Tài liệu ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Hải Hà ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐ KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Hải Hà ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐ KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Trần Thị Hải Hà LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 đã cho tôi những kiến thức toán học về Đại số, Giải tích và Hình học tôpô. Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hình học và tôpô khoa Toán khóa 26, 27 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học. Trần Thị Hải Hà MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................. 4 1.1. Không gian tôpô .......................................................................................... 4 1.1.1. Định nghĩa ............................................................................................ 4 1.1.2. Định nghĩa ............................................................................................ 4 1.1.3. Tập mở ................................................................................................. 4 1.1.4. Không gian tôpô con ............................................................................ 4 1.1.5. Không gian tôpô tổng ........................................................................... 4 1.1.6. Không gian tôpô tích ............................................................................ 5 1.1.7. Không gian tôpô thương ...................................................................... 5 1.1.8. Cơ sở không gian tôpô ......................................................................... 5 1.1.9. Phần trong, bao đóng, biên ................................................................... 6 1.2. Các tiên đề tách ........................................................................................... 6 1.2.1. Không gian T0 ...................................................................................... 6 1.2.2. Không gian T1 ...................................................................................... 6 1.2.3. Không gian T2 ...................................................................................... 7 1.2.4. Không gian T3 ...................................................................................... 7 1.2.5. Không gian T4 ...................................................................................... 7 1.3. Ánh xạ liên tục ............................................................................................ 7 1.3.1. Định nghĩa ............................................................................................ 7 1.3.2. Định lý .................................................................................................. 8 1.3.3. Định lý .................................................................................................. 8 1.4. Ánh xạ đóng, ánh xạ mở ............................................................................. 8 1.4.1. Định nghĩa ............................................................................................ 8 1.4.2. Định lý .................................................................................................. 8 1.5. Phủ, phủ con, lọc ......................................................................................... 9 1.5.1. Phủ........................................................................................................ 9 1.5.2. Phủ con ................................................................................................. 9 1.5.3. Lọc........................................................................................................ 9 1.6. Không gian compact ................................................................................... 9 1.6.1. Định nghĩa ............................................................................................ 9 1.6.2. Tập compact ....................................................................................... 10 1.6.3. Định lý ................................................................................................ 10 1.6.4. Định lý ................................................................................................ 10 1.6.5. Định lý Tychonoff .............................................................................. 10 1.6.6. Định lý ................................................................................................ 11 1.6.7. Compact dãy....................................................................................... 11 1.7. Không gian mêtric ..................................................................................... 11 1.7.1. Mêtric trên một tập hợp...................................................................... 11 1.7.2. Không gian mêtric con ....................................................................... 12 1.7.3. Không gian mêtric tích ....................................................................... 12 1.7.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric ..................................................... 12 1.7.5. Không gian mêtric đầy đủ .................................................................. 13 1.7.6. Không gian mêtric compact ............................................................... 14 1.7.7. Mở rộng đầy đủ của một không gian mêtric ...................................... 14 1.7.8. Tôpô sinh bởi mêtric .......................................................................... 15 1.7.9. Không gian mêtric hóa ....................................................................... 15 1.7.10. Bổ đề về số Lebesgue....................................................................... 15 1.7.11. Ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric..................................... 15 1.7.12. Đường kính của một tập hợp, tập hợp trù mật. ................................ 16 1.8. Không gian khả ly ..................................................................................... 16 1.8.1. Định nghĩa .......................................................................................... 16 1.8.2. Mệnh đề .............................................................................................. 17 1.9. Không gian phổ dụng, phần tử phổ dụng .................................................. 17 1.9.1. Phép đồng phôi – Phép nhúng............................................................ 17 1.9.2. Định nghĩa .......................................................................................... 17 1.9.3. Không gian phổ dụng Urysohn .......................................................... 18 1.9.4. Phần tử phổ dụng ............................................................................... 18 1.10. Số chiều ind ............................................................................................. 18 1.10.1. Hàm số chiều .................................................................................... 19 1.10.2. Định nghĩa ........................................................................................ 19 1.11. Lớp tương đương, quan hệ tương đương ................................................ 20 1.11.1. Quan hệ tương đương....................................................................... 20 1.11.12. Lớp tương đương ........................................................................... 20 Chương 2. PHÉP NHÚNG ĐẲNG CỰ TRÊN CÁC KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT CÓ SỐ CHIỀU ĐẾM ĐƯỢC ................ 21 2.1. Không gian tôpô   M , R  ....................................................................... 22 2.1.1. Lọc cuối cùng ..................................................................................... 22 2.1.2. Không gian bao hàm    ( M , R ) ...................................................... 23 2.2. Không gian mêtric  (M , R, P) ................................................................ 25 2.3. Phủ cnX ....................................................................................................... 29 2.4. Số u ( X , n) và số đếm  ( X , n ) ................................................................. 29 2.5. Họ R* ........................................................................................................ 29 2.6. Số u ( E , n) và số đếm  ( E , n) ................................................................... 29 2.7. Tập hợp V( nX,i ) ............................................................................................. 30 2.8. Cơ sở đánh chỉ số B0 ................................................................................ 30 2.9. Cơ sở ban đầu M Q ( n,i ,E ) . ........................................................................... 30 2.10. Họ RQM( n ,i , E ) ............................................................................................... 31 2.11.1. Số d1 ( X , j , s ), d 2 ( X , j , s ) và d ( X , j, s) ............................................... 31 2.12. Họ R M ..................................................................................................... 31 2.13. Số u ( L, n) và số đếm  (L, n) ................................................................. 32 2.14. Họ R. ...................................................................................................... 33 2.15. Quan hệ tương đương  R ...................................................................... 33  2.16. Tập U j ( H ) ............................................................................................. 33 2.17. Bổ đề cơ sở B* . ..................................................................................... 33 2.18. Tập H s ................................................................................................... 34 2.19. Số n  0  và q. ....................................................................................... 35 2.20. Bổ đề ....................................................................................................... 35 Chương 3. ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ CỦA CÁC KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT .................................................................. 40 3.1. Định lý ....................................................................................................... 40 3.2. Định lý ....................................................................................................... 50 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 52 1 MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu đề tài Trong tài liệu này chúng ta nghiên cứu về ánh xạ đẳng cự giữa những không gian mêtric compact. Trong bài báo [5] vào năm 2013 của tác giả S.D.Iliadis ta có rằng “Với bất cứ n  , một không gian mêtric khả ly đầy đủ n chiều bao hàm tất cả các không gian mêtric compact n chiều được xây dựng”. Và vấn đề được đưa ra cho việc nghiên cứu sau này là kết quả này có được giữ trong không gian có số chiều siêu hạn hay không. Chúng ta giải quyết những vấn đề sau trong tài liệu này: Vấn đề 1: Ta xây dựng không gian mêtric compact khả ly đầy đủ có số chiều siêu hạn thỏa điều kiện trên. Vấn đề 2: Ta nhắc lại rằng ánh xạ F : X  Y từ X vào Y được gọi là phổ dụng trong lớp 𝔽 của ánh xạ nếu i. F  𝔽 ii. Với mỗi f : X  Y trong 𝔽, tồn tại một phép nhúng i từ X vào X và một phép nhúng j từ Y vào Y sao cho F i  j f . Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn thì khi đó F được gọi là ánh xạ bao hàm cho lớp F. Trong trường hợp tất cả các không gian được xét là mêtric và ánh xạ i và j là đẳng cự, F được gọi là ánh xạ đẳng cự phổ dụng. Trong phần này, kết hợp những kết quả ở tài liệu tham khảo, chúng ta khẳng định sự tồn tại và xây dựng ánh xạ bao hàm đẳng cự cho lớp các ánh xạ liên tục giữa các tập mêtric compact thông qua các định lý trong bài. 2. Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa. 2 Chúng ta có định nghĩa về đẳng cự của hai không gian mêtric như sau: Hai không gian mêtric X và Y được trang bị hai mêtric tương ứng d X và dY . Một ánh xạ f : X  Y được gọi là đẳng cự hoặc bảo toàn khoảng cách nếu với mọi a, b  X ta có: dY ( f (a), f (b))  d X (a, b) . Trong tài liệu [5], Stavros Iliadis khẳng định rằng “Tồn tại một không gian mêtric compact khả li số chiều n  bao hàm tất cả các không gian mêtric compact đẳng cự số chiều n” và ông đã nêu lên một số vấn đề cần giải quyết như sau: 1. Cho     \  . Có tồn tại một phần tử phổ dụng trong lớp tất cả các không gian mêtric compact khả li số chiều siêu hạn ind   ? 2. Cho     \  . Có tồn tại một phần tử phổ dụng trong lớp tất cả các không gian mêtric compact khả li số chiều siêu hạn Ind   ? 3. Cho     \  . Có tồn tại một không gian mêtric compact khả li đầy đủ với số chiều siêu hạn ind   bao gồm tất cả các không gian compact mêtric đẳng cự với số chiều siêu hạn ind   hay không? 4. Cho     \  . Có tồn tại một không gian mêtric compact khả li đầy đủ với số chiều siêu hạn Ind   bao gồm tất cả các không gian compact mêtric đẳng cự với số chiều siêu hạn Ind   hay không? Ở đây trong đề tài này ta sẽ đi nghiên cứu và trả lời về những vấn đề trong câu hỏi 3 và xây dựng những sơ đồ ánh xạ đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact. 3. Mục đích của đề tài Nghiên cứu ánh xạ và đẳng cự của một số không gian mêtric compact. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số kết quả đã có liên quan đến nội dung luận văn làm cơ sở lý luận và sử 3 dụng các kết quả nghiên cứu đã có để chứng minh một số định lý và tính chất trong bài. 5. Nội dung của đề tài Chương 1: Giới thiệu tổng quan. Các kiến thức chuẩn bị về đại số, nhóm tôpô, tính compact, tính liên thông và không gian mêtric. Chương 2: Phép nhúng đẳng cự giữa những không gian mêtric compact có số chiều đếm được. Chương 3: Ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact. 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho: i. , X  ii. U , V   U  V  iii. Ui   , i  I  iI Ui  Khi đó ta có  là một tôpô trên X và  X ;   là một không gian tôpô. 1.1.2. Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ;   và điểm x  X , U  X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại một tập mở V   sao cho x  V và V  U . 1.1.3. Tập mở Tập A  X được gọi là tập mở nếu và chỉ nếu với mỗi x  A thì có một lân cận U x của x được chứa trong A . Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở. 1.1.4. Không gian tôpô con Cho không gian tôpô  X ;   và A  X . Trên A ta xét họ tập mở  A   A  U :U mở trong X là họ các tập mở trong A . Dễ thấy  A là tôpô được cảm sinh từ tôpô  . Khi đó  X ,  A  được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô  X ,   . 1.1.5. Không gian tôpô tổng   Cho họ các không gian tôpô đôi một rời nhau Xi Đặt X  iI  iI . Xi và   U  X :U  Xi mở trong Xi , i  I  5 Khi đó  là một tôpô trên X và  X ,   được gọi là tôpô tổng của các   không gian tôpô Xi iI . Kí hiệu: iI Xi . 1.1.6. Không gian tôpô tích  Cho họ các không gian tôpô Xi , i   họ các phép chiếu pi chiếu p  i iI iI  iI . Xét tích Descartes X iI i và từ X lên Xi . Khi đó tôpô cảm sinh từ các phép được gọi là tôpô tích trên X , kí hiệu  . iI i Không gian     Xi ,  i  được gọi là không gian tôpô tích. iI  iI  1.1.7. Không gian tôpô thương Cho không gian tôpô  X ,   và R là một quan hệ tương đương trên X. Ta đặt: q: X  X/ R x [x] với X / R là tập các lớp tương đương của R .   Họ  / R  U  X / R : q 1 (U )   là một tôpô trên X / R và được gọi là tôpô thương. 1.1.8. Cơ sở không gian tôpô Cho không gian tôpô  X ,   , một họ    được gọi là cơ sở của không gian  X ,   nếu mọi tập con khác rỗng của X được biểu diễn qua hợp của một họ con của  . Như vậy, một họ các tập con (trên X )    gọi là cơ sở của không gian  X ,   nếu với mọi x  X và lân cận V bất kì của x thì tồn tại tập mở U  sao cho x U  V . 6 Một không gian tôpô  X ,   có thể có nhiều cơ sở khác nhau. Một họ   x  các lân cận của x được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với lân cận V bất kì của x thì có một U   x  sao cho x U  V . 1.1.9. Phần trong, bao đóng, biên a. Phần trong Tập mở lớn nhất được chứa trong A được gọi là phần trong của tập A . Ký hiệu: int A hoặc A o . b. Bao đóng Tập đóng bé nhất trong X chứa A được gọi là bao đóng của tập A . Ký hiệu:  A  , A , hoặc Cl  A c. Biên Cho  X ,  là một không gian tôpô và A  X . Một điểm x  X được gọi là điểm biên của A nếu x thuộc bao đóng của A nhưng không thuộc phần trong của A, tức là x  A \ int  A  . Tập hợp tất cả các điểm biên của A thì được gọi là biên của A . 1.2. Các tiên đề tách 1.2.1. Không gian T0 Không gian tôpô  X ;   được gọi là T0  không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại một lân cận U1 của x sao cho y  U1 hoặc một lân cận U 2 của y sao cho x U2 . 1.2.2. Không gian T1 7 Không gian tôpô  X ;   được gọi là không gian T1 nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X có một lân cận U1 của x sao cho y  U1 và một lân cận U 2 của y sao cho x U2 . 1.2.3. Không gian T2 Không gian tôpô  X ;   được gọi là không gian T2 (hay không gian Hausdorff) nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X có các lân cận U1 , U2 sao cho x U1 , y U2 và U1  U2   1.2.4. Không gian T3 Không gian tôpô  X ;   được gọi là không gian T3 (hay không gian chính qui) nếu X là T1  không gian và với mọi x  X và với tập đóng A  X sao cho x  A thì tồn tại các tập mở U1 ,U2 sao cho x U1 , A  U2 và U1  U2   . 1.2.5. Không gian T4 Không gian tôpô  X ;   được gọi là không gian T4 (hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1  không gian và với hai tập đóng A, B bất kì phân biệt trong X, thì tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U , B  V và U  V   . 1.3. Ánh xạ liên tục 1.3.1. Định nghĩa Cho hai không gian tôpô  X , X  , Y , Y  và ánh xạ f : X  Y . f được gọi là liên tục tại điểm xo  X nếu với mỗi lận cận W của f  x0  trong Y luôn tồn tại một lân cận V của xo trong X sao cho f V   W . 8 f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x  X . 1.3.2. Định lý Cho X ,Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X  Y . Khi đó ánh xạ f liên tục tại điểm xo  X khi và chỉ khi với mỗi lân cận W của f  xo  trong 1 Y thì f W  là lân cận của xo trong X . 1.3.3. Định lý Giả sử  X , X  , Y , Y  là hai không gian tôpô và f : X  Y . Các mệnh đề sau tương đương: i. Ánh xạ f liên tục trên X . ii. Nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở. iii. Nghịch ảnh của mỗi tập đóng là một tập đóng.   iv. A  X  f A  f  A . v. B  Y  f 1  B0    f 1  B   0 1.4. Ánh xạ đóng, ánh xạ mở 1.4.1. Định nghĩa Cho hai không gian tôpô X và Y . Ánh xạ f : X  Y được gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu mọi tập A đóng (mở) trong X đều có f  A là tập đóng (mở) trong Y . 1.4.2. Định lý Giả sử f : X  Y là một song ánh liên tục. Các mệnh đề sau là tương đương: i. f là một phép đồng phôi. ii. f là ánh xạ đóng. iii. f là ánh xạ mở. 9 1.5. Phủ, phủ con, lọc 1.5.1. Phủ Cho tập hợp X tùy ý khác rỗng, A là tập con nào đó của X . Một họ  Bi iI các tập con của X được gọi là một phủ của tập con A nếu A  iI Bi . Khi đó ta cũng nói họ  Bi iI phủ tập A . 1.5.2. Phủ con Nếu  Bi iI là một phủ của tập A , họ con  B j  jK  K  I  của họ  Bi iI được gọi là phủ con của phủ trên nếu bản thân họ  B j  jK cũng là một phủ của A. Nếu I là tập hợp hữu hạn thì ta nói  Bi iI là phủ hữu hạn của A. 1.5.3. Lọc Cho S là một tập. Cho Khi đó ta nói Nghĩa là là một lọc của là một lọc của vài phần tử của Nếu  U  và  V  là phủ của S . khi V  : U  : V  U khi mọi phần tử của là tập con của một . là một lọc của thì mịn hơn hay thô hơn . 1.6. Không gian compact 1.6.1. Định nghĩa Không gian tôpô ( X , ) được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn tại một phủ con hữu hạn. Ta có ( X , ) là không gian compact  G I ,  G  X 10  U i (i  1, 2,..., n) : n U i  X i 1 1.6.2. Tập compact Cho ( X , ) là một không gian tôpô, A  X , A   , A là tập compact trong X nếu A với tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên X là không gian compact. A được gọi là tập compact tương đối nếu A là tập compact. Ví dụ: 1. Tập X tùy ý với tôpô thô là không gian compact. 2. với tôpô tự nhiên là không gian compact. 3. Không gian tôpô mọi phủ mở đếm được của 4. Không gian tôpô với mỗi điểm x thuộc X X được gọi là không gian compact đếm được nếu X luôn có một phủ con hữu hạn. X được gọi là không gian compact địa phương nếu có một lân cận U   của x sao cho U là compact. 1.6.3. Định lý Cho không gian tôpô  X,  , A là một tập con của X. A khi và chỉ khi với mỗi họ  Fi iI các tập con  A  đóng của hữu hạn, tức là iJ A là tập compact có tính chất giao Fi   1.6.4. Định lý Nếu một không gian con A của không gian tôpô X là không gian compact thì với mọi họ Ui iI các tập con mở của X sao cho A  tồn tại một tập hữu hạn i1 , i2 ,..., ik   I sao cho A  k j 1 Ui . iI Ui , j 1.6.5. Định lý Tychonoff Cho  Xi , i iI là một họ các không gian tôpô, ( X , ) là không gian tích của chúng. 11 Nếu tất cả các không gian  Xi , i  compact thì ( X , ) cũng compact. Nếu tất cả các tập Xi là khác rỗng và ( X , ) là compact thì tất cả các không gian  Xi , i  cũng compact. 1.6.6. Định lý Cho không gian tôpô ( X , ) . Các mệnh đề sau tương đương. i. ( X , ) là compact đếm được. ii. Mỗi họ đếm được các tập đóng của X có tính giao hữu hạn thì có giao khác rỗng. iii. Với mỗi dãy giảm F1  F2  ... các tập con đóng khác rỗng của X , giao F khác rỗng.  i 1 i 1.6.7. Compact dãy Định nghĩa: Không gian tôpô ( X , ) được gọi là compact dãy nếu mỗi dãy x  n n  X thì có dãy con hội tụ về một điểm trong X. Tính chất: Nếu X là không gian compact dãy thì X cũng là không gian compact đếm được. Trong không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, tính compact dãy và tính compact đếm được là tương đương nhau. Định lý: Nếu A là tập con đóng của không gian compact dãy thì A cũng là tập compact dãy. 1.7. Không gian mêtric 1.7.1. Mêtric trên một tập hợp Định nghĩa: 12 Cho tập tùy ý X  0 . Ánh xạ  : X  X  được gọi là một mêtric (khoảng cách) trong X nếu: i.  ( x,y)  0 x, y  X ii.  ( x, y)  0  x  y (tiên đề đồng nhất) iii.  ( x, y)   (y, x) x, y  X iv.  ( x,y)   ( x, z)   (z, y) x, y, z  X (tiên đề tam giác) (tiên đề đối xứng) Tập X với mêtric  trang bị trên X được gọi là một không gian mêtric. Ký hiệu ( X ,  ) 1.7.2. Không gian mêtric con Cho không gian mêtric ( X ,  ) và E  X , E   . Với mỗi x, y  E , đặt  E ( x, y)   ( x, y) . Khi đó E là một mêtric trên E . E được gọi là mêtric cảm sinh trên E bởi mêtric  . Không gian mêtric (E ,  E ) được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric ( X ,  ) . 1.7.3. Không gian mêtric tích Cho hai không gian mêtric ( X ,  X ) , (Y , Y ) . Xét X  Y   x , y  : x  X , y  Y  . X  Y là một không gian mêtric với 2 2 mêtric  (( x1, y1),( x2 , y2 ))   X ( x1, x2 )  Y ( y1,y2 ) Với ( x1, y1)  X  Y , ( x2 , y2 )  X  Y Không gian mêtric ( X  Y ,  ) được gọi là không gian mêtric tích của các không gian mêtric X và Y . 1.7.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric Định nghĩa: 13 Cho không gian mêtric  X ,   . Dãy  xn n  X được gọi là hội tụ về một điểm a  X nếu lim   xn , a   0 . n Ký hiệu lim xn  a hay xn  a n Khi đó a được gọi là giới hạn của dãy x n . Ta có lim xn  a    0, N : n  N :   xn , a    . n Nhận xét (tính chất): Cho không gian mêtric  X ,   . i) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất. Chứng minh:  xn n Cho dãy trong không gian mêtric  X , . Giả sử xn  x , và xn  x '. Ta có: 0    x, x '    x, xn     x n , x ' Cho n   ta được   x, x '  0  x  x '. Vậy giới hạn của  xn n là duy nhất. ii) Nếu dãy  xn n hội tụ về điểm a thì mọi dãy con của dãy này cũng hội tụ về a. iii) Nếu xn  a và yn  b thì   xn , yn     a, b  . Chứng minh: Thật vậy, ta có: 0    xn , yn     a, b     xn , a     yn , b  Cho n   ta được   xn , yn     a, b . 1.7.5. Không gian mêtric đầy đủ Dãy  xn   n 1 trong không gian mêtric ( X ,  ) được gọi là dãy Cauchy, (hoặc dãy cơ bản), nếu với mỗi   0 , tồn tại số no  i, j  no luôn có d ( xi , x j )   . sao cho với mọi số