Bµi tËp n©ng cao h×nh häc 9
Bài tập nâng cao chương I
Baøi 1: a) Tìm x vaø y trong moãi hình beân
(a)
(b)
y
x
9
25
8
x
10
b) Tìm x, y, z trong hình c
(c)
x
z
y
5
4
Baøi 2:
�
$
1. Cho tam giaùc DEF coù ED = 7 cm, D 400 , F 580 . Keû ñöôøng cao EI cuûa tam giaùc ñoù.
Haõy tính:
a) Ñöôøng cao EI.
b) Caïnh EF.
�
2. Giaûi tam giaùc vuoâng ABC, bieát raèng A 90 0 , AB = 5, BC = 7.
3. Haõy tính caùc goùc nhoïn cuûa moät tam giaùc vuoâng, bieát tæ soá hai caïnh goùc vuoâng laø 13 :
21.
Baøi 3: Cho tam giaùc ABD vuoâng taïi B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Treân caïnh BD laáy ñieåm C
sao cho BC = 3 cm. Töø D keû Dx // AB, noù caét ñöôøng thaúng AC taïi E.
a) Tính AD.
b) Tính caùc goùc BAD, BAC. Töø caùc keát quaû ñoù, coù theå keát luaän raèng Ac laø tia phaân giaùc
cuûa goùc BAD khoâng ?.
c) Chöùng minh tam giaùc ADE caân taïi D.
d) Chöùng minh AC laø tia phaân giaùc cuûa goùc BAD.
Baøi 4: Cho hình vuoâng ABCD, caïnh AB = 1 ñôn vò ñoä daøi. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm
cuûa AB, AD.
a) Tính dieän tích hình caùnh dieàu AICJ baèng caùc caùch khaùc nhau.
b) Tính sinICJ.
Baøi 5: Cho hình thang caân ABCD (AB // CD) ñöôøng cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD
= 10 cm.
a) Tính AH.
b) Tính soá ño goùc ADC, suy ra soá ño goùc ABC.
1
1
1
c) Tính AC. Vì sao ta khoâng coù heä thöùc AD2 AC2 AH 2 ?
�
Bµi 6. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC AD. BiÕt D = 580, AC = 8.
a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC
b) Chøng minh AC2 = AB.DC
�
Baøi 9: Cho ABC coù A 600 . Keû BH AC vaø CK AB.
a) chöùng minh KH = BC.CosA
b) Trung ñieåm cuûa BC laø M. Chöùng minh MKH laø tam giaùc ñeàu
1
�
Baøi 7 Cho ABC coù A laø goùc nhoïn. Chöùng minh dieän tích cuûa tam giaùc ñoù laø S= 2
�
AB.AC.sinA. Aùp duïng: a) Tính S(ABC) bieát AB = 4 cm, AC = 7 cm vaø A = 600
�
b) Bieát S(ABC) = 5 2 (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính soá ño cuûa A
� � �
Baøi 8: Cho ABC coù 3 goùc nhoïn, caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc goùc A , B, C theo thöù töï laø a,
b, c. Chöùng minh:
a
b
c
=
=
.
sin A sin B sin C
�
Baøi 9: Tam giaùc ABC coù AB = 3 cm, AC = 6 cm, A = 1200. Keû ñöôøng phaân giaùc AD cuûa
�
A . Tính ñoä daøi cuûa AD.
�
Baøi 10: Cho hình bình haønh ABCD ( ACD < 900 ).
�
a) Chöùng minh : AD2 = CD 2 + CA 2 - 2CD.CA.cos ACD .
�
b) Neáu CD = 6 cm, CA = 4 cm, cos ACD =
1
thì töù giaùc ABCD laø hình gì?. Tính dieän
3
tích cuûa töù giaùc ñoù.
�
Baøi 11: Cho tam giaùc caân ABC ( AB = AC; A < 900 ). Keû BK AC.
�
�
a) Chöùng minh : A = 2.KBC .
A
A
b) Chöùng minh : sin A = 2.sin 2 .cos 2 .
2
, tính sinA.
3
�
Baøi 12: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( B = 900 ). Laáy ñieåm M treân caïnh AC. Keû AH BM,
�
c) Bieát sin KBC =
CK BM.
�
a) Chöùng minh : CK = BH.tgBAC .
�
MC BH.tg 2 BAC
=
b) Chöùng minh :
.
MA
BK
�
Baøi 13: Cho ABC coù A = 600. Keû BH AC vaø CK AB.
a) Chöùng minh : KH = BC.cosA.
b) Trung ñieåm cuûa BC laø M. Chöùng minh MKH laø tam giaùc ñeàu.
�
Baøi 14: Cho tam giaùc ABC coù BC = a. ACB = 450 . Veà phía ngoaøi cuûa ABC, veõ caùc hình
vuoâng ABDE vaø ACFG. Giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo cuûa hai hình vuoâng laø Q vaø N. Trung
ñieåm cuûa BC vaø EG laø M vaø P.
a) Chöùng minh AEC = ABG.
b) Chöùng minh töù giaùc MNPQ laø hình vuoâng.
�
c) Bieát BGC = a . Tính dieän tích hình vuoâng MNPQ theo a vaø a .
Baøi 15: Cho hình chöõ nhaät MNPQ coù 4 ñænh naèm treân 4 caïnh cuûa hình thoi ABCD ( M
AB, N BC, P CD, Q DA ). Caùc caïnh hình chöõ nhaät song song vôùi caùc ñöôøng cheùo
�
cuûa hình thoi. Bieát AB = 7 cm. tgBAC = 0, 75 .
a) Tính dieän tích hình thoi ABCD.
b) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân caïnh AB sao cho dieän tích hình chöõ nhaät MNPQ
ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tính giaù trò lôùn nhaát ñoù.
Baøi 16: Cho hình bình haønh ABCD coù ñ.cheùo AC lôùn hôn ñ.cheùo BD. Keû CH AD vaø
CK AB.
a) Chöùng minh CKH ~ BCA.
�
b) Chöùng minh HK = AC.sin BAD .
�
c) Tính dieän tích töù giaùc AKCH bieát BAD = 600 , AB = 4 cm vaø AD = 5 cm.
�
Baøi 17: Cho ABC ( A = 900 ). Töø trung ñieåm E cuûa caïnh AC keû EF BC. Noái AF vaø
BE.
a) Chöùng minh AF = BE.cosC.
b) Bieát BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính dieän tích töù giaùc ABFE.
�
c) AF vaø BE caét nhau taïi O. Tính sin AOB .
Baøi 18: Cho hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi moãi caïnh baèng 4 cm. Trung ñieåm cuûa AB vaø BC
theo thöù töï laø M vaø N. Noái CM vaø DN caét nhau taïi P.
a) Chöùng minh CM DN.
�
b) Noái MN, tính caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc CMN .
�
c) Noái MD, tính caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc MDN vaø dieän tích tam giaùc MDN.
�
Baøi 19: Cho hình chöõ nhaät ABCD; sin DAC = 0,8 ; AD = 42 mm, keû CE BD vaø DF AC.
�
a) AC caét BD ôû O, tính sin AOD .
b) Chöùng minh töù giaùc CEFD laø hình thang caân vaø tính dieän tích cuûa noù.
c) Keû AG BD vaø BH AC, chöùng minh töù giaùc EFGH laø hình chöõ nhaät vaø tính
dieän tích cuûa noù.
Baøi 20: Cho ñoaïn thaúng MN = 6 cm. Veõ ñöôøng troøn taâm M baùn kính 3,6 cm. Veõ ñöôøng
troøn taâm N baùn kính 4,8 cm, chuùng caét nhau taïi A vaø B.
a) Chöùng minh :
4
1
1
=
+
2
2
MB
AM
AN 2
b) Tính soá ño caùc goùc cuûa MAB.
�
Baøi 21: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( A = 900 ). Keû ñöôøng thaúng song song vôùi caïnh BC caét
caùc caïnh goùc vuoâng AB vaø AC taïi M vaø N. Bieát MB = 12 cm vaø NC = 9 cm, trung ñieåm
cuûa MN vaø BC laø E
vaø F .
a) Chöùng minh ba ñieåm A, E, F thaúng haøng.
b) Trung ñieåm cuûa BN laø G. Tính ñoä daøi caùc caïnh vaø soá ño caùc goùc cuûa EFG.
c) Chöùng minh EFG ~ ABC.
Baøi 22: Cho ABC, keû AH BC, bieát BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Treân AH laáy
ñieåm O sao cho OH = 2 cm.
a) Chöùng minh ABC laø tam giaùc vuoâng.
b) Treân caïnh AB laáy ñieåm M, treân OB laáy ñieåm P vaø treân OC laáy ñieåm N sao cho
AM OP ON 2
=
=
= . Tính ñoä daøi caùc caïnh vaø soá ño caùc goùc cuûa MPN.
AB OB OC 5
Bài tập nâng cao chương II
1- Đường tròn và sự xác định của đường tròn
1
Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD (AD // BC); BC CD 2 AD a .
a) Chöùng minh A, B, C, D naèm treân cuøng moät ñöôøng troøn. Haõy xaùc ñònh taâm O vaø baùn
kính cuûa ñöôøng troøn naøy.
b) Chöùng minh AC OB.
Baøi 2 Cho ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc, N, P, Q laàn
löôït laø trung ñieåm cuûa AH, AB, AC. Chöùng minh OPNQ laø hình bình haønh.
Baøi 3: Cho ABC, caùc goùc ñeàu nhoïn. Veõ ñöôøng troøn taám ñöôøng kính AB, veõ ñöôøng troøn
taâm O ñöôøng kính AC. Ñöôøng thaúng OS caét ñöôøng troøn (S) taïi D vaø E, caét ñöôøng troøn (O)
taïi H vaø K (caùc ñieåm xeáp ñaët theo thöù töï D, H, E, K).
�
a) Chöùng minh BD, BE laø nhöõng ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc ABC ; CK, CH laø nhöõng ñöôøng
�
phaân giaùc cuûa goùc ACB .
b) Chöùng minh BDAE, AHCK laø nhöõng hình chöõ nhaät.
Baøi 4: Cho ñöôøng troøn (O) döôøng kính AB. Veõ baùn kính OC vuoâng goùc vôùi AB taïi O. Laáy
ñieåm M treân cung AC. Haï MH OA. Treân baùn kính OM laáy ñieåm P sao cho OP = MH.
a) Tìm quó tích caùc ñieåm P khi M chaïy treân cung AC..
b) Tìm quó tích caùc ñieåm P laáy treân baùn kính OM sao cho OP baèng khoaûng caùch töø M ñeán
AB khi M chaïy khaép ñöôøng troøn (O).
2. Tính chất đối xứng của đường tròn
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn baèng nhau (O ; R) vaø (O’; R) vaø hai daây AB, CD baèng nhau
theo thöù töï thuoäc hai ñöôøng troøn aáy sao cho B vaø C naèm giöõa A vaø D vaø AB < 2R.
a) Chöùng minh raèng AD // OO’.
b) Chöùng minh raèng AC = OO’ = BD.
c) Goïi I laø trung ñieåm cuûa AD, chöùng toû raèng ñieåm I naèm treân moät ñöôøng coá ñònh khi caùc
daây AB, CD thay ñoåi vò trí sao cho AB, CD luoân luoân baèng nhau vaø B, C luoân naèm giöõa
A, D.
�
Baøi 7: Cho goùc xOy 600 . Laáy ñieåm I coá ñònh treân tia phaân giaùc Ot cuûa goùc xOy laøm taâm
veõ ñöôøng troøn sao cho noù caét Ox taïi A, Oy taïi B (A vaø B khoâng ñoái xöùng nhau qua Ot).
Haï ID Ox, IE Oy.
a) Chöùng minh DA = EB.
b) Goïi T laø taâm ñöôøng troøn qua A, I, B. Chöùng minh TAI, TBI laø caùc tam giaùc ñeàu.
Xaùc ñònh vò trí cuûa T moät caùch nhanh nhaát.
c) Tìm quó tích ñieåm T khi ñöôøng troøn taâm I coù ñoä lôùn baùn kính thay ñoåi (nhöng vaãn caét
Ox, Oy).
d) Tìm quó tích ñieåm H, tröïc taâm cuûa AIB (theo ñieàu kieän caâu c).
Baøi 8: Cho tam giaùc vuoâng caân ABC (AB = AC) ñöôøng cao AH. Treân ñoaïn thaúng HC laáy
ñieåm K roài döïng hình chöõ nhaät AHKO. Laáy O laøm taâm, veõ ñöôøng troøn baùn kính OK,
ñöôøng troøn naøy caét caïnh AB taïi D, caét caïnh AC taïi E. Goïi F laø giao ñieåm thöù hai cuûa
ñöôøng troøn (O) vôùi ñöôøng thaúng AB. Chöùng minh:
a) AEF laø tam giaùc caân.
b) DO OE.
c) D, A, O, E naèm treân cuøng moät ñöôøng troøn.
3. V ị trí t ương đối của đường th ẳng và đường tròn –
Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’). Moät tieáp tuyeán chung ngoaøi MM’, moät tieáp tuyeán
chung trong NN’ (M, N naèm treân (O) ; M’, N’ naèm treân (O’)). Caùc ñöôøng thaúng MM’ ,
NN’ caét nhau taïi tieáp ñieåm P vaø caùc daây MN, M’N’ caét PO, PO’ töông öùng taïi caùc ñieåm
Q, Q’.
a) Chöùng minh raèng caùc tam giaùc MPO, M’O’P ñoàng daïng, suy ra
O 'Q '
PQ
M 'O ' MP
.
M ' P MO
b) Chöùng minh raèng Q ' P QO .
c) Keùo daøi MQ, M’Q’ caét nhau taïi ñieåm I. Chöùng minh raèng ba ñieåm O, I, O’ thaúng haøng.
�
Baøi 9: Cho goùc xOy 600 . Moät ñöôøng troøn taâm I baùn kính R = 5 cm, tieáp xuùc vôùi Ox taïi A,
tieáp xuùc vôùi Oy taïi B. Töø M thuoäc cung nhoû AB veõ tieáp tuyeán thöù ba, noù caét Ox taïi E, caét
Oy taïi F.
a) Tính chu vi OEF. Chöùng toû raèng chu vi ñoù coù giaù trò khoâng ñoåi khi M chaïy treân cung
nhoû AB.
�
b) Chöùng minh EIF coù soá ño khoâng ñoåi khi M chaïy treân cung nhoû AB.
Baøi 10: Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB = 2R vaø moät daây AC taïo vôùi AB goùc 30 0.
Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi C caét ñöôøng thaúng AB taïi D. Chöùng minh raèng:
a) OAC ~ CAD.
b) DB.DA = DC2 = 3R2.
Baøi 11: Cho ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính BH caét AB
taïi E, ñöôøng troøn taâm J ñöôøng kính HC caét AC taïi F. Chöùng minh raèng:
a) AH laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (I) vaø (J) taïi H.
b) EF laø tieáp tuyeán cuûa (I) taïi E, tieáp tuyeán cuûa (J) taïi F.
Baøi 12: Cho ABC caân taïi A. Ñöôøng cao AH vaø BK caét nhau taïi I. Chöùng minh:
a) Ñöôøng troøn ñöôøng kính AI ñi qua K.
b) HK laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AI.
Baøi 13: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Laáy ñieåm D treân baùn kính OB. Goïi H
laø trung ñieåm cuûa AD. Ñöôøng vuoâng goùc taïi H vôùi AB caét nöûa ñöôøng troøn taïi C. Ñöôøng
troøn taâm I ñöôøng kính DB caét CB taïi E.
a) Töù giaùc ACED laø hình gì ?
b) Chöùng minh HCE caân taïi H.
c) Chöùng minh HE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taâm I.
Baøi 14: Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB. Töø A vaø B veõ hai tieáp tuyeán Ax, By vôùi nöûa
ñöôøng troøn. Laáy M laø moät ñieåm tuøy yù treân nöûa ñöôøng troøn, veõ ñöôøng tieáp tuyeán, noù caét
Ax taïi C, caét By taïi D. Goïi A’ laø giao ñieåm cuûa BM vôùi Ax, B’ laø giao ñieåm cuûa BM vôùi
By. Chöùng minh raèng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.
c) Ba ñöôøng thaúng B’A’, DC, AB ñoàng qui.
Baøi 15: Cho ñöôøng troøn taâm O, tieáp tuyeán Ax taïi ñieåm A cuûa ñöôøng troøn. Treân Ax choïn
hai ñieåm B, C tuøy yù (C naèm giöõa A vaø B) veõ hai tieáp tuyeán BD, CE vôùi ñöôøng troøn ñaõ
cho.
�
�
a) Chöùng minh: BOC DAE .
b) Giaû söû B, C ôû veà hai phía ñoái vôùi ñieåm A, chöùng minh raèng trong tröôøng hôïp naøy
0
�
�
BOC DAE =180 .
4. V ị trí tương đối của hai đường tròn
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn (O ; 4 cm) vaø (O’ ; 3 cm) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A vaø B.
bieát OO’ = 5 cm. Töø B veõ 2 ñöôøng kính BOC vaø BO’D.
a) Chöùng minh 3 ñieåm C, A, D thaúng haøng;
b) Chöùng minh tam giaùc OBO’ laø tam giaùc vuoâng;
c) Tính dieän tích caùc tam giaùc OBO’ vaø CBD;
d) Tính ñoä daøi caùc ñoaïn AB, CA, AD.
Baøi 2: Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc ngoaøi taïi ñieåm A. Ñöôøng thaúng OO’ caét hai
ñöôøng troøn (O) vaø (O’) laàn löôït ôû B vaø C (khaùc ñieåm A). DE laø moät tieáp tuyeán chung
ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn, D (O) ; E (O’). Goïi M laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng
�
BD vaø CE. Chöùng minh raèng: a) DME 900 ;
b) MA laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’); c) MD.MB = ME.MC.
Baøi 4: Cho moät ñöôøng troøn (O ; R), moät ñöôøng troøn (O1 ; r1) tieáp xuùc trong vôùi (O ; R) vaø
moät ñöôøng troøn (O2 ; r2) vöøa tieáp xuùc trong vôùi (O ; R) vöøa tieáp xuùc ngoaøi vôùi (O1 ; r1).
a) Tính chu vi tam giaùc OO1O2 theo R.
b) Döïng hai ñöôøng troøn (O1 ; r1) vaø (O2 ; r2) bieát R = 3 cm ; r1 = 1 cm.
Baøi 5: Cho ñöôøng troøn (O ; R), ñöôøng thaúng d vaø ñieåm A naèm treân d. Döïng ñöôøng troøn
tieáp xuùc vôùi (O ; R) ñoàng thôøi tieáp xuùc vôùi d taïi A.
Baøi 9: Cho hình bình haønh ABCD (AB > AD). Laáy A laøm taâm veõ ñöôøng troøn baùn kính
AD, noù caét AB taïi E. Laáy B laøm taâm veõ ñöôøng troøn baùn kính BE, noù caét tieáp ñöôøng thaúng
DE taïi F.
a) Chöùng minh hai ñöôøng troøn (A ; AD) vaø (B ; BE) tieáp xuùc nhau.
b) Chöùng minh F, B, C thaúng haøng.
Baøi 11: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) baùn kính laàn löôït laø 3R vaø R tieáp xuùc ngoaøi nhau
taïi A. Ñöôøng thaúng d1 qua A caét (O) taïi B, caét (O’) taïi B’. Ñöôøng thaúng d 2 vuoâng goùc vôùi
d1 taïi A caét (O) taïi C, caét (O’) taïi C’.
a) Chöùng minh BC’, CB’ vaø OO’ ñoàng qui taïi moät ñieåm M coá ñònh.
b) Chöùng minh caùc tieáp tuyeán chung ngoaøi PP’ vaø TT’ caét nhau taïi M.
c) Goïi I laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø A xuoáng BC’. Tìm quó tích ñieåm I khi d 1 vaø d2
thay ñoåi vò trí (vaãn qua A vaø vuoâng goùc vôùi nhau).
Baøi 12: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc nhau taïi A. Goùc vuoâng xAy quay xung
quanh ñieåm A, Ax caét (O) taïi B, Ay caét (O’) taïi C.
a) Chöùng minh OB // O’C.
b) Goïi C’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O’. Chöùng minh B, A, C’ thaúng haøng.
c) Qua O veõ d AB, noù caét BC taïi M. Tìm quó tích ñieåm M khi caùc daây AB, AC thay ñoåi
vò trí nhöng vaãn vuoâng goùc vôùi nhau.
5. Ôn tập chương II
Bµi 1: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi
cña (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iÓm. TiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i
M.
a) Chøng minh r»ng A, B, C thuéc ®êng trßn ( M ; BC/2 )
b) §êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®êng trßn ( M ; BC/2 )
c) X¸c ®Þnh t©m cña ®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm O, O’, M.
d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm O, O’, M.
Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iÓm O cña AB. Trªn mét nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ hai tia
Ax, By vu«ng gãc víi AB. Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By t¹i C vµ D.
Gäi C’ lµ giao ®iÓm cña tia CO víi tia ®èi cña tia By. Chøng minh:
a) Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n.
b) §êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
c) §êng trßn ngo¹i tiÕp COD lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh khi gãc
vu«ng t¹i O thay ®æi
Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tuyÕn chung ngoµi MN, PQ ( M,P
n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ).
a) CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®êng th¼ng OO’.
b) CMR: 4 ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn mét ®êng trßn.
c) Nèi MQ c¾t (O), (O’) t¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm thø hai A, B. Chøng minh MA = QB.
Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) vµ tiÕp tuyÕn xy t¹i tiÕp ®iÓm C n»m trªn (O).
a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB.
b) CMR nÕu mét ®êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xóc víi (O) t¹i mét
®iÓm D th× 3 ®iÓm C, O, D th¼ng hµng.
c) Cho hai ®êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét ®iÓm
M n»m gi÷a hai ®êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng 1 cm. H·y dùng mét
®êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d1 , d2.
Bµi 5: Cho 2 ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A kÎ ®êng th¼ng a c¾t (O) t¹i
C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC // B’C’.
§2. Tính chaát ñoái xöùng
Höôùng daãn giaûi
x
Baøi 2: a) Ta chöùng minh ñöôïc AA’ = BB’; suy ra AD = BE
�
b) Vì xOy 60 0 neân deã daøng chöùng minh
�
�
AIB DIE 120 0
A'
A
O
t
D
I
B'
Ta chöùng minh ñöôïc ATI = BTI
E
B
y
T
� BTI 60 0 . Suy ra ñoù laø nhöõng tam giaùc ñeàu.
�
Neân ATI
Laáy A (hoaëc B) laøm taâm veõ cung troøn (A ; AI) noù caét cung nhoû AB taïi T, ñoù chính laø taâm
ñöôøng troøn qua A, I, B.
c) Ta chöùng minh ñöôïc raèng ñöôøng troøn taâm T baùn kính TI ñi qua O. Thaät vaäy, giaû söû (T)
caét IO taïi O’ vaø caét O’T taïi T’.
�
�
�
�
�
�
�
Ta coù ITT ' 2IO ' T ' . Nhöng BTT ' 2BO' T ' . Suy ra ITB 2IO ' B , do ñoù IO ' B 300 .
�
�
�
Ta coù IOB 30 0 . Neáu O’B vaø OB laø hai ñöôøng thaúng phaân bieät thì IO ' B vaø IOB coù moät goùc
ôû vò trí goùc ngoaøi coøn goùc kia laø goùc trong cuûa BOO’, nhö vaäy chuùng khoâng theå baèng
nhau ñöôïc. Do ñoù BO vaø BO’ truøng nhau, O’ truøng vôùi O.
PHAÀN THUAÄN: Ta coù TI = TO T thuoäc trung tröïc cuûa OI coá ñònh. Ñeå ñöôøng troøn
�
�
taâm T caét caùc tia Ox, Oy thì TOx ; TOy laø caùc goùc nhoïn. Do ñoù T naèm ôû mieàn trong goùc
�
uOv xaùc ñònh bôûi Ou Ox, Ov Oy. Do ñoù T thuoäc ñoaïn thaúng T1T2 vöøa thuoäc trung tröïc
cuûa OI, vöøa thuoäc mieàn trong cuûa goùc uOx (ñeå A, B phaân bieät).
PHAÀN ÑAÛO: Laáy T’ thuoäc ñoaïn T1T2 veõ ñöôøng troøn baùn kính TI, noù caét Ox taïi A’, caét
Oy taïi B, ta phaûi chöùng minh ñöôøng troøn (I ; IA’) qua B. (Chöùng minh IDA’ = IEB’
IA’ = IB’).
KEÁT LUAÄN: Quó tích T laø ñoaïn thaúng T1T2, khoâng keå T1, T2.
d) AIBT laø hình thoi neân tröïc taâm H cuûa AIB naèm treân ñöôøng thaúng TI, Bz AI,
ta chöùng minh ñöôïc Bz BT.
Ta chöùng minh ñöôïc H thuoäc (I) vaø H ñoái xöùng vôùi T qua I.
Quó tích caùc tröïc taâm H laø ñoaïn thaúng H1H2 ñoái xöùng cuûa T1T2 qua I khoâng keå H1, H2.
F
Baøi 3
A
D
B
O
I
H
E
C
K
a) Ta c/m ñöôïc AO laø phaân giaùc cuûa goùc FAE neân AO laø truïc ñoái xöùng
cuûa goùc FAE. AO laø ñöôøng thaúng chöùa ñöôøng kính cuûa (O) neân AO laø
truïc ñoái xöùng cuûa ñöôøng troøn (O). F laø giao ñieåm cuûa AB vôùi (O).
Hình ñoái xöùng cuûa F laø giao ñieåm cuûa AC vôùi (O), ñoù chính laø ñieåm E.
F vaø E ñoái xöùng nhau qua AO. Vaäy AEF laø tam giaùc caân.
�
�
�
�
b) Ta c/m ñöôïc: DOI 2DFO , EOI 2EFO .
�
�
Suy ra DOE 2DFE 900 hay DO OE.
c) Laáy I laø trung ñieåm cuûa DE, ta coù ID = IA = IE = IO. Vaäy D, A, O, E naèm treân moät
ñöôøng troøn taâm I baùn kính DE/2.
Baøi 4:
B
A
C
D
D'
O
B'
Ta coù C vaø D ñoái xöùng qua O.
Laáy B’ ñoái xöùng cuûa A qua O thì B’ coá ñònh. CA coù hình ñoái xöùng qua O
Laø DB’ neân CA = DB’, do ñoù DB = DB’.
Suy ra D naèm treân trung tröïc d cuûa BB’….
§3. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn – Tieáp tuyeán
O
Baøi 9:
a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
�
OIB coù IOB 300 ; ta tính ñöôïc OB R 3 ; do ñoù:
OE + EF + OF = 2R 3 .
Giaù trò 2R 3 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.
E
F
M
A
B
1�
1�
0
�
�
�
b) Ta tính ñöôïc AIB 120 ; EIM 2 AIM ; MIF 2 MIB .
1�
0
�
�
�
Suy ra EIF AIB hay EIF 60 . Vaäy EIF coù soá ño khoâng ñoåi khi M chaïy treân cung nhoû
2
AB.
Baøi 10:
I
C
30
A
30
O
B
30
D
�
a) Tính soá ño caùc goùc, ta ñöôïc CAO 300 .
�
�
�
Hai tam giaùc OAC vaø CAD coù CAO 300 (chung); ACO ADC 30 0
Vaäy OAC ~ CAD.
�
b) Tam giaùc COB laø tam giaùc ñeàu, OCA 300 (coù nhieàu caùch chöùng minh),
�
CBD 120 0 . Deãõ daøng chöùng minh ñöôïc OAC ~ BCD. Suy ra BD = R.
DCB ~ DAC
Vaäy DA.DB = DC2 = 3R2.
Baøi 11:
DC DB
. Do ñoù DA.DB = DC2 maø DB = R , DA = 3R.
DA DC
A
P
F
E
B
I
H
J
C
a) Goïi I laø trung ñieåm cuûa BH thì I laø taâm ñöôøng troøn ñöôøng
kính BH. Goïi J laø trung ñieåm cuûa HC thì J laø taâm ñöôøng troøn
ñöôøng kính BH.
Ta coù IH AH suy ra AH laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính HC.
Vaäy AH laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (I), (J).
b) Chöùng minh khoâng khoù khaên AFHE laø hình chöõ nhaät. Goïi P laø giao ñieåm AH vaø EF. Ta
coù PE = PF = PH = PA.
�
�
Chöùng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy ra IEP IHP 90 0 . Vaäy EF laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng
troøn (I).
�
�
Chöùng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy ra PFJ PHJ 90 0 . Vaäy EF laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng
A
troøn (J)
Baøi 12:
O
I
B
K
C
H
a) Goïi O laø trung ñieåm cuûa AI ta coù OA = OI = OK. Vaäy ñöôøng troøn taâm O
ñöôøng kính AI ñi qua K.
�
�
b) Ta coù AOK caân AKO OAK (goùc nhoïn coù caïnh töông öùng vuoâng goùc).
�
�
Ta laïi coù HK = HB neân HBK HKB . Töø ñoù ta c/m ñöôïc OK HK.
C
Vaäy HK laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn O.
E
Baøi 13:
A
B
a) ACED laø hình thang vuoâng
H O D I
b) Ñaët AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.
Ta coù caùc heä thöùc sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
�
�
Hai tam giaùc OHC vaø IEH coù: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH HIE (ñv)
Suy ra OHC = IEH (c.g.c).
Do ñoù HC = EH hay HCE laø tam giaùc caân taïi H.
� �
c) Do OHC = IEH neân H E 90 0 , töùc laø HE IE. Vaäy HE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng
troøn taâm I
x
Baøi 14: a) Töï giaûi.
A'
b) CA = CM (hai tieáp tuyeán caét nhau taïi C)
M
Laáy I laø trung ñieåm cuûa AM, CI laø ñöôøng trung bình cuûa AA’M.
C
I
Vaäy CA = CA’. Töông töï DB = DB’.
K
A
O
B'
D
B
AC
DB
c) Ta coù AA’ // BB’. Laïi coù CA ' DB' 1 .Vaäy B’A’, DC, AB ñoàng qui.
Baøi 15: a) CO AE taïi P, BO AD taïi Q.
Goïi I laø giao ñieåm cuûa OP vaø AQ.
$ �
�
�
Hai tam giaùc PAI vaø QOI coù: P Q 900 ; PIA QIO
�
�
Suy ra BOC DAE .
C
A
$ Q 90 0 hay P Q 180 0
�
$ �
b) Töù giaùc AQOP’ coù P
C
P'
0
� DAE ' 180 0 E'
�
maø toång caùc goùc trong töù giaùc loài laø 360 , suy ra BOC'
B
E
I
Q
D
O
§4. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn
D
C
Baøi 8:
A
a) AOBO’ laø hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) neân AB vaø OO’
O'
caét nhau taïi I, trung ñieåm chung cuûa AB vaø OO’. D’ ñoái xöùng cuûa
O
I
D qua O neân D’ thuoäc O’.
B
OCO’D’ laø hình bình haønh (OC // O’D’ ; OC = O’D’).
D'
AB vaø CD’ caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn. Nhöng trung ñieåm cuûa AB laø I, neân
CD’ ñi qua I. Vaäy AB, OO’, CD’ caét nhau taïi I, trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn thaúng.
b) Töù giaùc OCDO’ laø hình bình haønh neân OO’ // CD. Vì BA OO’ neân BA CD.
Töù giaùc ACBD’ coù IA = IB, IC = ID neân ACBD’ laø hình bình haønh do ñoù AD’ // CB.
Vì DA AD’ (DD’ laø ñöôøng kính) suy ra DA CB. Vaäy A laø tröïc taâm cuûa BCD.
Baøi 9: a) B, A, E thaúng haøng, suy ra hai ñöôøng troøn (A ; DA), (B ; BE)
tieáp xuùc nhau taïi E.
F
�
�
�
�
b) Ta c/m ñöôïc ADF AED FEB DFB
�
�
ADF DFB BF // AD (*)
E
A
B
Vì ABCD laø hình bình haønh BC // AD (**)
Töø (*) vaø (**) ta suy ra C, B, F thaúng haøng
I'
Baøi 10:
D
C
Taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi (O) taïi A naèm treân ñöôøng thaúng OA
O
A
Giaû söû ñöôøng troøn (I) thoûa maõn yeâu caàu ñeà baøi, tieáp xuùc vôùi
D taïi B. Taïi A veõ tieáp tuyeán chung noù caét d taïi P, thì PB = PA. I
Töø ñoù ta suy ra caùch döïng
B'
P
B
Baøi 11:
d1
�
�
P
B
a) A ' BA BAC 90 0 A’B // AC
I'
�
�
OA ' B O ' AC'
Ta coù �
�
�
OBA ' O'C' A (OA ' B)
A'
Do ñoù OA’B ~ O’AC’
Ta coù BOC laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (O),
B’O’C’ laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (O’)
O'C'
O' B'
P'
I
1
O
C'
A
C
T
I''
M
O'
B'
T'
d2
Ta coù BC // B’C’ vaø OB OC 3 neân OO’ , BC’ , B’C ñoàng qui taïi M.
MO '
O 'C
1
Ta laïi coù MO OB 3 . Suy ra M laø ñieåm coá ñònh.
M1P
MO '
1
b) Giaû söû PP’ caét OO’ taïi M1, ta chöùng minh ñöôïc MP MO 3 . Suy ra M1 truøng vôùi M.
�
c) Phaàn thuaän: AIM 900 (A, I coá ñònh), ñoàng thôøi I khoâng ôû mieàn ngoaøi cuûa goùc PMT.
Do ñoù I naèm treân cung troøn ñöôøng kính AM, giôùi haïn bôûi hai tieáp tuyeán MP, MT, ñoù laø
cung I1I2 (khi B ôû vò trí P thì C’ ôû vò trí P’)
Phaàn ñaûo: Laáy I’ treân cung I1I2. Ñöôøng thaúng MI’ caét (O) taïi B1, caét (O’) taïi C’1, ta phaûi
�
chöùng minh B1AC'1 1v vaø AI’ B1C*1 (coù theå söû duïng ñònh lí ñaûo cuûa ñònh lí Thales)
�
Keát luaän: Quó tích ñieåm I laø cung I1I 2 .
C
� C 2A ; A B C 1800 suy ra A 60 0 .
�
� � � �
�
E
Baøi 13: Ta tính ñöôïc B
F
I
Ta cuõng tính ñöôïc BC = R 3 . Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp,
O
B
Goïi D, E, F laàn löôït laø tieáp ñieåm cuûa (I) vôùi AB, BC, CD.
D
A
�
�
Trong tam giaùc IAD vuoâng taïi D ta thaáy IAD IAF 300 ,
1
ID = IF = r, do ñoù AD = AF = r 3 . Ta coù: SABC = p.r = 2 (AB + BC + CA).r
1
= 2 (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r
Trong ñoù DB+CF = BE + EC = R 3 .Thay caùc giaù trò ñaõ bieát vaø thu goïn ta ñöôïc
C
SABC = r.(R + r). 3
Baøi 14: Ta chöùng minh ñöôïc
1
1
1
DE = DF = R ; SACD = b.R ; SBCD = a.R ; SABC = a.b.sin .
2
2
2
ab.sin
180 0
�
�
R
EDC FDC
Ta ruùt ra ñöôïc
.Ta tính ñöôïc
.
ab
2
Goïi M, N laø giao ñieåm cuûa tieáp tuyeán chung taïi K vôùi AC vaø BC thì
180 0
�
KDN
. Ta chöùng minh ñöôïc CMN caân taïi C neân:
4
ab
�
MK KN R.tg 450
tg 450 .sin . Do ñoù OK r KN.tgKNO ,
4 a b
4
1800
ab
�
KNO
450 . Suy ra r
.sin .tg 2 450
4
4
ab
4
M
E
A
N
K
D
F
B
- Xem thêm -
.DOC 
11 
158 
60 
