ = sin a ç - a÷ ÷ ÷ ç ïï è2 ø 4/ Góc phụ: í ö ïï æ p ÷ = cot ga ç - a÷ ïï t g ç ÷ ÷ è2 ø ïï ç ïï æ ö p ÷ ïï cot g ç ÷ a = t ga ç ÷ ÷ ç ïïî è2 ø XI. Công thức bổ sung: æ æ pö pö ÷ ç ÷ ÷ = 2 sin a+ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç 4ø 4ø è è æ pö æ ö p ÷ ç ÷ ÷ a+ ÷ = 2 sin a 2/ cos a - sin a = 2 cos ç ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 4 4 è ø è ø æ pö æ pö ç ÷ ÷ = 2 cos 3/ sin a - cos a = 2 sin ç ça - ÷ ça + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 4ø 4ø è è a1/ cos a + sin a = 2 cos ç ç ç 4/ A sin a + B cos a = A 2 + B 2 sin ( a + a ) = A 2 + B 2 cos ( a - b) , ( 5/ 1 + sin a = cos a + sin a ) (A 2 + B2 > 0 2 XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt: Góc 0 p/ 6 Hàm số 0 sin 0 cos 1 3/ 2 tg 0 3/ 3 cotg || 3 0 300 1/ 2 XIII. Định lý hàm số cosin: 1/ a 2 = b 2 + c2 - 2bc. cos A 2/ b 2 = c2 + a 2 - 2ca. cos B 3/ c2 = a 2 + b 2 - 2bc. cos C p/ 4 p/ 3 p/ 2 600 3/ 2 1/ 2 900 1 3 || 1 3/ 3 0 450 2/ 2 2/ 2 1 0 A c B b a C ) XIV. Định lý hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp VABC ìï a = 2R sin A ïï ï Hay í b = 2R sin B ïï ïï c = 2R sin B î XV. Công thức tính diện tích tma giác: Gọi h V là đường cao thuộc cạnh trong VABC . a+ b+ c là phân nửa chu vi VABC . 2 S là diện tích VABC . R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp VABC . R là bán kính đường tròn nội tiếp VABC . 1 1 1 1/ S = a.h a = b.h b = c.h c 2 2 2 1 1 1 2/ S = ab. sin C = bc. sin A = ca. sin B 2 2 2 abc 3/ S = ; 4/ S = p.r 4R p= 5/ S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c) (Công thức Héron) XVI. Công thức nghiệm: éu = a + 2k p ê sin u = sin a ÛÎ 1/ êu = p - a + 2k p , k Z ê ë éu = a + 2lp 2/ cos u = cos a ÛÎ ê êu = - a + 2lp , l Z ê ë t gu = t ga Û u = a + m pÎ, m Z 3/ 4/ cot gu = cot ga Û u = a + n pÎ, n Z XVII. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic được biểu diễn qua hàm mũ theo các công thức sau: 1/ sin z = eiz - e- iz 2i 2/ cos z = eiz + e- iz 2 3/ sinh z = ez - e- z = - i sin iz 2 4/ cosh z = e z + e- z = cos iz 2