Tài liệu ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt lên mật độ mức trong hạt nhân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Ngọc Đức ẢNH HƯỞNG CỦA THĂNG GIÁNG NHIỆT LÊN MẬT ĐỘ MỨC TRONG HẠT NHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Ngọc Đức ẢNH HƯỞNG CỦA THĂNG GIÁNG NHIỆT LÊN MẬT ĐỘ MỨC TRONG HẠT NHÂN Chuyên ngành: Vật Lý Nguyên Tử Mã số : 60 44 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T.S NGUYỄN QUANG HƯNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ, dạy bảo tận tình của quý thầy cô của trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và những thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Tiến Sĩ Nguyễn Quang Hưng đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn nghiên cứu và giúp tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Nhân đây, tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh cùng các thầy cô trong khoa Vật Lý đã tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành tốt khóa học. Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng để hoàn thành tốt luận văn của mình, tuy nhiên không tránh khỏi còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của của quý thầy cô và các bạn. 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .......................................................................... 7 1.1. Hamiltonian kết cặp..................................................................................................... 7 1.2. Lý thuyết BCS tại nhiệt độ hữu hạn (FTBCS) .......................................................... 9 1.2.1. Lý thuyết BCS tại nhiệt độ bằng không .................................................................. 9 1.2.2. Lý thuyết FTBCS .................................................................................................. 10 1.3. Lý thuyết FTBCS có tính tới ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt (lý thuyết FTBCS1) ............................................................................................................................ 11 1.4. Mật độ mức................................................................................................................. 13 1.4.1. Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS ................................................................ 13 1.4.2. Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS1 .............................................................. 16 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN ........... 18 2.1. Các số liệu đầu vào cho tính toán ............................................................................. 18 2.2. Kết quả tính toán và phân tích ................................................................................. 19 2.2.1. Khe năng lượng kết cặp ......................................................................................... 19 2.2.2. Năng lượng kích thích toàn phần .......................................................................... 23 2.2.3. Nhiệt dung riêng .................................................................................................... 25 2.2.4. Entropy .................................................................................................................. 29 2.2.5. Mật độ mức ........................................................................................................... 32 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 37 2 LỜI MỞ ĐẦU Hạt nhân nguyên tử bất kỳ được tạo bởi các neutron và proton hay gọi chung là các nucleon. Các nucleon này là các hạt Fermion phân bố trên các mức năng lượng đơn hạt khác nhau tuỳ thuộc vào từng hạt nhân khác nhau. Các mức năng lượng này là rời rạc. Tuy nhiên số mức trên một đơn vị năng lượng sẽ tăng khi hạt nhân bị kích thích, tức là không còn ở trạng thái cơ bản nữa. Do vậy, khi hạt nhân càng rời xa trạng thái cơ bản thì khoảng cách giữa các mức năng lượng càng nhỏ.Đại lượng phổ biến dùng để mô tả tính chất thống kê này của hạt nhân là mật độ mức [26].Mật độ mứctheo định nghĩa là số mức trên một đơn vị năng lượng tại một giá trị năng lượng kích thích xác định. Các mức năng lượng kích thích trong hạt nhân có thể phân chia theo vùng kích thích năng lượng thấp và vùng kích thích năng lượng cao và sự phân bố các mức theo hai vùng này là khác nhau. Khoảng cách giữa các mức nằm ở vùng năng lượng kích thích thấp khá nhỏ. Các mức này nằm tách biệt hẳn so với các mức khác và chúng có cấu trúc đơn giản. Tại vùng năng lượng kích thích cao, khoảng cách giữa các mức giảm và do vậy bản chất của sự kích thích trong vùng này trở nên rất phức tạp[9]. Mật độ mứcđược biểu diễn như hàm của năng lượng kích thích, moment góc, số hạt, chẵn lẻ, spin đồng vị…Các số liệu về mật độ mức có đóng góp rất quan trọng không những trong cácnghiên cứuvề cấu trúc của hạt nhân như xác định tiết diện phản ứng, tốc độ phản ứng,...mà còn trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu cũng như ứng dụng khác, cụ thể [26, 1]: a) Thiết kế các máy gia tốc chùm hạt nhân phóng xạ: Thông tin về mật độ mức rất cần thiết cho việc tối ưu hoá các điều kiện thực nghiệm trong quá trình thiết kế các máy gia tốc chùm hạt nhân phóng xạ, đặc biệt là các máy gia tốc chùm hạt nhân phóng xạ không bền. b) Phản ứng phân hạch: Chiều cao của rào thế phân hạch cũng như phân bố của hạt nhân tạo thành trong quá trình phân hạch phụ thuộc vào mật độ mức. c) Tổng hợp hạt nhân: Để mô tả được quá trình tổng hợp hạt nhân, đặc biệt là các hạt nhân không bền tạo thành trong môi trường vũ trụ thì chúng ta phải biết được cấu trúc các hạt nhân trước và sau khi tham gia vào quá trình phản ứng. Mật độ mức là một trong các thông số quan trọng giúp chúng ta hiểu biết về cấu trúc của các hạt nhân này. d) Y hạt nhân: Các số liệu chính xác về mật độ mức giúp chúng ta tính toán được tiết diện của các phản ứng dùng để sản xuất các đồng vị phóng xạ sử dụng 3 trong chữa bệnh, từ đó giúp cho chúng ta có thể tối ưu hoá các sản phẩm đồng vị phóng xạ tạo thành. Thăng giáng đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ hữu hạn như hạt nhân nguyên tử, các hạt kim loại siêu dẫn rất nhỏ hay các hệ có kích cỡ nano. Do vậy, các lý thuyết đã áp dụng tốt cho hệ nhiều hạt phải được hiệu chỉnh để tính tới các thăng giáng khi áp dụng cho các hệ nhỏ. Đối với hệ hạt nhân nguyên tử, thăng giáng nhiệt ảnh hưởng rất mạnh tới cấu trúc hạt nhân tại nhiệt độ hữu hạn hay năng lượng kích thích lớn, đặc biệt là tới tính chất kết cặp và mật độ mức trong hạt nhân. Lý thuyết đầu tiên về kết cặp trong hạt nhân đã được Aage Bohr và Ben Mottelson (Nobel Vật lý năm 1975) đưa ra lần đầu tiên từ những năm 1950s [4]. Lý thuyết này dựa trên giả thuyết rằng sự kết cặp trong hạt nhân tương tự như kết cặp của các electron trong quá trình siêu dẫn theo lý thuyết của Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS) (Nobel Vật lý năm 1972) về tính siêu dẫn của kim loại [3]. Lý thuyết BCS sau này được sử dụng rộng rãi trong việc mô tả tương quan kết cặp trong hạt nhân.Tại nhiệt độ khác không, lý thuyết BCS tại nhiệt độ hữu hạn (FTBCS) cũng được áp dụng phổ biến trong việc mô tả tính chất kết cặp của hệ hạt nhân nguyên tử.Một ví dụ tiêu biểu là lý thuyết FTBCS đã tiên đoán rằng tương quan kết cặp của hệ giảm dần theo sự thăng của nhiệt độ và biến mất tại một nhiệt độ tới hạn Tc có giá trị gần bằng 0.568 lần giá trị của khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ T = 0 [3]. Hệ quả là trong hệ xuất hiện sự chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường và nhiệt độ Tc còn được gọi là nhiệt độ chuyển pha. Tiên đoán này khá phù hợp với kết quả thực nghiệm được tìm thấy trong các hệ vĩ mô như các chất bán dẫn kim loại. Tuy nhiên, khi áp dụng vào các hệ nhỏ như hạt nhân nguyên tử thì lý thuyết FTBCS không mô tả tốt tính chất nhiệt động học của các hệ này.Đó là bởi vì lý thuyết FTBCS bỏ qua các thăng giáng nhiệt gây bởi sự hữu hạn của các hệ nhỏ này. Nghiên cứu ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt lên tính chất nhiệt động học của hạt nhân là chủ đề của rất nhiều nghiên cứu trong suốt ba thập kỷ qua. Ngay từ những năm 70, bằng việc áp dụng lý thuyết vĩ mô về chuyển pha của Landau vào mô hình đồng nhất (uniform model), Moretto đã chỉ ra rằng các thăng giáng nhiệt đã làm xóa nhoà sự dịch chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường [20]. Khe năng lượng kết cặp của các hệ này theo đó sẽ giảm dần nhưng không bị biến mất tại nhiệt độ T = Tc như tiên đoán của lý thuyết FTBCS và luôn hữu hạn (có giá trị khác không) tại T > Tc. Tới những năm 80, bằng việc áp dụng lý thuyết Hartree-Fock-Bogoliubov tại nhiệt độ hữu hạn 4 (FTHFB) có tính đến ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt cho hệ hạt nhân nguyên tử, Goodman cũng đã tìm thấy hiện tượng tương tự như phát hiện của Moretto [10]. Các lý thuyết được xây dựng trong thập niên 90 sau này như lý thuyết gần đúng quãng đường tĩnh (static-path approximation – SPA) [24], tính toán Monte-Carlo theo mẫu vỏ (shell model Monte-Carlo calculation – SMMC) [8] cũng khẳng định hiện tượng xoá nhoà của chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường trong hệ hạt nhân nguyên tử. Giá trị bán thực nghiệm của khe năng lượng kết cặp rút ra được từ mật độ mức đo được từ các thực nghiệm gần đây nhất cho hạt nhân nặng 184 W cũng khẳng định sự không biến mất của khe năng lượng kết cặp tại T > Tc, giống như tiên đoán của các lý thuyết trên [18]. Tuy nhiên các lý thuyết như của Moretto và Goodman cũng như các lý thuyết khác (FTHFB, SPA, SMMC,…) đều chưa chỉ ra được nguồn gốc vi mô của các thăng giáng nhiệt gây nên sự xoá nhòa của dịch chuyển pha trong hệ hạt nhân nguyên tử. Gần đây, hai lý thuyết vi mô đã được xây dựng, đó là lý thuyết BCS đã được cải biên (modified BCS – MBCS) [7] và FTBCS1 [6]. Lý thuyết MBCS được xây dựng dựa trên việc cải biên ma trận mật độ và tensor kết cặp đơn hạt để đưa vào thăng giáng số giả hạt (quasiparticle-number fluctuation – QNF). Trong khi đó, lý thuyết FTBCS1 được xây dựng dựa trên sự rút gọn theo phương pháp trường trung bình (mean-field contraction) mà theo đó thăng giáng số giả hạt xuất hiện một cách tự nhiên. Lý thuyết này cho kết quả giống với các lý thuyết trước đó về sự không biến mất và hữu hạn của khe nặng lượng kết cặp tại tại T ≥ Tc. Ngoài ra, hai lý thuyết này đã lần đầu tiên chỉ ra rằng nguồn gốc vi mô gây nên sự không biến mất của khe năng lượng kết cặp tại T > Tc cũng như tác nhân gây nên sự xoá nhoà của dịch chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường trong các hệ hữu hạn như hạt nhân nguyên tử chính là do thăng giáng số giả hạt. Mục tiêu của luận văn này là áp dụng lý thuyết FTBCS1 như đã đề cập ở trên vào việc tính toán mật độ mức cũng như các đại lượng nhiệt động học như khe năng lượng kết cặp, nhiệt dung riêng, entropy, và năng lượng toàn phần cho một số hạt nhân chẵn-chẵn (số proton và neutron là chẵn) như 56Fe, 60Ni,96Mo,98Mo, và116Sn. Bằng việc so sánh các kết quả thu được từ lý thuyết FTBCS1 với FTBCS và với các số liệu thực nghiệm đo được gần đây bởi trung tâm máy gia tốc (Cyclotron center) của trường Đại học Oslo, Nauy [19, 11], chúng ta sẽ thấy được tầm quan trọng cũng như ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt, cụ thể là thăng giáng số giả hạt lên mật độ mức cũng như các đại lượng nhiệt động họccủa các hạt nhân trên. 5 6 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Hamiltonian kết cặp Hamiltonian kết cặp sử dụng trong luận văn này bao gồm hai phần, phần mô tả trường trung bình (mean field) H0 và phần mô tả kết cặp Hpair [22] 𝐻 = 𝐻0 + 𝐻𝑝𝑎𝑖𝑟 , trong đó, �𝑘 ; 𝐻0 = � 𝜖𝑘 𝑁 𝑘 (1.1.1) 𝐻𝑝𝑎𝑖𝑟 = 𝐺 � 𝑃�𝑘† 𝑃�𝑘′ , (1.1.2) 𝑘,𝑘 ′ >0 với𝜖𝑘 là năng lượng đơn hạt trên mức thứ k(viết trong cơ sở biến dạng – deformed basis) trong trường trung bình (có thể dùng Hatree-Fock hoặc Woods-Saxon) và G là hằng số �𝑘 và toán tử kết cặp 𝑃�𝑘+ được cho bởi tương tác cặp. Toán tử số hạt 𝑁 † �𝑘 = 𝑎𝑘† 𝑎𝑘 + 𝑎−𝑘 𝑁 𝑎−𝑘 , † 𝑃�𝑘† = 𝑎𝑘† 𝑎−𝑘 ; † 𝑃�𝑘 = �𝑃�𝑘† � , (1.1.3) (1.1.4) trongđó, 𝑎𝑘† và 𝑎𝑘 lần lượt là các toán tử sinh hạt và hủy hạt. Bởi vì nucleon (proton và neutron) trong hạt nhân là các hạt Fermion nên các toán tử sinh và huỷ hạt này tuân theo hệ thức phản giao hoán của các Fermion có dạng �𝑎𝑘 , 𝑎𝑘†′ � = 𝛿𝑘𝑘 ′ ; {𝑎𝑘 , 𝑎𝑘′ } = �𝑎𝑘† , 𝑎𝑘†′ � = 0 . (1.1.5) Các toán tử số hạt và kết cặp trong các phương trình (1.1.3) và (1.1.4) tuân theo một cách chính xác các định luật về giao hoán tử �𝑘 �; [𝑁 �𝑘 , 𝑃�†′ ] = 2𝛿𝑘𝑘′ 𝑃�†′ , [𝑃�𝑘 , 𝑃�𝑘†′ ] = 𝛿𝑘𝑘′ �1 − 𝑁 𝑘 𝑘 (1.1.6) �𝑘 , 𝑃� ′ ] = −2𝛿𝑘𝑘′ 𝑃� ′ . [𝑁 𝑘 𝑘 Chỉ số k ở đây dùng để biểu thị trạng thái đơn hạt |𝑘, 𝑚𝑘 > với hình chiếu spin đơn hạt dươngmk, trong khi đó chỉ số -kbiểu thị trạng thái nghịch đảo thời gian |𝑘, −𝑚𝑘 >, tức là trạng thái với hình chiếu đơn hạt mk âm. Hamiltonian kết cặp (1.1.1) mô tả một hệ có N neutron và Z proton phân bố trên các mức đơn hạt với năng lượng 𝜖𝑘 và tương tác với nhau thông qua một lực tương tác cặp đơn cực G. Biến đổi Bogoliubov từ các toán tử sinh và huỷ hạt 𝑎𝑘† và 𝑎𝑘 thành các toán tử sinh và huỷ giả hạt 𝛼𝑘† và 𝛼𝑘 có dạng 𝑎𝑘† = 𝑢𝑘 𝛼𝑘† + 𝑣𝑘 𝛼−𝑘 ; † † 𝑎−𝑘 = 𝑢𝑘 𝛼−𝑘 − 𝑣𝑘 𝛼𝑘 ; 𝑎−𝑘 = 𝑢𝑘 𝛼−𝑘 − 𝑣𝑘 𝛼𝑘† , † 𝑎𝑘 = 𝑢𝑘 𝛼𝑘 + 𝑣𝑘 𝛼−𝑘 , 7 (1.1.7) (1.1.8) với𝑢𝑘 và 𝑣k là hệ số của biến đổi Bogoliubov.Thông qua phép biến đổi Bogoliubov (1.1.7) và (1.1.8), Hamiltonian (1.1.1) biến đổi thành Hamiltonian giả hạt (quasiparticle Hamiltonian)có dạng [5, 13] �𝑘 + � 𝑐𝑘 �𝒜̂𝑘† + 𝒜̂𝑘 � + � 𝑑𝑘𝑘′ 𝒜̂𝑘† 𝒜̂ ′ 𝐻𝑞 = 𝑎 + � 𝑏𝑘 𝒩 𝑘 𝑘 (1.1.9) 𝑘𝑘 ′ 𝑘 �𝑘 + 𝒩 �𝑘 𝒜̂ ′ � + � ℎ𝑘𝑘′ �𝒜̂𝑘† 𝒜̂ †′ + 𝒜̂ ′ 𝒜̂𝑘 � + � 𝑔𝑘 (𝑘 ′ )�𝒜̂𝑘†′ 𝒩 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘𝑘 ′ 𝑘𝑘 ′ �𝑘 𝒩 �𝑘′ , + � 𝑞𝑘𝑘′ 𝒩 𝑘𝑘 ′ �𝑘 là toán tử số giả hạt và 𝒜̂𝑘† và 𝒜̂𝑘 là các toán tử sinh và huỷ một cặp giả hạt trong đó, 𝒩 tương ứng trong không gian liên hợpvề thời gian (time conjugated quasiparticles). Toán tử số giả hạt và các toán tử sinh hạt và hủy hạt biểu diễn thông qua các giả hạt sẽ có dạng như sau † �𝑘 = 𝛼𝑘† 𝛼𝑘 + 𝛼−𝑘 𝒩 𝛼−𝑘 ; † 𝒜̂𝑘† = 𝛼𝑘† 𝛼−𝑘 ; 𝒜̂𝑘 = (𝐴†𝑘 )† . (1.1.10) Tương tự như các toán tử hạt, các toán tử này tuân theo hệ thức giao hoán giống như trong phương trình (2.1.6) �𝑘 �; �𝒜̂𝑘 , 𝒜̂𝑘†′ � = 𝛿𝑘𝑘′ �1 − 𝒩 �𝑘 , 𝒜̂ †′ � = 2𝛿𝑘𝑘′ 𝒜̂†′ , �𝒩 𝑘 𝑘 (1.1.11) �𝑘 , 𝒜̂ ′ � = −2𝛿𝑘𝑘′ 𝒜̂ ′ . �𝒩 𝑘 𝑘 Các hệ số a, bk, ck, dkk’, gk(k’), hkk’ và qkk’ trong phương trình (1.1.9) là các hàm số phụ thuộc vào các hệ số uk và vkcủa biến đổi Bogoliubov (1.1.7) và (1.1.8), và năng lượng đơn hạt 𝜖𝑘 (xem phần Phụ lục A của [1]) 2 𝑎 = 2 � 𝜖𝑘 𝑣𝑘2 − 𝐺 �� 𝑢𝑘 𝑣𝑘 � − 𝐺 � 𝑣𝑘4 , 𝑘 𝑘 𝑘 𝑏𝑘 = 𝜖𝑘 (𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2 ) + 2G𝑢𝑘 𝑣𝑘 � 𝑢𝑘′ 𝑣𝑘′ + 𝐺𝑣𝑘4 , 𝑘′ 𝑐𝑘 = 2𝜖𝑘 𝑢𝑘 𝑣𝑘 − 𝐺 (𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2 ) � 𝑢𝑘′ 𝑣𝑘′ − 2𝐺𝑢𝑘 𝑣𝑘3 , 𝑘′ 2 2) 𝑑𝑘𝑘′ = −𝐺 (𝑢𝑘2 𝑢𝑘′ + 𝑣𝑘2 𝑣𝑘′ = 𝑑𝑘′𝑘 , ′) 𝑔𝑘 (𝑘 = ℎ𝑘𝑘′ = 2 G𝑢𝑘 𝑣𝑘 (𝑢𝑘′ − 2) 𝑣𝑘′ , 𝐺 2 2 2) (𝑢𝑘 𝑣𝑘′ + 𝑣𝑘2 𝑢𝑘′ = ℎ𝑘′𝑘 , 2 𝑞𝑘𝑘′ = −G𝑢𝑘 𝑣𝑘 𝑢𝑘′ 𝑣𝑘′ = 𝑞𝑘′ 𝑘 . 8 (1.1.12) (1.1.13) (1.1.14) (1.1.15) (1.1.16) (1.1.17) (1.1.18) 1.2. Lý thuyết BCS tại nhiệt độ hữu hạn (FTBCS) 1.2.1. Lý thuyết BCS tại nhiệt độ bằng không Tương tự như lý thuyết BCS dùng để xác định trạng thái cơ bản của các chất bán dẫn [12], lý thuyết BCS dùng trong hạt nhân sử dụng hàm sóng cho hạt nhân chẵn-chẵn (hạt nhân có số neutron và proton đều là chẵn) có dạng[23] ∞ † � |0⟩ , 𝜓𝐵𝐶𝑆 ≡ |𝐵𝐶𝑆⟩ = ��𝑢𝑘 + 𝑣𝑘 𝑎𝑘† 𝑎−𝑘 (1.2.1) 𝑘>0 trong đó, 𝑢𝑘 và 𝑣k là các thông số biến phân với|𝑢𝑘 |2 là xác suất để cặp (k,-k) lấp đầy mức đơn hạt thứ k và |𝑣k |2 là xác suất để cặp (k,-k) rỗng tức là không nằm trên mức đơn hạt thứ k. Hàm sóng (1.2.1) luôn phải thoả mãn điều kiện chuẩn hoá〈𝐵𝐶𝑆 |𝐵𝐶𝑆〉 = 1, do vậy ta thu được𝑢𝑘2 + 𝑣𝑘2 = 1. Cũng tương tự như phương trình BCS cho các chất bán dẫn, phương trình BCS cho hạt nhân tại nhiệt độ bằng không thu được bằng cách lấy biến phân của Hamiltonian � để xác định được giá trị trung bình cực tiểu của HBCStrong trạng thái cơ bản 𝐻𝐵𝐶𝑆 = 𝐻 − 𝜆𝑁 (ground state) của hàm sóng (1.2.1) 𝛿 〈𝐵𝐶𝑆|𝐻𝐵𝐶𝑆 |𝐵𝐶𝑆〉 = 0 , (1.2.2) � là toán tử số hạt cho bởi trong đó, H là Hamiltonian kết cặp cho bởi phương trình (1.1.1),𝑁 phương trình (1.1.3), vàλ là nhân Lagrange (Lagrange multiplier) hay còn được gọi là thế hoá (chemical potential) cần được xác định. Từ (1.2.2) kết hợp với một số phép biến đổi đơn giản, ta thu được phương trình có dạng [23, 2] 2(𝜖𝑘 − 𝜆 − 𝐺𝑣𝑘2 )𝑢𝑘 𝑣𝑘 − Δ(𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2 ) = 0, trong đó, khe năng lượng kết cặp Δcho bởi với các hệ số uk và vkcó dạng 𝑢𝑘2 Δ = G � 𝑢𝑘 𝑣𝑘 , (1.2.3) (1.2.4) 𝑘 1 𝜖𝑘 − λ − 𝐺𝑣𝑘2 �; = �1 + 2 𝐸𝑘 𝑣𝑘2 = 1 − 𝑢𝑘2 . (1.2.5) Năng lượng của các giả hạt (quasiparticle energy)Ektrong phương trình (1.2.5) được cho bởi 𝐸𝑘 = �(𝜖k − λ − 𝐺𝑣𝑘2 )2 + ∆2 . Từ phương trình cho số hạt ta có thể xác định được thế hoá λ 9 (1.2.6) � �𝐵𝐶𝑆〉 = 2 � 𝑣𝑘2 . 𝑁 = 〈𝐵𝐶𝑆�𝑁 (1.2.7) 𝑘 Hệ các phương trình phi tuyến tính (nonlinear equations) từ (1.2.4) – (1.2.7) được gọi là các phương trình BCS tại nhiệt độ bằng không và được giải bằng phương pháp lặp với các giá trị ban đầu là số hạt (N hoặc Z), năng lượng đơn hạt 𝜖𝑘 , và hằng số lực tương tác cặp G. 1.2.2. Lý thuyết FTBCS Tại nhiệt độ hay năng lượng kích thích khác không, hạt nhân ban đầu ở trạng thái phức hợp (compound nucleus). Sau khoảng thời gian 10-23 giây hạt nhân sẽ đạt trạng thái cân bằng nhiệt và bắt đầu phát các tia gamma để trở về trạng thái cơ bản. Do vậy, khái niệm trạng thái cơ bản của hạt nhân lúc này không còn nữa mà thay vào đó là một tập hợp của rất nhiều trạng thái cơ bản và kích thích nằm trong một môi trường nhiệt bên ngoài. Để mô tả được tính chất này của hạt nhân, các lý thuyết về thống kê nhiệt động học thường được sử dụng.Trong số các lý thuyết thống kê nhiệt động học thì lý thuyết về tập hợp đại chính tắc (grand canonical ensemble – GCE) được sử dụng rộng rãi nhất.GCE mô tả các hệ đồng nhất nằm trong một môi trường nhiệt bên ngoài.Các hệ này trao đổi với nhau năng lượng và số hạt. Theo GCE, giá trị trung bình của mọi toán tử 𝒪� tại nhiệt độ hữu hạn được tính bằng [6, 12] 〈𝒪� 〉 = 𝑇𝑟�𝒪� 𝑒 −𝛽𝐻 � , 𝑇𝑟𝑒 −𝛽𝐻 (1.2.8) trong đó, 𝛽 = 1/𝑇 là nghịch đảo của nhiệt độ. Giống như tại nhiệt độ bằng không, lý thuyết FTBCS cũng được xây dựng dựa trên �. phương pháp biến phân để cực tiểu hóa giá trị trung bình của Hamiltonian 𝐻𝐵𝐶𝑆 = 𝐻 − 𝜆𝑁 Tuy nhiên giá trị trung bình này được tính trong GCE (1.2.8) thay cho trạng thái cơ bản (1.2.1) 𝛿 〈𝐺𝐶𝐸 |𝐻𝐵𝐶𝑆 |𝐺𝐶𝐸 〉 = 0 . (1.2.9) Từ (1.2.9) chúng ta dễ dàng thu được hệ các phương trình FTBCS cho khe năng lượng kết cặp và số hạt có dạng (chi tiết quá trình biến đổi được trình bày trong Phụ lục B của [1]) ∆= 𝐺 � 𝑢𝑘 𝑣𝑘 (1 − 2𝑛𝑘 ) , 𝑘 10 (1.2.10) 𝑁 = 2 �[𝑣𝑘2 (1 − 2𝑛𝑘 ) + 𝑛𝑘 ] , 𝑢𝑘2 𝑘 1 𝜖𝑘 − λ − 𝐺𝑣𝑘2 �; = �1 + 2 𝐸𝑘 (1.2.11) 𝑣𝑘2 = 1 − 𝑢𝑘2 , 𝐸𝑘 = �(𝜖𝑘 − λ − 𝐺𝑣𝑘2 )2 + ∆2 . (1.2.12) (1.2.13) Trong phương trình (1.2.10) và (1.2.11), số lượng tử chiếm của các giả hạt nk lúc này được cho bởi phân bố Fermi-Dirac của các giả hạt Fermion tự do 𝑛𝑘 = 1 . 1 + 𝑒𝛽𝐸𝑘 (1.2.14) Hệ các phương trình FTBCS[(1.2.10) – (1.2.14)]sẽ được giải bằng phương pháp lặp với các thông số ban đầu giống như tại T = 0, tuy nhiên có thêm thông số nhiệt độ T. Theo lý thuyết FTBCS, năng lượng toàn phần EFTBCS, nhiệt dung riêng CFTBCS, và entropy SFTBCS được tính bởi 𝐸𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆 (𝑇) = 2 � 𝜖𝑘 [(1 − 2𝑛𝑘 )𝑣𝑘2 + 𝑛𝑘 ] − 𝑘 ∆2 − 𝐺 � 𝑣𝑘4 (1 − 2𝑛𝑘 ) , 𝐺 𝑘 𝑆𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆 (𝑇) = −2 �[𝑛𝑘 ln𝑛𝑘 + (1 − 𝑛𝑘 )ln(1 − 𝑛𝑘 )] , 𝑘 𝐶𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆 (𝑇) = 𝜕𝐸𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆 . 𝜕𝑇 (1.2.15) (1.2.16) (1.2.17) 1.3. Lý thuyết FTBCS có tính tới ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt (lý thuyết FTBCS1) Biến đổi một cách chi tiết từ phương trình biến phân (1.2.9) để tìm giá trị trung bình cực tiểu của HBCS trong GCE chúng ta thu được phương trình [6, 12] trongđó 2(𝜖𝑘′ − 𝐺𝑣𝑘2 − 𝜆)𝑢𝑘 𝑣𝑘 − ∆𝑘 (𝑢𝑘2 − 𝑣𝑘2 ) = 0 , 𝜖𝑘′ = 𝜖𝑘 + 𝐺 〈𝐷𝑘 〉 † 2 2 〉 + 〈𝒜̂𝑘† 𝒜̂𝑘′ 〉�, �(𝑢𝑘′ − 𝑣𝑘′ ) �〈𝒜̂𝑘† 𝒜̂𝑘′≠𝑘 (1.3.1) (1.3.2) 𝑘′ �𝑘 ;𝒩 �𝑘 là toán tử số giả hạt;𝒜̂𝑘† và 𝒜̂𝑘 tương ứng là các toán tử sinh và hủy �𝑘 = 1 − 𝒩 với 𝐷 giả hạt cho bởi công thức (1.1.10). Từ phương trình (1.3.1) ta thu được khe năng lượng kết cặp có dạng 11 ∆𝑘 = 𝑢𝑘2 = 𝐺 �〈𝐷𝑘 𝐷𝑘′ 〉𝑢𝑘′ 𝑣𝑘′ , 〈𝐷𝑘 〉 𝑘′ 1 𝜖𝑘′ − λ − 𝐺𝑣𝑘2 �1 + �; 2 𝐸𝑘 𝑣𝑘2 = 1 − 𝑢𝑘2 , 𝐸𝑘 = �(𝜖𝑘′ − λ − 𝐺𝑣𝑘2 )2 + ∆2𝑘 . (1.3.3) (1.3.4) (1.3.5) Phương trình cho số hạt trong trường hợp này giống hệt phương trình (1.2.11) trong † 〉 và 〈𝒜̂𝑘† 𝒜̂𝑘′ 〉 trong phương trình (1.3.2) phải được tính FTBCS.Các số hạng 〈𝒜̂𝑘† 𝒜̂𝑘′≠𝑘 thông qua lý thuyết gần đúng pha ngẫu nhiên tự hợp trong biểu diễn giả hạt [6]. Tuy nhiên trong phạm vi luận văn này, chúng tôi bỏ qua đóng góp của các số hạng này bởi nếu đưa các số hạng này vào thì việc tính toán mật độ mức sẽ rất phức tạp. Do vậy, từ phương trình (1.3.2) chúng ta sẽ thu được𝜖𝑘′ = 𝜖𝑘 . Trong phương trình (1.3.3), giá trị trung bình của 〈𝐷𝑘 𝐷𝑘′ 〉được tính một cách chính xác bởi trong đó 〈𝐷𝑘 𝐷𝑘′ 〉 = 〈𝐷𝑘 〉〈𝐷𝑘′ 〉 + 𝛿𝒩𝑘𝑘′ , (1.3.6) 𝛿𝒩𝑘𝑘′ = 〈𝒩𝑘 𝒩𝑘′ 〉 − 〈𝒩𝑘 〉〈𝒩𝑘′ 〉 . (1.3.7) Số hạng𝛿𝒩𝑘𝑘′ trong phương trình (1.3.7)có chứa các chuỗi khai triển boson vô hạn của các toán tử boson, do vậy không thể tính chính xác được [25]. Do đó, để tính được giá trị trung bình này, chúng tôi sử dụng phương pháp khai triển gần đúng trong trường trung bình (mean-field contraction) có dạng trong đó 𝛿𝒩𝑘𝑘′ ≃ 𝛿𝒩𝑘2 𝛿𝑘𝑘 ′ , 𝛿𝒩𝑘2 = 𝑛𝑘 (1 − 𝑛𝑘 ) , với 𝑛𝑘 = 〈𝒩𝑘 〉 1 = (1 − 〈𝐷𝑘 〉) . 2 2 (1.3.8) (1.3.9) (1.3.10) Đại lượng𝛿𝒩𝑘2 trong phương trình (1.3.9) được gọi là thăng giáng số giả hạt. Thay (1.3.6) và (1.3.9) vào (1.3.3), chúng ta thu được phương trình cho khe năng lượng kết cặp bao gồm hai số hạng, số hạng phụ thuộc vào mức đơn hạt 𝛿∆𝑘 và số hạng không phụ thuộc vào mức đơn hạt ∆ trong đó ∆𝑘 = ∆ + 𝛿∆𝑘 , 12 (1.3.11) ∆ = 𝐺 � 𝑢𝑘′ 𝑣𝑘′ (1 − 2𝑛𝑘′ ) , 𝑘′ 𝛿𝒩𝑘2 𝑛𝑘 (1 − 𝑛𝑘 ) 𝛿∆𝑘 = 2𝐺 𝑢𝑘 𝑣𝑘 = 2𝐺 𝑢 𝑣 . 1 − 2𝑛𝑘 1 − 2𝑛𝑘 𝑘 𝑘 (1.3.12) (1.3.13) Hệ các phương trình (1.3.3) – (1.3.13) cùng với phương trình số hạt [có dạng giống hệt phương trình (1.2.11)] được gọi là các phương trình FTBCS1.Điểm khác biệt cơ bản giữa lý thuyết FTBCS và FTBCS1 nằm ở chỗ phương trình cho khe năng lượng kết cặp của FTBCS1 có chứa số hạng 𝛿∆𝑘 [phương trình (1.3.13)] phụ thuộc vào các thăng giáng số giả hạt. Theo lý thuyết FTBCS1, các phương trình tính toán cho năng lượng toàn phầnE, nhiệt dung riêng C, và entropy S của hệ có dạng giống hệt các phương trình (1.2.15) – (1.2.17) của FTBCS. Do vậy chúng tôi không viết lại các phương trình ở phần này. 1.4. Mật độ mức 1.4.1. Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS Theo mô hình thống kê nhiệt động học dựa trên lý thuyết FTBCS của Moretto đề xuất từ những năm 1970s và được sử dụng rộng rãi trong các tính toán mật độ mức sau này, mật độ mức của hạt nhân có N neutron,Z proton, và năng lượng Eđược tính thông qua logarithm của hàm phân chia lớn Ω (the grand partition function)có dạng [21] 𝑒 𝛺 = � exp(𝛼𝑁 𝑁 + 𝛼𝑍 𝑍 − 𝛽𝐸 ) , (1.4.1) 𝑁,𝑍,𝐸 trong đó, 𝛼𝑁 = 𝛽𝜆𝑁 và 𝛼𝑍 = 𝛽𝜆𝑍 với 𝜆𝑁 và 𝜆𝑍 tương ứng là thế hoá thu được từ việc giải các phương trình FTBCS cho neutron và proton. Trong vế phải của phương trình (1.4.1), tổng được tính cho tất cả hạt nhân với N neutron, Z proton, và năng lượng E. Vì phổ năng lượng kích thích trong hạt nhân là liên tục nên tổng lấy theo năng lượng Ecó thể được thay thế bằng tích phân liên tục theo năng lượng có dạng 𝑒 𝛺 = � � 𝜔(𝐸, 𝑁, 𝑍)exp(𝛼𝑁 𝑁 + 𝛼𝑍 𝑍 − 𝛽𝐸) 𝑑𝐸 . (1.4.2) 𝑁,𝑍 Sử dụng phépbiến đổi Laplace ngược của hàm phân chia lớn (1.4.2) chúng ta sẽ thu đượcmật độ trạng thái 𝜔(𝐸, 𝑁, 𝑍)có dạng 𝜔(𝐸, 𝑁, 𝑍) = 1 � 𝑑𝛼𝑁 � 𝑑𝛼𝑍 � 𝑒 𝑆 𝑑𝛽 , (2𝜋𝑖)3 13 (1.4.3) trong đó 𝑆 = Ω − 𝛼𝑁 𝑁 − 𝛼𝑍 𝑍 − 𝛽𝐸là entropy tổng (neutron + proton) của hệ, thu được từ các lý thuyết FTBCS[phương trình (1.2.16)]. Tích phân (1.4.3) được tính thông qua phương pháp gần đúng điểm yên ngựa (the saddle point approximation) với các điều kiện 𝑁= 𝜕Ω ; 𝜕𝛼𝑁 𝜕Ω ; 𝜕𝛼𝑍 𝑍= 𝐸=− Biểu thức cuối cùng của mật độ trạng thái 𝜔(𝐸, 𝑁, 𝑍) = trong đó D là định thức 3 x 3 có dạng 𝜕2𝛺 2 � 𝜕𝛼𝑁 𝜕2𝛺 𝐷= 𝜕𝛼𝑍 𝜕𝛼𝑁 � 𝜕2𝛺 𝜕𝛽𝜕𝛼𝑁 𝑒𝑆 (2𝜋)3/2 𝐷1/2 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑁 𝜕𝛼𝑍 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑍2 𝜕2𝛺 𝜕𝛽𝜕𝛼𝑍 𝜕Ω . 𝜕𝛽 (1.4.4) , 𝜕2𝛺 𝜕𝛼𝑁 𝜕𝛽� 𝜕2𝛺 . 𝜕𝛼𝑍 𝜕𝛽 𝜕2𝛺 � 𝜕𝛽2 (1.4.5) Trong lý thuyết FTBCS, hàm phân chia lớnΩ được tính cụ thể theo công thức 𝛺(𝛼, 𝛽) ≡ ln�tr�𝑒 −𝛽𝐻 �� (1.4.6) = −𝛽 �(𝜖𝑘 − 𝜆 − 𝐸𝑘 ) + 2 � ln�1 + 𝑒 −𝛽𝐸𝑘 � − 𝛽 𝑘 𝑘 ∆2 . 𝐺 Lấy đạo hàm riêng phần bậc nhất và bậc hai của 𝛺(𝛼, 𝛽) theo αN, αZ, và β chúng ta dễ dàng tìm được biểu thức cụ thể của các đạo hàm trong định thức (1.4.5) như sau [21] 𝜕2𝛺 = �(𝜖𝑘 − 𝜆)2 𝑎𝑘 𝜕𝛼 2 𝑘 + ∆2 � 𝑏𝑘 − 𝛽∆ 𝜕2𝛺 = 𝜆∆2 � 𝜖𝑘 𝑏𝑘 + ∆2 � 𝜖𝑘 (𝜖𝑘 − 𝜆)𝑎𝑘 𝜕𝛽2 𝑘 𝑘 + � 𝜖𝑘2 (𝜖𝑘 − 𝜆)2 𝑎𝑘 𝑘 14 𝑘 𝜕∆ �(𝜖𝑘 𝜕𝛼 𝑘 − 𝜆) (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘 ) , (1.4.8) +𝛽∆ + 𝜕∆ �� 𝜖𝑘 (𝜖𝑘 − 𝜆) (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘 ) 𝜕𝛽 2 � , 𝛽𝐺 𝑘 𝜕2𝛺 = −𝜆∆2 � 𝑏𝑘 𝜕𝛼𝜕𝛽 𝑘 − � 𝜖𝑘 (𝜖𝑘 𝑘 − 𝜆)2 𝑎𝑘 − ∆2 �(𝜖𝑘 𝑘 − 𝑏𝑘 ) , −𝛽∆ − 𝜆)𝑎𝑘 𝜕∆ �(𝜖𝑘 − 𝜆) (𝑎𝑘 𝜕𝛽 𝑘 𝜕2𝛺 𝜕2𝛺 = =0 , 𝜕𝛼𝑁 𝜕𝛼𝑍 𝜕𝛼𝑍 𝜕𝛼𝑁 trong đó, 𝑎𝑘 = 1 1 2 sech 𝛽𝐸 , 2 𝑘 2𝐸𝑘2 𝑏𝑘 = 1 1 tanh 𝛽𝐸 , 2 𝑘 𝛽𝐸𝑘3 𝜕∆ ∆2 ∑𝑘 𝑎𝑘 + ∑𝑘 𝜖𝑘 (𝜖𝑘 − 𝜆)𝑎𝑘 − 𝜆 ∑𝑘 𝑏𝑘 (𝜖𝑘 − 𝜆) =− , 𝜕𝛽 𝛽∆ ∑𝑘(𝑎𝑘 − 𝑏𝑘 ) ∑𝑘(𝜖𝑘 − 𝜆) (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘 ) 𝜕∆ =− . 𝜕𝛼 𝛽∆ ∑𝑘(𝑎𝑘 − 𝑏𝑘 ) (1.4.11) (1.4.12) (1.4.13) Biết được mật độ trạng thái chúng ta có thể dễ dàng tính được mật độ mức theo công thức 𝜔(𝐸 ∗ , 𝑁, 𝑍) 𝜌(𝐸 , 𝑁, 𝑍) = , (2𝜋𝜎 2 )1/2 ∗ (1.4.14) trong đó, hệ số ngưỡng spinσ (spin cut-off parameter) được tính bởi 𝜎2 = 1 1 � 𝑚𝑘2 sech2 𝛽𝐸𝑘 . 2 2 𝑘 15 (1.4.15) 1.4.2. Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS1 Theo lý thuyết FTBCS1 hàm phân chia lớn có dạng giống như hàm phân chia lớn của FTBCS [phương trình (2.4.6)]. Do đó các đạo hàm bậc nhất và hai của hàm phân chia lớn trong FTBCS1 cũng giống như trong FTBCS [phương trình (1.4.7) – (1.4.10)]. Sự khác biệt chỉ đến từ các đạo hàm bậc nhất của khe năng luợng theoα và β [phương trình (1.4.12) và (1.4.13)] bởi vì phương trình của khe năng lượng kết cặp theo FTBCS1 [phương trình (1.3.11)] không còn đơn giản như trong FTBCS nữa. Trong số hai đạo hàm 𝜕∆𝑘 /𝜕𝛼 và 𝜕∆𝑘 /𝜕𝛽 thì 𝜕∆𝑘 /𝜕𝛽 có thể được tính bằng số một cách dễ dàng bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm bậc nhất 𝜕∆𝑘 𝜕∆𝑘 ∆𝑘 (𝑇 + 𝛿𝑇) − ∆𝑘 (𝑇) = −𝑇 2 = −𝑇 2 , 𝜕𝛽 𝜕𝑇 𝛿𝑇 (1.4.16) với khoảng nhiệt độ δTđược chọn một cách hợp lý. Ngược lại, việc tính đạo hàm 𝜕∆𝑘 /𝜕𝛼lại khá phức tạp thay vì phương trình đơn giảnnhư (1.4.13).Đạo hàm này được tính bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của bên trái và bên phải phương trình (1.3.11) theoα. Từ đó chúng ta sẽ thu được một hệ phương trình phi tuyến cho 𝜕∆𝑘 /𝜕𝛼 có dạng như sau [15] trongđó, � �𝐴𝑘 𝛽 𝑘 𝐴𝑘 = 1 2 2( ) ( ) 3 �(𝜆 − 𝜖𝑘 ) 1 − 2𝑛𝑘 + 2𝛽∆𝑘 𝐸𝑘 1 − 𝑛𝑘 𝑛𝑘 � , 𝐸𝑘 𝐵𝑘 = − 𝐶𝑘 = − 𝜕∆𝑘 1 𝜕∆𝑘 + 𝐵𝑘 � + 2 �𝐶𝑘 − � 𝛽 + 2𝐷𝑘 = 0 , 𝜕𝛼 𝐺 𝜕𝛼 ∆𝑘 (𝜆 − 𝜖𝑘 ) �1 − 2𝑛𝑘 − 2𝛽𝐸𝑘 (1 − 𝑛𝑘 )𝑛𝑘 � , 𝐸𝑘3 𝑛𝑘 (1 − 𝑛𝑘 ) 2 2( ) ( 2 ) 3 �(𝜆 − 𝜖𝑘 ) 1 − 2𝑛𝑘 − 𝛽∆𝑘 𝐸𝑘 2𝑛𝑘 − 2𝑛𝑘 + 1 � , 2 (1 − 2𝑛𝑘 ) 𝐸𝑘 𝐷𝑘 = − 𝑛𝑘 (1 − 𝑛𝑘 )∆𝑘 (𝜆 − 𝜖𝑘 ) �1 − 2𝑛𝑘 − 𝛽𝐸𝑘 (2𝑛𝑘2 − 2𝑛𝑘 + 1)� . 3 2 (1 − 2𝑛𝑘 ) 𝐸𝑘 (1.4.17) (1.4.18) (1.4.19) (1.4.20) (1.4.21) Trong phương trình (1.4.14), năng lượng kích thích E* được tính bằng năng lượng toàn phần E(T) trừ cho năng lượng của trạng thái cơ bản tại nhiệt độ T = 0[27] 𝐸 ∗ (𝑇) = 𝐸 (𝑇) − 𝐸𝑔.𝑠 (𝑇 = 0) , 16 (1.4.22) trong đó, năng lượng trạng thái cơ bản Eg.s được tính bằng năng lượng toàn phần tính theo FTBCS hoặc FTBCS1 tại nhiệt độ T = 0cộng với hiệu chỉnh năng lượng trạng thái cơ bản E0 𝐸𝑔.𝑠 (𝑇 = 0) = 𝐸𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆(𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆1) (𝑇 = 0) − 𝐸0 (𝑇 = 0) . (1.4.23) Hiệu chỉnh năng lượng trạng thái cơ bản E0 được thêm vào trong phương trình (1.4.23) nhằm mục đích mô tả một cách chính xác năng lượng trạng thái cơ bản (groundstate energy) hay năng lượng liên kết (binding energy) của hạt nhân bởi vì trong luận văn này chúng tôi chỉ sử dụng Hamiltonian kết cặp có dạng khá đơn giản [Phương trình (1.1.1)], trong đó các số hạng tương tác bậc cao hơn như tương tác lưỡng cực (dipole), tức cực (quadrupole), bát cực (octupole) chưa được tính tới. 17 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN 2.1. Các số liệu đầu vào cho tính toán Tính toán số được thực hiện với một số hạt nhân có số khối trung bình và nặng như 56 Fe, 60 Ni, 96 Mo, 98 Mo, và116Sn. Các mức năng lượng đơn hạt của các hạt nhân này được tính từ phương pháp trường trung bình Hartree-Fock (Hartree-Fock mean field) với lực tương tác nucleon-nucleon (NN) hiệu dụng cho bởi lực Skyrme MSk7 [27]. Lực MSk7 có 10 tham số (phương trình (1) của [27]), cùng với 4 tham số của hàm delta dùng cho lực tương tác cặp (phương trình (2) của [27]), và hai tham số hiệu chỉnh Wigner cho các hạt nhân có N = Z (số neutron bằng số proton) (phương trình (3) của [27]). Lực MSk7 đã mô tả khá tốt khối lượng của 9200 hạt nhân, bao gồm cả những hạt nhân nằm rất xa đường bền vững.Kết quả tính toán khối lượng của 1888 hạt nhân theo phương pháp Hartree-Fock kết hợp với lực MSk7 khá tốt với sai số bình phương trung bình so với dữ số liệu thực nghiệm là khoảng 0.738 MeV. Đối với mỗi hạt nhân, số mức đơn hạt được lấy từ mức năng lượng thấp nhất tới mức năng lượng có giá trị âm cuối cùng, nghĩa là tất cả các mức năng lượng đơn hạt có giá trị âm (bound states) đều được xét tới trong tính toán của chúng tôi.Các hằng số tương tác cặp của neutron (GN) và proton (GZ) được điều chỉnh sao cho khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ T =0trùng với giá trị thực nghiệm [23]. Giá trị của GN, GZ, và khe năng lượng kết cặp tương ứng tại T=0(∆N, ∆Z) cho các hạt nhân 56 Fe, 60Ni, 96 Mo,98Mo,và 116 Sn được trình bày trong Bảng 1. Các giá trị này là giống nhau cho cả lý thuyết FTBCS1 cũng như FTBCS. GN(MeV) GZ (MeV) ∆N (MeV) ∆Z (MeV) 56 Fe 0.367 0.413 1.400 1.613 60 Ni 0.368 0.000 1.837 0.00 96 Mo 0.202 0.233 1.112 1.354 98 Mo 0.19 0.223 1.028 1.310 18