Tài liệu Biến đổi fourier và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ HỒNG BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ HỒNG BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn, được sự hướng dẫn tận tình của thầy, tác giả đã hoàn thiện hơn rất nhiều về mặt kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, sự kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong và ngoài nhà trường giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD-ĐT Ninh Bình, Ban Giám hiệu và các thầy cô giáo Trường THPT Hoa Lư A, tỉnh Ninh Bình cùng gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014 Tác giả Trần Thị Hồng i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Biến đổi Fourier và một số ứng dụng” được hoàn thành bởi tác giả, không sao chép từ các đề tài khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc. Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014 Tác giả Trần Thị Hồng Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Ký hiệu sử dụng trong luận văn v Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) . . . . . 6 1.1.3 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) 8 1.1.4 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Một số công thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Biến đổi Fourier 12 2.1 Biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn ) . . . . . . . . 12 2.2 Biến đổi Fourier trong không gian S (Rn ) . . . . . . . . . 24 2.3 Biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn ) . . . . . . . . 37 iii 2.4 Biến đổi Fourier trong không gian S 0 (Rn ) . . . . . . . . 41 2.5 Một số biểu diễn khác của biến đổi Fourier . . . . . . . . 49 2.6 Mối liên hệ với biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận chương 2 3 Một số ứng dụng của biến đổi Fourier 3.1 54 Ứng dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi, tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.1 Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . 54 3.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . 58 3.1.3 Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . 64 3.2 Định lý lấy mẫu Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Ứng dụng trong xác suất thống kê . . . . . . . . . . . . . 71 3.4 Một số ứng dụng trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết giải tích thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.1 Ứng dụng trong lý thuyết giả vi phân . . . . . . . 73 3.4.2 Ứng dụng trong lý thuyết giải tích thời gian – tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Kết luận chương 3 Tài liệu tham khảo 91 iv KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN • α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn : đa chỉ số α! = α1 !α2 ! . . . αn ! |α| = α1 + α2 + · · · + αn : cấp (độ dài) của đa chỉ số α. • Cho α, β ∈ Nn , α ≤ β ⇔ αj ≤ βj ; ∀j = 1, n. Với α ≤ β, ký hiệu        β β1 β2 βn = ··· α1 α2 αn α trong đó   βj βj ! α . = Cβjj = αj ! (βj − αj )! αj • Cho α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , ký hiệu xα = xα1 1 xα2 2 . . . xαnn . ∂ ∂xj : đạo hàm riêng theo biến |α| ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 . . . ∂nαn = ∂xα1 ∂x∂α2 ...∂xαnn 1 2
|α| α 1 |α| α α D = i ∂ = (−i) ∂ , (−D)α • ∂j = thứ j, Dj = 1i ∂j = −i∂j = (−1)|α| Dα . • Với x, ξ ∈ Rn , ký hiệu hx, ξi ≡ xξ = x1 ξ1 + x2 ξ2 + · · · + xn ξn p 1 |x| = hx, xi 2 = x21 + x22 + · · · + x2n  1 2 2 hxi = 1 + |x| λs ≡ λs (ξ) = hξis , s ∈ R. • Với ϕ ∈ S (Rn ), ký hiệu ϕ e (x) = ϕ (−x) với x ∈ Rn . ( 1 nếu x > 0 • H(x) = : hàm bước nhảy đơn vị Heaviside. 0 nếu x < 0 • C ∞ (Rn ): không gian tất cả các hàm f : Rn → C khả vi vô hạn trên Rn . • C0∞ (Rn ): không gian tất cả các hàm f : Rn → C khả vi vô hạn trên Rn và có suppf là tập compact trong Rn , trong đó suppf = {x ∈ Rn |f (x) 6= 0} gọi là giá của hàm f . vi Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong gần hai thế kỷ qua, các biến đổi tích phân trong đó có biến đổi Fourier đã được sử dụng một cách hiệu quả để giải quyết rất nhiều bài toán của toán học ứng dụng, vật lý và khoa học kỹ thuật. Về mặt lịch sử, nguồn gốc của biến đổi Fourier có thể được tìm thấy trong luận án của Joseph Fourier (1768-1830) xuất bản năm 1822, Théorie analytique de la chaleur. Trong luận án, Fourier đã cung cấp lý thuyết toán học hiện đại của sự truyền nhiệt, chuỗi Fourier và tích phân Fourier cùng các ứng dụng, ông đã trình bày một kết quả quan trọng đó là định lý tích phân Fourier, đồng thời đưa ra một số ví dụ trước khi phát biểu rằng một hàm tùy ý xác định trên một đoạn hữu hạn có thể được khai triển thành một chuỗi lượng giác gọi là chuỗi Fourier. Trong sự cố gắng mở rộng ý tưởng mới của mình đối với các hàm xác định trên một khoảng vô hạn, Fourier đã khám phá ra một biến đổi tích phân và công thức biến đổi ngược của nó mà ngày nay gọi là biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược. Biến đổi Fourier rất hữu dụng trong việc giải phương trình tích phân và phương trình đạo hàm bởi các lý do sau: Thứ nhất, với việc thực hiện phép biến đổi Fourier, các phương trình này sẽ được thay thế bởi các phương trình đại số hoặc phương trình vi phân đơn giản, khi đó nghiệm của phương trình đã cho theo biến ban đầu chính là nghịch đảo của nghiệm biến đổi. Thứ hai, nghiệm biến đổi kết hợp với định lý tích chập cho ta công thức biểu diễn nghiệm cần tìm. Vì thế, rất nhiều bài toán biên và bài toán ban đầu tuyến tính trong toán học ứng dụng, toán lý và khoa học kĩ thuật có thể được giải quyết hiệu quả bằng cách sử dụng biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier cũng là một công cụ quan trọng trong lý thuyết giả vi phân bởi một trong các tính chất rất tiện lợi của nó, đó là biến đổi Fourier thay thế phép lấy đạo hàm bằng phép nhân với một đa thức. Nhờ tính chất này mà toán tử đạo hàm P (D) (với hệ số hằng) được chuyển thành toán tử nhân Mp : f 7→ pf với p (ξ) là đa thức, p (ξ) được gọi là biểu trưng của P (D) (xem [5], công thức (5.41)-(5.44)). Người ta có thể mở rộng ý tưởng này để xây dựng lớp các biểu trưng (phụ thuộc vào cả hai biến x, ξ) và lớp các toán tử tổng quát hơn gọi là toán tử giả vi phân. Bên cạnh đó, biến đổi Fourier cổ điển Z fb(ω) = e−2πitω f (x) dx; x, ω ∈ Rn Rn có một thiếu sót cơ bản trong ứng dụng vào giải tích tín hiệu, đó là thông tin kết nối thời gian tại đó tần số xuất hiện trong tín hiệu f (t) bị ẩn đi. Tuy nhiên, biến đổi Fourier thời gian ngắn - một cải tiến của phép biến đổi Fourier cổ điển bằng việc nhân hàm số dưới dấu tích phân với một hàm có giá compact, gọi là hàm cửa sổ, đã giúp các nhà phân tích tín hiệu xác định một cửa sổ soi tần số của tín hiệu theo thời gian thực, gọi là cửa sổ thời gian - tần số. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn đã góp phần quan trọng trong việc xây dựng những biểu diễn thời gian tần số, trở thành một công cụ xuất sắc của cuộc cách mạng số hóa hiện nay. Ngoài ra, lý thuyết biến đổi Fourier cũng xuất hiện trong các lĩnh 2 vực toán học khác như giải tích tín hiệu, xác suất thống kê. Khi xét mối liên hệ của biến đổi Fourier với các biến đổi tích phân khác, người ta thấy rằng, về bản chất biến đổi Laplace là trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier cho một lớp các hàm xác định trên nửa trục thực dương. Dựa vào biến đổi Fourier người ta xây dựng được công thức biến đổi Laplace ngược kiểu Mellin, nhờ công thức này cùng tính chất một tích phân theo chu tuyến phức có thể bị triệt tiêu (theo lý thuyết thặng dư Cauchy) và sự biến dạng của chu tuyến trong mặt phẳng phức cho phép khôi phục lại một hàm nếu biết biến đổi Laplace của nó. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi Fourier và những ứng dụng của nó, được sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tác giả đã chọn đề tài “Biến đổi Fourier và một số ứng dụng” để thực hiện luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về biến đổi Fourier. Tìm hiểu một số ứng dụng của biến đổi Fourier. Tìm hiểu mối quan hệ với một số biến đổi tích phân khác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về biến đổi Fourier. Nghiên cứu về một số ứng dụng của biến đổi Fouier. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Fourier và một số ứng dụng của nó. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu biến đổi Fourier và một số ứng dụng 3 của nó trong các không gian hàm L1 (Rn ), S (Rn ), L2 (Rn ), S 0 (Rn ). 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Phương pháp của giải tích hàm, giải tích điều hòa. 6. Những đóng góp của luận văn Luận văn là báo cáo tổng quan về biến đổi Fourier cổ điển và hiện đại, mối liên hệ giữa biến đổi Fourier với biến đổi Laplace, cùng ứng dụng của biến đổi Fourier vào giải một số phương trình vi, tích phân; định lý lấy mẫu, trong giải tích điều hòa và một số ứng dụng khác. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞) Định nghĩa 1.1. Cho 1 ≤ p < ∞. Ta gọi là không gian Lp (Rn ), không gian định chuẩn tất cả các hàm số f (x) đo được theo nghĩa Lebesgue R trên Rn sao cho |f (x)|p dx < ∞ với chuẩn xác định bởi Rn  p1  Z kf kp =  |f (x)|p dx , f ∈ Lp (Rn ) . Rn Định nghĩa 1.2. Ta gọi là không gian L∞ (Rn ), không gian định chuẩn tất cả các hàm số f (x) đo được theo nghĩa Lebesgue trên Rn và thỏa mãn điều kiện tồn tại C > 0 sao cho |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên Rn với chuẩn xác định bởi  kf k∞ = inf C : |f (x)| ≤ C h.k.n trên Rn , f ∈ L∞ (Rn ) . Định lý 1.3. Với 1 ≤ p ≤ ∞, Lp (Rn ) là không gian Banach với chuẩn k·kp . Mệnh đề 1.4. L2 (Rn ) là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định 5 bởi Z f (x) g (x)dx. (f, g) = Rn Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Hölder) Cho 1 < p, q < ∞ và p1 + 1q = 1. Khi đó, nếu f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ) thì f g ∈ L1 (Rn ) và kf gk1 ≤ kf kp kgkq . Định lý 1.6. (Định lý Fubini) Giả sử Ω1 , Ω2 là các tập mở trong Rn , đặt Ω = Ω1 × Ω2 . Nếu f là hàm khả tích trên Ω thì R i) Hàm F (x) = f (x, y) dy xác định hầu khắp nơi trên Ω1 , F khả Ω2 tích trên Ω1 . ii) Hàm G (y) = R f (x, y) dx xác định hầu khắp nơi trên Ω2 , G khả Ω1 tích trên Ω2 . Hơn nữa R Ω f (x, y) dxdy = R R dx Ω1 f (x, y) dy = Ω2 R dy Ω2 R f (x, y) dx. Ω1 Định lý 1.7. (Định lý hội tụ trội Lebesgue) Cho một dãy các hàm khả tích {fk }∞ k=1 thỏa mãn các điều kiện sau i) {fk }∞ k=1 hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f , ii) Tồn tại hàm khả tích g sao cho |fn (x)| ≤ g (x) h.k.n trên Rn , với mọi k ∈ N. Khi đó f là hàm khả tích và lim n→∞ R Rn fn (x) dx = R f (x) dx. Rn Mệnh đề 1.8. C0∞ (Rn ) trù mật trong Lp (Rn ) với 1 ≤ p < ∞. 1.1.2 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.9. Ta gọi là không gian các hàm giảm nhanh hay không gian Schwartz, ký hiệu S (Rn ) hoặc S, không gian Fréchet tất cả các hàm số ϕ (x) khả vi vô hạn trên Rn sao cho xα Dβ ϕ (x) bị chặn với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn với tôpô xác định bởi họ đếm được chuẩn   kϕkα,β = sup xα Dβ ϕ (x)  x ∈ Rn , ϕ ∈ S (Rn ) , α, β ∈ Nn . 6 Chú ý 1.10. Với m ∈ N ta có 2m hxi = 1+ x21 + x22 + ··· +
m x2n = X Cm,α x2α , |α|≤m trong đó Cm,α = m! . α! (m − |α|)! Bởi vậy X x2α ≤ hxi2m ≤ Cm |α|≤m X x2α với Cm = max Cm,α . |α|≤m |α|≤m Do đó, tôpô trên S (Rn ) tương đương với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn  pM (ϕ) = sup{hxiM |Dα ϕ(x)|  x ∈ Rn , |α| ≤ M }, M ∈ N. 2 Ví dụ 1.11. Cho a > 0, khi đó f (x) = e−a|x| với x ∈ Rn là hàm giảm nhanh. n n Mệnh đề 1.12. Dãy hàm {ϕk }∞ k=1 ⊂ S (R ) hội tụ tới hàm ϕ ∈ S (R ) trong S (Rn ) khi và chỉ khi với mọi đa chỉ số α, β ta có   sup xα Dβ (ϕk − ϕ) (x) → 0 khi k → ∞. x∈Rn Định nghĩa 1.13. Tập hợp tất cả các hàm số p (x) ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn với mọi đa chỉ số α ∈ Nn , tồn tại c > 0 và a ∈ R (c, a phụ thuộc vào p và α) sao cho |Dα p (x)| ≤ chxia , ∀x ∈ Rn tạo thành một không gian vectơ gọi là không gian các hàm tăng chậm và ký hiệu là OM (Rn ) hoặc OM . Mệnh đề 1.14. i) Với p ∈ OM (Rn ) thì toán tử nhân Mp : ϕ 7→ Mp ϕ = pϕ là tuyến tính liên tục từ S (Rn ) vào S (Rn ). ii) Các toán tử đạo hàm Dα : ϕ 7→ Dα ϕ, ∂ α : ϕ 7→ ∂ α ϕ là tuyến tính liên tục từ S (Rn ) vào S (Rn ). 7 Nhận xét 1.15. Vì S (Rn ) ⊂ OM (Rn ) nên nếu ϕ, ψ ∈ S (Rn ) thì ϕψ ∈ S (Rn ). Mệnh đề 1.16. Với 1 ≤ p < ∞, S (Rn ) trù mật trong Lp (Rn ). 1.1.3 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) Định nghĩa 1.17. Một phiếm hàm tuyến tính u là liên tục trên S (Rn ) ∞ n n nếu với dãy bất kì {ϕk }∞ k=1 ⊂ S (R ), {ϕk }k=1 hội tụ tới θ ∈ S (R ) thì u (ϕk ) → 0 khi k → ∞. Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn ) tạo thành một không gian vectơ gọi là không gian các hàm suy rộng tăng chậm và ký hiệu là S 0 (Rn ) hoặc S 0 . Mỗi phần tử của S 0 (Rn ) được gọi là một hàm suy rộng tăng chậm (trên Rn ). Vậy   S 0 (Rn ) = u : S (Rn ) → C  u tuyến tính và liên tục trên S (Rn ) . Khi u ∈ S 0 (Rn ), ta ký hiệu giá trị của u tại ϕ ∈ S (Rn ) là hu, ϕi. 0 n Định nghĩa 1.18. Dãy hàm {uk }∞ k=1 ⊂ S (R ) được gọi là hội tụ về hàm u ∈ S 0 (Rn ), ký hiệu là uk → u nếu với mọi ϕ ∈ S (Rn ) ta có huk , ϕi → hu, ϕi khi k → ∞. Mệnh đề 1.19. Tôpô trên S 0 xác định bởi sự hội tụ nêu trong Định nghĩa 1.18 là tôpô yếu* của cặp đối ngẫu (S, S 0 ). Hơn nữa không gian S 0 (Rn ) là không gian Fréchet. Mệnh đề 1.20. i) Với u ∈ S 0 (Rn ), u e xác định bởi he u, ϕi = hu, ϕi e , ∀ϕ ∈ S (Rn ) là một hàm suy rộng tăng chậm. ii) Với u ∈ S 0 (Rn ) , p ∈ OM (Rn ), pu xác định bởi hpu, ϕi = hu, pϕi , ∀ϕ ∈ S (Rn ) 8 là hàm suy rộng tăng chậm. iii) Với u ∈ S 0 (Rn ) , α ∈ Nn , Dα u xác định bởi hDα u, ϕi = hu, (−D)α ϕi , ∀ϕ ∈ S (Rn ) . là hàm suy rộng tăng chậm. Mệnh đề 1.21. Với 1 ≤ p ≤ ∞ và f ∈ Lp (Rn ), ánh xạ ϕ 7→ R f ϕdx, Rn ϕ ∈ S (Rn ) xác định một hàm suy rộng tăng chậm. Theo cách này, với mỗi p ta có một phép nhúng liên tục Lp (Rn ) vào S 0 (Rn ). Ví dụ 1.22. Cho hàm f ∈ L1,loc (Rn ) và |f (x)| ≤ ChxiM , ∀x ∈ Rn R (M ∈ N). Khi đó Tf : S (Rn ) → C xác định bởi Tf ϕ = f (x) ϕ (x) dx Rn là một hàm suy rộng tăng chậm. Ta thường đồng nhất Tf với f và R viết hf, ϕi thay vì Tf ϕ, điều này dẫn tới hf, ϕi = f (x) ϕ (x) dx. Theo Rn hướng này, các hàm suy rộng tăng chậm được xem như là sự tổng quát hóa của các hàm thông thường. 1.1.4 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.23. Với mỗi s ∈ R, không gian Sobolev H s (Rn ) được xác định bởi H s (Rn ) = {u ∈ S 0 (Rn ) |λs u b ∈ L2 (Rn )} . H s (Rn ) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn xác định như sau −n Z (u, v) = (2π) u b (ξ) vb (ξ)λ2s (ξ) dξ, n kuks = (2π)− 2 kλs u bk2 . Rn Nhận xét 1.24. Nếu s ≥ t thì H s ⊂ H t . Do đó ta kí hiệu H −∞ = ∪ H s (Rn ), H ∞ = ∩ H s (Rn ). Vậy ta có S (Rn ) ⊂ H ∞ ⊂ H −∞ ⊂ s∈R 0 s∈R n S (R ). 9 Mệnh đề 1.25. Cho ϕ ∈ H ∞ và s ∈ R. Khi đó, nếu u ∈ H s thì ϕu ∈ H s P n và kϕuks ≤ 2|s|− 2 kϕk|s|+n kuks . Ngoài ra, nếu a (x, D) = aα (x) Dα |α|≤m là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính cấp m với các hệ số aα ∈ H ∞ thì a (x, D) ánh xạ liên tục H s vào H s−m . 1.2 Tích chập Định lý 1.26. Cho f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞). Khi đó R tích phân f (x − y) g (y) dy tồn tại với hầu hết x ∈ Rn . Rn Định nghĩa 1.27. Cho f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞). Tích chập của f và g, kí hiệu là f ∗ g được xác định bởi công thức Z (f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y) dy, x ∈ Rn . Rn Mệnh đề 1.28. Cho f, g, h ∈ L1 (Rn ). Khi đó f ∗ g = g ∗ f, f ∗ (g ± h) = f ∗ g ± f ∗ h. Định lý 1.29. (Bất đẳng thức Young) Cho 1 ≤ p, q, r < ∞ sao cho 1 r = 1 p + 1 q − 1. Nếu f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ) thì f ∗ g ∈ Lr (Rn ) và kf ∗ gkr ≤ kf kp kgkq . Mệnh đề 1.30. i) Nếu ϕ, ψ ∈ S (Rn ) thì ϕ ∗ ψ ∈ S (Rn ) và ψ 7→ ϕ ∗ ψ là toán tử liên tục trên S (Rn ), hơn nữa ∂ α (ϕ ∗ ψ) = ϕ ∗ ∂ α ψ (α ∈ Nn ). ii) Nếu u ∈ S 0 (Rn ) , ϕ ∈ S (Rn ) thì ϕ ∗ u xác định bởi công thức hϕ ∗ u, ψi = hu, ϕ e ∗ ψi , ∀ψ ∈ S (Rn ) . là hàm suy rộng tăng chậm. 10 1.3 Một số công thức liên quan • Công thức Leibniz: Với u, v ∈ C |α| (Rn ) ta có X α 

α D (uv) = Dβ u Dα−β v β β≤α hoặc ∂ α (uv) = X α β β≤α ( α! α β • ∂ x = • R  α β
xβ−α , α ≤ β 0 2 1 + |x| − 2s , còn lại R∞ ; ∀α, β ∈ Nn . −n R  2 dx < ∞ với s > n, 1 + |x| dx ≤ π n . Rn •

∂ β u ∂ α−β v . Rn 2 e−x dx = √ π. −∞ • Với x ∈ Rn , α ∈ Nn ta có |xα | ≤ |x||α| ≤ hxi|α| . 11 Chương 2 Biến đổi Fourier Nội dung của chương này được tác giả trình bày dựa trên các tài liệu tham khảo số [1], [2], [3] và [5]. 2.1 Biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn) Định nghĩa 2.1. Cho f ∈ L1 (Rn ), biến đổi Fourier của hàm f kí hiệu là fb hoặc F [f ] là hàm số được xác định bởi công thức Z F [f ] (ξ) ≡ fb(ξ) = e−ixξ f (x) dx, ξ ∈ Rn . (2.1) Rn Kí hiệu F là biến đổi Fourier, nó tác động lên hàm f = f (x) và sinh ra một hàm mới theo biến ξ là F [f ] (ξ) ≡ fb(ξ). Ví dụ 2.2. Cho a > 0, tìm biến đổi Fourier của f (x) = e−a|x| , x ∈ R. Giải. Ta có Z∞ Z∞ |f (x)| dx = −∞ e−a|x| dx = −∞ Z0 eax dx + −∞ Z0 = lim A→−∞ ZB B→∞ 0 12 e−ax dx 0 eax dx + lim A Z∞ e−ax dx