Tài liệu Tính bền và bị chặn đều cho phương trình non autonomous với biến số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Bình TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Bình TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn tập thể quý thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao học chuyên ngành giải tích khóa 23 trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. Thầy cô đã mang đến cho em những hiểu biết thêm về Toán giải tích và những kiến thức Toán làm nền tảng cho em có thể thực hiện luận văn này. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa. Thầy là người tận tâm dạy dỗ chúng em trong suốt hai năm học. Thầy cũng đã hết lòng hướng dẫn em thực hiện luận văn này. Em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong phòng sau đại học trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và nhiệt tình hỗ trợ chúng em trong suốt quá trình học tập. Luận văn chắc hẳn còn có những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ...............................................................................................................1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................3 1.1. Một số kí hiệu ...................................................................................................3 1.2. Phương trình vi phân chậm ...............................................................................3 1.3. Phương trình Non-autonomous (Hệ Non-autonomous) ...................................4 1.4. Phương trình Liénard ........................................................................................4 1.5. Khái niệm ổn định Lyapunov ...........................................................................5 1.6. Bổ đề Gronwall .................................................................................................7 1.7. Bất đẳng thức Young về tích chập của hai hàm ...............................................7 1.8. Điều kiện Lipschitz ...........................................................................................7 1.9. Giải thức compact .............................................................................................7 1.10. Hàm tiêu chuẩn ...............................................................................................8 1.11. Bổ đề Aubin-Lions .........................................................................................8 Chương 2. TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NONAUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH .........................................10 Chương 3. TẬP HÚT CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NON-AUTONOMOUS CHẬM ............................................28 3.1. Phần chuẩn bị ..................................................................................................31 3.2. Sự tồn tại của một tập hút lùi ..........................................................................34 3.3. Sự tồn tại của một tập hút đều ........................................................................50 3.4. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều ...................................................58 KẾT LUẬN .............................................................................................................59 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................60 1 MỞ ĐẦU Trong khoa học ứng dụng, một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cơ khí, kỹ thuật, kinh tế, thuyết điều khiển, vật lý, sinh học, y học, năng lượng nguyên tử, lý thuyết thông tin, … được liên kết với một phương trình bậc hai tuyến tính hoặc phi tuyến với một biến số lệch. Trong số các phương trình này, phương trình dạng Liénard với biến số lệch có một vị trí cực kỳ quan trọng. Bởi vì, trên thực tế, nhiều hệ thống hiện đại có tính chất hiệu ứng sau, nghĩa là các trạng thái sau phụ thuộc không chỉ vào hiện tại, mà còn phụ thuộc vào quá khứ. Sự hiểu biết về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực là một trong những vấn đề quan trọng nhất của vật lý toán học và sinh học hiện đại. Vì vậy, sự nghiên cứu các thuộc tính định tính của phương trình dạng Liénard Non-autonomous với biến số lệch là rất cần thiết, đặc biệt tính ổn định và bị chặn của các nghiệm của các phương trình loại này. Mục tiêu của luận văn này là trình bày một số kết quả về tính bền và bị chặn đều cho phương trình vi phân Non-autonomous với biến số lệch. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trình bày một số lý thuyết phương trình vi phân Nonautonomous, một số kí hiệu, định lý, bổ đề, và bất đẳng thức sẽ được sử dụng trong luận văn. Chương 2: Đầu tiên, trình bày điều kiện đủ cho tính bị chặn của nghiệm của phương trình dạng Liénard với biến số lệch: x '' (t) + f (x(t))x ' (t) + g1 (x(t)) + g 2 (x(t - t(t))) = e(t) . Tiếp theo, xem xét đến hai kết quả có liên quan đến tính ổn định và bị chặn đều của phương trình dạng Liénard Non-autonomous với biến số lệch r(t): x " (t) + f (t, x(t), x(t − r(t)), x ' (t), x ' (t − r(t)))x ' (t) + g1 (x(t)) + g 2 (x(t − r(t))) = p(t, x(t), x(t − r(t)), x ' (t), x ' (t − r(t))). 2 Ngoài ra, trong chương này còn xét thêm hai ví dụ minh họa cho các lý thuyết tương ứng. Chương này sắp xếp lại và làm rõ các chứng minh trong hai bài báo: Bingwen Liu, Lihong Huang (2008), Boundedness of solutions for a class of Liénard equation with a deviating argument, ScienceDirect, Applied Mathematics Letters 21, pp.109-112. Cemil Tung (2012), Stability and uniform boundedness results for Nonautonomous Liénard-type equations with a variable deviating argument, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.311-325. Chương 3: Đầu tiên, xây dựng các quá trình liên quan đến phương trình: ∂ u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) F(u t )(x) + g(x, t), x ∈ Ω, t>t , = ∂t = u(τ , x) u 0 (x), x ∈ Ω, u( = τ + θ , x) ϕ (θ , x), θ ∈ (−r,0), x ∈ Ω, trong không gian 2 2 2 L2 (Ω)xL2 (− r,0; L2 (Ω)) , để cho cặp (u(t), u t ) ∈ L (Ω)xL (− r,0;L (Ω)) thể hiện các trạng thái của hệ. Sau đó khảo sát các trạng thái dài hạn của hệ bằng cách chỉ ra sự tồn tại của một tập hút lùi và tập hút đều. Ngoài ra, trong chương này có đề cập đến mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều. Chương này sắp xếp lại và làm rõ các chứng minh trong bài báo: Cung The Anh, Le Van Hieu (2012), Attractors for Non-autonomous semilinear parabolic equations with delays, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.357-377. 3 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số kí hiệu i. C(U, = V) {u : U → V | u liên tục}. C k (U, = V) {u : U → V | u liên tục, khả vi k lần}. ii. Lp (U, = V) {u : U → V | u là khả tích bậc p trên U, u u Lp (U,V) = (∫ p u dx U ) 1 p , u Lp (U) = (∫ U ) < ∞ } trong đó (1 ≤ p < ∞) . p L= (U) {u : U →  | u là khả tích bậc p trên U, p Lp (U) 1 p u dx , u L∞ (U) < ∞} trong đó (1 ≤ p < ∞). Lploc (U, = V) {u : U → V | u khả tích bậc p trên mỗi tập con compact của U}. iii. W k,p (U), H k (U),...,(k ∈ , 1 ≤ p ≤ ∞) kí hiệu các không gian Sobolev. iv. C k,β (U), Ck,β (U),..., (k ∈ , 0 ≤ p ≤ 1) kí hiệu các không gian Holder. v. u là kí hiệu đạo hàm của hàm u. 1.2. Phương trình vi phân chậm Phương trình vi phân chậm (DDEs) là một loại phương trình vi phân trong đó đạo hàm của hàm chưa biết tại một thời điểm xác định được cho dựa trên giá trị của hàm tại thời điềm trước đó. Phương trình vi phân chậm còn được gọi là hệ di truyền, phương trình với biến số lệch hoặc phương trình vi phân - khác biệt. Chúng thuộc về lớp các hệ với chức năng hàm, tức là phương trình phương trình đạo hàm riêng (PDEs) vô hạn chiều, trái ngược với phương trình vi phân thông thường (ODEs) hữu hạn chiều. Một dạng tổng quát của phương trình vi phân thời gian chậm của x(t) ∈  n là d {x(t) : t ≤ t} biểu diễn quỹ đạo của các nghiệm x(t) = f (t, x(t), x t ) với x= t dt 4 trong quá khứ. Trong phương trình này f :  ×  n × C1 (,  n ) →  n là một toán tử hàm. 1.3. Phương trình Non-autonomous (Hệ Non-autonomous) Một hệ Non-autonomous là một phương trình động trên một không gian phân thớ mịn Q →  . Không gian phân thớ là một không gian mà xét cục bộ là không gian tích, nhưng xét trên toàn cục có thể có một cấu trúc topo khác. Cụ thể, sự giống nhau giữa một không gian E và một không gian tích B × F được định nghĩa bằng việc dùng một ánh xạ toàn ánh liên tục π : E → B mà trong các miền nhỏ của E coi như một phép chiếu từ các miền tương ứng của B × F đến B. Ánh xạ π là phép chiếu chiếu hay phép nhúng của không gian phân thớ, được coi là một phần của cấu trúc trong không gian này. Không gian E được gọi là không gian phân thớ toàn phần, B là không gian cơ sở, và F là thớ. 1.4. Phương trình Liénard Cho f và g là hai hàm khả vi liên tục trên R, với g là một hàm lẻ và f là một hàm chẵn. Khi đó, phương trình vi phân cấp hai thông thường có dạng: d 2x dx + f ( x ) + g ( x) = 0 dt 2 dt được gọi là phương trình Liénard. Phương trình có thể được chuyển đổi thành một hệ hai chiều tương đương với hệ phương trình vi phân thông thường. Ta định nghĩa: x F ( x) := ∫ f (x )dx , 0 x1 := x, x= 2 : dx + F ( x), dt 5  x1   x − F ( x1 )  thì= x1 , x2 ) :  2  x  (=  được gọi là một hệ Liénard. ( ) − g x 1  2   1.5. Khái niệm ổn định Lyapunov Xét hệ có mô hình thay đổi theo thời gian, còn gọi là hệ Non-autonomous: x = f (x, t), (1.01) = với x (x1 ,..., x n )T ∈  n là vectơ gồm n biến trạng thái của hệ, f (x, t) là vectơ của n hàm thực f (x, t) = (f1 (x, t),...,f n (x, t))T thường được giả thiết là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương tại lân cận x 0 . Kí hiệu số mũ T ở đây được hiểu là phép chuyển vị của vectơ (hay ma trận). Điều kiện Lipschitz được đưa ra để đảm bảo rằng hệ phương trình vi phân bậc nhất (1.01) gồm có n phương trình vi phân: x k = f k (x, t), k=1,2,...,n, luôn có nghiệm x(t) duy nhất thỏa điều kiện đầu x(t 0 ) = x 0 . Nghiệm này còn gọi là quá trình tự do của hệ. Để nhấn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm x(t) vào điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 người ta thường ký hiệu nó là x(t, x 0 , t 0 ) . Cũng như vậy để nhấn mạnh sự phụ thuộc của x(t) vào hàm f(x,t) người ta còn sử dụng thêm ký hiệu ánh xạ x(t, x 0 , t 0 ) = fft 0(x,t ) (x 0 ) . Giả thiết tiếp hệ (1.01) là cân bằng tại gốc tọa độ, tức là: f (0, t) = 0, với t bất kì và 0 = (0,...0)T là vectơ không của không gian  n . (1.02) Giả thiết (1.02) này nói rằng khi không có tác động từ bên ngoài và hệ đang ở trạng thái không thì nó vẫn sẽ ở yên trạng thái đó. Định nghĩa: Xét hệ tự trị Non-autonomous cân bằng tại gốc tọa độ 0, tức là thỏa mãn (1.02), trong đó vectơ hàm f ( x, t ) được giả thiết liên tục theo t. Khi đó hệ được gọi là: 6 Ổn định nếu với mọi hằng số dương ε > 0 và t 0 > 0 cho trước luôn tồn tại δ(ε, t 0 ) > 0 phụ thuộc vào ε và t 0 sao cho: x 0 < δ(ε, t 0 ) ⇒ x(t, x 0 , t 0 ) < ε với mọi t > t 0 (1.03) trong đó x(t) = x(t, x 0 , t 0 ) là nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.01) thỏa mãn điều kiện= đầu x(t 0 ) x(t = x0 . 0 , x0 , t0 ) Ổn định đều nếu nó là ổn định và hằng số δ(ε, t 0 ) > 0 trong (1.03) là không phụ thuộc vào t 0 , tức là δ(ε, t 0 ) =δ(ε) . Ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và thỏa mãn lim x(t, x 0 , t 0 ) = 0 . t →∞ Định lý Lasalle: Xét hệ (1.01) cân bằng tại gốc. Gọi V ( x, t ) là hàm nhiều biến, trơn thỏa mãn: γ1 ( x ) ≤ V ( x, t ) ≤ γ 2 ( x ) với γ1 , γ 2 ∈ K ∞ ( K ∞ ={ γ là hàm đơn điệu tăng / γ (0) = 0 và lim γ (r) = 0 }, được gọi là hàm hợp thức, cũng như đạo hàm của nó theo thời r →∞ ∂V ∂V  = gian: V(x, t) + f (x, t) ≤ − W(x) bị chặn trên bởi − W(x) với mọi t ≥ 0 . ∂t ∂x Khi đó: i. Hệ được gọi là hệ ổn định nếu W ( x ) là hàm bán xác định dương, tức là W(x) ≥ 0, với mọi x. ii. Hệ được gọi là hệ ổn định tiệm cận nếu W ( x ) là hàm xác định dương trong một lân cận O của gốc, tức là W ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ O và W ( 0 ) = 0 . Lân cận O được gọi là miền ổn định. Hàm V(x, t) khi đó được gọi là hàm Lyapunov, viết tắt là LF. Nếu hệ ổn định tiệm cận với miền ổn định O là toàn bộ không gian trạng thái, tức là W(x) > 0, ∀x ≠ 0 và W ( 0 ) = 0 thì nó được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục (GAS). 7 1.6. Bổ đề Gronwall Nếu f :  + →  + bị chặn trên mỗi đoạn [ 0,T ] và thỏa mãn: T f (T) ≤ a(T) + ∫ b(t)f (t)dt 0 T  cho mỗi hàm tăng a(t) và hàm thực dương b(t) thì f (T) ≤ a(T) exp  ∫ b(t)dt  . 0  1.7. Bất đẳng thức Young về tích chập của hai hàm Giả sử hàm f được chứa trong Lp ( d ) và g được chứa trong Lq ( d ) và 1 1 1 + = + 1, p q r với 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ . Thì f * g r ≤ f p g q . Dấu * biểu thị tích chập, Lp là không gian Lebesgue và �f�p = (∫ f (x) dx )1/p biểu thị chuẩn thông thường trong Lp . p 1.8. Điều kiện Lipschitz Hàm f(x) là thỏa điều kiện Lipschitz trên một đoạn [a, b] nếu có tồn tại một hằng số K (phụ thuộc vào f và đoạn [a, b]) sao cho f (x1 ) − f (x 2 ) ≤ K x1 − x2 (Lưu ý, trong trường hợp tổng quát, K cũng phụ thuộc vào sự lựa chọn chuẩn nhưng đối với các chuẩn tương đương chỉ có một điều kiện Lipschitz). 1.9. Giải thức compact Khi nghiên cứu một toán tử không bị chặn A : H → H trên một không gian Hilbert H, nếu có z ∈ ρ(A) (với ρ(A) = {λ ∈ { | λ là giá trị riêng của A}) sao cho = (A − zI) −1 là một toán tử compact, ta nói rằng A có giải thức compact. R(z; A) Phổ σ(A) của A là một tập hợp con rời rạc của  . Hơn nữa, nếu A tự liên hợp thì σ(A) ⊂  và có tồn tại một cơ sở trực giao {vi }i∈} của vectơ riêng của A với giá trị chính quy {λ i }i∈} tương ứng. Ngoài ra {λ i } không có điểm tụ hữu hạn. 8 Toán tử compact là toán tử tuyến tính A : X → Y (với X, Y là không gian Banach) thỏa mãn ảnh của một tập bị chặn bất kì trong X là một tập compact tương đối trong Y. Phổ cơ bản của T thường ký hiệu là sess ( T ) là tập hợp của tất cả các số phức λ sao cho λI − T không phải là một toán tử Fredholm. Toán tử Fredholm là toán tử mà ảnh của nó là đóng, hạt nhân và đối hạt nhân của nó là hữu hạn chiều. Phổ cơ bản là một tập hợp con của phổ σ, và phần bù của nó được gọi là phổ rời rạc, vì vậy: sdiscr (T) = ss (T)  ess (T). Một số λ thuộc phổ rời rạc nếu nó là một giá trị riêng của số bội hữu hạn, nghĩa là số chiều của không gian {ψ ∈ X | Tψ = λψ} là hữu hạn nhưng không bằng không và có một ε > 0 sao cho sao cho µ ∈ σ ( T ) và µ − λ < ε thì μ và λ bằng nhau. 1.10. Hàm tiêu chuẩn Một hàm ϕ : U →  được gọi là có giá compact nếu có một tập con compact 0 với mọi x ∈ U \ K . K của U sao cho ϕ ( x ) = Các hàm có đạo hàm vô hạn ϕ : U →  với giá compact được gọi là hàm tiêu chuẩn. Không gian chứa các hàm tiêu chuẩn trên U kí hiệu là D(U). Đây là một không gian vectơ thực. 1.11. Bổ đề Aubin-Lions Cho X 0 , X và X1 là ba không gian Banach với X 0 ⊆ X ⊆ X1 . Giả sử X 0 được nhúng compact trong X và X được nhúng liên tục trong X1 ; giả sử rằng X 0 và X1 là không gian phản xạ. Với 1 < p, q<+∞ , lấy 9 W= {u ∈ Lp ([0,T];X 0 ) | u ∈ Lq ([0,T];X1 )} thì phép nhúng W vào Lp ([0,T];X) cũng là compact. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn với chuẩn . X và . Y tương ứng, giả sử rằng X ⊆ Y . Ta nói rằng X là nhúng compact trong Y, viết X ⊂⊂ Y nếu: i. X là nhúng liên tục trong Y, nghĩa là có hằng số C sao cho x Y ≤C x X với mọi x ∈ X ; ii. Phép nhúng X vào Y là một toán tử compact: mỗi tập bị chặn trong X là tập compact tương đối trong Y, tức là mỗi dãy trong một tập bị chặn có một dãy con là Cauchy theo chuẩn . Y . 10 Chương 2. TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH Xét phương trình Liénard với biến số lệch: x '' (t) + f (x(t))x ' (t) + g1 (x(t)) + g 2 (x(t - t(t))) = e(t), (2.01) với f , g1 và g 2 là các hàm liên tục trên  = (−∞, ∞), t(t) ≥ 0 là một hàm liên tục, + bị chặn trên  và e(t) là một hàm liên tục, bị chặn trên = [0, ∞) . Đặt ϕ(x) = x ∫ [f (u) − 1]du 0 và y = dx + ϕ(x). Khi đó, phương trình (2.01) dt được chuyển thành hệ sau:  dx(t)  dt= y(t) − ϕ(x(t)),   dy(t) = − y(t) − [ g (x(t)) − ϕ(x(t)) ] − g (x(t − t(t))) + e(t). 1 2  dt (2.02) Giả sử rằng = h sup t∈ t(t) ≥ 0 . Cho C([− h,0], ) là không gian các hàm liên tục φ :[− h,0] →  với chuẩn sup . . Các hàm g1 , g 2 , ϕ, τ và e liên tục, cho hàm liên tục ban đầu φ ∈ C([− h,0], ) và một số y 0 , tồn tại một nghiệm của (2.02) trên nửa khoảng [0, T) thỏa điều kiện đầu và thỏa (2.02) trên [0, T). Nếu nghiệm còn lại bị chặn thì T = +∞ . Ký hiệu các nghiệm x(t) = x(t, φ, y 0 ) và = y(t, φ, y 0 ) . y(t) Định nghĩa 2.1: Nghiệm của (2.02) là bị chặn nếu với mỗi B1 > 0, tồn tại B2 > 0 sao cho (φ, y 0 ) ∈ C([−h,0], yy )x và φ + y 0 ≤ B1 kéo theo x(t, φ, y 0 ) + y(t, φ, y 0 ) ≤ B2 với t ∈  + . 11 Chúng ta giả sử rằng điều kiện ( C1 ) và ( C 2 ) thỏa: (C1) Tồn tại một hằng số d > 1 sao cho d | u |≤ sign(u)ϕ(u) với u ∈  . (C2) Tồn tại hằng số không âm L1 , L 2 , q1 và q 2 thỏa: (g ( u ) − ϕ ( u )) ≤ L 1 1 u + q1 , g 2 ( u ) ≤ L2 u + q 2 , L1 + L 2 < 1, với u ∈  . Định lý 2.1: Giả sử (C1) và (C2) thỏa. Thì nghiệm của (2.02) bị chặn đều. Chứng minh Cho x= ( t ) y ( t, φ, y0 ) là nghiệm của (2.02) xác định trên ( t ) x ( t, φ, y0 ) , y= [0,T ) . Chúng ta có thể giả sử rằng T = +∞ từ những đánh giá mà theo sau một tiền nghiệm bị chặn trên (x(t), y(t)) . Tính các đạo hàm trên bên phải của x ( s ) và y ( s ) theo (2.02) với các điều kiện (C1) và (C2), ta có: D + (|= x(s) |) |s = t sign(x(t)) [ −ϕ(x(t)) + y(t) ] = −sign(x(t))ϕ(x(t)) + sign(x(t))y(t)) ≤ − d x(t) + y(t) , (2.03) D + (|= y(s) |) |s = t sign(y(t)){− y(t) − [g1 (x(t)) − ϕ(x(t))] − g 2 (x(t − t(t))) + e(t)} ≤ − y(t) + L1 x(t) + L 2 x(t − t(t)) + q1 + q 2 + e(t) . (2.04) Đặt M(t) = max{max{ x(s) , y(s) }}, với y(s)=y(0) và mọi −h ≤ s ≤ 0 . Hiển nhiên − h ≤s ≤ t ta có max{ x(t) , y(t)} ≤ M(t) và M(t) không giảm với t ≥ − h . Bây giờ ta xét hai trường hợp: 12 TH i: Giả sử: M(t) > max{ x(t) , y(t)} với mọi t ≥ 0. Ta cần có M(t) ≡ M(0) là hằng số với mọi t ≥ 0 . (2.05) (2.06) Giả sử ngược lại (2.06) không thỏa. Thì tồn tại t1 > 0 sao cho M(t1 ) > M(0) (do M(t) là hàm không giảm với t ≥ − h ). Ta có max{ x(t) , y(t)} ≤ M(0) với mọi −h ≤ t ≤ 0 , (do M(0) = max{max{ x(t) , y(t) }} ). − h ≤ t ≤0 )} M(t1 ) ≥ M(β) , mâu thuẫn với Từ đó tồn tại β ∈ (0, t1 ) sao cho max{ x(β) , y(β= (2.05). M(0), với mọi t ≥ 0 . Dừ đó max{ x(t) , y(t)} ≤ M(t) = TH ii: Giả sử có t 0 ≥ 0 sao cho M(t 0 ) = max{ x(t 0 ) , y(t 0 )} . Đặt = η min{d − 1,1 − (L1 + L 2 )} và q= q1 + q 2 + sup e(t) + 1 : t∈ + = = x(t 0 ) , y(t 0 )} x(t 0 ) cùng với (2.03), ta có: Nếu M(t 0 ) max{ D + (| x(s) |) |s = t 0 ≤ − d x(t 0 ) + y(t 0 ) ≤ (− d + 1)M(t 0 ) < −ηM(t 0 ) + θ. (2.07) = = x(t 0 ) , y(t 0 )} y(t 0 ) cùng với (2.04), ta có: Nếu M(t 0 ) max{ D + (| y(s) |) |s = t 0 ≤ − y(t 0 ) + L1 x(t 0 ) + L 2 x(t 0 − t(t 0 )) + q1 + q 2 + e(t 0 ) ≤ (-1+L1 + L 2 )M(t 0 ) + θ ≤ −ηM(t 0 ) + θ. Thêm vào đó, nếu M(t 0 ) ≥ (2.08) θ thì từ (2.07) và (2.08) có M(t) giảm ngặt trong η 13 một lân cận nhỏ (t 0 , t 0 + δ0 ) . Mâu thuẫn với M(t) là không giảm. Do đó: = max{ x(t 0 ) , y(t M(t 0 ) < 0)} θ . η (2.09) Cho t ≥ t 0 tương tự trong chứng minh (2.09) ta có: max{ x(t) , y(t) } < θ , nếu M(t) = max{ x(t) , y(t)} . η Mặt khác, nếu M(t) > max{ x(t) , y(t)}, t>t 0 ta có thể chọn t 0 ≤ t 2 < t sao cho: M(t 2 ) max{ x(t 2 ) , y(t 2 ) } < = θ η và M(s) > max{ x(s) , y(s)} với mọi s ∈ (t 2 , t] . Dùng đối số giống trong chứng minh TH i ta được: M(s) ≡ M(t 2 ) là hằng số với mọi s ∈ (t 2 , t]. (2.10) Thật vậy, ta có max{ x(s) , y(s)} ≤ M(s) và M(s) không giảm với s ≥ − h . Giả sử M(s) > max{ x(s) , y(s)}, với mọi s > t 2 . (2.11) Giả sử ngược lại (2.10) không thỏa. Thì tồn tại t 3 > t 2 sao cho M(t 3 ) > M(t 2 ) (do M(t) là hàm không giảm với t ≥ − h ). Ta có: max{ x(s) , y(s)} ≤ M(t 2 ) với mọi −h ≤ s ≤ t 2 (do M(t 2 ) = max {max{ x(s) , y(s) }} ). − h ≤s ≤ t 2 Suy ra max { x(s) , y(s) } < M(t 3 ) với −h ≤ s ≤ t 2 . 14 )} M(t 3 ) ≥ M( γ ) , mâu Từ đó tồn tại γ ∈ (t 2 , t 3 ) sao cho max{ x( γ ) , y( γ= thuẫn với (2.11). M(t 2 ) với mọi s ∈ [t 2 , t] . Từ đó có max{ x(s) , y(s)} ≤ M(s) = Suy ra max{ x(t) , y(t) } < M(t) = M(t 2 ) = max{ x(t 2 ) , y(t 2 ) } < θ . η Vậy nghiệm của (2.02) bị chặn đều. Ví dụ 2.1: Tất cả các nghiệm và các đạo hàm của họ phương trình Liénard với một biến số lệch: 1 1 x ''(t) + (3x 2 (t) + 3)x '(t) + sin x(t) + x 3 (t) + 2x(t) + x(t − | sin t |) + 1 − x(t − | sin t |) − 1 2 6 =e 1 t 2 +1 (2.12) bị chặn. Chứng minh Đặt: x ϕ(x) = ∫ (3u 0 2 + 2)du, y= dx + x 3 + 2x. dt Ta có thể chuyển (2.12) thành hệ sau:  dx(t) −(x 3 (t) + 2x(t)) + y(t)  dt =  1 1 1  dy(t) = t 2 +1 − y(t) − sin x(t) − x(t − | sin t |) + 1 − x(t − | sin t |) − 1 + e  dt 2 6 Lần lượt kiểm tra tất cả các giả thiết trong định lý 2.1 thỏa. Thật vậy: (2.13) 15 = 3x 2 (t) + 3, f (x(t)) 1 = g1 (x(t)) sin x(t) + x 3 (t) + 2x(t), 2 t(t) = sin t , g 2 (x(t − t(t))) = g 2 (x(t − sin t )) = e(t) = e 1 t 2 +1 1 x(t − sin t ) + 1 − x(t − sin t ) − 1 , 6 . Với u ∈  , Nếu u ≥ 0 thì tồn tại d= 2 > 1 sao cho: d u= 2u ≤ u 3 + 2u= sign(u)(u 3 + 2u) ⇔ − u 3 ≥ 0 . Nếu u < 0 thì tồn tại d= 2 > 1 sao cho: du = −2u ≤ −(u 3 + 2u) = sign(u)(u 3 + 2u) ⇔ − u 3 ≥ 0 . Suy ra (C1) thỏa. Ta có: g1 (u) −= ϕ(u) g 2 (u)= 1 sin u + u 3 + 2u − u 3= − 2u 2 1 1 sin u ≤ u + 0 , 2 2 1 1 1 1 u +1 − u −1 ≤ u +1 ≤ u + , 6 6 6 6 1 1 1 Đặt: L1 = ; L 2 = ⇒1 L1 + L 2 < 1; q1 =0; q 2 = , ta có L1 ; L 2 ; q1 ; q 2 ≥ 0 . 2 6 6 Suy ra (C2) thỏa. Vì vậy, nghiệm của hệ (2.13) bị chặn đều. Điều này có nghĩa tất cả các nghiệm và đạo hàm của nghiệm của phương trình (2.12) bị chặn. Từ kết quả ở trên chúng ta có được một số điều kiện đủ cho tính bị chặn của nghiệm của phương trình dạng Liénard với biến số lệch. Tiếp theo, chúng ta xem 16 xét hai kết quả có liên quan đến tính ổn định và bị chặn đều của phương trình dạng Liénard Non-autonomous. Xét phương trình Liénard Non-autonomous với biến số lệch r(t): x " (t) + f (t, x(t), x(t − r(t)), x ' (t), x ' (t − r(t)))x ' (t) + g1 (x(t)) (2.14) +g 2 (x(t − r(t))) = p(t, x(t), x(t − r(t)), x ' (t), x ' (t − r(t))), trong đó r(t) liên tục, khả vi và bị chặn; 0 ≤ r ( t ) ≤ γ, r′ ( t ) ≤ β, 0 < β < 1 , γ và β là các hằng số dương và γ sẽ được xác định sau; các dấu phẩy trong phương trình (2.14) biểu thị phép vi phân ứng với t ∈  + ,  + = [0, ∞ ) ; f, g1 , g 2 và p là các hàm liên tục trên các miền xác định của chúng lần lượt là  + ×  4 , ,  và  + ×  4 và g= 0.  + ×  4 chỉ phụ thuộc vào đối số hiển thị một cách rõ ràng với g= 1 (0) 2 (0) Tính liên tục của các hàm f, g1 , g 2 và p là điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.14). Chúng ta xem xét sự ổn định và bị chặn đều của các nghiệm của phương trình (2.14) tương ứng khi p ≡ 0 và p ≠ 0 . Thay vì phương trình (2.14), chúng ta xem xét hệ sau: x′(t) = y(t), y′(t) = -f (t, x(t), x(t - r(t)), y(t), y(t - r(t)))y(t) - g1 (x(t)) - g 2 (x(t)) t + ∫ t -r( t ) ( ) g′2 ( x ( s ) ) y ( s ) ds + p t, x ( t ) , x ( t -r ( t )) , y ( t ) , y ( t r ( t )) , (2.15) thu được từ phương trình (2.14). Trong chương này x(t), y(t) tương ứng được viết tắt là x và y. Xét hệ vi phân chậm Non-autonomous: = x F(t, x t ), x= x(t + θ), -r ≤ θ ≤ 0, t ≥ 0, t (2.16) với F :  + × CH →  n là một ánh xạ liên tục, F ( t ,0 ) = 0 và giả sử F có các tập con đóng bị chặn trong các tập bị chặn của  n . ( C, . ) là không gian Banach của các