Tài liệu Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa trong dạy và học toán phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN -----š›&š›----- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN PHỔ THÔNG Giảng viên hướng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy Sinh viên thực hiện : Đoàn Thị Hà Giang Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, cho phép tôi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 18ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này. Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 Sinh viên Đoàn Thị Hà Giang SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................................... 3 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................ 3 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................................... 3 3. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................................... 4 4. Bố cục của đề tài ................................................................................................................ 4 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................................. 6 1.1. Khái quát hoá................................................................................................................... 6 1.2. Đặc biệt hoá ..................................................................................................................... 7 1.3. Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải bài toán sơ cấp ........................... 9 CHƯƠNG 2. VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ TRONG DẠY HỌC VÀ HỌC TOÁN. ..................................................................................................................... 15 2.1. Vận dụng khái quát hoá để mở rộng bài toán ................................................................ 15 2.2. Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác .......... 23 2.3. Một số vận dụng trong hình học: ................................................................................... 28 2.4. Một số vận dụng liên quan đến định lí Viet đối với phương trình bậc hai và bậc ba..... 30 2.4.1. Phương trình bậc hai ............................................................................................... 30 2.4.2. Phương trình bậc ba ................................................................................................ 33 2.5. Một số vận dụng khác.................................................................................................... 42 2.5.1. Chứng minh bất đẳng thức...................................................................................... 42 2.5.2. Chứng minh đẳng thức ........................................................................................... 47 KẾT LUẬN.............................................................................................................................. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 51 SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 2 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải toán là một hoạt động quan trọng. Chúng ta biết rằng không phải bài toán nào cũng có thể giải được một cách dễ dàng. Khi gặp một bài toán mà giải trực tiếp nó gặp nhiều khó khăn thì ta nên xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp tổng quát của nó vì có thể xét bài toán theo khía cạnh đó lại dễ hơn và từ các trường hợp đó ta suy ra cách giải cho bài toán ban đầu. Đó là lí do vì sao ta nên vận dụng các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá vào trong giảng dạy và học toán của giáo viên và học sinh. Khái quát hoá và đặc biệt hoá là những thao tác rất quan trọng trong quá trình phát triển tư duy cho học sinh, bởi nó liên quan đến các yếu tố như phát triển khả năng suy đoán, tưởng tượng. Khái quát hoá và đặc biệt hoá có tác dụng kích thích cho học sinh tìm tòi, khám phá, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, . . . Quá trình khái quát hoá và đặc biệt hoá góp phần hình thành các phẩm chất trí tuệ và các lập luận lôgic có lí. Trong thực tiễn dạy và học môn toán ở trường phổ thông, việc rèn luyên thao tác tư duy khái quát hoá và đặc biệt hoá cho học sinh chưa được nhiều giáo viên chú trọng đúng mức. Hơn nữa, học sinh ít vận dụng các phương pháp này để giải bài tập toán. Đa số học sinh sau khi hoàn thành xong lời giải một bài toán các em thường không xét đến bài toán tổng quát, hay không đưa ra phương pháp giải tổng quát cho một lớp các dạng toán tương tự. Chính điều này làm hạn chế rất nhiều về khả năng phát triển tư duy toán học cho học sinh. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Vận dụng khái quát hoá và đặc biệt hoá trong dạy và học Toán” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vai trò khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải toán. SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 3 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy Nghiên cứu và vận dụng các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa trong việc giải toán. 3. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới phương pháp giải bài toán bằng phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá. - Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT để tham khảo các kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán bằng phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá. 4. Bố cục của đề tài Khoá luận gồm có 2 chương sau: CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Khái quát hoá 1.2. Đặc biệt hoá 1.3. Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải bài toán sơ cấp CHƯƠNG 2. VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN 2.1. Vận dụng khái quát hoá để mở rộng bài toán 2.2. Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 2.3. Một số vận dụng trong hình học 2.4. một số vận dụng liên quan đến định lí Viet đối với phương trình bậc hai và phương trình bậc ba 2.4.1. Phương trình bậc hai 2.4.2. Phương trình bậc ba 2.5. Một số vận dụng khác SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy 2.5.1. Chứng minh bất đẳng thức 2.5.2. Chứng minh đẳng thức SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Khái quát hoá Theo G.Polya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả tập hợp ban đầu. Còn theo Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” trong “Phương pháp dạy học môn Toán”. “Chẳng hạn, chúng ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang việc nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kỳ với số cạnh bất kỳ. Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường. Chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thức cho n số tuỳ ý…Trong các ví dụ này cho thấy chúng ta thường thấy chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó”. Hãy xét ví dụ sau: Ở lớp 9 ta có định lí sau: “Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn”. Ta có ba trường hợp sau: Hình 1a SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Hình 1b Hình 1c Trang 6 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy Hình 1a: Tâm O nằm bên ngoài góc. Hình 1b: Tâm O nằm trên cạnh của góc. HÌnh 1c: Tâm O nằm bên trong góc. Trong ba trường hợp trên ta đều chứng minh được góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung qua tiếp điểm bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung do đó cũng bằng nửa số đo của cung bị chắn. Từ đó bằng khái quát hoá chúng ta đi đến quy luật phổ biến đối với mọi góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung qua tiếp điểm đều bằng một nửa số đo cung bị chắn. Như vậy, trên cơ sở nghiên cứu ba trường hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp trên mà thôi) ta đã khái quát được vấn đề đặt ra. 1.2. Đặc biệt hoá Theo G.Polya: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”. Có thể hiểu đặc biệt hoá là quá trình ngược lại của khái quát hoá. Chẳng hạn chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ nghiên cứu một đa giác sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác đặc biệt có số cạnh bằng 3), ta tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là một tam giác đặc biệt có các cạnh bằng nhau). Trong hai bước đặc biệt hoá trên đã tiến hành theo các hướng khác nhau. Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một biến bởi một hằng số cụ thể SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 7 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy (𝑛 = 3); trong lần thứ hai (từ tam giác bất kì sang tam giác đều) chúng ta đã quy định những điều hạn chế (tam giác phải có các cạnh bằng nhau). Ta dùng đặc biệt hoá để minh hoạ, giải thích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể. Đặc biệt hoá thường được sử dụng trong các bài toán dựng hình, tìm quỹ tích, phương pháp này giúp ta mò mẫm, dự đoán quỹ tích trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh cho toàn bộ bài toán. Ta xét ví dụ sau: “Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn” Ta chỉ xét hai đường tròn không cắt nhau có bán kính 𝑅! > 𝑅" . Nếu giải trực tiếp bài toán này rất khó khăn. Ta xét trường hợp đường tròn (𝑂" ; 𝑅" )là đường tròn điểm. Lúc đó cách dựng như sau: dựng đường tròn đường kính 𝑂" 𝑂! , đường tròn này cắt (𝑂! ) tại 𝐴 và 𝐵 thì 𝑂" 𝐴 và 𝑂" 𝐵 là hai tiếp tuyến của đường tròn (𝑂! ) qua điểm 𝑂" (hình 2a). Hình 2a Trở lại bài toán ban đầu, ta vận dụng bài toán trên bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm 𝑂" đến đường tròn (𝑂! , 𝑅! − 𝑅" ). Sau đó dựng hai đường thẳng lần lượt SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 8 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy song song với hai tiếp tuyến vừa dựng được, ta dựng được tiếp tuyến ngoài chung của hai đường tròn (hình 2b). Tương tự ta dựng được hai tiếp tuyến trong bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm 𝑂" đến đường tròn (𝑂! , 𝑅! + 𝑅" ), rồi cùng dựng hai đường thẳng lần lượt song song hai đường đó, đó chính là hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. Hình 2b Hình 2c 1.3. Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá trong việc giải bài toán sơ cấp Khái quát hoá, đặc biệt hoá có vai trò rất quan trọng trong Toán học, nó trở thành phương pháp suy nghĩ sáng tạo và luôn là nguồn gốc của nhiều phát minh. Nó giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán, tìm phương pháp giải toán, mở rộng, đào sâu kiến thức. Khi giải một bài toán, phương pháp chung là đưa nó về một bài toán đơn giản hơn sao cho khi giải bài toán này thì có thể giải được bài toán đã cho. Khi đó các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá có nhiều tác dụng. Trong lịch sử Toán học, có nhiều bài toán mà suốt hàng chục năm, thậm chí hàng trăm năm, biết bao thế hệ nhà Toán học của nhiều nước với biết bao công sức chỉ mới giải được một số trường hợp đặc biệt. SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 9 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy Chẳng hạn bài toán nổi tiếng sau: “Chứng minh rằng phương trình 𝑥 # + 𝑦 # = 𝑧 # không có nghiệm nguyên (khác 0) với 𝑛 > 2, 𝑛 ∈ 𝑵”. Đây gọi là định lí lớn Fermat bởi nó được đề xướng bởi Fermat vào khoảng năm 1630. Chính Fermat đã chứng minh cho trường hợp đặc biệt 𝑛 = 4. Năm 1770 Euler đã chứng minh cho trường hợp đặc biệt 𝑛 = 3. A.Legende (1752-1833) và Dirichet chứng minh với 𝑛 = 5 (1825). Khi 𝑛 = 6 quy về 𝑛 = 3 và tổng quát chỉ cần chứng minh định lí cho số mũ nguyên tố. Năm 1839, nhà Toán học người Pháp G.Lame (1795-1870) đã chứng minh được cho 𝑛 = 7, kết quả đáng kể nhất là của nhà Toán học người Đức E.Kummer (1810-1893) đã chứng minh định lí với mọi 𝑛 < 100. Đến năm 1960, với sự giúp đỡ của máy tính điện tử người ta đã chứng minh được định lí đúng với mọi 𝑛 < 2521. Đến năm 70, 80 của thế kỉ XX, định lí được chứng minh cho các số 𝑛 < 100.000, nhưng như vậy định lí mới được chứng minh cho một số lớn các trường hợp đặc biệt. Nhà Toán học Hà Lan G.Faltings đã có công đóng góp lớn với việc chứng minh rằng phương trình 𝑥 # + 𝑦 # = 𝑧 # với 𝑛 > 2 nếu có nghiệm nguyên thì chỉ có hữu hạn nghiệm mà thôi. Ngày 23/06/1993 nhà Toán học người Anh Andrew Wiles đã công bố chứng minh định lí lớn Fermat, như vậy “ngọn núi lớn chọc trời” đã được chinh phục. Tuy vậy, đến tháng 9/1993 các trung tâm Toán học tại Hoa Kỳ và Pháp đã phát hiện ra một lỗ hỏng trong chứng minh. Mãi hơn một năm sau vào giữa tháng 10 năm 1994 Andrew Wiles và học trò là R.Taylor trình bài lời giải thật hoàn chỉnh chỉ có 25 trang. Định lí lớn Fermat đã được chứng minh! SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy Như vậy, suốt hơn 300 năm con người đã tìm tòi, mò mẫm để chứng minh định lí từ những trường hợp đặc biệt đến chứng minh trường hợp tổng quát cho định lí. Đặc biệt trong các bài toán dựng hình và tìm quỹ tích thì cái khó đầu tiên là phải biết dự đoán kết quả, sau đó dùng đặc biệt hoá để kiểm tra lại kết quả. Xét ví dụ 1 sau: “Trên mặt phẳng cho hai điểm A và B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 𝐴𝑀: 𝐵𝑀 = 𝑘”. Để tìm quỹ tích điểm 𝑀, ta xét một số ví trí đặc biệt của 𝑀. Nếu 𝑀 chia đoạn 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 thì 𝑀′ đối xứng với 𝑀 qua 𝐴𝐵 cũng chia đoạn 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘. Suy ra 𝑀′ cũng thuộc quỹ tích. Xét hai điểm đặc biệt thuộc quỹ tích là 𝐼 và J, lần lượt chia trong và chia ngoài đoạn 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘. Như vậy, quỹ tích 𝑀 không phải là đường thẳng, từ đó dự đoán quỹ tích 𝑀 là đường tròn qua 𝐼, 𝐽 và nhận 𝐼𝐽 làm trục đối xứng, đó chính là đường tròn đường kính 𝐼𝐽. Từ đó ta đưa ra cách giải: SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 11 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy Thuận: Do 𝑀𝐴: 𝑀𝐵 = 𝐼𝐴: 𝐼𝐵 = 𝐽𝐴: 𝐽𝐵 = 𝑘 nên 𝑀𝐼 và 𝑀𝐽 lần lượt là phân E = 90°, tức điểm 𝑀 nằm giác trong và ngoài của góc 𝑀 trong ∆𝑀𝐴𝐵. Do đó 𝐼𝑀𝐽 trên đường tròn đường kính 𝐼𝐽. Đảo: Giả sử 𝑀 nằm trên đường tròn đường kính 𝐼𝐽 (trừ 𝐼, 𝐽). Qua 𝐵 kẻ đường thẳng song song với 𝐴𝑀 cắt 𝐼𝑀, 𝐽𝑀 lần lượt tại 𝐶, 𝐷. Do ∆𝐴𝐼𝑀~∆𝐵𝐼𝐶 nên 𝐴𝑀: 𝐵𝐶 = 𝐴𝐼: 𝐵𝐼 = 𝑘 và ∆𝐵𝐽𝐷~∆𝐴𝐽𝑀 nên 𝐴𝑀: 𝐵𝐷 = 𝐴𝐽: 𝐵𝐽 = 𝑘 do đó 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 tức 𝑀𝐵 là trung tuyến của tam giác vuông 𝐶𝑀𝐷. Suy ra 𝐵𝑀 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷, do đó 𝐴𝑀: 𝐵𝑀 = 𝐴𝑀: 𝐵𝐶 = 𝑘 (đpcm). Xét ví dụ 2: Trong chương trình hình học phẳng ở phổ thông, chúng ta không xa lạ gì với những tính chất đặc điểm của các đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác trong một tam giác. Một điểm mà ai cũng biết là ba đường cùng loại xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đồng quy tại một điểm lần lượt được gọi là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Ắt hẳn chúng có điểm gì đó chung! 1.Xét giao điểm của ba đường trung tuyến: $ % % & & $ Ta luôn có $! & . %!$ . &!% = 1 (1) ! ! ! 2.Xét giao điểm ba đường phân giác: Theo tính chất đường phân giác: $! % $! & = $% %! & ; $& %! $ Suy ra: %& & $ &$ = %$ ; &!% = &% $! % %! & &! $ . . $! & %! $ &! % ! = SVTH: Đoàn Thị Hà Giang $% %& &$ . . $& %$ &% =1 Trang 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy $ % % & & $ Vậy ta cũng có: $! & . %!$ . &!% = 1 ! ! ! Hai trường hợp trên ta dễ dàng thấy (1) đúng, bây giờ thử xem biểu thức (1) có đúng với ba đường cao không? 3.Xét giao điểm ba đường cao: Các cặp tam giác đồng dạng: $! % &! % ∆ 𝐴𝐴" 𝐵~∆ 𝐶𝐶" 𝐵 ⇒ = % & $% . &% %& ∆ 𝐴𝐴" 𝐶~∆ 𝐵𝐵" 𝐶 ⇒ $! & = $& . ! & $ &$ ∆ 𝐵𝐵" 𝐴~∆ 𝐶𝐶" 𝐴 ⇒ %! $ = %$. ! Suy ra: $! % %! & &! $ . . &! % $! & %! $ = $% %& &$ . . &% $& %$ =1 Vậy biểu thức (1) vẫn đúng đối với trường hợp đường cao. 4.Xét bài toán tổng quát: “Nếu 𝐴" , 𝐵" , 𝐶" là ba điểm lần lượt thuộc ba cạnh 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 của ∆𝐴𝐵𝐶 sao cho 𝐴𝐴" , 𝐵𝐵" , 𝐶𝐶" đồng quy thì $! % %! & &! $ . . $! & %! $ &! % = 1”. Chứng minh bài toán này như sau: dựng đường thẳng 𝑑 qua 𝐴 và song song 𝐵𝐶. Gọi 𝐶′ = 𝐶𝐶" ∩ 𝑑 và 𝐵′ = 𝐵𝐵" ∩ 𝑑. Dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng ta có: 𝐴" 𝐵 𝐴" 𝐶 𝐴" 𝐵 𝐴𝐵′ = ⇒ = 𝐴𝐵′ 𝐴𝐶′ 𝐴" 𝐶 𝐴𝐶′ % & %& & $ Tương tự: %!$ = $%' và &!% = ! SVTH: Đoàn Thị Hà Giang ! &'$ . %& Trang 13 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy ⇒ 𝐴" 𝐵 𝐵" 𝐶 𝐶" 𝐴 𝐴𝐵′ 𝐵𝐶 𝐶′𝐴 . . = . . =1 𝐴" 𝐶 𝐵" 𝐴 𝐶" 𝐵 𝐴𝐶′ 𝐴𝐵′ 𝐵𝐶 ⇒ 𝐴" 𝐵 𝐵" 𝐶 𝐶" 𝐴 . . =1 𝐴" 𝐶 𝐵" 𝐴 𝐶" 𝐵 Tóm lại, từ các trường hợp đặc biệt như đường trung tuyến, phân giác, đường cao ta đã đưa ra được trường hợp tổng quát cho ba đường thẳng đồng quy bất kì. Việc tổng quát này giúp ích cho ta rất nhiều trong một số bài toán chứng minh đồng quy. Không dừng lại ở đó, ta xét tiếp: Nếu 𝐴" ∈ 𝐵𝐶, 𝐵" ∈ 𝐶𝐴, 𝐶" ∈ 𝐴𝐵 và 𝐴𝐴" ; 𝐵𝐵" ; 𝐶𝐶" không đồng quy thì tỉ số trên như thế nào? Áp dụng định lí hàm sin cho ∆𝐴𝐶𝐶" và ∆𝐵𝐶𝐶" : $&! &&! = ()#$&&! ()#$ và & $ &&! &! % = ()#% ()#&! &% ()#$&& .()#% ! &% ! ⇒ &!% = ()#$.()#& ! Tương tự: $! % $! & %! & %! $ $ % % & & $ = ()#%$$! .()#& ()#%.()#$! $& ()#&%% .()#$ ! = ()#&.()#% ! %$ ()#%$$! ()#&%%! ()#$&&! . . . ! $& ()#%! %$ ()#&! &% Vậy: $! & . %!$ . &!% = ()#$ ! ! ! SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 14 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy CHƯƠNG 2. VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ TRONG DẠY HỌC VÀ HỌC TOÁN. 2.1. Vận dụng khái quát hoá để mở rộng bài toán Chứng minh rằng trong mọi ∆𝐴𝐵𝐶 ta có: + 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤ ! (1) Cách 1: $ (1) ⇔ 1 − 2𝑠𝑖𝑛! ! + 2𝑐𝑜𝑠 ⇔ 4𝑠𝑖𝑛! %,& %-& 𝑐𝑜𝑠 ! ! + ≤! 𝐴 𝐴 𝐵−𝐶 − 4𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 +1≥0 2 2 2 𝐴 𝐵−𝐶 ! 𝐵−𝐶 ⇔ U2𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 V + 𝑠𝑖𝑛! ≥0 2 2 2 Biểu thức cuối cùng luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ 2𝑠𝑖𝑛 ! − 𝑐𝑜𝑠 %-& ! =0 $ " . 𝑠𝑖𝑛 ! = ! W ⇔ X ⇔ 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = + ∆𝐴𝐵𝐶 đều. %-& 𝑠𝑖𝑛 ! = 0 𝐵=𝐶 Cách 2: Biến đổi vế trái (1) (𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵). 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵) = (𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵).1 + 𝑠𝑖𝑛𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝐵 ≤ 1 1 3 [(𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 )! + 1! ] + (𝑠𝑖𝑛! 𝐴 + 𝑠𝑖𝑛! 𝐵 ) − 𝑐𝑜𝑠𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi: SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy " . 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 1 𝑐𝑜𝑠𝐴 = ! ⇔ 𝐴 = 𝐵 = ⇔ ∆𝐴𝐵𝐶 đều. X ⇔ X + 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝐴=𝐵 Và còn nhiều cách giải khác nữa. Rèn luyện các thao tác tư duy: Khai thác từ giả thuyết: Khi A, B, C là ba góc của tam giác thì $,% %,& &,$ , ! , ! ! cũng là ba góc của một tam giác nào đó. Suy ra: 𝑐𝑜𝑠 $,% ! + 𝑐𝑜𝑠 %,& ! $ ! + 𝑐𝑜𝑠 % ! &,$ + ≤ ! ! & ! + ! ⇔ 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 ≤ . (2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $,% ! = %,& ! = &,$ ! . . = + ⇔ 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = + ⇔ ∆𝐴𝐵𝐶 đều. Tổng quát hoá: Giả sử 𝑚, 𝑛 là các số dương, khi đó: 𝑐𝑜𝑠 /$,#% /,# + 𝑐𝑜𝑠 /%,#& /,# + 𝑐𝑜𝑠 /&,#$ /,# ≤ + ! (3) Sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu ∆𝐴𝐵𝐶 không tù, ta có: 1 √2 1 √𝑐𝑜𝑠𝐴 = √2. ] 𝑐𝑜𝑠𝐴 ≤ . U + 𝑐𝑜𝑠𝐴V 2 2 2 " √𝑐𝑜𝑠𝐵 = √2. ^! 𝑐𝑜𝑠𝐵 ≤ SVTH: Đoàn Thị Hà Giang √! " . _! ! + 𝑐𝑜𝑠𝐵` (4) Trang 16 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy 1 √2 1 √𝑐𝑜𝑠𝐶 = √2. ] 𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤ . U + 𝑐𝑜𝑠𝐶V 2 2 2 Suy ra: √𝑐𝑜𝑠𝐴 + √𝑐𝑜𝑠𝐵 + √𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤ 3 √2 3 U + 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶V ≤ 2 2 √2 Vậy ta có: √𝑐𝑜𝑠𝐴 + √𝑐𝑜𝑠𝐵 + √𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤ + . √! (5) Tổng quát hoá: Với mọi ∆𝐴𝐵𝐶 không tù, ta có: " " " √𝑐𝑜𝑠𝐴 + √𝑐𝑜𝑠𝐵 + √𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤ + . √! (6) " Từ (6) với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: " " " a𝑥 + √𝑐𝑜𝑠𝐴ba𝑦 + √𝑐𝑜𝑠𝐵 ba𝑧 + √𝑐𝑜𝑠𝐶 b " " " 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 √𝑐𝑜𝑠𝐴 + √𝑐𝑜𝑠𝐵 + √𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤c + d 3 3 + 𝑥+𝑦+𝑧 1 + ≤U +" V 3 √2 " " " Vậy: a𝑥 + √𝑐𝑜𝑠𝐴ba𝑦 + √𝑐𝑜𝑠𝐵ba𝑧 + √𝑐𝑜𝑠𝐶 b ≤ _ 1,2,3 + " + + " !` . √ (7) Với mọi ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn và với mọi 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 𝐴=𝐵=𝐶= X 𝑥=𝑦=𝑧 . + Đặc biệt hoá: Cho 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑛 = 2, ta có: SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy a2 + √cos 𝐴ba2 + √cos 𝐵ba2 + √cos 𝐶b ≤ 11 + !5√! 6 (8) Tương tự (6), ta có: " $ % " & " ^sin + ^sin + ^sin ≤ ! ! ! + . √! (9) " Tương tự (7), ta có: $ " % " " & c𝑥 + ^sin ! d c𝑦 + ^sin ! d c𝑧 + ^sin !d ≤ _ 1,2,3 + " + " !` √ (10) Mặt khác, với giả thiết ∆𝐴𝐵𝐶 không tù, ta có: # √cos 𝐴 cos 𝐵 cos 𝐶 ≤ 78($,9:; %,9:; & + " ≤! " ⟺ cos 𝐴 cos 𝐵 cos 𝐶 ≤ < (11) Tất nhiên nếu ∆𝐴𝐵𝐶 tù thì (11) hiển nhiên đúng. Vậy (11) luôn đúng với mọi ∆𝐴𝐵𝐶. Khi ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: " 9:;$ $ " " + 9:;$ % + 9:;$ & ≥ ≥ + # = √9:; $ 9:; % 9:; &> + $ # ! ? @%A ≥ 3.2B (𝛼 > 0). Vậy: " 9:;$ $ " " + 9:;$ % + 9:;$ & ≥ 3.2B (𝛼 > 0) i. 𝛼 = 1: " " " + % + 9:; & ≥ 6. 9:; $ SVTH: Đoàn Thị Hà Giang (12) Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy " 9:;& $ ii. 𝛼 = 2: + " 9:;& % + " 9:;& & ≥ 12 . (13) " Mà 9:;& 1 = 1 + tg ! 𝑥 nên từ (13) ta có: Tg ! 𝐴 + tg ! 𝐵 + tg ! 𝐶 ≥ 9 (14) Với mọi ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn. Tổng quát hoá: Áp dụng bất đẳng thức: 1,2,3 # ` + 𝑥# + 𝑦# + 𝑧# ≥ 3 _ , ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ . Suy ra: tg ! 𝐴 + tg ! 𝐵 + tg ! 𝐶 ≥ 3#," , ∀∆𝐴𝐵𝐶 nhọn, ∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ . Cũng với giả thiết ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn, ta có: " " " " " cos 𝐴 + 9:; $ = cos 𝐴 + 6 9:; $ + 6 9:; $ + 6 9:; $ + 6 9:; $ 5 ≥ ( √6' 9:;# $ Tương tự: " cos 𝐵 + 9:; % ≥ 5 ( " √6' 9:;# % và cos 𝐶 + 9:; & ≥ " " 5 ( √6' 9:;# & . " cos 𝐴 + cos 𝐵 + cos 𝐶 + 9:; $ + 9:; % + 9:; & ( ≥ 5 √6 " _( # 6 √9:; $ ≥ 5 √6 + 6 (√9:; $ 9:; % 9:; & ≥ 5 √6 "5 ( ! +( " √9:;# % +( " √9:;# & ` ( ( = ! 6 @% SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang 19