Tài liệu Bài toán chuyển động một chiều trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Phạm Ngọc Thƣ SƠN LA, NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin cảm ơn Ths. Phạm Ngọc Thư đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình tham gia học tập và thực hiện khóa luận. Em xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Lý – Tin, các thầy cô trong Bộ môn Vật lý, khoa Toán - Lý - Tin, trung tâm Thông Tin - Thư viện, trường Đại học Tây Bắc đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong khóa học 2014 - 2018. Sau cùng em xin kính chúc quý thầy cô luôn mạnh khỏe và thành công trong sự nghiệp giáo dục. Sơn La, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Lan Hƣơng MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, ra đời trong quá trình nghiên cứu thế giới vi mô. Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton (còn gọi là cơ học cổ điển), là cơ sở của nhiều chuyên ngành vật lý và hóa học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt. Việc nghiên cứu các vấn đề đặt ra trong cơ học lượng tử dựa vào hai phương pháp chính: Phương pháp Schrodinger và phương pháp Heisenberg. Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử - cơ học sóng. Về cơ bản, từ phương trình này ta có thể giải thích được hầu hết các hiện tượng lượng tử xảy ra trong phạm vi tương đối tính. Những dấu hiệu thành công mang đến sự giải thích hài hòa giữa lý thuyết và thực nghiệm liên quan đến hàng loạt những bài toán về hạt chuyển động trong từ trường và điện trường ngoài, hiện tượng phát xạ lạnh của kim loại, hiệu ứng đường ngầm và một số hiệu ứng quan trọng khác. Với vị trí quan trọng đó của phương trình Schrodinger, em chọn đề tài “Bài toán chuyển động một chiều trong cơ học lượng tử I” để xem xét các ứng dụng của phương trình này trên cơ sở giải thích một số hiện tượng lượng tử quan trọng và một số bài toán tiêu biểu. 2. Mục đích của khóa luận: - Hệ thống lại lý thuyết về phương trình Schrodinger. - Đưa ra cách giải một số bài toán điển hình và giải thích các hiện tượng quan trọng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nhằm xây dựng và phân loại bài tập đối với chuyển động một chiều của hạt vi mô. 4. Đối tƣợng nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu về các dạng bài tập liên quan đến chuyển động một chiều của hạt vi mô. 5. Phạm vi nghiên cứu: Tập trung phân loại và hướng dẫn bài tập trong chương “Nghiệm phương trình Schrodinger một chiều”. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu: Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết kết hợp với giải bài tập. 1 7. Cấu trúc luận văn: - Mở đầu. - Chương I: Tổng quan về phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều. - Chương II: Tổng quan về chuyển động một chiều. - Chương III: Phân loại và hướng dẫn giải bài tập. - Kết luận. 2 CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU. 1.1. Phƣơng trình Schrodinger [1] Ta đã biết sóng phẳng của de Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do. Để mô tả chuyển động của hạt trong các trường lực, cần tìm hàm sóng mô tả chuyển động của hạt trong trường đã cho. Hàm sóng phải xác định được hoàn toàn trạng thái của hệ vật lý. Điều đó có nghĩa là, việc cho hàm sóng tại một thời điểm nào đó không những mô tả được tính chất của hệ, mà còn xác định được trạng thái của hệ ở những thời điểm sau. Yêu cầu này biểu diễn những nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử. Trong trường hợp đặc biệt khi không có trường, nghiệm của phương trình là hàm sóng phải mô tả chuyển động của hạt tự do. Do đó phương trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng de Broglie cũng như chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó. Về mặt toán học, những sự kiện nêu trên đòi hỏi giá trị của đạo hàm  của hàm sóng theo thới t gian tại thời điểm đã cho phải được xác định bằng giá trị của chính hàm sóng  tại cùng thời điểm. Thêm vào đó theo nguyên lí chồng chất, phương trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải là tuyến tính. Ta viết được:  ( x, t ) ˆ  L( x, t ) ( x, t ) t (1.1) Trong đó L̂ là một toán tử tuyến tính. Để tìm dạng của L̂ , ta xét trường hợp hạt chuyển động tự do. Khi đó  chính là hàm sóng phẳng de Broglie.  i  ( Et  px x  p y y  pz z )     ( x, y, z, t )  N exp  trong đó E  px 2  p y 2  pz 2 2m , N là một hằng số chuẩn hóa. Phép tính trực tiếp cho ta:  i   2 t 2m (1.2) Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng:  1  Ĥ t i 3 (1.3) Trong đó Ĥ là Hamiltonian cho chuyển động tự do của hạt: Hˆ  Tˆ   2 2m 2   2 2m  (1.4) Từ đó suy ra rằng, đối với chuyển động tự do của hạt: 1 Lˆ  Hˆ i (1.5) Trong cơ học lượng tử, người ta tổng quát hóa kết quả riêng biệt này sang các trường hợp khác, coi như một tiên đề, nghĩa là toán tử L̂ luôn luôn bằng: 1 Lˆ  Hˆ i (1.6) Trong đó Ĥ là Hamiltonian. Hàm sóng  bây giờ được viết lại: i   Hˆ  t (1.7) Đây là phương trình Schrodinger dạng tổng quát nhất. Nó là một trong những tiên đề của cơ học lượng tử. Sự đúng đắn của nó đã được thực nghiệm xác nhận. Đặc điểm quan trọng nhất của phương trình Schrodinger thể hiện ở chỗ, nó là phương trình cấp 1 của thời gian và có chứa đơn vị ảo ở trước đạo hàm. Do đó hàm sóng phải là phức và phương trình phải có nghiệm tuần hoàn. Tất nhiên có thể chọn hàm sóng biểu diễn bởi hàm thực làm hàm sóng cho một hạt tự do. Tuy nhiên khi đó, ta không thể xây dựng được phương trình bậc nhất theo thời gian, mà nghiệm của nó là một chồng chất tùy ý của các trạng thái như vậy. Sự kiện phương trình Schrodinger chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian  có liên quan t mật thiết đến nguyên lí của cơ học lượng tử. Thực vậy, nếu phương tình Schrodinger chứa  2 thì để xác định  tại thời điểm t nào đó, nếu chỉ biết hàm tại thời điểm ban t 2 đầu là chưa đủ, mà cần phải biết hàm  và cả  tại thời điểm ban đầu. t Biểu thức của Ĥ khi xét chuyển động của một hạt chuyển động tự do có dạng: 2 1 Hˆ  ( pˆ x 2  pˆ y 2  pˆ z 2 )    2m 2m 4 (1.8) Đối với hệ hạt không tương tác, Ĥ của hệ bằng tổng các Hamiltonian của các hạt thành phần: Hˆ  a 2 m 2 a (1.9) a Ở đây chỉ số a đánh số các hạt,  a là toán tử Laplace, trong đó việc lấy vi phân được thực hiện cho hạt thứ a . Đới với hệ hạt có tương tác với nhau: Hˆ  a 2 m 2 a  U (r1 , r2 ,...) (1.10) a Số hạng thứ nhất là toán tử động năng, còn số hạng thứ hai là toán tử thế năng. Đặc biệt đối với hạt nằm trong trường ngoài: 2 pˆ 2 Hˆ   U (r1 , r2 ,...)     U ( x, y , z ) 2 2m (1.11) Thay các biểu thức vừa nêu của Ĥ được phương trình sóng cho các hệ tương ứng. cụ thể xét trường hợp hạt nằm trong trường ngoài không đổi, phương trình sóng của nó có dạng: i 2     U ( x, y, z ) t 2m (1.12) 1.2. Một số tính chất tổng quát của phƣơng trình Schrodinger [1] Các điều kiện mà nghiệm của phương trình Schrodinger phải thỏa mãn có một đặc tính hết sức tổng quát. +) Trước hết hàm sóng  phải liên tục và đơn trị trong toàn không gian. Ngay cả khi bản thân trường U ( x, y, z) có mặt gián đoạn, hàm  vẫn phải liên tục. Trên mặt gián đoạn, không những hàm  , mà cả các đạo hàm của  cũng phải liên tục. Tuy nhiên, nếu sau mặt nào đó, thế năng U bằng vô cùng, thì tính liên tục của các đại lượng này không xảy ra. Hạt không thể thâm nhập vào một miền không gian, tại đó U   nghĩa là trong miền này, hàm sóng phải bằng không tại mọi điểm. Để cho hàm  liên tục, thì trên biên của miền này   0 , trong trường hợp này các đạo hàm của  nói chung có bước nhảy. +) Nếu trường U ( x, y, z) không bằng vô cùng, thì hàm sóng cũng phải hữu hạn trong toàn miền không gian. 5 Giả sử U min là giá trị cực tiểu của hàm U ( x, y, z) . Vì Hamiltonian của tổng của toán tử động năng Tˆ và thế năng , nên giá trị trung bình của năng lượng trong một trạng thái tùy ý bằng E  T  U . Nhưng tất cả các trị riêng của toán tử năng lượng Tˆ (trùng với Hamiltonian của hạt tự do) đều dương, do đó tất cả các trị trung bình T  0 . Hiển nhiên ta có U  U min , do đó E  U min . Vì bất đẳng thức này đúng với mọi trạng thái bất kỳ, nên rõ ràng nó đúng với mọi trị riêng của năng lượng. E  U min (1.13) Bây giờ ta xét một hạt chuyển động trong trường có U ( x, y, z) bằng không tại vô cực. Dễ dàng nhận thấy, phổ các trị riêng âm của các năng lượng khi đó sẽ gián đoạn, nghĩa là tất cả các trạng thái với đều là các trạng thái liên kết ở trong một trường bằng không tại vô cực. Thực vậy trong các trạng thái dừng có phổ liên tục, tương ứng với chuyển động vô hạn, hạt nằm tại vô cực. Nhưng tại những khoảng cách đủ lớn có thể bỏ qua sự có mặt của trường, thì chuyển động của hạt có thể coi như tự do, mà trong chuyển động tự do thì năng lượng của hạt chỉ có thể dương. Ngược lại các trị riêng dương lập thành một phố liên tục và tương ứng với chuyển động vô hạn, với E  0 phương trình Schrodinger (trong trường lực đang xét) nói chung không có 2 nghiệm để cho tích phân   dV hội tụ. Chú ý rằng, trong cơ học lượng tử, khi chuyển động là hữu hạn, hạt có thể ở cả trong những miền không gian, tại đó E  U , xác suất tìm thấy hạt mặc dù tiến nhanh đến 0 khi đi sâu vào một miền như thế, nhưng tại tất cả những khoảng cách hữu hạn, xác suất đó vẫn khác 0. Về mặt này có một sự khác biệt căn bản so với cơ học cổ điển, tại đây hạt không thể nào thâm nhập vào một miền E  U . Lí do là vì, E  U thì động năng của hạt sẽ âm, vận tốc của hạt sẽ là ảo. trong cơ học lượng tử, các trị riêng của động năng cũng dương, tuy nhiên ở đây chúng ta không gặp mâu thuẫn, vì nếu quá trình đo hạt định xứ tại một điểm xác định nào đó của không gian, thì do kết quả của quá trình đo này, trạng thái của hạt sẽ bị phá hủy sao cho hạt không còn động năng xác định. +) Nếu trong toàn không gian U ( x, y, z)  0 (và tại vô cực U  0 ), thì do bất dẳng thức (1.9), ta có En  0 . Mặt khác vì En  0 phổ năng lượng phải liên tục, nên có thể kết luận rằng trong trường hợp đang xét hoàn toàn không có phổ gián đoạn, nghĩa là hạt chỉ có thể chuyển động vô hạn. 6 +) Tiếp theo chúng ta có nhận xét: nếu hệ không nằm trong từ trường, thì phương trình Schrodinger cho các hàm sóng  của các trạng thái dừng, cũng như các điều kiện đặt cho các nghiệm của nó, đều là thực. Do đó bao giờ cũng có thể cho các nghiệm đó là thực. Đối với các hàm riêng của các giá trị năng lượng không suy biến, thì chúng tự động là thực với độ chính xác đến một nhân số pha không quan trọng. Thực vậy  * thỏa mãn cùng phương trình như  , do đó nó cũng là hàm riêng với cùng giá trị năng lượng, vì thế giá trị này là không suy biến, thì  và  * về thực chất phải như nhau, nghĩa là có thể chỉ khác nhau ở thừa số nhân không đổi (có mô đun bằng đơn vị). Các hàm sóng tương ứng với cùng một mức năng lượng không suy biến không nhất thiết phải là thực, nhưng bằng cách chọn thích hợp các tổ hợp tuyến tính của chúng, bao giờ cũng có thể thu được một bộ các hàm thực. +) Còn hàm sóng toàn phần  ( x, t ) được xác định bởi phương trình, có đơn vị ảo i trong hệ số. Tuy nhiên phương trình này vẫn giữ nguyên dạng của nó, nếu trong đó đồng thời với việc đổi t thành t ta thay hàm  ( x, t ) bằng liên hợp phức của nó  * ( x, t ) , chỉ khác dấu đứng trước t . Như đã biết các phương trình của cơ học cổ điển không thay đổi khi đảo chiều thời gian, nghĩa là chỉ đổi dấu của t . Trong cơ học lượng tử, sự đối xứng đối với hai chiều thời gian thể hiện ở chỗ phương trình sóng không thay đổi khi t  t , đồng thời thay hàm sóng  ( x, t ) bằng liên hợp của nó. Tuy nhiên cần nhớ rằng, tính đối xứng ở đây chỉ được xét cho phương trình thôi, nhưng không được xét cho bản thân khái niệm phép đo. +) Sau cùng, xuất phát từ phương trình Schrodinger, ta có thể suy ra được tính trực giao của các hàm sóng trạng thái với năng lượng khác nhau. Thực vậy, giả sử  m và  n là hai hàm như thế. Chúng thỏa mãn các phương trình:   2 2m 2 2m  m  U m  Em m (1.14)  n*  U n*  En n (1.15) Nhân phương trình thứ nhất với  n* , phương trình thứ hai với  m rồi trừ vế với vế, ta được: 7 ( Em  En ) m n  2 * ( m  n  n  m )  * 2m 2 * 2m div( m  n*  n* m ) (1.16) Nếu lấy tích phân hai vế của phương trình theo toàn không gian rồi dùng định lý Gauss, vế phải sẽ bằng 0. Cuối cùng ta được: ( Em  En )  m n* dV  0 (1.17) Theo giả thiết Em  En , ta tìm lại được hệ thức trực giao cho các hàm  m và  n :   n* dV  0 m 8 (1.18) KẾT LUẬN CHƢƠNG I: Việc xây dựng nên phương trình Schrodinger và tìm ra những tính chất cơ bản của nó đã giúp cho việc giải thích được hầu hết các hiện tượng lượng tử xảy ra trong phạm vi tương đối tính và liên quan đến hàng loạt những bài toán về chuyển động của hạt, điển hình trong số đó là bài toán chuyển động một chiều. Ta cùng đi vào chương II để tìm hiểu sâu hơn về các tính chất chung và các đại lượng đặc trưng cơ bản của hệ lượng tử trong chuyển động một chiều. 9 CHƢƠNG II CÁC TÍNH CHẤT CHUNG VÀ CÁC ĐẠI LƢỢNG ĐẶC TRƢNG CƠ BẢN CỦA HỆ LƢỢNG TỬ TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU. 2.1. Các tính chất chung của chuyển động một chiều [1] 2.1.1. Các tính chất chung của chuyển động một chiều: Phương trình Schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng: Hˆ  ( x)  E ( x) với Hˆ   2 d2  U ( x) 2m dx 2 (2.1) Viết dưới dạng phương trình vi phân, ta được: d 2 ( x) 2m  2  E  U ( x) ( x)  0 dx 2 (2.2) Trong đó U ( x) là thế năng không phụ thuộc thời gian. Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng cách giải phương trình (2.2) có dạng phụ thuộc vào thế năng U ( x) . Khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như Hình 1: Hình 1. Dạng của thế năng U ( x) trong trường hợp tổng quát [1]. (1). Trạng thái liên kết: Khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển động của hạt bị giới hạn về cả hai phía. Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng (và đạo hàm theo tọa độ của nó) tại các điểm biên trong khi giải phương trình Schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn. 10 (2). Trạng thái không liên kết: Khi chuyển động của các hạt bị giới hạn, ta nói trạng thái của hạt không liên kết (chuyển động tự do). Trên sơ đồ thế năng, có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt. a. Trường hợp hạt có năng lượng trong khoảng U1  E  U 2 : chuyển động của hạt là vô hạn về phía x   . Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục x . b. Trường hợp E  U 2 : hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía ( x   ) phổ năng lượng là liên tục và suy biến bậc hai. Điều này ứng với một giá trị năng lượng của phương trình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm. (3). Trường hợp thế năng đối xứng: Trong trường hợp thế năng là một hàm chẵn với tọa độ thì Hamiltonian cũng là một hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và nghiệm của phương trình Schrodnger (2.2) được phân thành hai lớp: lớp nghiệm chẵn ( ( x)   ( x)) và lớp nghiệm lẻ ( ( x)   ( x)) . 2.1.2. Chuyển động của hạt tự do: Ta xét một hạt chuyển động tự do theo trục x . Vì thế năng U ( x)  0 nên phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng của hạt có dạng: d 2 ( x) 2mE  2  ( x)  0 dx 2 Đặt k 2  2mE 2 (2.3) thì nghiệm của phương trình (2.3) là:  k ( x)  Aeikx  Beikx (2.4) Số hạng thứ nhất Aeikx mô tả chuyển động theo trục x (sóng tới), số hạng thứ hai Beikx mô tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ). Biểu thức (2.4) có thể viết gọn lại như sau:  k ( x)  Aeikx (2.5) Trong đó x  0 ứng với chuyển động theo chiều dương, x  0 ứng với chuyển động theo chiều âm. Do hạt chuyển động tự do nên nghiệm (2.5) thỏa mãn các điều kiện liên tục và hữu hạn trong toàn bộ không gian với năng lượng E có giá trị bất kì. Biểu thức của năng lượng là: 11 2 k2 Ek  2m (2.6) Mà pk  k nên biểu thức của năng lượng có thể viết dưới dạng: Ep  p2 2m (2.7) Phổ trị riêng là năng lượng liên tục, có giá trị xác định trong khoảng từ 0 đến  , trong đó p  px  k là xung lượng của hạt tự do, k  k x là thành phần của vectơ sóng trên trục x . Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thái dừng có dạng:  k ( x, t )  Ae i ( kx  2 2 k )t 2m (2.8) Thay E bởi giá trị đã có theo (2.6). Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát và có dạng:  ( x, t )      i ( kx t )  ck k ( x, t )dk  A  ck e dk (2.9) Với A  1 2 dựa vào điều kiện trực chuẩn của hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng (2.5) diễn tả bó sóng, là tổ hợp tuyến tính của sóng phẳng dạng (2.8) với các giá trị k khác nhau. Hệ số ck chính là biên độ của bó sóng và được xác định từ điều kiện ban đầu.   ( x, 0)  A  ck eikx dk (2.10)  Từ đó: ck  1 2    ( x, 0)e ikx dx  2.2. Các đại lƣợng đặc trƣng cơ bản của hệ lƣợng tử trong chuyển động một chiều [1] 2.2.1. Mật độ dòng xác suất. Sự bảo toàn số hạt: 12 (2.11) Hàm sóng mô tả chuyển động của các hạt nói chung thay đổi trong không gian và theo thời gian. Tuy nhiên, sự thay đổi đó không phải là tùy ý. Sử dụng phương trình Schrodinger, ta có thể tìm ra một số định luật bảo toàn. Xét tích phân   dV là biểu thức cho ta xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V 2 . Lấy đạo hàm tích phân trên theo thời gian, ta có:   *  * *  dV  (    )dV  (2 *  *2 )dV  t t  t 2mi  Trong đó (2.12)  *  và được lấy từ phương trình Schrodinger (1.3) và phương t t trình liên hợp của nó. Ta được phương trình sóng cuối cùng:   * dV  div( *   * )dV   t 2mi (2.13) Dùng định lý O – G, ta có:  2  dV   t V 2mi  ( *   * )dS (2.14) S Trong đó, mặt S bao quanh thể tích V . Chúng ta đưa vào vectơ j xác định bởi biểu thức: j 2mi ( *   * ) (2.15) Khi đó viết lại (2.14):  2  dV   jdS  t V S (2.16) Vì thể tích V là bất kì nên công thức (3.5) có thể viết lại dưới dạng vi phân. Ta thu được phương trình liên tục:  t 2  divj  0 (2.17) Trong đó  là mật độ xác suất, còn j được hiểu là vectơ mật độ dòng xác 2 suất. Ý nghĩa vật lý của j là thông lượng trung bình của các hạt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian. Tích phân ở vế phải của (2.14) là độ giảm xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bao bởi S trong một đơn vị thời gian. Biểu thức 13 (2.16) có thể coi như biểu thức của định luât bảo toàn số hạt. Nếu mở rộng tích phân ra toàn không gian (V  ) ta thu được: d  * dV  0  dt (2.18) Và đi tới kết luận: Xác suất toàn phần để tìm thấy một hạt tại nơi nào đó trong không gian là không phụ thuộc thời gian, số hạt là không đổi. Phương trình (2.18) cũng khẳng định rằng sự chuẩn hóa các hàm sóng không thay đổi theo thời gian. 2.2.2. Trạng thái dừng: Đối với một hệ kín hay khi không có những trường ngoài biến thiên, Hamiltonian Ĥ sẽ không phụ thuộc thời gian và trùng với toán tử năng lượng Hˆ ( x) . Khi đó phương trình Schrodinger (1.3) có dạng: i  ( x, t )  Hˆ ( x) ( x, t ) t (2.19) Nghiệm của phương trình trên có thể thu được bằng cách phân ly biến x và biến t  ( x, t )   ( x) (t ) (2.20) Thay (2.20) vào (2.19) ta được:  ( x)  (t )  Hˆ ( x) ( x) (t ) t Hay: i  (t ) t  Hˆ ( x) ( x)  E  const  (t )  ( x) (2.21)  (t )  E (t ) t (2.22) Từ (2.21) viết được: i Hˆ ( x) ( x)  E ( x) (2.23) Nghiệm của (2.22) có dạng:  (t )  e E i t 14 .const (2.24) Từ (2.23) ta nhận thấy phương trình này trùng với phương trình của các hàm riêng của toán tử năng lượng Hˆ ( x) . Gọi  n , En là các hàm riêng và trị riêng (ta xét phổ gián đoạn), ta viết được nghiệm cuối cùng có dạng:  n ( x, t )   n ( x)e i En t (2.25) Từ đó suy ra rằng, các trạng thái đặc trưng bởi một năng lượng xác định thay đổi theo thời gian theo quy luật điều hòa với tần số bằng: n  En (2.26) Kết quả trên đã mở rộng hệ thức de Broglie En  n , thoạt đầu áp dụng cho một chuyển động tự do, sang các hệ thức tùy ý. Các trạng thái như trên được gọi là các trạng thái dừng và phương trình (2.23) được gọi là phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng. do phương trình là tuyến tính, nghiệm tổng quát  n ( x, t ) có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất các trạng thái dừng có biên độ tùy ý nhưng không đổi:  n ( x, t )   cn n ( x)e i En t (2.27) Vì hệ là hàm trực giao nên dễ dàng tính được: cn   ( x, 0) n* ( x)dx Thay nghiệm  n ( x, t )   n ( x)e  ( x)  i En 2m 2 t (2.28) vào (2.19) và chú ý đến (2.23), ta thu được:  E  U ( x) ( x)  0 (2.29) Đó là phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng được mở rộng sang cho trường hợp hạt chuyển động trong một trường thế ngoài không phụ thuộc vào t . Phương trình (2.23) xác định trị riêng năng lượng của hệ ở trạng thái dừng. Trạng thái dừng với năng lượng nhỏ nhất trong tất cả các giá trị năng lượng được gọi là trạng thái cơ bản. Bây giờ ta tính xác suất tìm thấy hạt n ( x, t ) và mật độ dòng xác suất jn ( x, t ) cho trạng thái dừng thứ n , ta có: n ( x, t )   n ( x, t )   n* ( x, t ) n ( x, t ) 2 15 jn ( x, t )  i  n ( x, t ) n* ( x, t )  n* ( x, t ) n ( x, t )  2m Thay vào biểu thức của  n ( x, t ) ,ta được: n ( x, t )  n ( x,0) (2.30) jn ( x, t )  jn ( x,0) (2.31) Điều đó chứng tỏ, trong các trạng thái dừng, xác suất tìm thấy hạt cũng như mật độ dòng xác suất không phụ thuộc vào thời gian. Cũng từ những nhận định trên, trong các trạng thái dừng mật độ điện tích trung bình và mật độ dòng điện trung bình không phụ thuộc thời gian.Ta cũng có thể chứng minh dễ dàng rằng trong các trạng thái dừng, xác suất để tìm thấy giá trị nào đó của mọi đại lượng cơ học (không phụ thuộc rõ vào t ) đều độc lập với thời gian và giá trị trung bình của nó cũng không thay đổi. Ta xem mối quan hệ giữa phổ trị riêng của năng lượng trong trạng thái dừng với đặc tính chuyển động của hệ. Phổ trị riêng của năng lượng có thể gián đoạn hoặc liên tục. Trong trạng thái dừng của phổ gián đoạn bao giờ cũng ứng với chuyển động hữu hạn của hệ, nghĩa là chuyển động trong đó hệ hay một phần nào đó của hệ không đi ra xa vô cực. Thực vậy, đối với các hàm riêng của phổ gián đoạn, tích phân   dV lấy 2 trong toàn không gian là hữu hạn. Trong mọi trường hợp, điều đó có nghĩa mọi bình phương  2 giảm đủ nhanh và bằng không tại vô cực. Nói một cách khác, xác suất của các giá trị tọa độ vô cùng đều bằng không, nghĩa là hệ thực hiện một chuyển động hữu hạn, hay hệ ở trong trạng thái liên kết. Đối với hàm sóng có phổ liên tục, tích phân  2 dV phân kỳ. Bình phương môđun hàm sóng  ở đây không xác định trực tiếp xác suất của các giá trị tọa độ 2 khác nhau và chỉ được coi như một đại lượng tỉ lệ với xác suất đó. Tích phân   dV 2 bao giờ cũng phân kì, đó là do  định rằng, tích phân  2 2 tại vô cực không bằng không. Do đó có thể khẳng dV lấy trên miền không gian ở bên ngoài với một mặt kín hữu hạn, nhưng lớn tùy ý, vẫn sẽ phân kì. Điều đó có nghĩa là, trong trạng thái đang xét (hay một phần nào đó của hệ) nằm tại vô cực. 16