Lêi c¶m ¬n
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o gi¶ng d¹y chuyªn ngµnh
To¸n Gi¶i tÝch trêng §¹i häc S Ph¹m Hµ Néi 2 ®· gióp ®ì t«i trong suèt
qu¸ tr×nh häc tËp vµ thùc hiÖn ®Ò tµi. §Æc biÖt, t«i xin c¶m ¬n TS Bïi Kiªn
Cêng ®· trùc tiÕp híng dÉn t«i trong suèt qu¸ tr×nh nghiªn cøu lùa chän
®Ò tµi vµ hoµn chØnh ®Ò tµi. Xin c¶m ¬n c¸c b¹n häc viªn líp K11 To¸n gi¶i
tÝch ®· gióp ®ì vµ cã nh÷ng ®ãng gãp quÝ b¸u cho b¶n luËn v¨n nµy.
Hµ Néi, th¸ng 10 n¨m 2009
T¸c gi¶
i
Lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan LuËn v¨n lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i ®îc
thùc hiÖn díi sù híng dÉn cña TS Bïi Kiªn Cêng.
Trong khi nghiªn cøu LuËn v¨n, t«i ®· kÕ thõa thµnh qu¶ khoa häc cña
c¸c nhµ khoa häc vµ ®ång nghiÖp víi sù tr©n träng vµ biÕt ¬n.
Hµ Néi, th¸ng 9 n¨m 2008
T¸c gi¶
ii
Môc lôc
Më ®Çu
v
1
1
Mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ chuÈn bÞ
1.1. Mét sè kÝ hiÖu vµ kh«ng gian hµm
. . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. BiÕn ®æi Fourier - Wigner vµ biÕn ®æi Wigner . . . . . . . . . 10
1.4. BiÕn ®æi Weyl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. To¸n tö Hilbert - Schmidt
1.6. TÝch tenx¬ trong
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
L2(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7. Nhãm Heisenberg
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8. TÝch chËp xo¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9. §Þnh lÝ Riez - Thorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
BiÕn ®æi Weyl trong mét sè kh«ng gian hµm
32
2.1. BiÕn ®æi Weyl víi biÓu trng thuéc
Lr (R2n), 1 ≤ r ≤ 2 . . . . 32
2.2. BiÕn ®æi Weyl víi biÓu trng thuéc
S (R2n) . . . . . . . . . . 37
iii
0
2.3. BiÕn ®æi Weyl víi biÓu trng thuéc
2.4. BiÕn ®æi Weyl compact
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5. To¸n tö ®Þa ph¬ng hãa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6. To¸n tö ®Þa ph¬ng hãa compact
3
Lr (R2n), 2 < r ≤ ∞ . . . 40
. . . . . . . . . . . . . . . . 58
Mét sè øng dông cña biÕn ®æi Weyl trong gi¶i tÝch thêi gian - tÇn
sè
67
3.1. Sù t¬ng ®¬ng vÒ tÝnh bÞ chÆn gi÷a biÕn ®æi Weyl, biÕn ®æi
Wigner vµ biÕn ®æi Fourier thêi gian ng¾n
. . . . . . . . . . . 68
3.2. Sù t¬ng ®¬ng vÒ tÝnh bÞ chÆn gi÷a c¸c to¸n tö τ Weyl vµ biÕn
®æi
τ Wigner
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Tµi liÖu tham kh¶o
88
iv
Më ®Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi
Lý thuyÕt vÒ to¸n tö Weyl lµ mét lÜnh vùc lín ®ãng vai trß ®Æc biÖt quan
träng trong c¶ hai lÜnh vùc to¸n hãa vµ to¸n lý. Lý thuyÕt ®ã b¾t nguån tõ
lÜnh vùc vËt lý lîng tö ch¼ng h¹n nh chÝnh quy luËt lîng tö lu«n g¾n liÒn
víi to¸n tö
W a cïng víi mét líp hµm quan träng a(x, ξ) trªn kh«ng gian
Rnx × Rnξ .
Trong lý thuyÕt ph¬ng tr×nh vi ph©n, to¸n tö Weyl ®îc nghiªn cøu nh
lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña c¸c to¸n tö gi¶ vi ph©n vµ kÕt qu¶ cña sù
nghiªn cøu ®ã lµ ®· t¹o ra mét c«ng cô to¸n häc hiÖu qu¶ ®îc øng dông vµo
mét sè lÜnh vùc quan träng ch¼ng h¹n nh lý thuyÕt eliptic, lý thuyÕt tiÖm
cËn, lý thuyÕt quang phæ, lý thuyÕt m«®un ...
To¸n tö Weyl ®· ®îc mét sè nhµ to¸n häc nghiªn cøu vµ ®a ra nhiÒu
®ãng gãp míi vµ mang tÝnh chÊt kinh ®iÓn ®èi víi to¸n häc nãi chung vµ ®èi
víi vËt lý vµ hãa häc nãi riªng. Ch¼ng h¹n, nhµ to¸n häc Wigner khi nghiªn
cøu vÒ biÕn ®æi mang tªn «ng trong mèi liªn hÖ chÆt chÏ víi to¸n tö Weyl
®· ®a tíi mét kÕt qu¶ quan träng trong lÜnh vùc vËt lý ®ã lµ kh¶ n¨ng liªn
kÕt chÆt chÏ gi÷a vÞ trÝ vµ ®éng lîng trong c¬ häc lîng tö.
Sù t¸c ®«ng s©u s¾c gi÷a biÕn ®æi Wigner vµ to¸n tö Weyl thÓ hiÖn ë nhiÒu
ph¬ng diÖn song næi bËt h¬n c¶ lµ sù liªn hÖ vÒ tÝnh bÞ chÆn. Nh÷ng kÕt qu¶
bÞ chÆn cña to¸n tö Weyl dÉn tíi nh÷ng kÕt qu¶ bÞ chÆn cña biÕn ®æi Wigner.
v
Nhµ to¸n häc Lieb ®· nªu ra mét c¸ch chi tiÕt vµ ®Çy ®ñ c¸c ®iÒu kiÖn bÞ
chÆn cña biÕn ®æi Wigner trªn kh«ng gian
Lp (Rn). C¸c kÕt qu¶ cña «ng ®·
®îc chøng minh mét c¸ch ®¬n gi¶n b»ng chÝnh ý nghÜa cña lý thuyÕt néi
suy (tuy nhiªn kh«ng cã sù íc lîng bÊt biÕn).
Nhµ to¸n häc Simon ®· chØ ra r»ng víi
1 ≤ q ≤ 2, víi a ∈ Lq (R2n) th×
W a lµ bÞ chÆn trªn Lq (R2n) vµ thËm chÝ lµ compact trªn L2(Rn ), tr¸i l¹i víi
2 < p ≤ ∞ th× to¸n tö W a kh«ng bÞ chÆn.
HiÖn t¹i chóng ta më réng nh÷ng kÕt qu¶ ®èi víi to¸n tö Weyl trªn kh«ng
gian
Lp (Rn), trong ®ã kÕt qu¶ næi bËt ®ã lµ: nh÷ng to¸n tö Weyl W a víi
a ∈ Lq (R2n ) lµ bÞ chÆn trªn Lp (Rn ) nÕu vµ chØ nÕu cÆp (p, q) tháa m·n ®iÒu
kiÖn
0
q ≤ min{p, p }, trong ®ã
Tõ tÝnh trï mËt cña
1
p
+
1
p0
= 1.
S(R2n) trong Lq (R2n), (q < ∞) vµ còng do c¸c to¸n
tö Weyl víi líp c¸c hµm tr¬n th× chóng lµ to¸n tö compact trªn kh«ng gian
Lq (Rn) cho phÐp ta chuyÓn nh÷ng kÕt qu¶ vÒ tÝnh bÞ chÆn sang nh÷ng kÕt
qu¶ vÒ tÝnh compact.
Nh÷ng biÓu trng cña to¸n tö Weyl trªn mçi kh«ng gian hµm cô thÓ còng
nh øng dông cña to¸n tö nµy lµ mét vÊn ®Ò hoµn toµn míi vµ ®Çy hÊp dÉn
®èi víi bÊt k× ai cã niÒm ®am mª to¸n häc vµ ham thÝch nghiªn cøu.ChÝnh
v× vËy, t«i ®· lùa chän ®Ò tµi sau ®Ó thùc hiÖn luËn v¨n tèt nghiÖp:
"BiÕn ®æi Weyl vµ mét sè øng dông trong gi¶i tÝch
thêi gian - tÇn sè".
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
Nghiªn cøu vÒ phÐp biÕn ®æi Weyl trong mét sè kh«ng gian hµm cô thÓ.
vi
Tr×nh bµy mét c¸ch hÖ thèng c¸c kiÕn thøc bæ trî, tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm
vµ c¸c tÝnh chÊt cña biÕn ®æi Weyl vµ t×m øng dông cña biÕn ®æi nµy trong
lý thuyÕt gi¶ vi ph©n vµ gi¶i tÝch thêi gian - tÇn sè.
3. NhiÖm vô nghiªn cøu
§a ra vµ chøng minh ®îc nh÷ng kÕt qu¶ ®iÓn h×nh cña to¸n tö Weyl
trong c¸c kh«ng gian
0
S (R2n ), Lr (R2n), víi 1 ≤ r ≤ ∞, chØ ra ®îc mét vµi
øng dông cña to¸n tö nµy trong lý thuyÕt gi¶ vi ph©n vµ trong gi¶i tÝch thêi
gian - tÇn sè.
4. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu
Nghiªn cøu c¸c biÓu trng cña to¸n tö Weyl trªn mét sè kh«ng gian hµm
cô thÓ:
0
S (R2n), Lr (R2n ) víi 1 ≤ r ≤ ∞.
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
Su tÇm, tæng hîp c¸c tµi liÖu h×nh thµnh bµi viÕt tæng quan vµ t×m tßi,
kh¸m ph¸ nh÷ng chi tiÕt míi trong vÊn ®Ò nghiªn cøu.
6. Dù kiÕn ®ãng gãp míi
Tr×nh bµy tæng quan c¸c biÓu trng cña to¸n tö Weyl vµ mét sè øng dông
trong gi¶i tÝch thêi gian - tÇn sè ®ång thêi t×m kiÕm nh÷ng vÝ dô hoÆc ph¶n
vÝ dô minh häa, chøng minh chi tiÕt mét sè ®Þnh lý trong c¸c tµi liÖu tham
kh¶o (mµ ë ®ã kh«ng tr×nh bµy chøng minh hoÆc chøng minh v¾n t¾t).
vii
Ch¬ng 1
Mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy, t«i tr×nh bµy mét sè kÝ hiÖu, c¸c kh«ng gian hµm dïng
trong luËn v¨n ®ång thêi tr×nh bµy c¸c c«ng cô to¸n häc phôc vô cho viÖc
nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn lý thuyÕt cña biÕn ®æi Weyl trong ch¬ng sau ®ã lµ:
biÕn ®æi Fourier, biÕn ®æi Fourier - Wigner, biÕn ®æi Wigner, to¸n tö Hilbert
- Schmidt trªn
L2(Rn ), tÝch tenx¬ trong L2(Rn ), nhãm Heisenberg, tÝch chËp
xo¾n, ®Þnh lý Riez - Thorin.
1.1.
Mét sè kÝ hiÖu vµ kh«ng gian hµm
N = {0, 1, 2, ...} lµ tËp c¸c sè tù nhiªn, Z+ = {0, 1, 2, ...} lµ tËp c¸c sè
nguyªn kh«ng ©m,
R lµ tËp c¸c sè thùc, C lµ tËp c¸c sè phøc. §¬n vi ¶o
√
−1 = i.
Víi mçi
n ∈ N \ {0}, tËp Zn+ = {α = (α1 , α2, ..., αn), αj ∈ Z+, j =
1, 2, ..., n}, Rn = {x = (x1, x2, ..., xn), xj ∈ R, j = 1, 2, ..., n}.
LÊy
x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn , y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn . TÝch v« híng
1
x · y cña x vµ y ®îc x¸c ®Þnh bëi
n
X
x·y =
vµ chuÈn
xj yj
j=1
| x | cña x ®îc cho bëi
| x |=
n
X
x2j
j=1
! 12
.
∂
, ∂ , ..., ∂x∂ n trªn
Ta kÝ hiÖu c¸c to¸n tö vi ph©n ∂x
1 ∂x2
Rn t¬ng øng lµ
∂1, ∂2, ..., ∂n
vµ c¸c to¸n tö vi ph©n
−i∂1 , −i∂2, ..., −i∂n trªn Rn t¬ng øng lµ
D1 , D2, ..., Dn.
To¸n tö vi ph©n ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh
P (x, D) =
X
P (x, D) trªn Rn ®îc cho bëi
aα (x)Dα ,
x ∈ Rn ,
|α|≤m
ë ®©y α
= (α1, α2 , ..., αn) lµ mét ®a chØ sè, nghÜa lµ mét bé sè nguyªn kh«ng
©m;
| α |=
lµ ®é dµi cña
n
X
αj
j=1
α; Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn , aα lµ mét hµm gi¸ trÞ phøc ®o ®îc
trªn
Rn víi | α |≤ m. BiÓu trng cña to¸n tö vi ph©n P (x, D) lµ mét hµm
trªn
R2n ®îc x¸c ®Þnh bëi
P (x, ξ) =
X
aα (x)ξ α,
|α|≤m
ë ®©y ξ α
x, ξ ∈ Rn ,
= ξ α1 ξ α2 ...ξ αn . To¸n tö vi ph©n ∂ α , víi ®a chØ sè α bÊt k×, ®îc cho
bëi
∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ...∂nαn ,
2
lµ kÝ hiÖu sÏ ®îc dïng thêng xuyªn trong luËn v¨n nµy. Ta viÕt
∂xα (hoÆc
∂ξα ) ®èi víi ∂ α vµ Dxα (hoÆc Dξα ) khi ta cÇn chØ râ biÕn mµ ta lÊy vi ph©n.
Cho
f vµ g lµ c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n trªn Rn . Khi ®ã, ta cã c«ng thøc
Leibnitz
Dα (f g) =
X α
β≤α
víi mäi ®a chØ sè
β
(Dβ f )(Dα−β g)
α vµ c«ng thøc Leibnitz tæng qu¸t h¬n lµ
P (D)(f g) =
X
(P (µ) (D)f )(Dµg)
|µ|≤m
víi mäi to¸n tö vi ph©n ®¹o hµm riªng
P (D) =
X
aα Dα
|α|≤m
víi hÖ sè h»ng sè, ë ®©y
α1
β1
vµ
α2
β2
...
αn
βn ,
αj
βj
=
β ≤ α nghÜa lµ βj ≤ αj , j = 1, 2, ..., n,
αj !
βj !(αj −βj ) , víi mäi
α
β
=
j = 1, 2, ..., n, µ! = µ1 !µ2!...µn!
P (µ) (D) lµ to¸n tö vi ph©n ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh víi kÝ hiÖu P (µ) trªn
Rn ®îc cho bëi
P (µ) (ξ) = (∂ µP )(ξ),
ξ ∈ Rn .
Sau ®©y, ta giíi thiÖu mét sè kh«ng gian hµm ®îc ®Ò cËp trong luËn v¨n.
Gi¶ sö
Ω lµ mét tËp më trong Rn , k ∈ Z+ . Khi ®ã, ta cã kÝ hiÖu c¸c tËp
nh sau:
C k (Ω) = {u : Ω −→ C, u lµ hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k},
C(Ω) = {u : Ω −→ C liªn tôc}
C0k (Ω) = {u : Ω −→ C | u ∈ C k (Ω), supp u lµ tËp compact},
3
∞
\
∞
C (Ω) =
C0∞ (Ω)
k
C (Ω),
=
= {x ∈ Ω | u(x) 6= 0}.
Víi mçi sè thùc
C0k (Ω),
k=1
k=1
trong ®ã supp u
∞
\
1 ≤ p < ∞, kÝ hiÖu
Z
®®
| u(x) |p dx < ∞},
Lp (Ω) = {u : Ω −−−−→ C |
Lebesgue
Ω
víi
p = ∞, kÝ hiÖu
L∞ (Ω) = {u : Ω −→ C | ess sup | u(x) |< ∞},
x∈Ω
trong ®ã ess sup
x∈Ω
| u(x) |= inf {M > 0 | µ{x ∈ Ω | | u(x) |> M} = 0}, µ
lµ ®é ®o Lebesgue.
B(L2(Rn )) = {f : L2(Rn ) −→ L2(Rn ) lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn}
vµ chuÈn trªn
B(L2(Rn )) ®îc kÝ hiÖu lµ || · ||∗ .
§Þnh nghÜa 1.1.
Kh«ng gian
kh¸i niÖm héi tô sau: d·y
®Õn hµm
D(Ω) lµ tËp hîp gåm c¸c hµm ϕ ∈ C0∞ (Ω) víi
∞
{ϕj }∞
j=1 c¸c hµm trong C0 (Ω) ®îc gäi lµ héi tô
ϕ ∈ C0∞(Ω) nÕu
(i) Tån t¹i tËp compact
(ii) lim sup
j→∞x∈Ω
K ⊂ Ω mµ suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...
| Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x) | = 0, víi mäi α ∈ Zn+ .
§Þnh nghÜa 1.2.
Ta nãi r»ng
f lµ mét hµm suy réng trªn Ω nÕu f lµ mét
phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn
D(Ω). TËp tÊt c¶ c¸c hµm suy réng trªn
0
Ω ®îc kÝ hiÖu lµ D (Ω).
Hµm suy réng
0
f ∈ D (Ω) t¸c ®éng lªn mçi ϕ ∈ D(Ω) ®îc viÕt lµ
0
< f, ϕ > . Hai hµm suy réng f , g ∈ D (Ω) ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu
< f, ϕ > = < f, ϕ >,
4
∀ϕ ∈ D(Ω).
§Þnh nghÜa 1.3.
Kh«ng gian
S(Rn) lµ tËp hîp
S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω) | sup | xα Dβ ϕ(x) |< +∞, ∀α, β ∈ Zn+}
x∈Rn
n
víi kh¸i niÖm héi tô ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: d·y{ϕk }∞
k=1 trong S(R ) ®îc
gäi lµ héi tô ®Õn
ϕ ∈ S(Rn ) trong S(Rn ) nÕu
lim sup
k→∞x∈Rn
Khi ®ã, ta viÕt
§Þnh nghÜa 1.4.
| xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ(x) |= 0,
∀α, β ∈ Zn+ .
S lim ϕk = ϕ.
k→∞
Cho hµm
0
f ∈ D (Rn). Hµm suy réng f ®îc gäi lµ hµm
m vµ mét sè d¬ng C sao cho
X
α
| D ϕ(x) | , ∀ϕ ∈ D(Rn ).
suy réng t¨ng chËm nÕu cã mét sè tù nhiªn
|< f, ϕ >|≤ C sup (1+ | x |2 )m
x∈Rn
|α|≤m
Kh«ng gian c¸c hµm suy réng t¨ng chËm
0
S (Rn ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c hµm suy
réng t¨ng chËm.
1.2.
Mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ chuÈn bÞ
§Þnh lý 1.1.
C0∞ (Rn) vµ S(Rn ) lµ trï mËt trong Lr (Rn ), 1 ≤ r < ∞.
§Þnh lý 1.2. Cho
f ∈ L1(Rn ) vµ g ∈ Lr (Rn ), 1 ≤ r < ∞. Khi ®ã, tÝch ph©n
Z
f (x − y)g(y)dy
Rn
tån t¹i hÇu kh¾p n¬i trªn
Rn .
NÕu ta kÝ hiÖu gi¸ trÞ cña tÝch ph©n ®ã lµ
(f ∗ g)(x) th× f ∗ g ∈ Lr (Rn ) vµ
|| f ∗ g ||Lr (Rn ) ≤|| f ||L1 (Rn ) || g ||Lr (Rn ) .
5
Chó ý 1.1.
Hµm
f ∗ g trong §Þnh lÝ 1.2 thêng ®îc gäi lµ tÝch chËp cña f
vµ g .
f, g ∈ S(Rn). Khi ®ã f ∗ g ∈ S(Rn ).
MÖnh ®Ò 1.1. Cho
§Þnh lý 1.3. Cho
ϕ ∈ L1 (Rn) sao cho
ε bÊt k×, ta ®Þnh nghÜa hµm ϕε
trªn
R
Rn
Rn
ϕ(x)dx = a. Víi sè nguyªn d¬ng
x¸c ®Þnh bëi
x
ϕε (x) = ε−nϕ( ),
ε
Khi ®ã, víi hµm bÞ chÆn bÊt k×
tËp më
V
cña
Rn , f ∗ ϕε → af
f
trªn
x ∈ Rn .
Rn
mµ hµm nµy liªn tôc trªn mét
®Òu trªn c¸c tËp con compact cña
V
khi
ε → 0.
§Þnh nghÜa 1.5.
BiÕn ®æi Fourier cña hµm
f ∈ L1(Rn ), kÝ hiÖu lµ fˆ hoÆc
F f , lµ mét hµm ®îc x¸c ®Þnh bëi
Z
n
e−ix·ξ f (x)dx,
fˆ(ξ) = (2π)− 2
ξ ∈ Rn .
Rn
§«i khi biÕn ®æi Fourier cña hµm
fˆ(ξ) =
Z
f ∈ L1(Rn ) cßn ®îc x¸c ®Þnh bëi
e−2πix·ξ f (x)dx,
ξ ∈ Rn .
Rn
§Þnh nghÜa nµy cßn ®îc gäi lµ ®Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier cæ ®iÓn cña
hµm
f.
MÖnh ®Ò 1.2. Víi
− |x|2
ϕ(x) = e
2
,
ϕ̂(ξ) = e−
MÖnh ®Ò 1.3. Cho
vµ
lim fˆ(ξ)
|ξ|→∞
f ∈ L1(Rn ).
x ∈ Rn . Khi ®ã
|ξ|2
2
= ϕ(ξ), ξ ∈ Rn .
Khi ®ã,
= 0.
6
fˆ lµ
mét hµm liªn tôc ®Òu trªn
Rn
MÖnh ®Ò 1.4. Cho
f
vµ
g
thuéc
L1(Rn ). Khi ®ã
n
(f ∗ g)ˆ(ξ) = (2π) 2 fˆ(ξ)ĝ(ξ),
MÖnh ®Ò 1.5. Cho
(i)
ξ ∈ Rn .
ϕ ∈ L1 (Rn ). Khi ®ã
(Ty f )ˆ(ξ) = (My fˆ)(ξ),
ξ ∈ Rn
(My f )ˆ(ξ) = (T−y fˆ)(ξ),
(ii)
ξ ∈ Rn ,
(Daf )ˆ(ξ) =| a |−n (D a1 fˆ)(ξ),
(iii)
ë ®©y
ξ ∈ Rn ,
(Dα ϕ̂)(ξ) = ((−x)αϕ)ˆ(ξ),
MÖnh ®Ò 1.6. Cho
(i)
ϕ ∈ S(Rn ). Khi ®ã, víi mäi ®a chØ sè α,
(Dα ϕ)ˆ(ξ) = ξ α ϕ̂(ξ),
(ii)
ξ ∈ Rn ,
(Ty f )(x) = f (x + y),
x ∈ Rn ,
(My f )(x) = eix·y f (x),
x ∈ Rn ,
(Da f )(x) = f (ax),
x ∈ Rn ,
víi mäi
y ∈ Rn
ξ ∈ Rn .
vµ víi mäi
a ∈ R \ {0}.
Ty , My vµ Da trong MÖnh ®Ò 1.6 t¬ng øng lµ to¸n tö tÞnh tiÕn, to¸n tö
biÕn ®iÖu vµ to¸n tö gi·n trªn
MÖnh ®Ò 1.7. Cho
Rn .
f vµ g ∈ L1(Rn ) . Khi ®ã
Z
Z
f (x)ĝ(x)dx.
fˆ(x)g(x)dx =
Rn
Rn
§Þnh lý 1.4. BiÕn ®æi Fourier lµ ¸nh x¹ 1-1 vµ lªn tõ
S(Rn ) vµo S(Rn). H¬n
n÷a,
(fˆ)∨ = f,
f ∈ S(Rn ),
7
ë ®©y
∨
g(x) = (2π)
− n2
Z
Rn
eix·ξ g(ξ)dξ, x ∈ Rn , g ∈ S(Rn )
.
Chó ý 1.2.
Hµm
∨
g trong §Þnh lÝ 1.4 ®îc gäi lµ biÕn ®æi Fourier ngîc cña
g vµ cßn ®îc kÝ hiÖu lµ F −1g.
§Þnh nghÜa 1.6.
To¸n tö
A ¸nh x¹ kh«ng gian ®Þnh chuÈn X vµo X ®îc
gäi lµ to¸n tö unita nÕu A lµ song ¸nh vµ ®¼ng cù.
§Þnh lý 1.5. Anh x¹
F : S(Rn) −→ S(Rn )
duy nhÊt thµnh to¸n tö unita trªn
Chó ý 1.3.
cña hµm
cã thÓ më réng ®îc mét c¸ch
L2(Rn ).
Theo §Þnh lÝ Plancherel, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier
f ∈ L2 (Rn), còng ®îc kÝ hiÖu lµ fˆ hoÆc F f . BiÕn ®æi Fourier
ngîc cña hµm
∨
f ∈ L2(Rn ) ®îc kÝ hiÖu lµ f hoÆc F −1f .
MÖnh ®Ò 1.8. Cho
hµm tuyÕn tÝnh
f
lµ mét hµm suy réng t¨ng chËm trªn
Rn . Khi ®ã, phiÕm
S(Rn ) ®îc x¸c ®Þnh bëi
Z
Tf (ϕ) =
f (x)ϕ(x)dx,
ϕ ∈ S(Rn ),
Tf
trªn
Rn
lµ mét hµm suy réng t¨ng chËm.
Chó ý 1.4.
Thêng ®ång nhÊt hµm suy réng t¨ng chËm
MÖnh ®Ò 1.9.
LÊy
Tf víi hµm f .
0
S(Rn ) trï mËt trong S (Rn ).
m lµ mét sè thùc bÊt k×. Khi ®ã, ta ®Þnh nghÜa S m lµ tËp tÊt c¶ c¸c
hµm kh¶ vi v« h¹n trªn
sè d¬ng
R2n sao cho víi mäi ®a chØ sè α vµ β , tån t¹i h»ng
Cα,β , chØ phô thuéc vµo α vµ β , sao cho
| Dxα (Dξβ σ)(x, ξ) |≤ Cα,β (1+ | ξ |)m−|β| ,
8
x, ξ ∈ Rn .
Ta gäi
σ∈
bÊt k× lµ mét biÓu trng.
§Þnh nghÜa 1.7.
[
Sm
m∈R
σ lµ mét biÓu trng. Khi ®ã to¸n tö gi¶ vi ph©n Tσ
LÊy
t¬ng øng víi biÓu trng
σ ®îc cho bëi
Z
− n2
eix·ξ σ(x, ξ)ϕ̂(ξ)dξ, x ∈ Rn , ∀ϕ ∈ S(Rn ).
(Tσ ϕ)(x) = (2π)
Rn
VÝ dô 1.1.
To¸n tö vi ph©n ®¹o hµm riªng
aα lµ hµm kh¶ vi v« h¹n trªn Rn sao cho
sup
x∈Rn
víi mäi ®a chØ sè
P
|α|≤m aα (x)D
| (Dβ aα )(x) |< ∞,
α
trªn
Rn , ë ®©y
| α |≤ m,
β , lµ to¸n tö gi¶ vi ph©n t¬ng øng víi biÓu trng σ ∈ S m
®îc cho bëi
σ(x, ξ) =
X
aα (x)ξ α,
|α|≤m
MÖnh ®Ò 1.10. Cho
x¹ liªn tôc
lµ mét biÓu trng. Khi ®ã, to¸n tö gi¶ vi ph©n
Tσ
¸nh
S(Rn ) vµo S(Rn).
§Þnh lý 1.6. Cho
D⊂C
trong miÒn bÞ chÆn
th× m«®un
σ
x, ξ ∈ Rn .
lµ mét miÒn bÞ chÆn. NÕu
D, liªn tôc trªn biªn cña D
f
lµ mét hµm gi¶i tÝch
vµ kh¸c kh«ng t¹i mäi ®iÓm
| f (z) | ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn biªn cña D.
§Þnh lÝ trªn cßn ®îc gäi lµ nguyªn lý m«®un cùc ®¹i.
§Þnh lý 1.7. NÕu hä
gian Banach
(At )t∈T
c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc ¸nh x¹ kh«ng
X vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn Y
chÆn ®Òu.
9
bÞ chÆn tõng ®iÓm th× hä ®ã bÞ
§Þnh lý 1.8. Gi¶ sö c¸c hµm
gi¶ sö
| fk |≤ g
{fk }∞
k=1
kh¶ tÝch vµ
fk → f
hÇu kh¾p n¬i vµ
g lµ hµm kh¶ tÝch. Khi ®ã
Z
f dx.
fk dx −→
hÇu kh¾p n¬i, trong ®ã
Z
Rn
§Þnh lý 1.9. NÕu
R
A×B
Rn
| f (x, y) | d(x, y) < ∞,
øng víi ®é ®o tÝch trªn kh«ng gian
tÝch ph©n ®îc lÊy t¬ng
A × B , ë ®©y A vµ B
lµ c¸c kh«ng gian
f (x, y)d(x, y),
®é ®o ®Çy, th×
Z Z
A
f (x, y)dy dx =
B
Z Z
B
f (x, y)dx dy =
A
Z
A×B
hai tÝch ph©n ®Çu lµ c¸c tÝch ph©n lÆp øng víi hai ®é ®o t¬ng øng vµ tÝch
ph©n thø ba lµ tÝch ph©n t¬ng øng víi ®é ®o tÝch cña hai ®é ®o nµy.
NÕu
1.3.
A vµ B ®Òu lµ Rn th× d(x, y) := dxdy .
BiÕn ®æi Fourier - Wigner vµ biÕn ®æi Wigner
C«ng cô c¬ b¶n mµ ta sö dông trong viÖc nghiªn cøu biÕn ®æi Weyl lµ
biÕn ®æi Wigner mµ biÕn ®æi Wigner ®îc ®Þnh nghÜa dùa trªn kÕt qu¶ cña
viÖc tÝnh to¸n biÕn ®æi Fourier cña biÕn ®æi Fourier - Wigner. Do ®ã, biÕn
®æi cã liªn quan tríc tiªn lµ biÕn ®æi Fourier - Wigner.
Cho
q vµ p ∈ Rn vµ lÊy f lµ mét hµm ®o ®îc trªn Rn . Khi ®ã ta ®Þnh
nghÜa hµm
ρ(q, p)f trªn Rn cho bëi
1
(ρ(q, p)f )(x) = eiq·x+ 2 iq·p f (x + p),
MÖnh ®Ò 1.11.
vµ
ρ(q, p) : L2(Rn ) −→ L2 (Rn ) lµ mét
p ∈ Rn .
10
x ∈ Rn .
(1.1)
to¸n tö unita víi mäi
q
Chó ý 1.5.
Theo MÖnh ®Ò 1.11, ta cã
(ρ(q, p))−1 = ρ(−q, −p), víi mäi
q, p ∈ Rn .
§Þnh nghÜa 1.8.
f vµ g ∈ S(Rn ). Khi ®ã, hµm V (f, g) trªn R2n ®îc
LÊy
cho bëi
n
V (f, g)(q, p) = (2π)− 2 < ρ(q, p)f, g > ,
ë ®©y
q, p ∈ Rn ,
(1.2)
< , > lµ tÝch v« híng trong L2 (Rn ), ®îc gäi lµ biÕn ®æi Fourier -
Wigner cña
KÝ hiÖu
f vµ g .
< , > còng ®îc dïng ®Ó kÝ hiÖu tÝch v« híng trong L2 (R2n).
g ∈ S(Rn ). Khi ®ã, ta cã
Z
p
p
− n2
V (f, g)(q, p) = (2π)
eiq·y f (y + )g(y − )dy,
2
2
Rn
MÖnh ®Ò 1.12. LÊy
víi mäi
f
vµ
(1.3)
q, p ∈ Rn .
MÖnh ®Ò 1.13. BiÕn ®æi Fourier - Wigner
V : S(Rn ) × S(Rn ) −→ S(R2n )
lµ ¸nh x¹ song tuyÕn tÝnh phøc, nghÜa lµ víi mäi
α
vµ
β∈C
vµ víi mäi
f,
g ∈ S(Rn ), ta cã
V (αf + βg, h) = αV (f, h) + βV (g, h)
vµ
V (h, αf + βg) = αV (h, f ) + βV (h, g)
víi mäi
h ∈ S(Rn ).
g ∈ S(Rn ). Khi ®ã
Z
p
p
− n2
ˆ
eiξ·p f (x + )g(x − )dp,
V (f, g)(x, ξ) = (2π)
2
2
Rn
§Þnh lý 1.10. Cho
f
vµ
11
x, ξ ∈ Rn . (1.4)
Víi mäi
Chøng minh.
Iε (x, ξ) =
Z
Rn
Z
ε > 0, ta ®Þnh nghÜa hµm Iε trªn R2n cho bëi
e−
ε2 |q|2
2
e−ix·q−iξ·pV (f, g)(q, p)dqdp,
Rn
x, ξ ∈ Rn . (1.5)
Khi ®ã, dïng §Þnh lÝ Fubini vµ sù kiÖn biÕn ®æi Fourier cña hµm
ϕ cho
bëi
− |x|2
ϕ(x) = e
lµ b»ng chÝnh nã vµ tõ
2
,
x ∈ Rn ,
(1.6)
(1.5) ta nhËn ®îc
Iε(x, ξ)
p
p
= (2π)
eiy·q f (y + )g(y − )dy dqdp
e−ix·q−iξ·p
e
2
2
n
n
Rn
ZR R Z Z
2
p
p
− n2
−iξ·p
−i(x−y)·q − |εq|
= (2π)
(
e
e
e 2 dq)f (y + )g(y − )dy dp
2
2
n
n
n
R
R
R
Z
Z
|x−y|2
p
p
−n − 2ε2
−iξ·p
ε e
=
e
f (y + )g(y − )dy dp, x, ξ ∈ Rn .
2
2
Rn
Rn
− n2
Z
Z
Z
2 2
− ε |q|
2
(1.7)
B©y giê, víi mçi
p ∈ Rn , ta ®Þnh nghÜa hµm Fp trªn Rn cho bëi
p
p
Fp(y) = f (y + )g(y − ),
2
2
Khi ®ã, tõ
(1.7) vµ (1.8) suy ra
Z
Iε (x, ξ) =
e−iξ·p(Fp ∗ ϕε )(x)dp,
Rn
y ∈ Rn .
x, ξ ∈ Rn .
(1.8)
(1.9)
trong ®ã
x
ϕε (x) = ε−nϕ( ),
ε
x ∈ Rn .
(1.10)
p ∈ Rn cè ®Þnh, tõ (1.6), (1.8) vµ §Þnh lÝ 1.3
Z
n
ϕ(x)dx Fp = (2π) 2 Fp
Fp ∗ ϕ ε →
(1.11)
Chó ý r»ng, víi mçi
Rn
®Òu trªn c¸c tËp con compact cña
Rn khi ε → 0.
12
LÊy
N lµ mét sè nguyªn d¬ng. Khi ®ã, tõ (1.6), (1.8) vµ (1.10) suy ra
tån t¹i mét h»ng sè d¬ng
CN sao cho
| (Fp ∗ ϕε)(x) |≤|| Fp ||L∞ (Rn ) || ϕε ||L1 (Rn ) =|| Fp ||L∞ (Rn ) || ϕ ||L1 (Rn )
n
p
p
≤ (2π) 2 sup | f (y + )g(y − ) |
2
2
y∈Rn
≤ CN (1+ | y |2 )−N ,
víi mäi
x, p ∈ Rn ,
(1.12)
ε > 0. Do
n
2
|| ϕ ||L1 (Rn ) = (2π) (2π)
V× vËy, tõ
− n2
Z
−ix·0 − |x|2
e
e
2
n
n
dx = (2π) 2 ϕ(0) = (2π) 2 .
Rn
(1.9), (1.11), (1.12) vµ §Þnh lÝ Lebesgue vÒ sù héi tô tréi, ta
cã
limIε (x, ξ)
ε→0
= (2π)
n
2
Z
p
p
e−iξ·p f (y + )g(y − )dp,
2
2
Rn
x, ξ ∈ Rn .
(1.13)
(1.5) vµ l¹i ¸p dông §Þnh lÝ Lebesgue vÒ sù héi tô tréi, ta cã
Z Z
lim Iε (x, ξ) =
e−ix·q−iξ·pV (f, g)(q, p)dqdp
Nhng tõ
ε→0
Rn
Rn
= (2π)n V (f, g)ˆ(x, ξ),
Tõ
x, ξ ∈ Rn .
(1.14)
(1.13) vµ (1.14) ta cã
n
(2π) V (f, g)ˆ(x, ξ) = (2π) 2
n
Z
p
p
e−iξ·pf (y + )g(y − )dp,
2
2
Rn
x, ξ ∈ Rn .
Suy ra
V (f, g)ˆ(x, ξ) = (2π)
− n2
Z
p
p
e−iξ·p f (y + )g(y − )dp,
2
2
Rn
13
x, ξ ∈ Rn .
- Xem thêm -
.PDF 
95 
27 
126 
