Tài liệu Bài tập về đẳng thức cô si ôn thi học sinh giỏ toán 9

BAØI TAÄP VEÀ ÑAÚNG THÖÙC COÂ-SI Baøi 1: Cho x > 0 ; y > 0 vaø x  y  2a (a > 0). 1 1  x y Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A = Baøi 2: Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc A = x  5  23  x Baøi 3: Cho x  y  15 , tìm giaù trò nhoû nhaát, giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc: B = x4  y 3 2x 2  6x  5 trong ñoù x > 0. 2x Baøi 4: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A = Baøi 5: Cho a, b, x laø nhöõng soá döông. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: P  x  a  x  b  x Baøi 6: Cho x  0 , tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc Q = x6 Baøi 7: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc M = x 2  2 x  17 2 x  1 x  34 x 3 x 3  2000 Baøi 8: Cho x > 0, tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc N = x Baøi 9: Cho x > 0 ; y > 0 vaø x y 6. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: P  5x  3 y  12 16  x y Baøi 10: Cho x > y vaø xy = 5, tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc Q x 2  1,2 xy  y 2 x y 25 Baøi 11: Cho x > 1, tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc A = 4 x  x  1 3 4 Baøi 12: Cho 0  x  1 , tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc B = 1  x  x Baøi 13: Cho x, y, z  0 thoûa maõn ñieàu kieän x  y  z  a a) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc A = xy  yz  zx 2 2 2 b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc B = x  y  z Baøi 14: Cho x, y, z laø caùc soá döông thoûa maõn ñieàu kieän x  y  z  12 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc P = x y  y z  z x Baøi 15: Cho x, y, z laø caùc soá döông thoûa maõn ñieàu kieän x  y  z  a Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc Q = a  a  a  1  1  1     x  y  z  Baøi 16: Cho a, b, c laø caùc soá döông thoaû maõn ñieàu kieän a  b  c  1 1  a 1  b 1  c  Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A = 1  a 1  b 1  c  Baøi 17: Cho x, y thoûa maõn ñieàu kieän x  y  1 vaø x > 0. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc: 2 3 B= x y x  y 2a xy    a  xy  a 2 Baøi 1: 2 a x  y 2a a A = xy  a 2  2 (daáu “=” xaûy ra Giaûi  x = y = a) 1 a Vaäy min A = 2 (khi vaø chæ khi x = y = a) Baøi 2: ÑKXÑ: 5  x  23 max A2 = 36  max A = 6 (khi vaø chæ khi x = 14) Baøi 3: ÑKXÑ: x  4 ; y  3 B  8  min B = 8 (khi vaø chæ khi x = 4; y = 11 hoaëc x = 12; y = 3) max B2 = 16  max B = 4 (khi vaø chæ khi x = 8; y = 7) Baøi 4: A= x 5 5 5 3 2 x  3  10  3 2x 2x (daáu “=” xaûy ra  x  2 x  x Vaäy min A = Baøi 5: x P= x ab Vaäy min P = Baøi 6: Q= x 1 8  2 x 1 1 (khi vaø chæ khi x  2 10 ) 10  3 ab ab   a  b  2 x    a  b  x x )  a b  x  1 2  16  2 x  1 1 10 ) 2  2 (khi vaø chæ khi  a x ab b  2 (daáu “=” xaûy ra  ) x 1 8 x 1 8  2  4 2 x 1 2 x 1 (daáu “=” xaûy ra   x = 3) Vaäy min Q = 4 (khi vaø chæ khi x = 3) Baøi 7: ÑKXÑ: x  0  M=  2 x  3  25 x 3  x 3 25 x 3  2 25  10 25 (daáu “=” xaûy ra  x  3  x  3  x  4 ) Vaäy min M = 10 (khi vaø chæ khi x = 4) 2000 1000 1000 1000 1000  x2    3 3 x2   = 3 . 100 = 300 x x x x x 1000 2 (daáu “=” xaûy ra  x  x  x = 10) Baøi 8: 2 N= x  Vaäy min N = 300 (khi vaø chæ khi x = 10) 12   16  12 16  P = 2 x  y    3 x  x    y  y   12  2 3 x  x  2 y  y       Baøi 9: = 12 + 12 + 8 = 32 (daáu “=” xaûy ra 16 12 vaø y  y ) x x  2 vaø y  4 )  3x   Vaäy min P = 32 (khi vaø chæ khi x  2 ; y  4 )  x  y  2  3,2 xy   x  y   16  2 16  8 Baøi 10: Q= x y x y (daáu “=” xaûy ra  x y  16  x  y  4, x y keát hôïp ñieàu kieän xy  5 ta ñöôïc x = 5 ; y = 1 vaø x = -1 ; y = -5) Vaäy min Q = 8 (khi vaø chæ khi x = 5 ; y = 1 hoaëc x = -1 ; y = -5) Baøi 11: 25 25 A = 4 x  1  x  1  4  2 4 x  1 x  1  4  2.10  4  24 2 25 7 (daáu “=” xaûy ra  4 x  1  x  1  x  2 ) 7 Vaäy min A = 24 (khi vaø chæ khi x  2 ) Baøi 12: 3x 41  x  3 x 41  x   7 2  7  74 3  2 1 x x 1 x x  B= (daáu “=” xaûy ra    3x 4 1  x   x 1 x x 2 Vaäy min B = 2  3 (khi vaø chæ khi x  Chuù yù: Laøm theá naøo ñeå coù theå bieåu dieãn ñöôïc:    3  2 2 3 1 )  2 3 1 ) 3 4 3x 4 1  x     7 ? 1 x x 1 x x 3 4 3ax 4b1  x     c 1 x x 1 x x Ta ñaët Sau ñoù duøng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá, ta tìm ñöôïc a = b = 1 ; c = 7 Baøi 13: a) xy  x2  y2 ; 2 yz  y2  z2 z 2  x2 ; zx  2 2 xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2 ; xy  yz  zx   x  y  z   2 xy  yz  zx  2 3A  a 2 ; A  Vaäy max A = a a2 3 (daáu “=” xaûy ra  x = y = z = 3 ) a a2 3 (khi vaø chæ khi x = y = z = 3 ) b) B = x 2  y 2  z 2   x  y  z   2 xy  yz  zx  2 2 B = a  2 xy  yz  zx  B min   xy  Luùc ñoù B = a 2  Baøi 14: a2 max  xy  yz  zx  (theo caâu a) yz  zx  2 2 3 2 2a a  3 3 P = a (khi vaø chæ khi x = y = z = 3 ) 2x y x2 y2 z2 2y z 2z x      y z x z x y AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho 4 soá döông, ta ñöôïc: x y x y x2 x 2 .x 2 . y.z    z  44  4x y yz z z y2 y z y z y 2 . y 2 .z.x    x  44  4y z xz x x z2 z x z x z 2 .z 2 .x. y    y  44  4z x yx y y P2  4 x  y  z    x  y  z   3 x  y  z  P2  3.12 = 36 (daáu “=” xaûy ra  x = y = z = 4) Vaäy min P = 6 (khi vaø chæ khi x = y = z = 4) Do ñoù Baøi 15: 1 2 x 2  2 yz 4 4 x 2 yz a x x yz    x x x x ; 1 2 y 2  2 xz 4 4 y 2 xz a y yxz    y y y y ; 1 2 z 2  2 yx 44 z 2 yx a zzx y    z z z z ; 3 644  xyz  Do ñoù Q   64 xyz 4 Vaäy min Q = 64 Baøi 16: Töông töï Maët khaùc Töông töï a (daáu “=” xaûy ra  x = y = z = 3 ) a (khi vaø chæ khi x = y = z = 3 ) a  b  c  1  1 a  b  c  0 1 b  0 ; 1 c  0 1  a  1  1  b  c   1  b   1  c   2 1 b  2 1  a 1  c  ; 1 c  2 1  b 1  c  1  a 1  b  1  a 1  b 1  c   8 1  a  2 1  b  2 1  c  2 Suy ra = 81  a 1  b 1  c  1  a 1  b 1  c  A = 1  a 1  b 1  c   8 1 (daáu “=” xaûy ra  1  a  1  b  1  c  a  b  c  3 ) 1 Vaäy min A = 8 (khi vaø chæ khi a  b  c  3 ) Baøi 17: Neáu y  0 thì B  0 Neáu y > 0 thì: 1 x y  (1) x x y y y x x y y y x2 y3      55      55 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 108 2 Suy ra Vaäy x2 y3  1  108     x2 y3  108  5  3125 108 B  3125 x (2) y 2 3 (daáu “=” xaûy ra  2  3  x  5 ; y  5 ) 108 2 3 Töø (1) vaø (2) suy ra: max B = 3125 (khi vaø chæ khi x  5 ; y  5 ) 4