Tài liệu Bài toán ngược và lời giải xấp xỉ ổn định ứng dụng vào phương trình tích phân

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 1995 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ❖ NGUYỄN CAM BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LUẬN ÁN PHÓ TIẾN SĨ TOÁN LÝ Chuyên ngành : Mã hiệu : Người hướng dần : GIẢI TÍCH HÀM 1.01.01 TIẾN SĨ QUỐC GIA TRẦN VĂN TẤN Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Đại Học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh Thành Phố Hồ Chí Minh 1995 2 LUẬN ÁN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI KHOA TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: Tiến Sĩ Quốc Gia TRẦN VĂN TẤN Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh Giáo Sư Tiến Sĩ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Đại Học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: Người nhận xét 2: Cơ quan nhận xét: Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án Nhà nước họp tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Vào hồi …..giờ, Ngày…. Tháng.… năm 199... LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành biết ơn Thầy hướng dẫn Tiến Sĩ Quốc Gia Trần Văn Tấn, Giáo Sư Tiến Sĩ Đặng Đình Áng. Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Nghiên Cứu Khoa Học và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã khích lệ và dành cho tôi nhiều điều kiện thuận lợi trong khảo cứu. Tôi xin chân thành cám ơn Phó Giáo Sư Dương Minh Đức đã cho nhiều nhận xét, quý báu về nội dung của luận án. Tôi xin chân thành cám ơn sự động viên ân cần của quý đồng nghiệp Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Khoa Toán Trường Đại Học Tổng Hợp Thành Phố Hồ Chí Minh; Sự giúp đỡ chí tình của Anh Đinh Ngọc Thanh trong quá trình tôi hoàn thành lập luận án này. Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 1995. NGUYỄN CAM BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ LỜI GIẢI XẤP XỈ ỔN ĐỊNH ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN MỞ ĐẦU Từ năm 1960 trở lại đây, các bài toán ngược không chỉnh được các nhà Toán học trên thế giới khảo cứu một cách sâu rộng mà tiêu biểu là các công trình của Tikhonov, Lavrentiev, Lions... Từ thời gian đó nay các bài toán ngược không chỉnh càng ngày càng được chú ý khảo cứu một cách rộng rãi vì nó mang lại rất nhiều áp dụng quan trọng trong y học, kỹ nghệ, địa vật lý và kỹ thuật... Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu hai bài toán ngược không chỉnh : Bài toán xác định miền cho một phương trình elliptic và bài toán Stenfan ngược. Mục đích của luận án là xét sự chỉnh hóa hai bài toán ngược nêu trên với các nội dung gồm : xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định; sự duy nhất nghiệm của bài toán; đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ với lời giải chính xác. Luận án được hình bày gồm hai phần. Phần một được dành cho sự khảo cứu bài toán xác định miền cho một phương trình elliptic. Bằng Cách xử dụng cực trị của một phiếm hàm liên tục trên một tập compact chứa trong một không gian hàm thích hợp, rồi lại xấp xỉ phiếm hàm nói trên bởi các phiếm hàm liên tục trên các không gian hữu hạn chiều để đưa ra cách 1 xây dựng lời giải xáp xỉ ổn định. Sau đó là khảo sát tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định miền. Phần hai của luận án là bài toán Stefan ngược. Trong phần này chúng tôi xét một bài toán Stefan ngược một chiều và một bài toán Stefan ngược hai chiều. Bằng cách đưa về phương trình tích phân loại một; rồi chuyển sang phương trình tích chập; sau đó sử dụng phương pháp Tikhonow để đưa ra cách xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định đồng thời đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ với lời giải chính xác khi các dữ liệu đo được bị lệch với sai số ε. 2 KÝ HIỆU 𝐺̅ : Bao đóng của tập hợp G. ∂G: Biên của tập hợp G. Miền G: tập G mở và liên thông. ∂u ∂xi = Di u: đạo hàm riêng phần cùa hàm u : Toán tử Laplacien cùa hàm u. ∂𝑢 ∂𝑢 ∇u = gradu = �∂𝑥 , ∂𝑥 � 1 2 ∂𝑢 ∂𝑢 = ∇u.n = n1 ∂𝑛 ∂ 𝑥1 + 𝑛2 ∂𝑢 : đạo hàm theo hướng pháp tuyến n của hàm u. ∂ 𝑥2 H1 (G) = W1,2 (G): Không gian sobolev. (G) [H1 (G)]* = ℒ (H1 (G), R):Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H1 ∇u. ∇n = ∂𝑢 ∂𝑣 . ∂ 𝑥1 ∂ 𝑥1 + ∂𝑢 ∂𝑣 . ∂ 𝑥2 ∂ 𝑥2 B(r,x) : quả cầu mở tâm X, bán kính r. � (r, x) : quả cầu đóng tâm X, bán kính r. B � ):Không gian các hàm số liên lục trên G. C(G � )::Không gian các hàm số có đạo hàm liên lục trên G. C1(G C2 (G):Không gian các hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên G. 𝑜 : 𝐺 phần trong của tập hợp G G \ G1 = {x ∈ R2 | x ∈ G và x ∉ G1} f ≡ 0trên Γ với mọi x∈ Γ f ≢ 0 trên Γ : tồn tại x∈ Γ sao cho f(x) ≠ 0 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 1. Bất đẳng thức Poincaré 1.1 Không gian H1 (Ω), 𝐻01 (Ω) Cho Ω là một miền bị chặn trong R2 . Ta định nghĩa trong đó 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑖 là đạo hàm riêng của u theo nghĩa suy rộng H1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng định bởi : (u,v) = ∫Ω u, v + ∫Ω ∇u. ∇v (u,v ∈ H1 (Ω)) với chuẩn tương ứng là : Không gian 𝐻01 (Ω) được định nghĩa như sau : 𝐻01 (Ω) = ��������� 𝐻𝑐1 (Ω) : bao đóng của 𝐶𝑐1 (Ω) trong H1 (Ω) (trong đó 𝐶𝑐1 (Ω) là không gian các hàm số có giá compact và có đạo hàm liên tục trên Ω). 4 1.2. Bất dẳng thức Poincaré ([5]). Cho Ω là tập hợp mở và bị chặn trong R2 . Tồn tại một. hằng số C > 0 sao cho : với mọi x ∈𝐻01 (Ω) đương. ‖𝑢‖𝐿2 (Ω) ≤ C ‖∇𝑢‖�𝐿2 (Ω)�2 Do dó trên 𝐻01 (Ω) hai chuẩn sau đây : ‖u‖H1 (Ω) và ‖∇u‖�L2 (Ω)�2 là tương 1.3. Mở rộng bất đẳng thức Poincaré ([32]) Định lý : Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên ∂Ω khá trơn (smooth); Γ0⊂∂Ω thỏa õGo > 0 và Γ0 là mở trong ∂Ω. Với p > 1 thì tồn tại hằng số C > 0, (C chỉ phụ thuộc vào n, p, Ω, Γ0) sao cho : đặc biệt khi u∈ {v∈ 𝑊1, 𝑝 (Ω)| 𝑣 = 0 𝑡𝑟ê𝑛 Γ0 } thì ‖u‖W1−p(Ω) ≤ C ‖∇u‖[Lp(Ω)]n nhau. Do đó trên V thì chuẩn ‖u‖W1−p(Ω) và chuẩn ‖∇u‖[Lp(Ω)]n là tương đương với 5 2. Vết (traces) của H1 (Ω): Định lý ([29]). Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biến ∂Ω đủ trơn (smooth). Với m = 1 hoặc m = 2 thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục R : Wm.p (Ω) → Wm-1,q (∂Ω) �) sao cho Ru = u|∂Ω nếu u ∈ C2 (Ω trong đó : q ≤ np−p n−p nếu 1 ≤ p < n hoặc nếu 1 ≤ p < n Từ định lý trên ta suy ra rằng : tốn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục : R : H1 (Ω) = W1,2 (Ω) → L2 (∂Ω) �) sao cho Ru = u|∂Ω với mọi u ∈ C2 (Ω 3. Một định lý về điểm bất động Định lý : Cho X là một không gian Banach, M là một tập hợp đóng trong không gian X, ánh xạ f: M→ M thỏa. || f(x1) – f(x2)|| ≤ k || x1 – x2 || với mọi x1, x2 trong M ( với 0 < k < 1) Thì tồn tại duy nhất một điểm bất động của f, nghĩa là có duy nhất phần tử x0 ∈ M sao cho f(x0) = x0 6 4. Định lý ánh xạ ngược Định lý : Cho X, Y là hai không gian Banch; U là một tập hợp mở trong X với x0 ∈ M và một ánh xạ f: U→ Y thuộc lớp C1 ( có đạo hàm cấp một liên tục trên U)và giả sử rằng f’(x0) :X → Ylà khả đảo. Thì f là C1 khả đảo địa phương tại x0 ,nghĩa là tồn tại một tập hợp mở V1 trong Y với và một f(x0) ∈ V1 ánh xạ V1 → U1 thỏa ϕof (x) = x, với mọi x∈ U1 ( U1 là tập mở chứa trong U) foϕ(y) = y với mọi y∈ V1 ϕ’(y) = [f’(x) ]-1 (Với y = f(x)). 5. Công thức đổi biến số: Định lý : ([5]) Cho Ω và Ω' là hai tập mở của Rn và H: Ω’ → Ω là một song ánh thỏa : H ∈ C1 (Ω’) ; H-1 ∈ C1 (Ω) Jac H ∈ L∞ Ω’); Jac H-1 ∈ L∞ Ω); Thì ta có : i) Nếu u ∈ W1,p (Ω) thì uo H ∈ W1,p (Ω’) (1≤ p ≤ ∞) ii) (trong đó H(y) = x và j = 1, 2, …, n) 7 6. Về công thức Green: 6.1. Công thức Green : � ) thì ta có Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn, u, v ∈ C2 (Ω) ∩ C (Ω 6.2. Công thức Green mở rộng ([32]). Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn, với u ∈ H1 (Ω), v∈ H1 (Ω) thì ta có 7. Định lý Lax - Milgram 7.1 Định nghĩa : Cho H là một không gian Hilbert và a: H × H → R là một song tuyến tính i) a liên tục trên H nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |a(u, v) ≤ C|| u ||. ||v || với mọi u, v trong H. ii) a là bức nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho a(v, v) ≥ 𝛼‖𝑣‖ 2 với mọi v trong H. 7.2 Định lý Lax - Milgram ([32]). Cho a(u, v) là một song tuyến tính liên tục và bức trên không gian Hilbert H. Với ϕ ∈ H’ (ϕ là một phiến hàm tuyến tính liên tục trên H) thì tồn tại duy nhất một phần tử u ∈ H sao cho. a(u, v) = 〈ϕ, v〉 với mọi v ∈ H 8 Hơn nữa nếu a là đối xứng ( tức là a(u,v) = a(v,u) với mọi u,v trong H) thì u được xác định bởi 1 2 a (u,v) - 〈ϕ, 𝑢〉 = 8. Bổ đề Leray 𝑚𝑖𝑛 𝑣 ∈𝐻 1 � 𝑎(𝑣, 𝑣) − 〈ϕ, 𝑢〉 � 2 8.1. Bổ đề : Cho K là một tập compact trong không gian Banach E. Với mọi ε > 0 cho trước thì tồn tại một tập hợp hữu hạn {a1, a1, … an} trong K và một ánh xạ liên tục P: K → E sao cho: i) || P(x) – x|| ∈ ε với mọi x thuộc K ii) P(K) ⊂ C0 {a1, a1 ,… an} (Với là C0 {a1, a1 ,… an} là bao lồi của {a1, a1 ,… an}.) Chứng minh Đặt ε = min (1, ε). Xét họ quả cầu mở {B(x,ε’)| x ∈ K} là một phủ mở của K. Vì K là là tập compact nên tồn tại một số hữu hạn các phần tử a1, a1 ,… an trong K sao cho : Với mỗi i ∈ {1, 2, … ,n}ta đặt hàm định ϕi : E → R bởi ϕI (x) = max (0, ε’ - ||x = a1||) rõ ràng ϕi là các hàm số liên tục và thỏa ϕi (x) = 0 nếu x ∉ B(ai, ε’) 9 ϕi (x) > 0 nếu x ∈ B(ai, ε’) Từ đó ta suy ra rằng : ϕI (x), ||x – ai || ≤ ϕi (x). ε’ với mọi x ∈ E và với mọi x ∈ K Bây giờ ta đặt : P : K → E bởi : thì ta có P là liên tục trên K và P(K) ⊂ Co {a1, a2, …, an} Hơn nữa, ta còn có : nên ||Px – x|| < ε’ ≤ ε. Vậy bổ đề đã được chứng minh. 10 8.5. Hệ quả : Cho K là một tập compact trong không gian Banach E thì tồn tại một dãy các ánh xạ liên tục Pm : K → Em thỏa. i) Em ⊂ E với mọi m ii) Em là các không gian hữu hạn chiều. iii) ‖𝑃𝑚 𝑥 − 𝑥 ‖𝐸 hội tụ đều về 0, với ∀ x ∈ K. 11 Bài toán xác định miền cho một phương trình Elliptic PHẦN MỘT BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MIỀN CHO MỘT PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC I. SỰ CHỈNH HÓA Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định miền cho một phương trình elliptic được nêu ra như sau : Tìm một miền G trong R2 và một hàm u xác định trên G sao cho. ∆ 𝑢 − 𝑐 𝑢 = 0 trong miền G (Với c = c (x) ≥ 0 với mọi x ∈ G và c ∈ C1 (G)) đồng thời u thỏa điều kiện Cauchy trên phần biên cho trước (Γ) định bởi trên Γ u = f trên 𝜕𝑢 𝜕𝑛 = h trên Γ0 ( Với Γ0 ≠ ∅, Γ0 ⊂ Γ , Γ0 mở trong Γ và Γ0 cho trước). Ngoài ra u còn thỏa điều kiện Dirichlet trên phân biên γ (γ ⊂ ∂G và γ là phải tìm) : u = 0 trên γ trong đó G là một miền không đơn liên giới hạn bởi phần Γ (đã biết) và phần biên trong V (cần tìm); và các hàm f ∈ L2(Γ), u ∈ L2(Γ0) là cho trước. C.M. Elliot. [15] đã khảo cứu một bài toán xác định miền tương tự với u là hàm điều hòa trong miền G và u thỏa một điều kiện Cauchy trên phần biên γ (cần tìm), đồng thời u thỏa một, kiều kiện Dirichlet trên phần biên Γ (cho trước). Bài toán vừa nêu là thuộc loại biên tự do chính quy (regular free houndary problem) và đã được đưa phương trình biến phân để giải. Trong khi thì bài 12 Bài toán xác định miền cho một phương trình Elliptic toán được khảo cứu trong luận án này là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard, tức là bài toán không luôn luôn tồn tại nghiệm và khi toán có nghiệm thì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã biết. Trong phần này chúng tôi đưa ra phương pháp xây dựng lời giải xấp xỉ ổn định cho bài toán. Chúng tôi sẽ xét miền G như là ảnh của một miền Ω cố định (cho trước) qua một phép biến đổi Ψ sao cho Γ ⊂ ∂Ω và các điểm của Γ bất biến qua biến đổi (nghĩa là Ψ(x) = x với mọi x∈ Γ). Ngoài ra chúng tôi còn sử Γ, γ là các đường cong "Star - Shaped đối với một điểm O trong R2 (Γ là "Star -Shaped" đối với O khi mọi tia kẻ từ O chỉ cắt Γ duy nhất tại một điểm). Bài toán xác định miền nói trên được đưa về bài toán xác định hệ số của một phương trình biến phân elliptic và sau đó được (lần tới bài toán tìm cực trị của một phiếm hàm liên tục trên một tập compact K của một không gian hàm thích hợp. Một cực trị của phiếm hàm nói trên không nhất thiết phải là nghiệm của bài toán. Tuy nhiên nêu bài toán có nghiệm thuộc về tập K thì nghiệm ấy phải là một cực trị của phiếm hàm đã nêu. Kế tiếp chúng tôi xấp xỉ bài toán cực trị ấy bởi bài toán cực trị hữu hạn chiều. Sau đó là chứng minh sự ổn định của lời giải: Giả sử dữ kiện cho trước f, h là khá gần với dữ kiện chính xác f0, h0 (ứng với f0, h0 bài toán có lời gải trong tập compact K). Cực tiểu của phiếm hàm đã nêu (tùy thuộc vào f, h) sẽ là lời giải xấp xỉ. Lời giải xấp xỉ này là ổn định theo nghĩa tập lời giải (xem định lý 3) theo các thay đổi về f và h và do đó cho ta sự chỉnh hóa của bài toán. Sau đó chúng tôi chứng minh sự duy nhất của cặp nghiệm (G, u) của bài toán. Với miền G không đơn liên giới hạn bởi hai đường cong Γ và γ và đều là "Star � ) thì chúng tôi chứng Shaped" đối với một điểm O trong R2 và hàm u ∈ C2(G) ∩ C(G minh được sự duy nhất của cặp lời giải bao gồm một miền G và một hàm u xác định trên G và thỏa các yêu cầu của bài toán. Công cụ chính được sử dụng ở 13 Bài toán xác định miền cho một phương trình Elliptic đây là công thức Green và tính duy nhất nghiệm của phương trình elliptic bậc hai trên một miền cho trước. Bài toán nêu trên có một số áp dụng đáng chú ý như sau : Thứ nhất là xem bài toán tìm cặp (G,u) trong đó u là phân bố nhiệt trong một miền giới hạn bởi phân biên ngoài Γ (đã biết) và trên Γ ta biết trước sự phân bố nhiệt 𝑢|Γ và biến đổi nhiệt, ∂u�∂n� 𝛤 (heat flux); còn phần biên trong γ (cần tìm) sao cho phân bố nhiệt trên đó được chỉ định (𝑢|γ = 0). Áp dụng thứ hai là xác định hình dáng của bình chứa nếu biết trước hình dàn của "plasma"; đây là bài toán ngược của bài toán xác định hình dáng của "plasma" nếu biết trước hình dáng của bình chứa ([12], [14]). Một áp dụng thứ ba của bài toán là xác định hình dáng của vết nứt trong môi trường đàn hồi (elasticity) bằng phương pháp diện thế (electric potential method) ([25]). 1. Vị trí bài toán 1.1. Giới thiệu bài toán : Cho G là một miền bị chặn trong R2 là ∂G và một phần biên Γ ⊂∂G cho trước. Chúng ta xét phương trình elliptic trong miền G xác định như sau : (1.1) ∆u = 0trong G (Với c = c(x) ≥, ∀x ∈ G) u thỏa điều kiện Cauchy trên phần biên Γ0 (Với Γ0 ≠ ∅ và Γ0 là mở trong Γ ), và thỏa một, điều kiện Dirichlet. Trên Γ \ Γ0 (1.2) u = f trên Γ 14 Bài toán xác định miền cho một phương trình Elliptic 𝜕𝑢 (1.3) trong đó 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝜕𝑛 = h trên Γ là đạo hàm của u theo hướng pháp tuyến ngoài trên Γ0). Giả sử thêm rằng u thỏa một điều kiện Dirichlet trên ∂G\ Γ như sau : (1.4) u = 0 trên ∂G\ Γ Bài toán được đặt ra như sau đây : Cho trước Γ và Γ0 , cho trước các hàm f và h lần lượt trong L2(Γ) và L2(Γ0), chúng ta muốn tìm miền G thỏa Γ ⊂ ∂ G và tìm một hàm u xác định trên G thỏa đồng thời các điều kiện (1.1), (1.2), (1.3) và (1.4) nêu trên. Chúng ta sẽ xem miền G như là ảnh của một miền Ω cố định qua một phép biến đổi Ψ nào đó. Giả sử rằng Ω là một miền bị chặn và cố định trong R2 sao cho Γ ⊂ ∂ G. Một cách tự nhiên, chúng ta xét các miền G có dạng như sau : (1.5) G = Ψ(Ω) � và thỏa : trong đó Ψ là một phép biến đổi xác định trên một miền bị chặn C chứa Ω i) Ψ : O → Ψ(O ) là một song ánh ii) Ψ thuộc lớp C1(O ) iii) Ψ duy trì các điểm của Γ theo nghĩa Ψ(x,y) = (x,y), ∀(x,y) ∈ Γ Thì G xác định như trên sẽ là một miền bị chặn trong R2 và thỏa Γ ⊂∂G. 15 Bài toán xác định miền cho một phương trình Elliptic 1.2. Một ví dụ : Xét miền G giới hạn bởi hai dường cong γ, Γ thuộc lớp C1 và là "Star - Shaped" đối với một điểm O. Giả sử γ nằm ở phía bên trong Γ và Γ0 là phần biên cho trước của ∂G (xem hình vẽ). Cho Ω là một miền cố định giới hạn bởi Γ và một đường cong "Star -Shaped" γ0 thuộc lớp C1 (ta có thể chọn γ0 là đường tròn tâm O chứa ở phía trong của Γ ) Ta có miền G nói trên là thỏa (1.5). Thật vậy, chúng ta biểu diễn Γ, γ, γ0 bằng tọa độ cực (tại 0) như sau: Γ = { θ, R(θ)) : θ ∈ [0, 2π]} γ = { θ, r(θ)) : θ ∈ [0, 2π]} γ0 = { θ, ro (θ)) : θ ∈ [0, 2π]} trong đó R, r và r0 là các hàm thuộc lớp C1 (R) và tuần hoàn với chu kỳ 2 π. Ta có : G = {θ , ρ) : 0 ≤ θ ≤ 2π. r(θ) < ρ < R(θ)} Ω = {θ , ρ) : 0 ≤ θ ≤ 2π. r0 (θ) < ρ < R(θ)} và hàm Ψ xác định bởi : 16