VÝ dô 1: (bµi 58 sgk §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11- n©ng cao)
Trong kh«ng gian cho tËp hîp gåm 9 ®iÓm trong ®ã kh«ng cã 4 ®iÓm nµo ®ång
ph¼ng hái cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu tø diÖn víi c¸c ®Ønh thuéc tËp ®· cho
* Sai lÇm th-êng gÆp
Cø 4 ®iÓm kh«ng ®ång ph¼ng th× t¹o ®-îc mét tø diÖn do ®ã sè tø diÖn lËp ®-îc
víi c¸c ®Ønh thuéc tËp 9 ®Ønh ®· cho lµ A94 3024 tø diÖn
* Nguyªn nh©n sai lÇm:
C¸ch gi¶i trªn ®· tÝnh lÆp 4! lÇn sè tø diÖn v× bèn ®Ønh cña mét tø diÖn kh«ng
cã tÝnh xÕp thø tù ch¼ng h¹n tø diÖn ABCD vµ tø diÖn BACD lµ mét
* Lêi gi¶i ®óng
Cø 4 ®iÓm kh«ng ®ång ph¼ng thuéc tËp hîp ®· cho th× t¹o ®-îc mét tø diÖn.
Ng-îc l¹i, mçi mét tø diÖn cã 4 ®Ønh thuéc tËp ®· cho t-¬ng øng víi mét tËp con cña
tËp ®· cho (v× bèn ®Ønh cña mét tø diÖn kh«ng cã tÝnh xÕp thø tù). Do ®ã sè tø diÖn
lËp ®-îc víi c¸c ®Ønh thuéc tËp 9 ®Ønh ®· cho lµ C 94 126 tø diÖn
VÝ dô 2: Líp 11A1 cã 40 häc sinh, cÇn bÇu mét ban c¸n sù líp gåm mét líp
tr-ëng, mét líp phã vµ 2 uû viªn. Hái cã mÊy c¸ch lËp ra ban c¸n sù.
* Sai lÇm th-êng gÆp
2
Chän 2 häc sinh ®Ó 1 lµm líp tr-ëng, 1 lµm líp phã cã C 40 780 c¸ch chän
2
Chän 2 uû viªn trong 38 häc sinh cßn l¹i cã C38 703
Theo quy t¾c nh©n cã 780 703 548340 c¸ch.
* Nguyªn nh©n sai lÇm
Chän 2 häc sinh ®Ó 1 lµm líp tr-ëng, 1 lµm líp phã, khi ®ã c¸ch chän nµy cã
thø tù. Ch¼ng h¹n khi ®· chän 2 häc sinh A vµ B ®Ó 1 lµm líp tr-ëng, 1 lµm líp phã
th× cã hai c¸ch: A lµm líp tr-ëng cßn B lµm líp phã vµ B lµm líp tr-ëng cßn A lµm
líp phã. Nªn mçi c¸ch chän lµ mét chØnh hîp chËp 2 cña 40 phÇn tö do ®ã sè c¸ch
2
chän lµ A40 = 1560
* Lêi gi¶i ®óng
Tr-íc tiªn ®Ó ®Þnh h-íng c¸ch gi¶i cho häc sinh, gi¸o viªn cÇn ph©n tÝch: §Ó
chän ®-îc mét ban c¸n sù cÇn thùc hiÖn 3 c«ng ®o¹n chän mét líp tr-ëng, chän mét
líp phã vµ chän 2 uû viªn. Do ®ã ta cã lêi gi¶i
C¸ch 1
C«ng ®o¹n 1: Chän 1 líp tr-ëng cã 40 c¸ch.
C«ng ®o¹n 2: Chän 1 líp phã trong 39 häc sinh sau khi ®· chän líp tr-ëng cã
39 c¸ch.
C«ng ®o¹n 3: Chän 2 uû viªn trong 38 häc sinh cßn l¹i (3 uû viªn cÇn chän
2
kh«ng cã thø tù nªn dïng tæ hîp) cã C38 703
Theo quy t¾c nh©n cã 1096680 c¸ch
C¸ch 2
§Ó chän ®-îc mét ban c¸n sù cã thÓ thùc hiÖn 2 c«ng ®o¹n chän 2 häc sinh ®Ó
1 lµm líp tr-ëng 1 lµm líp phã vµ chän 2 uû viªn. Do ®ã ta cã lêi gi¶i
C«ng ®o¹n 1: Chän 2 häc sinh ®Ó 1 lµm líp tr-ëng, 1 lµm líp phã, khi ®ã c¸ch
2
chän nµy cã thø tù nªn sè c¸ch chän lµ A40 =1560
C«ng ®o¹n 2: Chän 2 häc sinh trong 38 häc sinh cßn l¹i lµm uû viªn, c¸ch chän
2
nµy kh«ng cã thø tù nªn sè c¸ch chän lµ C38 703 .
2
2
VËy sè c¸ch chän ban ®¹i diÖn líp lµ: A40 . C 38 = 1096680 c¸ch.
C¸ch 3
§Ó chän ®-îc mét ban c¸n sù còng cã thÓ thùc hiÖn 2 c«ng ®o¹n. Tr-íc tiªn
chän cïng 1 lóc 4 häc sinh sau ®ã råi míi ph©n c«ng chøc vô. Do ®ã ta cã lêi gi¶i:
Chän 4 häc sinh ®Ó lµm mét ban c¸n sù c¸ch chän nµy kh«ng cã thø tù nªn sè
4
c¸ch chän lµ C 40 91390 c¸ch. Víi mçi c¸ch chän 4 häc sinh trªn chän 2 häc sinh
®Ó 1 lµm líp tr-ëng, 1 lµm líp phã, khi ®ã c¸ch chän nµy cã thø tù nªn sè c¸ch chän
lµ A42 =12 c¸ch, tiÕp theo chän 2 häc sinh cßn l¹i lµm uû viªn cã 1 c¸ch chän.
Theo quy t¾c nh©n cã 91 390 12 1=1 096 680 c¸ch.
VÝ dô 3: Trong mét hép cã 4 viªn bi ®á, 5 bi tr¾ng vµ 6 bi vµng. CÇn chän ra 4
viªn tõ hép ®ã. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ®Ó trong sè 4 viªn ®ã kh«ng cã ®ñ 3 mµu.
* Sai lÇm th-êng gÆp
4
Sè c¸ch chän 4 viªn kh«ng cã mµu tr¾ng lµ C10 210 c¸ch.
Sè c¸ch chän 4 viªn kh«ng cã mµu vµng lµ C 94 126 c¸ch.
4
Sè c¸ch chän 4 viªn kh«ng cã mµu ®á lµ C11 330 c¸ch.
Theo quy t¾c céng cã 120 126 330 666 c¸ch.
* Nguyªn nh©n sai lÇm:
C¸ch gi¶i trªn sai ë chç ®· tÝnh lÆp l¹i 2 lÇn sè c¸c viªn cïng mét mµu ®á hoÆc
cïng mµu tr¾ng hoÆc cïng mµu vµng.
* Lêi gi¶i ®óng:
C¸ch 1: ( Chän trùc tiÕp )
- Sè c¸ch chän 4 bi cïng mét mµu lµ:
4
C 4 C 54 C 64 1 5 15 21
- Sè c¸ch chän 4 bi chØ cã hai mµu ®á vµ tr¾ng lµ:
1
3
2
3
1
C 4 .C 52 + C 4 .C 5 + C 4 .C 5 6.10 4.5 4.10 120
- Sè c¸ch chän 4 bi chØ cã hai mµu tr¾ng vµ vµng lµ:
1
3
3
1
C 52 .C 62 + C 5 .C 6 + C 5 .C 6 10 .15 10 .6 5.20 310
- Sè c¸ch chän 4 bi chØ cã hai mµu vµng vµ ®á lµ:
1
3
3
1
2
C 62 .C 4 + C 6 .C 4 + C 6 .C 4 6.5 20 .4 6.4 194
Theo quy t¾c céng cã 120 310 194 645 c¸ch.
C¸ch 2
4
- Sè c¸ch chän tuú ý 4 viªn lµ C15 c¸ch.
- TÝnh sè c¸ch chän 4 viªn ®ñ 3 mµu:
1
1
+) Trong ®ã 2 ®á , 1 tr¾ng, 1 vµng l cã C 42 .C 5 .C 6 c¸ch
1
1
+) Trong ®ã 1 ®á , 2 tr¾ng, 1 vµng l cã C 4 .C 52 .C 6 c¸ch
1
1
+) Trong ®ã 1 ®á , 1 tr¾ng, 2 vµng l cã C 4 .C 5 .C 62 c¸ch
1
1
1
1
4
1
1
- Sè c¸ch chän cÇn t×m lµ: C15 -( C 42 .C 5 .C 6 + C 4 .C 52 .C 6 + C 4 .C 5 .C 62 )= 645 c¸ch
* Ghi nhí
Víi nh÷ng bµi to¸n cã nhiÒu ph-¬ng ¸n thùc hiÖn khi chän trùc tiÕp, gÆp khã
kh¨n trong viÖc xÐt ®ñ c¸c tr-êng hîp, hoÆc lµ khã tÝnh sè c¸c ph-¬ng ¸n chän, th×
cã thÓ lÊy sè tÊt c¶ c¸c ph¬ng ¸n cã thÓ x¶y ra trõ ®i sè ph¬ng ¸n “®èi lËp” víi nã.
1.3.1.1. Kh«ng n¾m v÷ng b¶n chÊt cña tham sè, kh«ng hiÓu nghÜa cña côm
tõ “gi¶i vµ biÖn luËn”, lÉn lén gi÷a “biÖn luËn theo m” vµ “t×m m”. Khi gi¶i biÖn
luËn ph-¬ng tr×nh (bÊt ph-¬ng tr×nh) cã tham sè m, nhiÒu häc sinh quy vÒ t×m m
®Ó ph-¬ng tr×nh (bÊt ph-¬ng tr×nh) cã nghiÖm.
VÝ dô 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh
m(x + m) = x + 1
(?): Häc sinh chuyÓn x vÒ mét vÕ vµ ®-a vÒ: (m - 1)x = 1 - m2 tõ ®ã rót ra
1 m2
x
. §Ó phÐp chia cã nghÜa th× ph¶i cã ®iÒu kiÖn m 1 . KÕt luËn: m 1 vµ x
m 1
= - m - 1.
(!): Thùc ra ®©y kh«ng ph¶i bµi to¸n t×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm, mµ
®©y lµ bµi to¸n gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh. Khi gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh, kÓ
c¶ tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm th× ta vÉn ph¶i xem xÐt.
Gi¶ sö cã ®iÒu kiÖn m 1 th× ta thùc hiÖn ®-îc phÐp chia 1 – m2 cho m - 1,
nh-ng kh«ng cã nghÜa lµ, ta thùc hiÖn phÐp chia tr-íc råi l¹i buéc m ph¶i kh¸c 1.
VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh
x 1 2x m
(?): Cã häc sinh gi¶i nh- sau: víi x 1 nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ x m 1
; víi x < 1 nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ x
m 1
.
3
(!): Häc sinh nµy dï ®· n¾m ®-îc kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nh-ng vÉn ch-a
ý thøc ®-îc r»ng, tham sè ®-îc xem nh- lµ nh÷ng sè ®· biÕt nh-ng ch-a râ cô thÓ lµ
bao nhiªu, bëi vËy kh«ng ch¾c g× m – 1 ®· lín hoÆc b»ng 1;
m 1
®· bÐ thua 1.
3
VÝ dô 3: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph-¬ng tr×nh
m(x – m + 3) m(x - 2) + 6
(?): BÊt ph-¬ng tr×nh mx - m2 + 3m mx - 2m +6 m2 – 5m + 6 0
2m3
VËy nghiÖm cña bÊt ph-¬ng tr×nh lµ: 2 m 3.
(!): Thùc ra 2 m 3 chØ lµ ®iÒu kiÖn ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm chø
kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña bÊt ph-¬ng tr×nh. Khi m n»m ngoµi [2; 3] th× bÊt ph-¬ng
tr×nh sÏ v« nghiÖm vµ ta vÉn ph¶i ®Ò cËp ®Õn tr-êng hîp nµy trong kh©u biÖn luËn.
1.3.1.2. Kh«ng ý thøc ®-îc sù suy biÕn cña tham sè, ¸p dông thuËt gi¶i mét
c¸ch m¸y mãc vµo nh÷ng tr-êng hîp kh«ng thuéc hÖ thèng
VÝ dô 4: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph-¬ng tr×nh
x 2 3x 2a x 2 2ax 5
(?): Cã häc sinh gi¶i nh- sau: bÊt ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng víi
x2 – 3x + 2a x2 + 2ax + 5 x(2a + 3) 2a -5 x
2a 5
2a 3
(!): Víi c¸ch gi¶i nh- trªn cho thÊy häc sinh ch-a n¾m v÷ng kh¸i niÖm gi¸ trÞ
tuyÖt ®èi, mÆt kh¸c ch-a n¾m v÷ng ®iÒu kiÖn ®Ó thùc hiÖn ®-îc c¸c phÐp biÕn ®æi
t-¬ng ®-¬ng c¬ b¶n trªn c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh.
VÝ dô 5: T×m c¸c tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè sau: y =
x
xm
(?): Häc sinh cho r»ng ®-êng th¼ng x = m lµ tiÖm cËn ®øng vµ ®-êng th¼ng y
= 1 lµ tiÖm cËn ngang.
(!): Thùc ra khi m = 0 th× y
x
1 víi tËp x¸c ®Þnh x 0 . Lóc nµy ®å thÞ cña
x
y lµ ®-êng th¼ng y = 1 bá ®i mét ®iÓm. Kh«ng thÓ xem ®-êng th¼ng x m 0 (tøc
trôc tung) lµ tiÖm cËn ®øng ®-îc. Theo nghÜa réng ta cã thÓ xem y = 1 lµ tiÖm cËn
ngang.
1.3.1.3. N¾m kh«ng chÝnh x¸c vÒ ®iÒu kiÖn ®Ó cã thÓ thùc hiÖn phÐp biÕn
®æi t-¬ng ®-¬ng
VÝ dô 6: T×m m sao cho ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
(?): (1) lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1) x2 + 2mx = x – 1 (2)
x2 + x(2m - 1) + 1 = 0.
Ph-¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi = 0 m
1
hoÆc
2
3
m .
2
(!): Thùc ra ph-¬ng tr×nh (1) ®· cho chØ t-¬ng ®-¬ng víi ph-¬ng tr×nh
x 2 2mx 0
x + 2mx = x – 1 (2) víi ®iÒu kiÖn
, hay nãi gän h¬n lµ,
x 1 0
2
ph-¬ng tr×nh (1) t-¬ng ®-¬ng víi ph-¬ng tr×nh (2) víi ®iÒu kiÖn x > 1.
Do ®ã ®¸ng lÏ ph¶i nãi: ph-¬ng tr×nh x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cã duy nhÊt mét
0
0
nghiÖm x > 1, råi tõ ®ã chuyÓn vÒ xÐt hai tr-êng hîp: b
vµ
th×
1 x 2 1 x1
2a
häc sinh l¹i chØ nãi: ph-¬ng tr×nh x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cã nghiÖm duy nhÊt.
VÝ dô 7: T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
x m x 2 3mx 2m 2 x 2 m 2
(?): Ta nhËn thÊy do c¸c biÓu thøc trong c¸c dÊu c¨n ®Òu cã chøa h¹ng tö
x – m, nªn rót gän hai vÕ ®-îc bÊt ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng
1+
x 2m x m
1.3.1.4. Ch-a n¾m v÷ng mét sè kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n, ch¼ng h¹n c¸c
kh¸i niÖm cã cÊu tróc héi, v× kh«ng ý thøc ®-îc sù t¸c ®éng cña tham sè ®èi víi
kÕt qu¶ bµi to¸n
VÝ dô 8: H·y biÖn luËn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
E = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a
(?): V× E lµ tæng c¸c b×nh ph-¬ng nªn E 0 víi mäi x vµ y, do ®ã gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña E b»ng 0.
x 2y 1 0
DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi hÖ
cã nghiÖm
2x ay 5 0
Ta cã: D = a + 4; Dx = - a – 10; Dy = - 3.
a 10
x a 4
NÕu a - 4 hÖ cã nghiÖm
nªn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña E lµ 0.
3
y
a4
NÕu a = - 4 th× Dx 0 nªn hÖ ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy víi a = - 4 th× E
kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ nhá nhÊt.
(!): Víi a = - 4 kÕt luËn E kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ sai lÇm, v× víi
a = - 4 th× E = (x – 2y + 1)2 + (2x - 4y + 5)2 ®Æt t = x – 2y +1 ta cã E = t2 + 4(t+
) = 5t2 + 12t + 9
3
2
9
6
víi mäi t, dÊu b»ng x¶y ra khi t . NghÜa lµ trong tr-êng
5
5
hîp a = - 4, E ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng
9
t¹i c¸c ®iÓm x, y bÊt k× tháa m·n ®iÒu kiÖn
5
5x – 10y – 11 = 0.
1.3.1.5. Kh«ng biÕt chia thµnh nh÷ng tr-êng hîp nµo, nãi c¸ch kh¸c kh«ng
biÕt t×m ra tiªu chÝ lµm c¬ së cho sù ph©n chia
VÝ dô 9: Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè a bÊt ph-¬ng tr×nh
x a x 2a x 3a
(1)
(?): GÆp bµi to¸n nµy, häc sinh hÇu nh- kh«ng biÕt nªn ph©n chia tham sè a
thµnh nh÷ng tr-êng hîp nµo. NhiÒu häc sinh cø ngì r»ng 3 sè: a, 2a, 3a th× dÜ nhiªn
3a lµ lín nhÊt, do ®ã ®iÒu kiÖn cña bÊt ph-¬ng tr×nh chØ lµ x > 3a vµ biÕn ®æi
(1) x a x 2a x 3a 4a x 2
x 2a x 3a
3a x 4a
3a x 4a
2
a 6 2 3
a 62 3
2
3x 12ax 8a 0
x
6
6
(!): TH 1: NÕu a = 0, bÊt ph-¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
TH 2: NÕu a > 0, ®iÒu kiÖn cña x lµ x 3a, khi ®ã bÊt ph-¬ng tr×nh t-¬ng
®-¬ng víi 4a - x >
x 2a x 3a
(2), v× a > 0 nªn (2)
3a x 4a
a(6 2 3)
3a x
2
2
6
3x 12ax 8a 0
TH 3: NÕu a < 0, ®iÒu kiÖn cña x lµ x ≥ a, khi ®ã (1) t-¬ng ®-¬ng víi 4a
– x >2
x 2a x 3a .
V× a < 0 vµ x ≥ a nªn 4a x 3a (a x) 0 , do ®ã bÊt ph-¬ng tr×nh nµy v«
nghiÖm.
ViÖc ph©n chia 3 tr-êng hîp a = 0; a < 0; a > 0 c¨n cø mét phÇn quan träng
vµo viÖc t×m ®iÒu kiÖn chung ®Ó thay thÕ cho 3 ®iÒu kiÖn: x a ; x 2a ; x 3a .
PhÇn sau cña LuËn v¨n sÏ trë l¹i vÊn ®Ò nµy.
1.3.1.6. Do hiÓu sai yªu cÇu cña bµi to¸n nªn ph©n chia thiÕu tr-êng hîp
VÝ dô 10: T×m m sao cho ph-¬ng tr×nh:
x 2 (2m 1)x m 2 0
chØ cã mét nghiÖm tháa m·n x > 3
(?): Cã nhiÒu häc sinh lËp luËn: yªu cÇu cña bµi to¸n t-¬ng ®-¬ng víi ph-¬ng
tr×nh cã nghiÖm kÐp lín h¬n 3
1
0
m 4
. Kh«ng tån t¹i m.
S
5
3
2
m
2
L¹i cã nh÷ng häc sinh lËp luËn r»ng: ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
tháa m·n ®iÒu kiÖn mét nghiÖm lín h¬n 3:
af(3) 0
5
m 3 3 lµ ®iÒu kiÖn cÇn t×m.
x1 ≤ 3 < x2 S
2
2 3
(!): Theo kiÓu thø nhÊt häc sinh phiªn dÞch sai yªu cÇu cña bµi to¸n, víi côm
tõ “chØ cã mét nghiÖm lín h¬n 3”, häc sinh ®ång nhÊt víi “cã hai nghiÖm b»ng nhau
lín h¬n 3”. Theo kiÓu thø 2 häc sinh ®· gép hai trêng hîp x1 3 x 2 vµ 3 x1 x 2
thµnh mét tr-êng hîp x1 3 x 2 . Tuy nhiªn ®· viÕt ®iÒu kiÖn bá sãt tr-êng hîp
x1
S
3 x2 .
2
Ngoµi c¸c sai lÇm trªn th×, trong ph©n chia tr-êng hîp riªng, häc sinh cßn m¾c
nhiÒu sai lÇm kh¸c, ch¼ng h¹n, trong qu¸ tr×nh ph©n chia cã thÓ bá sãt c¸c tr-êng
hîp; ph©n chia trång chÐo; trïng lÆp hoÆc m¾c ph¶i sai lÇm trong biÕn ®æi vµ tÝnh
to¸n.
1.3.2. Sai lÇm liªn quan ®Õn ng«n ng÷ diÔn ®¹t
Häc sinh th-êng m¾c ph¶i c¸c kiÓu sai lÇm ng«n ng÷ phæ biÕn sau
1.3.2.1. Sai lÇm vÒ có ph¸p vµ ng÷ nghÜa
Theo A. A. St«liar, kh«ng Ýt häc sinh cßn yÕu trong viÖc n¾m có ph¸p cña ng«n
ng÷ To¸n häc, ch¼ng h¹n, kh«ng Ýt häc sinh ®· cho r»ng:
a b
a b
2
2
2
a2 a ;
a b ; logc(a.b) = logca.logcb;
m
a. n a m.n a ;
1
1 cos2 2x
4
(-x) = - x (kh«ng cÇn chó ý tíi n ch½n, n lÎ), f (x)
; cos x =
, ...
2
f(x)
n
1
n
Cã nh÷ng hiÖn t-îng häc sinh biÕn ®æi ®óng nh÷ng ch-a ch¾c hä ®· n¾m ®-îc
kiÕn thøc mét c¸ch thùc thô.
VÝ dô 11: NhiÒu c«ng thøc ph¸t biÓu mét c¸ch rÊt “vÇn” nh “lim cña mét
tæng b»ng tæng c¸c lim; lim cña tÝch b»ng tÝch c¸c lim; ®¹o hµm cña mét tÝch b»ng
tÝch c¸c ®¹o hµm; tÝch cña c¸c hµm sè ®ång biÕn lµ hµm ®ång biÕn”; häc sinh chØ
n¾m kiÕn thøc theo kiÓu hµnh v¨n chø kh«ng hiÓu b¶n chÊt To¸n häc.
VÝ dô 12: DÊu “=” cã rÊt nhiÒu h×nh th¸i sö dông nh chØ sù ®ång nhÊt, toµn
®¼ng, chØ sù thay ®æi, chØ mét hµnh ®éng cÇn tiÕn hµnh, ... Trong tr-êng hîp nµy nãi
riªng ta nãi tíi dÊu “=” trong nguyªn hµm. V× mang mét phong c¸ch rÊt “vÇn” nªn
häc sinh dÔ nhí ®-îc f(x)dx g(x)dx f(x) g(x) dx , nh-ng Ýt häc sinh hiÓu
®-îc b¶n chÊt cña dÊu “=” ®ã. Trong hoµn c¶nh nµy häc sinh n¾m có ph¸p mét c¸ch
h×nh thøc nh-ng kh«ng hiÓu ®-îc ng÷ nghÜa cho nªn häc sinh kh«ng hiÓu v× sao I =
1+I?
Ch¼ng h¹n, khi tÝnh
KÝ hiÖu I =
dx
x.ln x , cã häc sinh gi¶i nh- sau:
1
dx
dx
dx
du
. §Æt u =
; v = lnx dv
.
x.ln x
x
ln x
x(ln x)2
Theo c«ng thøc nguyªn hµm tõng phÇn I = udv uv vdu ta cã
I=
1
1
.ln x ln x.
2
ln x
x(ln x)
dx , suy ra I = 1+ I (?)
§· cã sù v« lÝ, bëi lÏ dÊu “=” trong hoµn c¶nh nµy chØ sù b»ng nhau gi÷a hai
tËp hîp: I lµ tËp hîp cña c¸c hµm, mµ I + 1 còng lµ tËp hîp cña c¸c hµm. H¬n n÷a
víi c¸ch gi¶i trªn kh«ng ®i ®Õn kÕt qu¶ g×.
Trong thùc tÕ d¹y häc, ta ®· b¾t gÆp hiÖn t-îng, mét bµi to¸n t×m nguyªn hµm
nh-ng víi hai c¸ch gi¶i ®óng kh¸c nhau ®· cho ra kÕt qu¶ cã vÎ rÊt kh¸c nhau, nªn
®· dÉn ®Õn sù hoµi nghi vÒ mét trong hai kÕt qu¶. Khi hai ng-êi chän hai kÕt qu¶
F(x) + C vµ G(x) + C, tuy G(x) vµ F(x) mang h×nh thøc kh¸c nhau nh-ng gi÷a chóng
cã thÓ chØ sai kh¸c mét h»ng sè. §iÒu nµy rÊt hay gÆp ë c¸c hµm l-îng gi¸c ng-îc.
Cã nhiÒu häc sinh “n¾m ®îc” có ph¸p mét c¸ch h×nh thøc nhng kh«ng h¼n
hiÓu ®-îc ng÷ nghÜa cña kÝ hiÖu to¸n häc.
VÝ dô 13: Sau khi biÕt C k
n
n!
(1), häc sinh cã thÓ chøng minh ®-îc
k! n k !
c«ng thøc C n k C k (2) b»ng c¸ch ¸p dông trùc tiÕp c«ng thøc (1). Tuy nhiªn, Ýt häc
n
n
sinh cã thÓ thÊy ®-îc (2) mét c¸ch trùc gi¸c vµ chøng minh (2) b»ng ®Þnh nghÜa cña
C k , häc sinh kh«ng hiÓu b¶n chÊt lµ, mét tËp X (gåm n phÇn tö) cã bao nhiªu tËp
n
con gåm k ( k n ) phÇn tö th× sÏ cã bÊy nhiªu tËp con gåm n k phÇn tö .
VÝ dô 14: Khi häc xong ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè, häc sinh tr¶ lêi nhanh kÕt
x 2 2x 1
qu¶ tÝnh lim
víi mét c¸ch suy nghÜ h×nh thøc lµ thay gi¸ trÞ x = 1 vµo
x 1
x2
x 2 2x 1
®Ó cho kÕt qu¶. Suy nghÜ kiÓu nh- vËy nªn häc sinh cho r»ng
x2
x 2 3x 2
lim
kh«ng tån t¹i. §iÒu ®ã cho thÊy häc sinh kh«ng hiÓu kÝ hiÖu lim.
x 1
x 1
1.3.2.2. LÉn lén gi÷a ®èi t-îng ®-îc ®Þnh nghÜa vµ ®èi t-îng dïng ®Ó chØ
®èi t-îng Êy
VÝ dô 15: Häc sinh th-êng hay nãi “Tæ hîp chËp k cña n lµ C k ”, hoÆc, “ChØnh
n
hîp chËp k cña n lµ A k ”; “mÆt ph¼ng (P) lµ Ax + By + Cz + D = 0”.
n
1.3.2.3. BÞ ¸m ¶nh bëi c¸c ng«n ng÷ th«ng th-êng cña c¸c tõ trong tiÕng
ViÖt.
VÝ dô 16: Trong tiÕng ViÖt “®¹i” lµ to h¬n “tiÓu”, häc sinh Ên t-îng víi ®iÒu
ax 2 bx c
nµy, nªn nghÜ r»ng hµm sè y =
cã cùc ®¹i lín h¬n cùc tiÓu. Nh-ng thùc
mx n
ra, nÕu hµm sè cã cùc trÞ th× gi¸ trÞ cùc tiÓu l¹i lín h¬n gi¸ trÞ cùc ®¹i.
1.3.2.4. ¸p ®Æt nh÷ng tÝnh chÊt liªn quan ®Õn kh¸i niÖm nµy cho kh¸i niÖm
kh¸c cã nh÷ng tõ gÇn gièng
VÝ dô 17: Häc sinh nghÜ: “Tæng cña hai hµm sè lÎ lµ mét hµm sè ch½n” do b¾t
chíc tÝnh chÊt “Tæng cña hai sè lÎ lµ mét sè ch½n”, hoÆc xuÊt ph¸t tõ tÝnh chÊt mçi
sè nguyªn kh«ng ch½n th× lÎ, nªn nghÜ r»ng ch¼ng cã hµm nµo võa kh«ng ch½n, võa
kh«ng lÎ.
1.3.2.5. L¹m dông thuËt ng÷ vµ kÝ hiÖu To¸n häc ®Ó thay thÕ mét sè tõ cña
ng«n ng÷ tù nhiªn
VÝ dô 18: a. §a thøc cã hÖ sè bËc 3 < 0 (®a thøc cã hÖ sè bËc ba ©m)
b. Gi¸ trÞ cña hµm sè f(x) t¹i x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3)
c. ngµy nh- ngµy (mét ngµy nh- mäi ngµy)
1.3.2.6. ¶nh h-ëng cña thãi quen ng«n ng÷ kh«ng ®óng ®¾n
VÝ dô 19: Kh«ng chó ý tíi dÊu cña x nªn häc sinh viÕt
cho r»ng
x 2 x ; häc sinh cßn
36 6 .
ë líp 9 häc sinh biÕt r»ng mçi sè a > 0 cã hai c¨n bËc hai vµ ®äc lµ c¨n, nh-ng
khi dïng dÊu c¨n th× ph¶i quan niÖm r»ng ®ã lµ c¨n bËc hai sè häc, nghÜa lµ chØ gi¸
trÞ d-¬ng trong hai gi¸ trÞ Êy th«i. §¸ng lÏ ra, khi viÕt dÊu c¨n, gi¸o viªn ®äc mét
c¸ch ®Çy ®ñ r»ng c¨n bËc hai sè häc cña 36 b»ng 6. Tuy nhiªn theo thãi quen gi¸o
viªn th-êng chØ nãi v¾n t¾t c¨n cña 16 b»ng 4.
1.3.2.7. §ång nhÊt ng«n ng÷ cã néi dung gÇn gièng nhau
VÝ dô 20: LÉn lén côm tõ “®iÓm cùc trÞ” ; “cùc trÞ” vµ “gi¸ trÞ cùc trÞ”, do ®ã
dÔ sai lÇm khi gi¶i To¸n ch¼ng h¹n, bµi to¸n: T×m a, b ®Ó c¸c cùc trÞ cña hµm sè y =
5
5 2 3
a x ax 2 9 x b lµ nh÷ng sè d-¬ng vµ x0 lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ. Häc sinh
3
9
dÔ m¾c mí r»ng, t¹i sao c¸c cùc trÞ lµ nh÷ng sè d-¬ng l¹i cßn thªm gi¶ thiÕt ®iÓm
cùc trÞ mang gi¸ trÞ ©m, ph¶i ch¨ng ®Ò kh«ng ®óng?
Ngoµi nh÷ng sai lÇm trªn häc sinh cßn sö dông ng«n ng÷ mét c¸ch tïy tiÖn:
“®å thÞ ®ång biÕn”; “®iÓm uèn cña hµm sè”; “tiÖm cËn cña hµm sè” ..., kh«ng hiÓu
chÝnh x¸c c¸c liªn tõ “khi vµ chØ khi”; “nÕu vµ chØ nÕu”; “®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ”; “®iÒu
kiÖn ¾t cã vµ ®ñ” vµ kh«ng thÊy ®îc r»ng, thay ®æi mét tõ cã thÓ lµm thay ®æi h¼n
mÖnh ®Ò. Khi phiªn dÞch tõ ng«n ng÷ TiÕng ViÖt sang ng«n ng÷ To¸n häc häc sinh
x 2 2mx 3m2
th-êng hay m¾c sai lÇm. Ch¼ng h¹n, t×m m ®Ó hµm sè y
cã hai
x 2m
kho¶ng ®ång biÕn trªn toµn miÒn x¸c ®Þnh cña nã th× häc sinh phiªn dÞch thµnh hai
kho¶ng ®ång biÕn lµ ; 2m 2m; . HoÆc ngay côm tõ “miÒn gi¸ trÞ” vµ
“tËp gi¸ trÞ” häc sinh hiÓu lµ nh nhau, nhng ta thÊy tõ “miÒn” cã thÓ v« h×nh gîi ý
cho häc sinh h×nh dung r»ng mét ®o¹n hay mét kho¶ng h÷u h¹n hay v« h¹n ®iÒu nµy
th-êng x¶y ra ®èi víi c¸c hµm s¬ cÊp. Nhng víi hµm “phÇn nguyªn cña x” : x ,
x¸c ®Þnh bëi quy t¾c lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vù¬t qu¸ x vµ nãi r»ng miÒn gi¸ trÞ
cña hµm x lµ tËp hîp sè nguyªn Z gäi lµ tËp gi¸ trÞ, gäi nh- vËy e cã phÇn lñng
cñng.
1.3.3. Sai lÇm liªn quan ®Õn c¶m nhËn trùc quan
x 2 2mx 5
VÝ dô 21: T×m m ®Ó hµm sè y
cã cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ
x 1
hai phÝa cña ®-êng th¼ng y = 2x
(?): §Æt g(x) = x2 2mx 5
Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa cña ®-êng th¼ng y = 2x t-¬ng
g(1) 2m 6 0
2
®-¬ng víi hÖ x 2mx 5 2x v« nghiÖm
x 1
H×nh 1
m 3
,
2
m 2m 14 0
1 15 m 1 15
(!): Tõ trùc quan cña h×nh vÏ häc sinh nghÜ r»ng cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai
phÝa cña mét ®-êng th¼ng nghÜa lµ ®å thÞ hµm sè kh«ng c¾t ®-êng th¼ng y 2x .
Nh-ng thùc ra ®-êng th¼ng y = 2x cã thÓ c¾t ®å thÞ t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt mµ ®iÓm
cùc ®¹i, ®iÓm cùc tiÓu vÉn n»m kh¸c phÝa so víi ®-êng th¼ng y = 2x.
LÏ ra häc sinh ph¶i gi¶i nh- sau: Hµm sè
y
cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu t-¬ng ®-¬ng víi m < 3.
Gäi A x1 ; y1 , B x 2 ; y 2 lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ cña
(∆): y = 2x
®å thÞ hµm sè. Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua
A
hai ®iÓm cùc trÞ lµ: y = - 2x + m, khi ®ã
y1 2x1 m ; y 2 2x 2 m . §Ó A vµ B n»m
B
vÒ hai phÝa cña ®-êng th¼ng y 2x cÇn vµ ®ñ lµ
2x1 y1 2x2 y 2 0
0
x1
1
x2
2 2 6 m 2 2 6 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.
x2 1
VÝ dô 22: Cho hµm sè y
. T×m hai ®iÓm A, B thuéc vÒ hai nh¸nh kh¸c
x
nhau cña ®å thÞ sao cho AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt.
(!): Th«ng qua h×nh vÏ trùc quan häc sinh dù ®o¸n r»ng hai ®iÓm cÇn t×m lµ:
®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu, khi ®ã AB = 2 5 ; sau ®ã cè g¾ng chøng minh A, B
lµ hai ®iÓm cÇn t×m. Nh-ng thùc tÕ kh«ng ph¶i nh- vËy!
x
(?): Ta thÊy tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ x = 0. V× hai ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña
tiÖm cËn, nªn thùc chÊt bµi to¸n quy vÒ t×m 0 < a < b sao cho
2
b2 1 a 2 1
2
M b a
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
b
a
2
1
2
2 2
DÔ thÊy M = b a 2
ab a b
2
1
2 2
§Æt: c = - a ta cã M 4bc 2
bc b c
4
8bc 8 bc
4
= 8bc 8 2 32 8 8( 2 1)
bc
M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi a
1
2 2
, b
1
2 2
KÕt qu¶ cuèi cïng cña bµi to¸n cho thÊy A, B kh«ng ph¶i hai ®iÓm cùc trÞ nhdù ®o¸n ban ®Çu!
1
VÝ dô 23: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: log 1 x
16
16
x
1
(?): Víi x > 0, hµm sè y = f(x) = log 1 x cã hµm sè ng-îc lµ: y = g(x) =
16
16
x
nªn ®å thÞ cña chóng ®èi xøng víi nhau qua ®-êng th¼ng y = x. MÆt kh¸c: hai hµm
2
1
1
sè kh«ng trïng nhau v× f(2) = ; g(2) = nªn giao ®iÓm cña hai ®å thÞ n»m
4
16
trªn ®-êng th¼ng y = x. Do ®ã viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh ®· cho ®-îc quy vÒ gi¶i ph-¬ng
x
1
1
1
tr×nh x , nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x = hoÆc x
4
2
16
(!): Nh-ng ta thÊy r»ng víi nghiÖm x =
1
1
1
1
y ; x y nªn c¸c
2
4
4
2
1 1 1 1
®iÓm ; ; ; kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè y = x.
2 4 4 2
Sai lÇm nguyªn nh©n do: Khi häc vÒ ®Þnh lÝ: “Trong hÖ täa ®é §Ò c¸c vu«ng
gãc 0xy ®å thÞ cña hai hµm sè ng-îc nhau y = f(x) vµ y = g(x) lµ ®èi xøng nhau qua
®êng ph©n gi¸c thø nhÊt (y = x)” häc sinh c¨n cø vµo h×nh vÏ ngé nhËn r»ng: “®å
thÞ cña hai hµm sè ng-îc nhau th× c¾t nhau trªn ®-êng th¼ng y x ” thùc ra víi c¸ch
ph¸t biÓu nµy chØ ®óng víi c¸c hµm sè ®ång biÕn mµ th«i.
Xin dÉn ra mÖnh ®Ò ®óng “cho hµm sè y = f(x) lµ hµm sè ®ång biÕn; hµm
ng-îc cña nã lµ y = f 1 (x) . NÕu ®å thÞ (C): y = f(x) vµ (C , ) : y = f 1 (x) cã ®iÓm chung
M( x 0 ; y 0 ) th× M n»m trªn ®êng ph©n gi¸c y = x”.
VÝ dô 24: Cho (P): y = x2 2x 3 vµ ®-êng th¼ng d: y = 2x + m. X¸c ®Þnh m
®Ó (P) c¾t d t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB = 2.
(?): Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña cña (P) vµ d lµ x2 4x 3 m (1).
§Æt y1 x 2 4x 3 vµ gäi
y
®å thÞ cña nã lµ ( P1 ); y 2 m vµ ®å
thÞ cña nã lµ ®-êng th¼ng d1 cïng
P1
3
ph-¬ng víi 0x vµ c¾t 0y t¹i (0; m).
Khi ®ã d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A, B
ph©n biÖt mµ AB = 2 t-¬ng ®-¬ng
víi ( P1 ) c¾t d1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
A, B sao cho AB = 2. C¨n cø vµo ®å
thÞ ta thÊy AB = 2 t-¬ng ®-¬ng víi
m = 0.
0
-1
A
1
B
2 3
m
H×nh 2
my=m
x
(!): Häc sinh ®· gÆp ph¶i sai lÇm khi cho r»ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
A, B sao cho AB = 2 t-¬ng ®-¬ng víi (P1) c¾t d1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho
AB = 2, do trùc quan häc sinh nhÇm t-ëng hai giao ®iÓm cña d víi (P) vµ hai giao
®iÓm cña (P1) víi d1 cã cïng täa ®é giao ®iÓm, nh-ng thùc ra chØ cã cïng hoµnh ®é
chø kh«ng cã cïng tung ®é.
LÏ ra bµi to¸n ph¶i ®-îc gi¶i nh- sau: Hoµnh ®é giao ®iÓm cña cña (P) vµ d lµ
nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x2 4x 3 m (1), ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n
biÖt x1 vµ x 2 m > - 1. Gäi A( x1 ; 2x1 m ); B( x 2 ; 2x 2 m ), khi ®ã
x1 x 2
2
4 x1 x 2 2 x1 x 2 4x1x 2
2
2
4
4
m .
5
5
1.3.4. Sai lÇm liªn quan ®Õn n¾m néi hµm kh¸i niÖm hoÆc ®iÒu kiÖn ¸p dông
®Þnh lÝ
1.3.4.1. Sai lÇm khi n¾m c¸c kh¸i niÖm To¸n häc
Thùc tiÔn s- ph¹m cho thÊy trong qu¸ tr×nh vËn dông kh¸i niÖm, viÖc kh«ng
n¾m v÷ng néi hµm vµ ngo¹i diªn kh¸i niÖm sÏ dÉn tíi häc sinh hiÓu kh«ng trän vÑn,
thËm chÝ hiÓu sai lÖch b¶n chÊt kh¸i niÖm. MÆt kh¸c, nhiÒu kh¸i niÖm To¸n häc lµ
sù më réng hoÆc thu hÑp cña kh¸i niÖm tr-íc ®ã, viÖc kh«ng n¾m vµ hiÓu kh«ng
®óng kh¸i niÖm cã liªn quan lµm häc sinh kh«ng hiÓu, kh«ng cã biÓu t-îng ®óng vÒ
kh¸i niÖm míi.
Sai lÇm vÒ c¸c kh¸i niÖm To¸n häc (®Æc biÖt lµ c¸c kh¸i niÖm ban ®Çu cã tÝnh
chÊt nÒn t¶ng) sÏ dÉn ®Õn hÖ qu¶ tÊt yÕu häc kÐm to¸n. V× vËy cã thÓ nãi sù “mÊt
gèc” cña häc sinh vÒ kiÕn thøc To¸n häc tríc hÕt coi lµ sù “mÊt gèc” vÒ c¸c kh¸i
niÖm. Tõ nhiÒu nguyªn nh©n kh¸c nhau cã thÓ dÉn tíi sù nhËn thøc kh¸i niÖm To¸n
häc mét c¸ch h×nh thøc biÓu hiÖn ë:
+ Häc sinh kh«ng n¾m v÷ng néi hµm vµ ngo¹i diªn cña kh¸i niÖm nªn nhËn
d¹ng vµ thÓ hiÖn kh¸i niÖm sai.
+ HiÓu sai ng«n ng÷, kÝ hiÖu trong ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm nªn diÔn ®¹t vµ vËn
dông sai kh¸i niÖm (khi x©y dùng kh¸i niÖm kh¸c, khi biÕn ®æi tÝnh to¸n, khi suy
luËn chøng minh) [57].
VÝ dô 25: Kh«ng n¾m v÷ng sù më réng kh¸i niÖm gãc h×nh häc sang kh¸i niÖm
gãc l-îng gi¸c dÉn ®Õn n¾m sai b¶n chÊt c¸c hµm l-îng gi¸c dÉn tíi sai lÇm kÕ tiÕp
biÓu diÔn gãc l-îng gi¸c trªn ®-êng trßn ®¬n vÞ, khi kÕt hîp nghiÖm cña ph-¬ng
tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c th-êng thiÕu, thõa nghiÖm hoÆc khi viÕt nghiÖm
cña hÖ ph-¬ng tr×nh th× viÕt mét hä nghiÖm dÉn tíi thiÕu nghiÖm, ch¼ng h¹n, khi gi¶i
ph-¬ng tr×nh tÝch c¸c hµm l-îng gi¸c ®Òu viÕt c¸c hä nghiÖm chung kÝ hiÖu nªn dÉn
®Õn thu hÑp tËp nghiÖm:
Khi gi¶i ph-¬ng tr×nh sin2x.sin3x.sinx = 0, häc sinh cho kÕt qu¶:
x = k.
k
;x=
; x = k.
2
3
Trong ®¬n vÞ ®o gãc l-îng gi¸c lµ radian vµ ®é, häc sinh kh«ng hiÓu ®©y lµ hai
®¬n vÞ ®o kh¸c nhau nªn dÉn tíi sai lÇm viÕt nghiÖm cña c¸c ph-¬ng tr×nh
sin ( 2x - 1) = sin (x + 3) lµ x = 4 + k3600 hoÆc x = 600 -
2
k360 0 .
3
Kh«ng n¾m v÷ng kh¸i niÖm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vµ bÊt ph-¬ng tr×nh nªn
khi gi¶i ph-¬ng tr×nh x 1 x 1 2 1 x 1 häc sinh kh«ng thõa nhËn kÕt
qu¶ trªn lµ nghiÖm, do l©u nay häc sinh nghÜ r»ng nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ c¸c
gi¸ trÞ rêi r¹c, ®¬n lÎ mµ kh«ng ph¶i lµ mét kho¶ng, mét ®o¹n.
Häc sinh kh«ng hiÓu kh¸i niÖm nguyªn hµm, dÉn tíi viÖc chøng minh hÖ thøc
gi÷a c¸c nguyªn hµm b»ng c¸ch chøng minh “®¹o hµm hai vÕ b»ng nhau”. LÏ ra ph¶i
hiÓu r»ng nguyªn hµm cña hµm sè f(x) lµ mét tËp hîp c¸c hµm F(x) sao cho
F , (x) f(x) nªn chøng minh hai nguyªn hµm b»ng nhau, tøc lµ ph¶i theo nguyªn t¾c
chøng minh hai tËp hîp b»ng nhau.
Do kh«ng n¾m v÷ng kh¸i niÖm ®-êng cong trªn mÆt ph¼ng täa ®é vµ ®å thÞ
hµm sè nªn häc sinh xem parabol trong h×nh häc gi¶i tÝch cã ph-¬ng tr×nh y 2 = x lµ
®å thÞ cña hµm sè ng-îc cña hµm sè y = x2 , hoÆc khi t×m tiÕp tuyÕn cña ®-êng cong
nh- ®-êng trßn cã ph-¬ng tr×nh x a y b R 2 ®· kh«ng xÐt tr-êng hîp
2
2
tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi Ox lµ x = a R mµ chØ xÐt tiÕp tuyÕn cã d¹ng y = ax + b
nh- trong ®å thÞ hµm sè nªn ®· thiÕu tr-êng hîp. Ta biÕt r»ng ®å thÞ hµm sè lµ mét
®-êng cong trªn mÆt ph¼ng täa ®é nh-ng kh«ng h¼n bÊt cø ®-êng cong nµo trªn mÆt
ph¼ng täa ®é còng ®Òu lµ ®å thÞ hµm sè. C¨n cø vµo ®Þnh nghÜa hµm sè ta cã: trong
mÆt ph¼ng täa ®é mét ®-êng cong (C) lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) khi chØ víi mçi x 0
thuéc tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè th× ®-êng th¼ng x = x0 song song víi Oy chØ c¾t (C)
t¹i mét ®iÓm duy nhÊt.
N¾m kh¸i niÖm hµm sè; kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè mét c¸ch h×nh thøc nªn
kh«ng Ýt häc sinh cho r»ng kÝ hiÖu f(x) lµ kÝ hiÖu cña tÝch hai ®¹i l-îng fx, xem
0 ; 0. 0; 1 1
VÝ dô 26: T×m lim
x
(?): C¸ch 1: lim
x
x2 1 x
x 2 1 x = lim x 2 1 lim x 0
x 1 x = lim
C¸ch 2: lim
x
2
x
x
x
x2 1 x2
x 1 1
2
lim
x
1
x 1 x
2
0
(!): Ta thÊy r»ng ë c¸ch 1 häc sinh xem ®¹i l-îng lµ mét sè, ë c¸ch 2 kÕt
qu¶ trªn chØ ®óng khi x , cßn khi x th× cã giíi h¹n b»ng . Cã khi häc
sinh ®ång nhÊt kh¸i niÖm giíi h¹n ph¶i, giíi h¹n tr¸i, giíi h¹n lµ nh- nhau nªn kÕt
luËn sai bµi to¸n.
Do n¾m kh¸i niÖm tiÕp xóc mét c¸ch trùc quan tõ h×nh vÏ nªn dÉn tíi sai lÇm
khi gi¶i bµi to¸n “t×m tham sè ®Ó ®å thÞ hµm sè bËc ba tiÕp xóc víi trôc hoµnh”. Häc
sinh quan niÖm tiÕp xóc lµ ®å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i mét ®iÓm duy nhÊt, h¬n n÷a
kh«ng h×nh dung ®-îc kh¸i niÖm tiÕp xóc cña hai ®-êng nªn cho r»ng tiÕp tuyÕn t¹i
®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè bËc ba kh«ng tiÕp xóc víi hµm bËc ba hoÆc häc sinh
kh«ng thõa nhËn tiÕp tuyÕn cña hµm sè y = x3 lµ trôc tung.
Häc sinh kh«ng hiÓu kh¸i niÖm cùc trÞ nªn lÉn lén kh¸i niÖm gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ
gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè, th-êng kÝ hiÖu y C§ max(y) ; y CT min(y) nªn khi t×m
gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè chuyÓn thµnh t×m cùc trÞ cña hµm sè,
ch¼ng h¹n: t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x) = 2x3 3x2 1 , cã
häc sinh gi¶i nh- sau y, 6x 2 6x = 0 khi x = 0; x= -1 nªn yC§ max(y) f(1) 0
; y CT min(y) f(0) 1 .
Do kh«ng hiÓu kh¸i niÖm nghiÖm hÖ ph-¬ng tr×nh nªn khi gi¶i hÖ cho nghiÖm
x = 2; y = 3 th× kÕt luËn hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. Kh«ng n¾m v÷ng “hÖ trôc
trôc täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc” nªn nhiÒu khi häc sinh lÊy ®¬n vÞ ®o trªn hai trôc täa
®é kh¸c nhau cho dÔ vÏ ®å thÞ cña mét hµm sè nµo ®ã, hoÆc nhÇm lÉn gi÷a trôc tung
vµ tiÖm cËn nªn vÏ ®å thÞ sai, do kh«ng hiÓu kh¸i niÖm giíi h¹n vµ tiÖm cËn nªn hay
lËp b¶ng biÕn sai ®Æc biÖt lµ hµm ph©n thøc mµ tö thøc vµ mÉu thøc cïng lµ bËc nhÊt.
Kh«ng n¾m ®-îc mèi quan hÖ gi÷a kh¸i niÖm sè mò thùc vµ kh¸i niÖm cña sè mò
1
x
h÷u tØ nªn cø t-ëng a a x R vµ ®èi víi ph-¬ng tr×nh 3 3
x
x
3 ®· gi¶i
x
®-îc nghiÖm lµ x = 2 . Nh-ng thùc ra ph-¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm. LÏ ra khi viÕt
x
1
x
a th× ph¶i cã ®iÒu kiÖn x nguyªn vµ x 2 , cßn khi viÕt a th× chØ cÇn x 0 . Häc
sinh kh«ng n¾m ®-îc kh¸i niÖm quü tÝch nªn nhiÒu khi míi lµm xong phÇn thuËn ®·
diÔn ®¹t sai: “quü tÝch c¸c ®iÓm thâa m·n tÝnh chÊt cña bµi to¸n lµ ®êng ...”. ThËm
- Xem thêm -
.PDF 
109 
174 
147 
