Tài liệu Biến đổi stockwell và mở rộng

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Tác giả Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. Một số khái niệm và kết quả ban đầu 8 1.1 Một số kí hiệu và không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn ) . . . . . . . . . 12 1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S(R ) . . . . 13 1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (R ) . . . . . . . . . 15 1.2.5. Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 16 1.3 Biểu diễn thời gian tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1. Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 n n Chương 2. Biến đổi Stockwell 46 2.1 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi Fourier thời gian ngắn . . 46 2.2 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi tích chập . . . . . . . . . 48 2.3 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . 49 2.4 Tính chất của biến đổi Stockwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1. Nghịch đảo của biến đổi Stockwell và biến đổi Fourier . . . . . 51 2.4.2. Biến đổi Stockwell ngược liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 Biến đổi Stockwell rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6.1. Biến đổi Stockwell hai chiều không đẳng hướng . . . . . . . . . 60 2.6.2. Biến đổi Stockwell cực hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6.3. Cấu trúc của biến đổi Stockwell hai chiều . . . . . . . . . . . . 65 2.6.4. Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.7 Phép biến đổi Stockwell mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phân tích phổ bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier đã là một công cụ hữu hiệu trong việc phân tích các dữ liệu địa vật lý. Một hạn chế của phép biến đổi Fourier là nó chỉ đưa ra được hình ảnh quang phổ theo toàn bộ thời gian. Điều này là phù hợp đối với chuỗi thời gian bất biến. Tuy nhiên, trong lĩnh vực địa vật lý, sự đứng yên là sự lý tưởng hóa phi thực tế. Lượng quang phổ thay đổi theo chuỗi thời gian, và biên độ thời gian trung bình được tìm thấy bởi các phương pháp Fourier là không đủ để mô tả các hiện tượng như vậy. Vì thế, những năm gần đây, giải tích Fourier đã đưa ra được một số phương pháp cao cấp hơn trong việc biểu diễn phổ, một đại diện của việc cải tiến kĩ thuật này là biểu diễn thời gian-tần số hay còn gọi là phép biến đổi Forier thời gian ngắn, biến đổi sóng nhỏ liên tục. Biến đổi Stockwell là phép biến đổi tích phân tiếp theo có những ứng dụng thành công nhất trong lĩnh vực địa vật lý và xử lý ảnh trong y học. Nó cũng giống như biến đổi sóng nhỏ liên tục trong việc có những giải pháp liên tục để mô tả phổ của dấu hiệu, nhưng không giống như biến đổi sóng nhỏ, biến đổi Stockwell hoàn toàn ghi nhớ được các pha thông tin và trả lời bằng một tần số có biên độ bất biến. Xem xét một cách tuyệt đối các thông tin từng pha có nghĩa là thông tin cho bởi biến đổi Stockwell tham khảo đối số của hàm cosin tại thời điểm ban đầu. Phép biến đổi Stockwell xác định những pha địa phương bằng con đường trực quan, tại đỉnh quang phổ, cũng như ngoài đỉnh quang phổ, nơi tốc độ thay đổi của các pha dẫn đến một kênh phân tích tần số tức thời. Biến đổi Stockwell không chỉ ước lượng được năng lượng quang phổ địa phương mà còn ước lượng được cả pha quang phổ. 5 6 Biến đổi Stockwell mang tên chính tác giả - một nhà toán học trẻ tuổi người Mỹ, Robert Stockwell, được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1996. Đến nay, các nỗ lực sự hiểu biết các nền tảng của toán học của biến đổi Stockwell vẫn còn đang được tiến hành. Trong luận văn, chúng tôi cũng mới chỉ dừng lại ở một số tính chất lý thuyết ban đầu. Những ứng dụng thực tiễn phong phú của biến đổi này sẽ tiếp tục được nghiên cứu, đây là một trong những lĩnh vực mới mẻ và lý thú của toán học ứng dụng. Với tính chất thời sự, tính hiệu quả của lí thuyết của biến đổi Stockwell trong các lĩnh vực toán học và ứng dụng, đồng thời xuất phát từ sự ham thích nghiên cứu của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài sau để thực hiện luận văn tốt nghiệp: "Biến đổi Stockwell và mở rộng" 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích là nghiên cứu phép biến đổi Stockwell và một số mở rộng của nó và hệ thống hóa những kiến thức về biến đổi Stockwell, tìm những mở rộng của phép biến đổi này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell trong trường hợp một chiều, biến đổi Stockwell rời rạc, biến đổi hai chiều. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đưa ra và chứng minh được những kết quả mới, điển hình về phép biến đổi Stockwell một chiều, biến đổi Stockwell hai chiều. 7 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu là sưu tầm, tổng hợp các tài liệu hình thành bài viết tổng quan và tìm tòi, khám phá những chi tiết mới trong vấn đề nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell, làm rõ nguồn gốc hình thành lý thuyết về biến đổi này. Đồng thời chứng minh chi tiết một số định lý trong các tài liệu tham khảo (mà ở đó không trình bày chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt), đưa ra được những ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 1.1 Một số kí hiệu và không gian hàm N = {0, 1, 2, ...} là tập các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, ...} là tập các số nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị √ ảo −1 = i. Với mỗi n ∈ N \ {0}, tập Zn+ = {α = (α1, α2 , ..., αn), αj ∈ Z+, j = 1, 2, ..., n}, Rn = {x = (x1, x2, ..., xn), xj ∈ R, j = 1, 2, ..., n}. Lấy x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn , y = (y1 , y2, ..., yn) ∈ Rn . Tích vô hướng x · y của x và y được xác định bởi x·y = n X xj yj j=1 và chuẩn | x | của x được cho bởi | x |= n X j=1 x2j ! 21 . Giả sử Ω là một tập mở trong Rn , k ∈ Z+ . Khi đó, ta có kí hiệu các tập như sau: C k (Ω) = {u : Ω −→ C, u là hàm khả vi liên tục đến cấp k}, C(Ω) = {u : Ω −→ C liên tục trên Ω} C0k (Ω) = {u : Ω −→ C | u ∈ C k (Ω), suppu là tập compact}, ∞ ∞ \ \ k ∞ ∞ C0k (Ω), C (Ω), C0 (Ω) = C (Ω) = k=1 k=1 8 9 trong đó supp u = {x ∈ Ω | u(x) 6= 0}. Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, kí hiệu Z đđ Lp(Ω) = {u : Ω −−−−−→ C | | u(x) |p dx < ∞}, Lebesgue Ω với p = ∞, kí hiệu L∞(Ω) = {u : Ω −→ C | esssup | u(x) |< ∞}, x∈Ω trong đó esssup | u(x) |= inf {M > 0 | µ{x ∈ Ω || u(x) |> M} = 0}, µ x∈Ω là độ đo Lebesgue. Ta kí hiệu các toán tử vi phân ∂ ∂ ∂ ∂x1 , ∂x2 , ..., ∂xn trên Rn tương ứng là ∂1, ∂2, ..., ∂n và các toán tử vi phân −i∂1, −i∂2, ..., −i∂n trên Rn tương ứng là D1 , D2, ..., Dn. Với đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αn) , nghĩa là một bộ số nguyên không P âm; | α |= nj=1 αj là độ dài của α, ta ký hiệu ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ...∂nαn , và Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn . Định nghĩa 1.1. Không gian D(Ω) là tập hợp gồm các hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) ∞ với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 các hàm trong C0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) nếu (i) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, ... (ii) lim sup | ∂ αϕj (x) − ∂ α ϕ(x) | = 0, với mọi α ∈ Zn+ . j→∞ x∈Ω Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trên Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Tập tất cả các hàm suy 0 rộng trên Ω được kí hiệu là D (Ω). 10 0 Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là 0 < f, ϕ > . Hai hàm suy rộng f , g ∈ D (Ω) được gọi là bằng nhau nếu < f, ϕ > = < g, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω). Định nghĩa 1.3. Không gian S(Rn ) là tập hợp S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω) | | xα ∂ β ϕ(x) |< Cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn+} n với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: dãy{ϕk }∞ k=1 trong S(R ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn) trong S(Rn ) nếu lim sup | xα ∂ β ϕk (x) − xα ∂ β ϕ(x) |= 0, ∀α, β ∈ Zn+ . k→∞x∈Rn Khi đó, ta viết S_ lim ϕk = ϕ. k→∞ Định nghĩa 1.4. Cho hàm f ∈ D (Rn). Hàm suy rộng f được gọi là 0 hàm suy rộng tăng chậm nếu có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho     X α 2 m | ∂ ϕ(x) | , |< f, ϕ >|≤ C sup (1+ | x | )  x∈Rn  |α|≤m ∀ϕ ∈ D(Rn ). 0 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là tập tất cả các hàm suy rộng tăng chậm. 1.2 Biến đổi Fourier 1.2.1. Đạo hàm suy rộng Giả sử α = (α1, α2 , ..., αn) là một vector với các thành phần nguyên không âm. Hàm f α (·) ∈ L1,loc(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω ⊂ Rn của hàm f (·) ∈ L1,loc(Ω) nếu đối với hàm tuỳ ý |α| g(·) ∈ C0 (Ω) ta có đẳng thức Z Z f (x)∂ αg(x)dx = (−1)|α| f α (x)g(x)dx. Ω Ω (1.1) 11 Nhận xét 1.1. a) Nếu hàm f (x) có đạo hàm suy rộng cấp α thì đạo hàm suy rộng đó là duy nhất. Thật vậy, giả sử f1α (x) và f2α (x) là hai đạo 0 0 hàm suy rộng của f(x). Do (1.1) với Ω cố định tuỳ ý mà Ω ⊂⊂ Ω và |α| 0 với g(x) ∈ C0 (Ω ) tuỳ ý ta có Z [f1α (x) − f2α (x)] g(x)dx = 0 Ω 0 f1α (x) − f2α (x) ∈ L2(Ω ), suy ra f1α (x) − f2α (x) = 0 hầu khắp nơi trên Ω 0 (theo bổ đề 1.1 bên dưới đây), có nghĩa là hầu khắp nơi trên Ω. Bổ đề 1.1. Với mọi hàm khả tích địa phương g trên Rn , g không bằng 0 hầu khắp nơi, tồn tại hàm ϕ ∈ D(R) sao cho Z g(x)ϕ(x)dx 6= 0. b) Nếu f (x) ∈ C |α| (Ω) thì theo công thức Ostrogratski ta có Z Z f (x)∂ αg(x)dx = (−1)|α| f α (x)g(x)dx Ω Ω |α| với hàm tuỳ ý g(x) ∈ C0 (Ω). Có nghĩa là hàm f (x) có đạo hàm suy rộng cấp α và f α (x) bằng ∂ α f (x). Đặc biệt nếu hàm g(x) bằng hằng số hầu khắp nơi trên Ω thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý f α (x) = 0. c) Nếu g là hàm số trơn thì đạo hàm ∂ |α| g 1 αn ∂xα 1 ...∂xn không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân, cho nên với công thức (1.1) và sự duy nhất cuả đạo hàm suy rộng, ta suy ra đạo hàm suy rộng cũng không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân. d)Nếu các hàm số f1 (x), f2(x) có đạo hàm suy rộng ∂ α f1, ∂ α f2 trong miền Ω thì hàm c1 f1 (x) + c2 f2(x) với c1 , c2 là các hằng số, cũng có đạo hàm suy rộng cấp α và ∂ α (c1f1 (x) + c2 f2(x)) = c1 ∂ αf1 (x) + c2 ∂ αf2 (x). 12 e) Nếu ∂ αf (x) là đạo hàm suy rộng của f (x) trên Ω ⊂ Rn thì ∂ α f (x) 0 cũng là đạo hàm suy rộng của g(x) trên một miền con tuỳ ý Ω ⊂ Ω vì |α| 0 0 hàm g(x) ∈ C0 (Ω ) và được thác triển thành 0 bên ngoài Ω sẽ thuộc |α| C0 (Ω). Do đó, nếu hàm f (x) có đạo hàm suy rộng trên Ω là Dα f (x) 0 và f (x) = c (h.k.n) trên Ω ⊂ Ω thì ∂ α f = 0 (h.k.n) trên Ω. Đặc biệt đạo hàm suy rộng (nếu nó tồn tại) của một hàm tiêu hạn f (x) trên Ω sẽ tiêu hạn trên Ω và vì vậy thuộc L1(Ω) f) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng ∂ αf (x) được xác định ngay đối với cấp |α| mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn tại. Chú ý 1.1. Nếu hàm f ∈ L2,loc(Ω) có đạo hàm suy rộng ∂ α f = F còn hàm F có đạo hàm suy rộng ∂ β F = G thì tồn tại đạo hàm suy rộng ∂ α+β f = G |α+β| Thật vậy, giả sử g(x) ∈ C0 (Ω) nên Z Z f ∂ α+β gdx = (−1)|α| ∂ α f ∂ β gdx Ω Ω = (−1)|α| Z Ω = (−1) |α|+|β| F ∂ α gdx Z ∂ β F gdx Ω = (−1)|α+β| Z Ggdx. Ω 1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn ) Định nghĩa 1.5. Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1 (Rn ) là hàm fˆ, xác định trên Rn bởi F f (ξ) = fˆ(ξ) = (2π) − n2 Z e−ix.ξ f (x)dx, Rn ξ ∈ Rn . 13 ở đó xξ = x1ξ1 + ... + xnξn . Ta còn ký hiệu biến đổi Fourier của hàm f bởi F f . Định nghĩa 1.6. Nếu các hàm u, ϕ khả tích trên Rn thì tích chập của u và ϕ kí hiệu là u ∗ ϕ, được định nghĩa bởi Z u(y)ϕ(x − y)dy (u ∗ ϕ)(x) = Rn Định lý 1.1. (Phép biến đổi Fourier của tích chập). u, ϕ ∈ L1(Rn ) thì n \ (u ∗ ϕ)(ξ) = (2π) 2 û(ξ)ϕ̂(ξ) Định lý 1.2. Cho f ∈ L1 (Rn) khi đó phép biến đổi Fourier của f có các tính chất sau: i. fˆ ∈ L∞ (Rn ) và ||fˆ||L∞ (Rn ) ≤ ||fˆ||L1 (Rn ) . ii. fˆ liên tục trên Rn . iii. fˆ(ξ) → 0 khi | ξ |→ ∞ iv. Nếu fj → f trong L1(Rn ) khi j → ∞ thì fˆj hội tụ đều tới fˆ trong Rn khi j → ∞. α f = (ξ)α fˆ(ξ) d Mệnh đề 1.1. Nếu f ∈ C0∞ (Rn ) và Dα f ∈ L1(Rn ) thì D Mệnh đề 1.2. f, g ∈ L1 (Rn) thì Z Z fˆ(x)g(x)dx = Rn 1.2.3. f (x)ĝ(x)dx Rn Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S(Rn ) Định nghĩa 1.7. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ S(Rn ) là hàm số, kí hiệu fˆ, hay F f được định nghĩa bởi: Z − n2 ˆ f (ξ) = (2π) e−ix.ξ f (x)dx, ξ ∈ Rn . Rn 14 Định nghĩa 1.8. Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S(Rn) là hàm số, kí hiệu F −1f , được định nghĩa bởi: Z −n −1 eix.ξ f (ξ)dξ, x ∈ Rn . F f (x) = (2π) 2 Rn Mệnh đề 1.3. Cho f ∈ S(Rn ) khi đó ta có: i. fˆ ∈ S(Rn ). α f = (ξ)α fˆ(ξ) với mọi đa chỉ số α. d ii. D α f = (−D )α fˆ(ξ) với mọi đa chỉ số α. iii. xd ξ iv. ánh xạ f 7→ fˆ là ánh xạ liên tục trên S(Rn). Mệnh đề 1.4. Cho f, g ∈ S(Rn ) khi đó ta có: R R i. Rn fˆ(x)g(x)dx = Rn f (x)ĝ(x)dx. n \ ii. (f ∗ g)(ξ) = (2π) 2 fˆ(ξ).ĝ(ξ). −n [ iii. (f.g)(ξ) = (2π) 2 fˆ(ξ) ∗ ĝ(ξ). Định lý 1.3. Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ S(Rn) lên S(Rn ). Hơn nữa, với mỗi hàm f ∈ S(Rn ), ta có Z −n f (x) = (2π) 2 eix.ξ fˆ(ξ)dξ. Rn Định lý 1.4. Đối với mỗi u, v ∈ S(Rn ) ta có đẳng thức Z Z û(ξ)v̂(ξ)dξ. u(x)v(x)dx = Rn Rn Nhận xét 1.2. Từ Định lý 1.4, chọn u = v ta nhận được với mọi u ∈ S(Rn) Z Rn 2 |u(x)| dx = Z Rn |û(ξ)|2dξ. Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval. 15 Định lý 1.5 (Định lý Parseval). ánh xạ f 7→ fˆ xác định trên S(Rn ) có thể mở rộng duy nhất thành một đẳng cấu từ L2(Rn ) vào chính nó. Định lý 1.6. Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược là các phép biến đổi tuyến tính liên tục từ S(Rn ) lên S(Rn ). Hơn nữa nếu α và β là các đa chỉ số tùy ý thì (iξ)α∂ β fˆ(ξ) = F [∂ α((−ix)β f (x))](ξ). 1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn ) Định nghĩa 1.9. Giả sử f ∈ L2 (Rn). Do S(Rn ) trù mật trong L2(Rn ) n nên tồn tại dãy {fj }∞ j=1 ⊂ S(R ) sao cho ||fj − f ||L2 (Rn ) → 0 khi j → ∞. Cauchy trong L2(Rn ). Do đẳng thức Parseval, Suy ra dãy {fj }∞ j=1 là dãy n o∞ là dãy Cauchy L2(Rn ). Do L2 (Rn) là đầy chúng ta cũng có dãy fˆj j=1 n o∞ nên dãy fˆj hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu là fˆ và gọi j=1 nó là phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L2(Rn ). Định lý 1.7. Nếu f ∈ L2(Rn ) thì fˆ ∈ L2 (Rn) và ta có ||f ||L2 (Rn ) = ||fˆ||L2 (Rn ) . Định lý 1.8. Nếu u, ϕ ∈ L2 (Rn) thì n \ (u ∗ ϕ)(ξ) = (2π) 2 û(ξ).ϕ̂(ξ). Mệnh đề 1.5 (Công thức tổng Poisson). Giả sử f ∈ L2(Rn ) thỏa mãn các điều kiện: P (i) Chuỗi f (x + 2πk) hội tụ khắp nơi về hàm liên tục nào đó. k∈Zn P ˆ f (βk)eikx hội tụ khắp nơi, thế thì với mọi α, β > 0 (ii) Chuỗi Fourier k∈Zn mà αβ = 2π, đẳng thức sau đây là đúng: X αn X ˆ f (βk) = f (αk), n (2π) n n k∈Z k∈Z Đẳng thức này gọi là công thức tổng Poisson. (1.2) 16 1.2.5. Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng Định nghĩa 1.10. Nếu u ∈ D (Rn ), ϕ ∈ C0∞ (Rn ) thì tích chập u ∗ ϕ 0 được định nghĩa bởi (u ∗ ϕ)(x) = uy (ϕ(x − y)) = Z Rn u(y) ϕ(x − y)dy, trong đó u(y) là hàm suy rộng theo biến y. Định lý 1.9. Nếu u ∈ D (Rn ), ϕ ∈ C0∞(Rn ) hay u ∈ E (Rn ), ϕ ∈ C ∞ (Rn ) 0 0 thì (u ∗ ϕ) ∈ C ∞ (Rn ) và supp(u ∗ ϕ) ⊂ supp u + supp ϕ. Ngoài ra Dα (u ∗ ϕ) = Dα u ∗ ϕ = u ∗ Dα ϕ, với mọi đa chỉ số α ∈ Nn . Định nghĩa 1.11. Nếu u ∈ S (Rn) thì phép biến đổi Fourier của u, kí 0 hiệu là F u hay û được định nghĩa bởi (F u, ϕ) = û(ϕ) = u(ϕ̂), ∀ϕ ∈ S(Rn ). Định lý 1.10. Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ S (Rn ) lên 0 0 S (Rn ). Định lý 1.11 (Công thức biến đổi ngược). Nếu u ∈ S (Rn ) là hàm suy 0 rộng ôn hòa và F u = û là phép biến đổi Fourier của u thì ∼ ∼ ∼ ∼ b u b(ϕ) = u(ϕ). trong đó u(ϕ) = u(ϕ), ϕ(x) = ϕ(−x). Chú ý 1.2. Từ định lý trên, ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier ngược của một hàm suy rộng ôn hòa u bởi: 0 F −1(u) = F [u(−x)], u ∈ S (Rn ). 17 1.3 Biểu diễn thời gian tần số 1.3.1. Biến đổi Fourier thời gian ngắn Định nghĩa 1.12. Cố định một hàm g 6= 0 (gọi là hàm cửa sổ). Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của hàm f đối với g được định nghĩa là Vg f (x, ω) = Chú ý 1.3. Z Rn f (t)g(t − x)e−2πit.ω dt, với x, ω ∈ Rn . (1.3) i) Nếu g có giá compact với tâm giá của nó đặt tại gốc, thì Vg f (x, ·) là biến đổi Fourier của một đoạn của f đặt ở tâm trong một lân cận tâm là x. Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x đến vị trí khác. Vì lí do này biến đổi Fourier thời gian ngắn thường được gọi là "Biến đổi Fourier cửa sổ trượt". Với một vài hạn chế, Vg f (x, ω) có thể được nghĩ như là độ đo của biên độ dải tần số ω tại thời điểm x. Theo ý nghĩa này Vg f (x, ω) là một khắc cho điều không thể "phổ tần số tức thời" tại x của phép biến đổi Fourier. ii) Trong phân tích, ít nhất số chiều n = 1, R2n được gọi là mặt phẳng thời gian-tần số, và trong vật lý R2n được gọi là không gian pha. iii) Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính với f và tuyến tính liên hợp với g. Thông thường cửa sổ g sẽ được giữ cố định và Vg f được xem như ánh xạ tuyến tính từ các hàm trên Rn đến các hàm trên R2n. Rõ ràng hàm Vg f và các tính chất của ánh xạ f 7→ Vg f phụ thuộc chủ yếu vào sự lựa chọn cửa sổ g. Kí hiệu ∗ là phép đối hợp : g ∗ (x) = g(−x). Ta có bổ đề sau: 18 Bổ đề 1.2. Nếu f, g ∈ L2(R) thì Vg f là liên tục đều trên R2n và Vg f (x, ω) = (f · Tx g)ˆ(ω) (1.4) =< f, Mω Txg > (1.5) =< fˆ, Tω M−x ĝ > (1.6) = e−2πix.ω (fˆTω ĝ)ˆ( − x) = e−2πix.ω Vĝ fˆ(ω, −x) = e−2πix.ω (f ∗ Mω g ∗ )(x) = (fˆ ∗ M−xĝ ∗ )(ω) Z x x f (t + )g(t − )e−2πit.ω dt. = e−πix.ω 2 2 Rn (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) Các công thức này thể hiện các mặt khác nhau của biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT). Trong (1.4) và (1.7), STFT được viết như một biến đổi Fourier địa phương của f và fˆ, theo như ý tưởng chính với định nghĩa của nó, ngược lại trong (1.9) và (1.10), STFT được viết như là tích chập. Trong (1.5) và (1.6), Vg f được viết như là một tích của f với một phép dịch chuyển thời gian-tần số. Dạng đối xứng Z x x f (t + )g(t − )e−2πit.ω dt 2 2 Rn (1.12) thường được gọi là hàm nhập nhằng chéo. Nó đóng vai trò quan trọng trong rada và trong quang học. Ngoại trừ thừa số pha e−2πix.ω , nó trùng với STFT. Công thức (1.8), nghĩa là Vg f (x, ω) = e−2πix.ω Vĝ fˆ(ω, −x). (1.13) Đây là đồng nhất thức cơ bản của giải thích thời gian-tần số. Nó kết hợp cả f và fˆ trong một biểu diễn thời gian-tần số. Trong biểu diễn này, biến đổi Fourier chẳng khác gì phép quay mặt phẳng thời gian - tần số 19 một góc π2 . Trong Bổ đề 1.2, chúng ta đã nhấn mạnh tính chất tuyến tính của STFT trong trường hợp của một cửa sổ cố định g. Ngoài ra STFT có thể được coi như là dạng bán song tuyến tính (f, g) 7→ Vg f . Cho f ⊗ g là tích tensor (f ⊗ g)(x, t) = f (x).g(t), giả sử Ta là phép biến đổi tọa độ không đối xứng (1.14) Ta F (x, t) = F (t, t − x) và giả sử F2 là phép biến đổi Fourier riêng Z F (x, t)e−2πit.ω dt F2 F (x, ω) = (1.15) Rn của một hàm F trên R2n . Bằng cách sử dụng kí hiệu này, định nghĩa (1.12) có thể biểu diễn như sau Bổ đề 1.3. Nếu f, g ∈ L2(Rn ), thì (1.16) Vg f = F2 Ta (f ⊗ g). Miền xác định của phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Trong Định nghĩa 1.12, chúng ta đã không chỉ ra miền xác định của f và g. Rõ ràng, nếu f, g ∈ L2 (Rn), thì f · Txg ∈ L1(Rn ) và Vg f (x, ω) = (f · Txg)ˆ(ω) được định nghĩa từng điểm. Tương tự, nếu g ∈ Lp (Rn ) và .. f ∈ Lp0 (Rn ) thì do bất đẳng thức Holder f · Txg ∈ L1(Rn ) và STFT lại được xác định theo từng điểm. Viết STFT như là tích vô hướng Vg f (x, ω) =< f, Mω Txg > là cách hữu ích để mở rộng miền xác định của STFT trong trường hợp tích phân không được xác định. Như là một kinh nghiệm, chúng ta có thể xem xét STFT, khi mà dấu ngoặc < ·, · > được xác định bởi một vài dạng đối 0 ngẫu. Ví dụ, nếu B là một không gian Banach chứa trong S (Rn) là bất biến dưới sự dịch chuyển thời gian - tần số, thì STFT được xác định 20 khi f ∈ B, g ∈ B ∗ hoặc f ∈ B ∗, g ∈ B. Tổng quát hơn, Vg f được xác 0 định với tất cả các hàm suy rộng tăng chậm f ∈ S (Rn ), với điều kiện là g ∈ S(Rn ). Với Bổ đề 1.3, miền xác định của STFT có thể được mở rộng ra thậm chí xa hơn nữa. Đầu tiên chú ý rằng cả hai toán tử Ta và F2 là những 0 0 0 phép đẳng cấu trên S (R2n ) . Nếu f, g ∈ S (Rn) thì (f ⊗ g) ∈ S (R2n) và 0 kết quả cũng có Vg f = F2Ta (f ⊗ g) ∈ S (R2n). Do đó Vg f là một hàm 0 suy rộng tăng chậm xác định với f, g ∈ S (Rn ). Tính chất tiếp theo đôi khi được gọi là tính chất hiệp phương sai của STFT. Bổ đề 1.4. Khi Vg f được xác định, chúng ta có Vg (TuMη f )(x, ω) = e−2πiu.ω Vg f (x − u, ω − η) (1.17) với x, u, ω, η ∈ Rn . Đặc biệt là |Vg (TuMη f )(x, ω)| = |Vg f (x − u, ω − η)|. (1.18) Chứng minh. Chúng ta thế hệ thức giao hoán M−η T−uMω Tx = e2πiu.ω Mω−η Tx−u vào định nghĩa và thu được Vg (TuMη f )(x, ω) =< TuMη f, Mω Txg > =< f, M−η T−uMω Txg > = e−2πiu.ω Vg f (x − u, ω − η). (1.19) STFT có một vài tính chất tương tự các tính chất đã có của biến đổi Fourier thông thường. Định lý dưới đây về các tích vô hướng của STFT tương ứng với đẳng thức Parseval và sẽ được sử dụng thường xuyên 21 Định lý 1.12 (Các hệ thức trực giao với STFT). . Cho f1, f2, g1, g2 ∈ L2(Rn ) thì Vgj fj ∈ L2 (R2n) với j = 1, 2 và < Vg1 f1, Vg2 f2 >L2 (R2n ) =< f1 , f2 > < g1 , g2 >. (1.20) Chứng minh. Đầu tiên chúng ta giả sử rằng các cửa sổ gj trong L1(Rn ) ∩ L∞ (Rn) ⊆ L2 (Rn ), cho nên fj Txgj ∈ L2 (Rn ) với mọi x ∈ Rn . Khi đó công thức Parseval áp dụng đối với tích phân theo ω cho chúng ta Z Z Vg1 f1(x, ω)Vg2 f2(x, ω)dωdx Rn Rn  Z Z ˆ ˆ (f1Txg1 )(ω)(f2Txg2 ))(ω)dω dx = Rn Rn  Z Z f1(t)f2(t)g1 (t − x)g2 (t − x)dt dx. = Rn Rn ở đây f1f2 ∈ L1(Rn , dt) và g1g2 ∈ L1 (Rn, dx), do đó định lý Fubuni cho phép chúng ta đổi thứ tự lấy tích phân. Chúng ta tiếp tục như sau: Z  Z f1 (t)f2(t) < Vg1 f1, Vg2 f2 >L2 (R2n ) = g1 (t − x)g2(t − x)dx dt Rn Rn =< f1, f2 > < g1 , g2 >. Việc mở rộng tới gj ∈ L2 (Rn ) được thực hiện bởi một nguyên lý trù mật. Với g1 ∈ L1(Rn )∩L∞(Rn ) cố định, ánh xạ g2 7−→< Vg1 f1, Vg2 f2 >L2 (R2n ) là một phiếm hàm tuyến tính trùng với < f1, f2 >< g2 , g1 > trên không gian con trù mật L1 (Rn) ∩ L∞ (Rn ). Do tính bị chặn ta có thể mở rộng cho tất cả g2 ∈ L2(Rn ). Bằng cách đó, với f1, f2 và g2 ∈ L2(Rn ) tuỳ ý, phiếm hàm tuyến tính liên hợp g1 7−→< Vg1 f1 , Vg2 f2 >L2 (R2n ) bằng < f1, f2 > < g1 , g2 > trên L1 (Rn)∩L∞ (Rn ) và mở rộng cho tất cả L2(Rn ). Các hệ thức trực giao do đó được thiết lập bởi mọi fj , gj ∈ L2(Rn ). Chứng minh thứ 2 của các hệ thức trực giao. Chúng ta sử dụng việc phân tích thành thừa số (3.13) của STFT. Vì trên L2(R2n ) cả hai