Tài liệu Bức xạ tự phát của nguyên tử kích thích gần khối trụ hữu hạn trong gần đúng born

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Dũng Chinh BỨC XẠ TỰ PHÁT CỦA NGUYÊN TỬ KÍCH THÍCH GẦN KHỐI TRỤ HỮU HẠN TRONG GẦN ĐÚNG BORN LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Dũng Chinh BỨC XẠ TỰ PHÁT CỦA NGUYÊN TỬ KÍCH THÍCH GẦN KHỐI TRỤ HỮU HẠN TRONG GẦN ĐÚNG BORN Chuyên ngành : Vật lí nguyên tử Mã số : 60 44 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Hồ Trung Dũng Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin cảm ơn gia đình, những người thân của tôi đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hồ Trung Dũng, người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Trong quá trình làm luận văn, thầy đã rất tận tình, cởi mở giúp tôi nhanh chóng tiếp cận và giải quyết vấn đề. Tôi xin cảm ơn các anh chị trong phòng vật lý lý thuyết, viện vật lý TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo nhiều thuận lợi trong quá trình tôi làm luận văn. Tôi xin cảm ơn trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, phòng sau đại học đã tạo điều kiện cho tôi được học tập tại trường. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô đã giảng dạy, giúp tôi hoàn thành các học phần trong chương trình học. 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 1 MỤC LỤC ........................................................................................................................ 2 MỞ ĐẦU........................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ Rà TỰ PHÁT TRONG KHAI TRIỂN BORN .................... 5 1.1. Chuỗi Born ....................................................................................................................... 5 1.2. Tốc độ rã tự phát trong khai triển Born........................................................................ 6 1.2.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương r̂ ......................................... 9 1.2.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương f̂ ....................................... 11 1.2.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ẑ ....................................... 12 CHƯƠNG 2. HÀM GREEN CHO HỆ TRỤ VÔ HẠN ............................................. 13 2.1. Hàm Green chân không ................................................................................................ 13 2.2. Hàm Green tán xạ .......................................................................................................... 15 2.3. Ứng dụng cho khối trụ hai lớp ..................................................................................... 18 2.3.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương r̂ ....................................... 20 2.3.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương f̂ ....................................... 23 2.3.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ẑ ....................................... 24 CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN......................................................... 26 3.1. Các vạch cộng hưởng của hàm Green cho khối trụ vô hạn và tích phân theo đường vòng ........................................................................................................................................ 26 3.2. Tốc độ rã tự phát ........................................................................................................... 31 3.2.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ẑ ....................................... 31 3.2.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương f̂ ....................................... 36 3.2.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương r̂ ....................................... 41 3.2.4. Moment lưỡng cực nguyên tử có hướng ngẫu nhiên ................................................. 46 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 49 2 MỞ ĐẦU Như đã biết, quá trình rã tự phát đóng vai trò rất quan trọng trong các thiết bị quang tử. Người ta có thể điều khiển quá trình này bằng cách điều chỉnh môi trường xung quanh nguồn phát xạ. Các thuộc tính của quá trình rã có thể tìm hiểu thông qua khảo sát hàm Green [3, 14], tuy nhiên hàm Green chỉ được biết cho các dạng hình học có tính đối xứng cao như tấm phẳng rộng vô hạn, trụ dài vô hạn hoặc cấu trúc cầu [6]. Khi kích thước của các thiết bị ngày càng giảm trong xu hướng vi hóa hiện nay hoặc khi nguồn phát xạ được đặt gần biên, việc xem xét ảnh hưởng của tất cả các biên trở nên cấp thiết. Các phương pháp nặng về tính số như thuật toán finite-difference time domain algorithm [23] có thể áp dụng cho hình học bất kì, nhưng thường đòi hỏi rất nhiều tài nguyên máy tính. Như vậy một cách tiếp cận đơn giản và trực tiếp là điều được mong đợi. Ngay cả khi cách tiếp cận này không giải quyết tuyệt đối bài toán thì trong nhiều trường hợp nó vẫn có thể cho phép ước lượng gần đúng ảnh hưởng của các biên. Theo [4, 13, 18], chuỗi Born (chỉ lấy số hạng đầu) của hàm Green được sử dụng để xem xét lực van der Waals tác động lên nguyên tử, hiệu chỉnh trường định xứ và tốc độ rã tự phát của một nguyên tử đặt gần tấm chữ nhật. Bài toán tốc độ rã tự phát của nguyên tử đặt gần khối trụ hữu hạn đã được xem xét trong [1, 22] với moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương ẑ . Trong cách tiếp cận này, các điều kiện biên được đưa vào thông qua các giới hạn của tích phân. Sử dụng khai triển Born cho hàm Green, luận văn xem xét tốc độ rã tự phát của nguyên tử kích thích đặt trong vùng lân cận của một khối trụ có chiều dài hữu hạn. Các cấu trúc đối xứng trụ xuất hiện trong các nghiên cứu gần đây về atom chips [20], tốc độ rã tự phát và dịch chuyển mức [5, 7, 10, 11, 12, 15, 19, 24], năng lượng điểm không [21], tương tác Casimir-Polder [2, 8, 9] và sự truyền năng lượng cộng hưởng giữa các phân tử [17]. Trong các công trình này, hệ trụ được giả sử dài vô hạn. Nội dung của luận văn này là mở rộng của công trình [22] cho trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử có hướng bất kỳ. Kết quả của [22] cho thấy nguyên tử có moment lưỡng cực hướng theo phương ẑ chỉ tương tác với thành phần phân cực TM của trường điện từ. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng cho các moment lưỡng cực hướng theo phương r̂ và f̂ , tất cả các thành phần 3 phân cực của trường đều tham gia tương tác. Vì vậy công thức toán học cũng trở nên phức tạp hơn. Nếu không có các bước chuẩn bị để hướng moment lưỡng cực nguyên tử theo một phương nhất định, thì moment lưỡng cực nguyên tử được xem như có hướng ngẫu nhiên. Vì vậy việc xem xét tất cả các hướng của moment lưỡng cực nguyên tử là cần thiết để tạo điều kiện so sánh kết quả với thực nghiệm. Chúng tôi đã thực hiện song song các tính toán cho hệ trụ hữu hạn và hệ trụ vô hạn. Trong trường hợp thứ nhất mô hình là chính xác nhưng hàm Green là gần đúng trong khai triển Born. Trong trường hợp thứ hai mô hình là gần đúng nhưng hàm Green là chính xác. Chỉ mô hình thứ nhất mới cho phép xem xét ảnh hưởng của điều kiện biên xuất hiện do độ dài hữu hạn của hệ trụ. Các mục tiêu chính của luận văn là như sau: - Khảo sát ảnh hưởng của hướng moment lưỡng cực nguyên tử lên tốc độ rã tự phát. - Xác định vùng giá trị của mô hình gần đúng hệ trụ vô hạn. - Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên khi nguyên tử dịch chuyển theo trục Oz. - Tính toán số hàm Green cho hệ trụ vô hạn là rất khó khăn do sự hiện diện của các vạch cộng hưởng. Một trong các mục tiêu của chúng tôi là hoàn thiện phương pháp tính số đã sử dụng trong công trình [22]. Nội dung của luận văn gồm ba chương: Chương 1 là tốc độ rã tự phát trong khai triển Born, chương 2 là hàm Green cho hệ trụ vô hạn, kết quả số và thảo luận sẽ được trình bày ở chương 3. Để thuận tiện trong việc ghi các công thức, chúng tôi qui ước các chữ đậm và nghiêng là vector, chữ chỉ in đậm là ma trận. 4 CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ Rà TỰ PHÁT TRONG KHAI TRIỂN BORN 1.1. Chuỗi Born Hàm Green tensor cổ điển của một vật thể vĩ mô có hấp thụ và tán sắc bất kì thỏa phương trình [18] HˆG r , r , w   d r  r  I , Hˆ  Hˆ r  = Ñ  (1.1) w2 1 Ñ  2 e r , w  , m r , w  c (1.2) ( I - là tensor đơn vị) cùng với điều kiện biên ở vô cùng. e r , w  , m r , w  là hằng số điện môi và độ từ thẩm phức phụ thuộc vào tần số và tọa độ không gian thỏa mãn mối liên hệ Kramers Kronig. Hằng số điện môi và độ từ thẩm có thể được viết e r , w   e r , w   ce r , w  , m r , w   m r , w   cm r , w  . (1.3) Giả sử ta có hàm G r , r , w  thỏa mãn phương trình HˆG r , r , w   d r  r  I , với Ĥ được định nghĩa như phương trình (1.2) bằng cách thay e cho e và m cho m , khi đó hàm Green G r , r , w  có thể được viết G r , r , w   G r , r , w   G  r , r , w  . (1.4) Thay phương trình (1.4) vào phương trình (1.1) và sử dụng khai triển m  cm  1 m 1  c l  l 0  mm  , ta có    Hˆ r  G r , r , w   G  r , r , w   Hˆ r G r , r , w  ,   5 Hˆ r G  r , r , w   Hˆ r   Hˆ r  G r , r , w  ,   từ đây  r , r , w  , Hˆ r G  r , r , w   Hˆ c r G r , r , w   G (1.5) trong đó Hˆ c r   Ñ  1 w2  cm r , w  Ñ  2 ce r , w  .  m r , w  l 1 m l r , w  c l (1.6) Theo [18] phương trình (1.4) có thể viết dưới dạng G r , r , w   G r , r , w    k 1Gk r , r , w  ,  (1.7) trong đó k   s , s , w  ...G  s , r , w  , Gk r , r , w     d 3s j G r , s1, w G k 1 2   j 1 (1.8) với s  x , y, z  . Phương trình (1.7) là chuỗi Born. Khai triển dạng (1.7) của hàm Green có giá trị cho một dạng hình học bất kì. Chuỗi Born đặc biệt hữu dụng khi ce , cm tương ứng là nhiễu loạn của e và m , khi đó người ta có thể bỏ qua những số hạng bậc cao của chuỗi mà không gây ra sai số lớn. Về mặt vật lý, đây là các hệ có tính chất điện và từ yếu. 1.2. Tốc độ rã tự phát trong khai triển Born Xét môi trường có hằng số điện môi và độ từ thẩm gần với giá trị một, e r , w   m r , w   1 , với cl r , w   clR r , w   i clI r , w  , (trong đó l  e, m ), cl r , w   1 . 6 Hình 1.1. Nguyên tử đặt gần khối trụ hữu hạn. Hàm Green G r , r , w  ứng với e r , w   m r , w   1 là hàm Green chân không [18] G r , r , w    a  a q   d u  3k 2 I+ 1 i 1  2 3, q q q k aI  buˆ  uˆ e iq ,  4p b  b q   1 3i 3  2 3, q q q (1.9) (1.10) với k u w ; u  r  r  ; uˆ  ; q  ku . u c Hệ chúng tôi xét gồm một nguyên tử hai mức đặt gần một môi trường điện môi có dạng hình trụ. Tốc độ rã tự phát của nguyên tử được cho bởi [14] 2kA2  d Im G rA, rA, wA dA , e0 A (1.11) trong đó dA và wA lần lượt là moment lưỡng cực và tần số dịch chuyển mức năng lượng nguyên tử, kA  wA và G rA, rA, wA  là hàm Green phụ thuộc vào vị trí và tần số dịch chuyển c mức năng lượng nguyên tử. Thay (1.4) vào (1.11) ta nhận được 7  2kk2 A e0   dA Im G rA, rA, wA   Im G  rA, rA, wA  dA . (1.12) Phương trình (1.11) và (1.12) cho thấy để tính tốc độ rã tự phát ta cần biết hàm Green điểm nguồn và điểm trường ở cùng một vị trí là vị trí nguyên tử. Đối với số hạng thứ nhất, hàm G rA, rA, wA  có công thức như phương trình (1.9), ta sẽ biến đổi công thức này khi r   r  rA và chú ý rằng chỉ lấy phần ảo của hàm do yêu cầu của phương trình (1.12). Đầu 1 2 1 6 tiên, ta tính các số hạng ae iq và be iq bằng cách khai triển e iq  1  iq  q 2  iq 3  ... và chỉ cần giữ ba số hạng đầu, các số hạng thuộc phần ảo của ae iq và be iq được viết q2 3 1 3 1 be  1     1    0 , 6 2 2 2 2 1 1 2 q2 1 1 ae  1     1    , 6 2 6 2 6 3 iq iq (bỏ qua số hạng q 2 do u  0 ), do đó Im G rA, rA, wA   kA I. 6p (1.13) Đối với số hạng thứ hai của phương trình (1.12), hàm G  rA, rA, wA  được lấy gần đúng là số hạng đầu của chuỗi Born (1.8) G  rA, rA, wA   G1 rA, rA, wA   Hˆ 1 r   Ñ  cm r , w  Ñ  c w2 c2  d sG rA, s, wA Hˆc s G s, rA, wA  , 3 1 (1.14) ce r , w  , tức là thành phần tuyến tính của Ĥ c r  ở phương trình (1.6). Thay G ở phương trình (1.9) vào (1.14) ta được G1 rA, rA, wA   kA2 16p  d sHˆc s  a I  b 3 2 1  2 2 với 8   2ab uˆ  uˆ  e 2iq ,  (1.15) u  rA  s ; q  ku ; a  a q  ; b  b q  . Thay phương trình (1.13) và (1.15) vào (1.12) ta có công thức 2  3k 3     1  A Im  d 3s ce s, wA  a 2  b 2  2ab dˆAuˆ   e 2iq  ,     0 8p   (1.16) kA3dA2 trong đó 0  là tốc độ rã trạng thái nguyên tử trong chân không. Phương trình (1.16) là 3pe0 phương trình làm việc chính trong luận văn. Tiếp đến chúng tôi sẽ xem xét các hướng khác nhau của moment lưỡng cực nguyên tử dA và khảo sát tốc độ rã của nguyên tử theo từng phương. Như sẽ thấy những kết quả trong chương 3, hướng của moment lưỡng cực nguyên tử ảnh hưởng rất nhiều đến tốc độ rã. 1.2.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương r̂ Trong hệ tọa độ trụ, ta có   x  r cos f    y  r sin f   z z    Hình 1.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương r̂ . 9 Ta giả sử moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương bán kính r̂ của khối trụ (hình 1.2), nằm trong mặt phẳng cắt vuông góc với trục của khối trụ. Gọi fA là góc tạo bởi rA và trục Ox. Từ hình 1.2 ta có các hình chiếu của moment lưỡng cực dA lên các trục Ox và Oy tương ứng là dAx  dA cos fA , dAy  dA sin fA , do đó dA  dAcosfAxˆ  dA sin fAyˆ , từ đây ta có d u 1 dˆAuˆ  A  cosfAxˆ  sin fAyˆ x A  x  xˆ  yA  y  yˆ  z A  z  zˆ   dA u u 1  cosfA x A  x   sin fA yA  y  .  u (1.17) Do tính đối xứng của không gian, nguyên tử đặt bất kì vị trí nào xung quanh mặt cắt như hình 1.2 thì tốc độ rã trạng thái cũng như nhau. Do đó ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho nguyên tử nằm trên trục Oy, tức là fA  p , phương trình (1.17) viết lại 2 1 dˆAuˆ  yA  y  . u (1.18) Thay (1.18) vào (1.16), ta có phương trình tốc độ rã trạng thái nguyên tử khi moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương r̂    2 3k 3  1  1  A Im  d 3s ce s, wA  a 2  b 2  2ab 2 yA  y   e 2iq  .     8p 0 u       10 (1.19) 1.2.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương f̂ Tiếp theo ta xem xét trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương f̂ trong hệ tọa độ trụ (hình 1.3). Hình 1.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương f̂ . Giả sử góc fA vẫn là góc như trong trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương r̂ (hình 1.2), ta có dA  dA sin fAxˆ  dAcosfAyˆ , 1 dˆAuˆ  sin fA x A  x   cosfA yA  y  ,  u với fA  (1.20) p 2 1 dˆAuˆ  x A  x  . u (1.21) Thay (1.21) vào phương trình (1.16), ta có công thức tốc độ rã trạng thái nguyên tử với trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương f̂ 11    2  2  2iq  3kA3  1 3 2 1 Im   d s ce s, wA  a  b  2ab 2 x A  x   e  .   0 8p u         (1.22) 1.2.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ẑ Với trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ẑ , dễ thấy dAz  dA , do đó d u 1 dˆAuˆ  A  zˆ x A  x  xˆ  yA  y  yˆ  z A  z  zˆ  dA u u  1  z A  z  . u (1.23) Thay (1.23) vào (1.16), ta có công thức tốc độ rã trạng thái nguyên tử cho trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ẑ    2  2  2iq  3kA3  1 3 2 1 Im   d s ce s, wA  a  b  2ab 2 z A  z   e  .   0 8p u         (1.24) Nhờ sử dụng khai triển Born, các phương trình (1.19), (1.22) và (1.24) trở nên đơn giản hơn rất nhiều so với việc sử dụng hàm Green chính xác (chương 2). Để cho kết quả số các phương trình này, chúng tôi sử dụng lập trình số Fortran và đổi sang tọa độ trụ để việc tính toán đơn giản hơn, khi đó ta có phép chuyển tích phân  d s   rdr  d f  dz . Kết quả sẽ được 3 trình bày trong chương 3. Chương tiếp theo, chúng tôi sẽ xem xét hàm Green chính xác cho hệ trụ có chiều dài vô hạn và từ đó dẫn tới công thức tốc độ rã phức tạp hơn nhiều so với các phương trình (1.19), (1.22) và (1.24). 12 CHƯƠNG 2. HÀM GREEN CHO HỆ TRỤ VÔ HẠN 2.1. Hàm Green chân không Xét môi trường điện môi có dạng trụ N lớp (hình 2.1), mật độ dòng điện J s , vị trí điểm nguồn đặt ở lớp thứ s ( s  1, 2,..., N ), trong khi đó vị trí điểm trường nằm ở lớp thứ f ( f  1, 2,..., N ). Hình 2.1. Mặt cắt ngang của khối trụ vô hạn N lớp. Nếu biết hàm Green G fs r , r  , trường điện từ E f và H f ở lớp thứ f sinh bởi dòng J s có thể biểu diễn E f r   i wm f  G fs r , r  J s r dV  , (2.1) Vs H f r   fs  Ñ G r, r  Js r dV  , (2.2) Vs trong đó Vs là thể tích bị chiếm bởi nguồn J s ở lớp thứ s , m f là độ từ thẩm của môi trường. 13 Hàm Green thỏa mãn điều kiện biên ở những bề mặt ngăn cách giữa các lớp r  a j ( j  1, 2,..., N  1 )  f 1s   , rˆ G fs  rˆ G  (2.3)  f 1s  1 1  . rˆ  Ñ G fs  rˆ  Ñ G  mf m f 1 (2.4) Hàm Green G fs r , r  có thể phân tích thành hai phần G fs r , r   G0 r , r  d fs  Gscfs r , r  , (2.5) ở đó, d fs là delta Kronecker. Hàm Green chân không G0 r , r  thể hiện sự đóng góp của các sóng phát ra từ nguồn rã trong một môi trường không biên, còn hàm Green tán xạ (scattering) Gscfs r , r  mô tả sự đóng góp của các sóng phản xạ và truyền qua từ bề mặt phân cách giữa các lớp của môi trường N lớp trụ. Hàm Green chân không G0 r , r  cho hai trường hợp r  r  và r  r  được viết chung như sau [15] G0 r , r    ˆˆd r  r  rr ks2  0   2d n i   dh n 8p  hs2 0     (1)   M e nh h M e' nh h N e(1)nh h N e' nh h  o s o s o s    e,o  o s ,   M h M '1 h N h N '1 h  e nh e nh e nh   e,o  eo nhs o s o s o s  (2.6) trong đó dấu phẩy chỉ tọa độ r , f, z  của nguồn J s . Me o n hf   h   Ñ  Zn hf r sin nfeihz zˆ ,  cos (2.7)  14 Ne o n hf h    Ñ  Ñ  Zn hf r  h 2  hf2 1   sin nfeihz zˆ , cos  (2.8) kí hiệu (1) ở phía trên bên phải M , N ở phương trình (2.6) chỉ định hàm Zn hf r  trong phương trình (2.7) và (2.8) là hàm Hankel trụ loại 1 H n(1) hf r  , nếu không Zn hf r  là hàm Bessel trụ loại 1 J n hf r  . Giá trị riêng hf và hằng số sóng k f ở lớp thứ f thỏa mãn mối liên hệ h 2  k f2  hf2 , k f2  w2 c 2 (2.9) m f e f  k 2m f e f , (2.10) trong đó, k là hằng số sóng trong chân không. 2.2. Hàm Green tán xạ Theo [16] hàm Green tán xạ Gscfs r , r  cho bởi 15 Gscfs  0   2d n r, r   8ip  dh  2 hs n 0    1  d N M (1) h   1  d 1 C fs M ' h   1  d N C fs ' M '(1) h    e e e e e f s s h    on s o n hf o 1H o 1H o n hs  e ,o     1  d fN N e(1) h   1  ds1 C efs N e' h   1  dsN C efs ' N e'(1) h  h   on s o n hf o 1V o 1V o n hs    1  d fN N o(1) h   1  ds1 C efs M e' h   1  dsN C efs ' N e'(1) h  h 2 2   on s o H o H o n hs e n hf    1  d fN M o(1) h   1  ds1 C efs N e' h   1  dsN C efs ' N e'(1) h  h 2 2   on s e n hf o V o V o n hs    1  d f1 M e h   1  ds1 C efs M e' h   1  dsN C efs ' M e'(1) h  h h 3 3   on f on s o H o H o n hs    1  d f1 N e h   1  ds1 C efs N e' h   1  dsN C efs ' N e'(1) h  h h 3 3   on f on s o V o V o n hs    1  d f1 N o h   1  ds1 C efs M e' h   1  dsN C efs ' M e'(1) h    e n hf o n hs o 4H o 4H o n hs      1  d f1 M o h   1  ds1 C efs N e' h   1  dsN C efs ' N e'(1) h   ,(2.11) h n 4 4 h V V n   e n hf o s o o o s                                                     trong đó kí hiệu H ,V tương ứng là sự biểu thị sóng có phân cực TE (Transverse Electric) và TM (Transverse Magnetic). Để tìm các hệ số trong phương trình (2.11), người ta sử dụng các điều kiện biên được thỏa bởi hàm Green trong môi trường trụ đa lớp. Từ phương trình (2.3) và (2.4), các ma trận hệ số thỏa phương trình ma trận sau [16] H ,V  F f 1 f    e H ,V    H ,V   eo H ,V   d fs A2  , Cof 1 s  d fs 1A1   Fff Cfs       (2.12) ở đó ma trận hệ số được viết      1  dN  f   1  dN e f H V ,    Cofs   1  d1  f   1  d1 f   1  d C 1  d C 1  d C 1  d C 1 s 1 s 1 s 1 s fs H ,V  e 1 o fs H ,V  e 2 o fs e 3 H ,V  o  fs H ,V  e 4 o 1  d 1  d 1  d 1  d 1  d 1  d 1  d 1  d N f N s N f N s 1 f N s 1 f N s 16 C C C C  H ,V   fs '  e 2 H ,V   o  , fs '  e 3 H ,V   o   fs '  e  H V 4 ,   o  fs ' e 1 o (2.13) các ma trận hằng cho bởi 1  0 A1   0 0  0  0 A2   0 0  0 0 , 0 0  0 0 , 1  0  (2.14) và các ma trận F cho bởi  H Fjm    H (1) h a    n j m    am   0    zj t j H n(1) hjam   am   t r H (1) h a j m  j j n                 zjJ n hjam am r jJ n hjam t j  J n hjam    am 0     hjam  am hjam t j r j H n(1)  zj t jJ n hjam am t j r jJ n hjam  H n(1) hjam    am 0 zj t j H n(1)    zjJ n hjam     am  r jJ n hjam   ,(2.15) t j  J n hjam      am   0    J n hjam    am 0       (1)  zj H n hjam   am  (1)  rH ha   j n (1) j m    t j  H n hjam      am   0    am r j H n(1) hjam t j  H n(1) hjam    am 0    FVjm   zj H n(1) hjam          J n hjam       am   0  ,(2.16)  zj t jJ n hjam     am  t j r jJ n hjam       trong đó các dấu “ ,  ” ở phía trên, dưới tương ứng với các kí hiệu e và o trong phương trình (2.11) và j  1, 2,..., N ; tj  ej mj , m  1, 2,..., N  1 . zj  ihn , kj rj  h2j kj Đặt 17 . (2.17) 1 T f (H,V )   F((fH,V1))f  .  Fff(H ,V )  ,     (2.18) phương trình (2.12) được viết lại e  e (H ,V )  (H ,V ) C(of 1)s  T f (H ,V ). Cofs  d fs A2   d fs 1A1 .   (2.19) Phương trình (2.19) được sử dụng để tính các ma trận hệ số (2.13) bằng phương pháp truy hồi. Phương trình ma trận của các hệ số cho lớp thứ nhất được viết [16] (1  d 1 )C 1s  T 1(H ,V ) T 1(H ,V )  (1  dsN )C e1s ' e   s H V H V 1( , ) 1( , ) o o     111(H ,V ) 121(H ,V )  s N s 1 1 1 ' (1  ds )C e  T22 (1  ds )C e T21   o 2(H ,V ) o 2(H ,V )   T s (H ,V ) T s (H ,V )  (1  d 1 ) 0     s   11s (H ,V ) 12s (H ,V )     0 0 T T      22   21  T s (H ,V ) T s (H ,V )  0 (1  d N )    13 14  s    s (H ,V ) .  s (H ,V )   0  T24 T23  0    (2.20) 2.3. Ứng dụng cho khối trụ hai lớp Xét môi trường điện môi là khối trụ vô hạn, hai lớp như trong hình 2.1. Trong giới hạn của luận văn, chúng tôi xét điểm nguồn và điểm trường ở cùng vị trí ở lớp thứ nhất, tức bên ngoài khối trụ. Hàm Green tán xạ Gscfs r , r  [phương trình (2.11)] ứng với trường hợp f  1 và s  1 có dạng 18