Tài liệu Ánh xạ (i,j ) phủ dãy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRƯƠNG PHƯỚC HẢI ÁNH XẠ (I, J )-PHỦ-DÃY. KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRƯƠNG PHƯỚC HẢI ÁNH XẠ (I, J )-PHỦ-DÃY. KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn với thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, người đã dìu dắt em từ những kiến thức cơ bản trên giảng đường đến người hướng dẫn khoa học trong khóa luận này. Trong quá trình nghiên cứu, em đã gặp không ít những khó khăn và thiếu sót về mặt kiến thức và kĩ năng nhưng không quản điều đó, thầy đã hỗ trợ và hướng dẫn tận tình và cặn kẽ. Thầy là tấm gương mẫu mực về học tập, nghiên cứu và là điểm tựa vững chắc, là động lực để em có thể thực hiện tốt không chỉ trong phạm vi khóa luận mà còn là cả chặng đường học tập sau này. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa ToánĐHSP Đà Nẵng. Những kiến thức mà em được học từ quý thầy cô trên giảng đường một cách thầm lặng giúp em có được nền tảng vững chắc để có thể hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn! Trương Phước Hải MỤC LỤC MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp . . . . 4 1.2. Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.3. Một số tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Tập hợp compact và ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 CHƯƠNG 2. Ánh xạ (I, J )-phủ-dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Tính chất của dãy I -hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Ánh xạ (I, J )-phủ-dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm giới hạn của dãy số hay sự hội tụ của dãy số vốn đã có từ rất lâu và là nền tảng cơ bản, vô cùng quan trọng đối với giải tích cổ điển nói chung cũng như giải tích hiện đại nói riêng. Trải qua quá trình phát triển với rất nhiều công trình nghiên cứu, sự hội tụ của dãy số đã được mở rộng thành khái niệm mới là hội tụ thống kê do H. Fast đưa ra vào năm 1951 (xem [3]). Trong thời gian gần đây, người ta đã quan tâm nhiều đến sự mở rộng khái niệm hội tụ thống kê trên một không gian topo theo nhiều khía cạnh khác nhau. Một trong những hướng mở rộng mới được các tác giả trên thế giới quan tâm nhiều là khái niệm I -hội tụ trên không gian topo với I là một ideal trên tập số tự nhiên N. Cùng với sự nghiên cứu các khái niệm về sự hội tụ, trong 50 năm trở lại đây, lý thuyết về ảnh của các không gian metric qua ánh xạ cũng là mảnh đất “màu mỡ” cho những nhà khoa học nghiên cứu với rất nhiều những bài báo được giới thiệu. Một trong những công trình có thể được kể đến là của Siwiec giới thiệu vào năm 1971 (xem [5]), tác giả đã đưa ra khái niệm về ánh xạ phủ-dãy và thu được nhiều kết quả thú vị. Hướng nghiên cứu về đặc trưng ảnh của không gian metric qua các ánh xạ phủ-dãy và mối quan hệ của ánh xạ phủ-dãy với các ánh xạ khác đã trở thành một hướng nghiên cứu điển hình trong sự phát triển của lý thuyết k -mạng, góp phần làm phong phú cho sự tiến bộ và phát triển của lĩnh vực nghiên cứu Lý thuyết về topo đại cương. Năm 2019, bằng cách khái quái quát hóa khái niệm ánh xạ phủ-dãy trên cơ sở nhờ vào khái niệm của dãy I -hội tụ, các tác giả S.K. Pal, N. Adhikary, U. Samanta đã giới thiệu khái niệm ánh xạ (I, J )-phủ-dãy, nhờ 2 đó các tác giả đã thu được một số tính chất quan trọng của khái niệm này. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn các tính chất của dãy I -hội tụ, mối quan hệ của dãy I -hội tụ với hội tụ thông thường và tính chất của ánh xạ (I, J )-phủ-dãy cũng như ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Ánh xạ (I, J )-phủ-dãy” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến dãy I -hội tụ của các tác giả đi trước và nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ (I, J )-phủ-dãy và ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất của ideal, dãy I -hội tụ, ánh xạ (I, J )-phủ-dãy và ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy. 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất của dãy I -hội tụ, mối quan hệ giữa dãy I -hội tụ với hội tụ thông thường trên không gian topo, mối quan hệ giữa ánh xạ (I, J )-phủ-dãy và ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy. 5. Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương. • Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến các tính chất của dãy I -hội tụ, ánh xạ (I, J )-phủ-dãy và ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy. • Đọc kỹ và chứng minh chi tiết các kết quả đã tìm kiếm. • Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả 3 đang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình của mình. 4. Cấu trúc của đề tài Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. Chương 2, trình bày về ánh xạ (I, J )-phủ dãy bao gồm 2 mục: Mục 2.1, trình bày về một số tính chất của dãy I -hội tụ ; Mục 2.2, trình bày về ánh xạ (I, J )-phủ-dãy. 4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về topo đại cương. Các khái niệm và các tính chất trong chương này được trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau. 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp Định nghĩa 1.1.1 ([2]). Giả sử τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau. (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ ; S (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì Uα ∈ τ . α∈Λ Khi đó, (1) τ được gọi là một topo trên X . (2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo. (3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở. (4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó. Nhận xét 1.1.2 ([2]). Đối với không gian topo X , các khẳng định sau là đúng. (1) ∅, X là các tập hợp mở; 5 (2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở. Ví dụ 1.1.3. (1) Giả sử X là một tập hợp tùy ý, T = {∅, X}. Khi đó, T là một topo trên X và nó được gọi là topo thô trên X , (X, T ) được gọi là không gian topo thô. (2) Giả sử X là một tập hợp tùy ý, T = P(X). Khi đó, T là một topo trên X và nó được gọi là topo rời rạc trên X . (3) Giả sử X = R. Ký hiệu [ τ= ∈ I(ai , bi ) : ai , bi ∈ R, ai ≤ bi . i Khi đó, τ là một topo trên X và nó là topo tự nhiên hay topo thông thường trên R. Định nghĩa 1.1.4 ([2]). Giả sử A là một tập con khác rỗng của không gian topo (X, τ ). Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho A ⊂ V ⊂ U. Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x. Nhận xét 1.1.5 ([2]). Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Chứng minh. Trên tập hợp các số thực R với topo thông thường τ , giả sử U = [−1; 1] và V = (−1; 1). Khi đó, V ∈ τ và U là một lân cận của điểm x = 0 vì x ∈ V ⊂ U nhưng U ∈ / τ . Do đó, lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở. Ngược lại, giả sử U là tập mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta đặt V = U thì rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là một lân cận của x. 6 Bổ đề 1.1.6 ([2]). Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. (1) U là tập hợp mở; (2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó; (3) Với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Chứng minh. (1) =⇒ (2) Giả sử U là tập mở và x ∈ U . Ta đặt V = U , thì rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là một lân cận của x. (2) =⇒ (3) Giả sử U là lân cận của mọi x ∈ U . Khi đó, với mọi x ∈ U , nếu ta đặt Vx = U , thì Vx là lân cận của x và x ∈ Vx = U ⊂ U. Do đó, (3) thỏa mãn. (3) =⇒ (1) Giả sử vói mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi dó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U . Do đó, U= S x∈U S kéo theo U = {x} ⊂ S Wx ⊂ U , x∈U Vx . Bởi vì Wx ∈ τ với mọi x ∈ U nên ta suy ra U ∈ τ , x∈U nghĩa là U mở. Định nghĩa 1.1.7. [[2]] Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ . Ta nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B . Nhận xét 1.1.8 ([2]). Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và một họ B ⊂ τ . Khi đó, 7 (1) Nếu B là cơ sở của τ , thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở trong X , nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc B . (2) B là cơ sở của không gian topo (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. Chứng minh. (1) Bởi vì B ⊂ τ nên mọi phần tử của B đều mở trong X . Tiếp theo, để chỉ ra mỗi tập mở trong X có thể không thuộc B , ta xét phản ví dụ sau đây: trên tâp hợp các số thực R với topo thông thường τ , giả sử B = {(ai , bi ) : ai , bi ∈ R, ai ≤ bi , i ∈ I} và U = (1; 2) ∪ (3; 4). Khi đó, rõ ràng B là một cơ sở của (R, τ ) và U ∈ τ nhưng U ∈ / B. (2) ♣ Điều kiện cần. Giả sử họ B là một cơ sở của τ , U ∈ τ và x ∈ U . S Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.7, U = {Bi : Bi ∈ B}. Bởi vì x ∈ U nên i∈I tồn tại i0 ∈ I sao cho x ∈ Bi0 ⊂ U . Nếu đặt V = Bi0 thì V ∈ B và x ∈ V ⊂ U. ♣ Điều kiện đủ. Giả sử U ∈ τ và B là họ gồm các tập con mở trong X thỏa mãn: với mỗi x ∈ U , tồn tại Vx ∈ B sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi đó, S U= Vx . Điều này chứng tỏ rằng B là một cơ sở của τ . x∈U 1.2. Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp Định nghĩa 1.2.1 ([2]). Tập con X của một không gian topo (X, τ ) được gọi là tập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ . Định lí 1.2.2 ([2]). Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là đúng. (1) ∅, X là các tập hợp đóng; 8 (2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng là một tập hợp đóng; (3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng. Chứng minh. (1) Bởi vì X \ ∅ = X ∈ τ và X \ X = ∅ ∈ τ nên ∅ và X là các tập đóng trong X . (2) Giả sử F1 , ..., Fn là các tập đóng. Khi đó, X \ F1 , . . . , X \ Fn là các n T tập mở. Theo Nhận xét 1.1.2, (X \ Fi ) ∈ τ . Mặt khác, vì i=1 n \ (X \ Fi ) = X \ i=1 n S nên X \ n [ Fi
i=1
Fi ∈ τ . Điều này chứng tỏ rằng i=1 n S Fi là một tập đóng. i=1 (3) Giả sử {Fα : α ∈ Λ} là một họ gồm các tập con đóng. Khi đó, với
S mỗi α ∈ Λ thì X \Fα là tập mở. Theo Nhận xét 1.1.2 thì X \Fα ∈ τ . α∈Λ Lại vì [ α∈Λ T nên X \ α∈Λ
\

X \ Fα = X \ Fα α∈Λ Fα ∈ τ . Điều này chứng tỏ rằng T
Fα là tập đóng. α∈Λ Nhận xét 1.2.3 ([2]). Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Chứng minh. Giả sử R là tập hợp số thực với topo τ thông thường và   1 An = 0, 1 − với mọi n ∈ N∗ . n Khi đó, • An là tập hợp đóng trong R với mọi n ∈ N∗ . S • An = [0, 1). n∈N∗ 9 Thật vậy, giả sử x ∈ S n∈N∗ An . Suy ra tồn tại n ∈ N∗ sao cho   1 x ∈ An = 0, 1 − ⊂ [0, 1). n Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo 0 ≤ x < 1. Do đó, tồn tại n ∈ N∗ sao cho 1 0≤x≤1− . n Điều này suy ra rằng   S 1 x ∈ 0, 1 − = An ⊂ An . n n∈N∗ • [0, 1) không là tập hợp đóng trong (R, τ ). Từ chứng minh trên ta suy ra rằng hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Định nghĩa 1.2.4 ([2]). Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là A. Định lí 1.2.5 ([2]). Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, các khẳng định sau là đúng. (1) A luôn tồn tại và A ⊂ A; (2) A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A; (3) A đóng khi và chỉ khi A = A; (4) Nếu A ⊂ B , thì A ⊂ B ; 10 (5) A ∪ B = A ∪ B ; (6) A ∩ B ⊂ A ∩ B , và đẳng thức không xảy ra. Chứng minh. (1) Từ Định nghĩa 1.2.4 và Định lí 1.2.2 ta suy ra A luôn tồn tại và A là một tập con đóng chứa A. (2) Giả sử G là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Khi đó, vì A là tập đóng chứa A nên A ⊂ G. Như vậy, G = A, nghĩa là A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. (3) Giả sử A ⊂ X là tập hợp đóng. Khi đó, vì A là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng là tập đóng chứa A nên A ⊂ A. Mặt khác, theo khẳng định (1), ta có A ⊂ A. Do vậy, A = A. Bây giờ, giả sử A = A, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra A là tập con đóng. (4) Giả sử A ⊂ B , khi đó theo khẳng định (1) ta có B ⊂ B , kéo theo A ⊂ B . Như vậy, kết hợp với khẳng định (1) ta suy ra B là tập con đóng chứa A. Mặt khác, lại theo khẳng định (1), A là tập đóng nhỏ nhất chứa A nên ta suy ra A ⊂ B . (5) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên nhờ khẳng định (4), ta suy ra A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B . Do đó, ta nhận được A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.1) Mặt khác, lại theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B nên A ∪ B ⊂ A ∪ B. Hơn nữa, nhờ Định lí 1.2.2 và khẳng định (1) ta suy ra A ∪ B là tập đóng 11 và A ∪ B ⊂ A ∪ B . Do đó A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.2) Do vậy, từ (1.1) và (1.2) ta suy ra rằng A ∪ B = A ∪ B . (6) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo khẳng định (4), ta suy ra A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B . Suy ra A ∩ B ⊂ A ∩ B . Bây giờ, ta xét R với topo thông thường. Giả sử A = (0, 1) và B = (1, 2). Khi đó, A ∩ B = ∅ = ∅, A ∩ B = {1}. Như vậy, A ∩ B ̸= A ∩ B. Định lí 1.2.6 ([2]). Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. (1) x ∈ A; (2) U ∩ A ̸= ∅ với mọi lân cận U của x; (3) Tồn tại một cơ sở Bx của x sao cho U ∩ A ̸= ∅ với mọi U ∈ Bx . 1.3. Một số tiên đề tách Định nghĩa 1.3.1 ([2]). Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) (X, τ ) được gọi là T1 -không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x ̸= y , tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho x ∈ / V và y ∈ / U; (2) (X, τ ) được gọi là T2 -không gian hay là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X mà x ̸= y , tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅. 12 (3) (X, τ ) được gọi là không gian chính quy, nếu với mọi F đóng trong X và x ∈ / F, tồn tại các lân cận U của x và V của F sao cho U ∩ V = ∅. T1 -không gian chính quy được gọi là T3 -không gian. Định lí 1.3.2 ([2]). Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) T2 -không gian =⇒ T1 -không gian; (2) T1 -không gian ̸=⇒ T2 -không gian. 1.4. Tập hợp compact và ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.4.1 ([2]). Giả sử U là một họ nào đó gồm các tập con của không gian topo X và A ⊂ X . Khi đó, (1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂ S {U : U ∈ U}. (2) U được gọi là phủ mở của A nếu U là một phủ của A và mỗi phần tử của U là tập hợp mở. (3) U được gọi là phủ hữu hạn của A nếu U là một phủ của A chỉ có hữu hạn phần tử. Định nghĩa 1.4.2 ([2]). Giả sử K là một tập con của không gian topo X . Ta nói rằng K là tập compact nếu mỗi phủ mở của K , tồn tại một phủ con hữu hạn phủ K . Bổ đề 1.4.3 ([2]). Mỗi tập con compact trong không gian Hausdorff là tập hợp đóng. Bổ đề 1.4.4 ([2]). Giả sử {F1 , F2 , . . . , Fk } là họ gồm các tập con đóng k S của không gian X . Khi đó, F = Fi là compact khi và chỉ khi Fi là i=1 compact với mọi i ≤ k . 13 Định nghĩa 1.4.5 ([2]). Giả sử f : X → Y là một ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào không gian topo Y . Khi đó, (1) f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận mở V của f (x) trong Y , tồn tại lân cận mở U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V . (2) f được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X. (3) f được gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f , f −1 là các ánh xạ liên tục. Định lí 1.4.6 ([2]). Đối với không gian topo X , các khẳng định sau là tương đương. (1) f là ánh xạ liên tục; (2) f −1 (U ) mở trong X với mọi U mở trong Y ; (3) f −1 (F ) đóng trong X với mọi F đóng trong Y ; (4) f (A) ⊂ f (A) với mọi A ⊂ X . Bổ đề 1.4.7 ([2]). Nếu f là ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào không gian topo Y và K là tập compact trong X , thì f (K) là tập compact trong Y . 1.5. Không gian con Định nghĩa 1.5.1 ([2]). Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, Y ⊂ X và τY = {Y ∩ U : U ∈ τ }. Khi đó, τY là một topo trên Y . Ta nói rằng (Y, τY ) là một không gian con của không gian topo (X, τ ). 14 Định lí 1.5.2 ([2]). Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, (Y, τY ) là một không gian con của X và A ⊂ Y . Khi đó, (1) A là đóng trong Y khi và chỉ khi tồn tại tập con đóng F trong X sao cho A = Y ∩ F ; Y (2) A = A ∩ Y. 15 CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ (I, J )-PHỦ-DÃY Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm dãy I -hội tụ trên một ideal và chứng minh chi tiết một số tính chất cần thiết của chúng nhằm hiểu một cách sâu sắc và cặn kẽ hơn về khái niệm mới này. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu về tính chất của ánh xạ (I, J )-phủ-dãy, (I, J )-1-phủ-dãy và mối liên hệ giữa chúng. Nếu không nói gì thêm, trong toàn bộ chương này chúng tôi quy ước rằng tất cả các ideal đều là chấp nhận được và các ánh xạ đều là ánh xạ liên tục và N = {1, 2, . . . }. 2.1. Tính chất của dãy I-hội tụ Mục này dành cho việc trình bày khái niệm dãy I -hội tụ trên một ideal và chứng minh chi tiết một số tính chất cần thiết của chúng nhằm hiểu một cách sâu sắc và cặn kẽ hơn về khái niệm mới này. Định nghĩa 2.1.1 ([6]). Cho tập hợp M và 2M là họ tất cả các tập con của M . Xét I ⊂ 2M : 1) I được gọi là ideal trên M nếu I thỏa mãn các điều kiện sau: ◦ A ∈ I ,B ⊂ A thì B ∈ I. ◦ A ∈ I ,B ∈ I thì A ∪ B ∈ I. 2) I được gọi là một ideal không tầm thường nếu I là một ideal, I ̸= ∅ và M ∈ / I. 3) I được gọi là một ideal chấp nhận được nếu I là một ideal không tầm 16 thường và {{x}, x ∈ M } ⊂ I tức họ I chứa tất cả các tập hợp có một phần tử của M . 4) Giả sử I là một ideal không tầm thường. Ta kí hiệu FI = {A ⊂ M : M \A ∈ I}. 5) Giả sử I là một ideal trên M . Ta kí hiệu If = {A ⊂ M : A hữu hạn}. Nhận xét 2.1.2 ([6]). Giả sử I là một ideal trên M . Khi đó 1) Hợp hữu hạn của các phần tử thuộc I cũng thuộc I. 2) Nếu M là tập hợp vô hạn thì If là ideal chấp nhận được 3) Nếu I là một ideal chấp nhận được thì I chứa tất cả các tập con hữu hạn của M . Chứng minh. (1): Ta suy ra trực tiếp từ định nghĩa 2.1.1 bằng phương pháp chứng minh quy nạp. (2) Giả sử M là tập vô hạn. Khi đó ta có: • Bởi vì M vô hạn nên M ∈ / I. • Với mỗi x ∈ M , tập hợp {x} là hữu hạn nên {x} ∈ If . Suy ra If ̸= ∅ và {{x} : n ∈ X} ⊂ If . Như vậy, If là ideal chấp nhận được. (3) Giả sử A là tập hữu hạn và A ⊂ M . Khi đó A có thể biểu diễn dưới dạng hợp hữu hạn các tập con có một phần tử của M . Mặt khác, vì mỗi tập con đó đều thuộc I và I là ideal nên A ∈ I. Định nghĩa 2.1.3 ([6]). Cho (X, τ ) là một không gian topo, {xk } ⊂ X , x ∈ X , Ux là họ gồm tất cả các lân cận của x và I là một ideal trên N.