BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM
KHOA TOÁN - TIN
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC
ĐỀ TÀI:
TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP
VÀ ỨNG DỤNG
GVHD: Th.S. NGUYỄN DUY THANH
SVTH : LÊ THỊ THÙY LINH
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2012
LỜI NÓI ĐẦU
Tích phân trên đa tạp, định lý Stocke liên quan đến rất nhiều vấn đề quan trọng của
hình học vi phân. Mục đích của luận văn này cũng nhằm trình bày vấn đề trên và
nghiên cứu một số ứng dụng của nó. Nội dung của luận văn được cấu tạo thành ba
chương:
Chương 1: Một số vấn đề về đa tạp khả vi.
Đây là chương được xem như phần cơ sở. Trong chương này chúng tôi nêu
một số vấn đề cần thiết để sử dụng trong luận văn như: Đa tạp khả vi, không gian
tiếp xúc, trường vectơ trên đa tạp,…Các định lý ở chương này chủ yếu lấy ví dụ
minh họa mà không chứng minh.
Chương 2: Dạng vi phân.
Chúng tôi trình bày những vấn đề cần thiết về dạng vi phân. Việc xây dựng
định nghĩa tích phân của một dạng vi phân trên đa tạp, chứng minh định lý Stocke
được trình bày một cách cẩn thận, chi tiết.
Chương 3: Một số ứng dụng của tích phân trên đa tạp.
Chúng tôi trình bày một số kết quả về ứng dụng của tích phân trên đa tạp, định
lý Stock để tính thể tích của các đa tạp con trong n và một số ứng dụng khác. Đây
là chương quan trọng nhất của luận văn nên các vấn đề trong chương này được
chúng tôi cố gắng trình bày cụ thể và chứng minh chặt chẽ.
Trong quá trình nghiên cứu, tuy đã rất cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi
những sai sót. Em rất mong nhận được và xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng
góp quý báu của quý Thầy – Cô để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy – Cô trường ĐHSP TPHCM đã tận tình
giảng dạy chúng em trong suốt quá trình học Đại học.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Th.S. Nguyễn Duy Thanh.
Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức nhiệt tình hướng dẫn để giúp em hoàn
thành luận văn này.
TP HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2012
Lê Thị Thùy Linh
MỤC LỤC
Trang
TRANG PHỤ BÌA
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC ..................................................................................................................1
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI ............................................6
I. Đa tạp khả vi .......................................................................................................6
1. Đa tạp khả vi.....................................................................................................6
2. Ví dụ: ................................................................................................................7
3. Tích của hai đa tạp khả vi .................................................................................9
4. Đa tạp con .......................................................................................................10
II. Ánh xạ khả vi ..................................................................................................11
1. Định nghĩa: .....................................................................................................11
2. Ví dụ: ..............................................................................................................11
III. Không gian tiếp xúc ......................................................................................12
1. Định nghĩa: .....................................................................................................12
2. Vi phân của một hàm số khả vi ......................................................................14
IV. Trường vectơ..................................................................................................15
1. Định nghĩa: .....................................................................................................15
2. Định nghĩa: .....................................................................................................15
V. Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc .............................................................................16
1. Định nghĩa: .....................................................................................................16
2. Nhận xét: ........................................................................................................16
3. Ví dụ: ..............................................................................................................17
VI. Phân hoạch đơn vị .........................................................................................18
1. Định nghĩa: .....................................................................................................18
2. Đa tạp paracompact ........................................................................................18
3. Định lý về phân hoạch đơn vị.........................................................................18
Chương 2. DẠNG VI PHÂN ..................................................................................20
I. Dạng vi phân .....................................................................................................20
1. Hàm đa tuyến tính ..........................................................................................20
2. Dạng đa tuyến tính thay dấu ...........................................................................20
3. Dạng vi phân trên đa tạp.................................................................................23
4. Ánh xạ đối tiếp xúc ........................................................................................28
II. Tích phân trên đa tạp .....................................................................................31
1. Đa tạp định hướng ..........................................................................................31
2. Đa tạp với bờ, định hướng của bờ ..................................................................35
3. Tích phân trên đa tạp ......................................................................................39
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP............47
n
A. THỂ TÍCH CỦA CÁC ĐA TẠP CON TRONG ...................................47
I. Dạng thể tích chính tắc trên một đa tạp định hướng trong n ...................47
1. Dạng thể tích chính tắc trong không gian vectơ Euclide đã định hướng .......47
2. Định nghĩa: .....................................................................................................48
3. Định lý: ...........................................................................................................48
4. Ví dụ: ..............................................................................................................49
5. Liên hệ giữa dạng thể tích chính tắc với trường pháp vectơ đơn vị của đa tạp
n-1 chiều trong n (siêu mặt trong n ) ............................................................50
II. Thể tích của một đa tạp con đã định hướng trong n ................................52
1. Định nghĩa: .....................................................................................................52
2. Thể tích của quả cầu và mặt cầu.....................................................................53
3. Định lý (thể tích của đa tạp tích): ...................................................................58
4. Diện tích mặt tròn xoay ..................................................................................59
5. Bất đẳng thức đẳng chu ..................................................................................61
6. Định lý: ...........................................................................................................64
7. Bài toán “Nghịch lý sơn”:
..............................................................................65
B. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ STOCKE .........................67
1. Định lý: ...........................................................................................................67
2. Hệ quả:............................................................................................................68
3. Định lý: ...........................................................................................................68
4. Hệ quả (định lý điểm bất động của Brouwer): ...............................................69
5. Định lý: ...........................................................................................................70
6. Định lý: ...........................................................................................................70
BẢNG KÝ HIỆU VÀ THUẬT NGỮ TOÁN HỌC ..............................................72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................73
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI
I. Đa tạp khả vi
1. Đa tạp khả vi
1.1. Định nghĩa:
Cho M là không gian tôpô Hausdorff, n là số nguyên không âm. Một
atlas A (lớp C k , k > 0 ) n chiều trên M là họ những (Uα , α ) , Uα là một tập mở trong
M, α là một đồng phôi từ Uα lên α (Uα ) - mở trong n
α : Uα → α (Uα )
p α ( p ) = ( x1 ( p), x2 ( p),..., xn ( p))
(cặp (Uα , α ) được gọi là một bản đồ địa phương của M )
sao cho:
+ M = Uα
α ∈I
+ Nếu (Uα , α ) ; (U β , β ) là hai bản đồ địa phương thuộc atlas A mà
Uα ∩ U β ≠ ∅ thì:
βα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β )
( xi ( p )) ( yi ( p ))
là một vi phôi lớp C k giữa các tập mở α (Uα ∩ U β ) , β (Uα ∩ U β ) trong n .
• Atlas A được gọi là tối đại nếu mọi atlas B của M (cùng lớp C k ) mà B ⊃ A thì
B = A.
• Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều trên M là một atlas (lớp C k ) n
chiều tối đại trên M.
• Hai atlas khả vi A, B lớp C k trên M gọi là tương đương (cùng xác định một
cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều trên M ) nếu với mọi (Uα , α ) ∈ A và
(Vβ , β ) ∈ B mà Uα ∩ U β ≠ ∅ thì βα −1 và α β −1 khả vi lớp C k . Dĩ nhiên hợp
của tất cả atlas tương đương với atlas A cũng là một atlas lớp C k , đó chính là
atlas tối đại mở rộng từ atlas A.
• Một atlas bất kỳ, lớp C k , bao giờ cũng mở rộng một cách duy nhất thành một
atlas tối đại như trên. Do đó, để cho một cấu trúc đa tạp khả vi ta chỉ cần cho
một atlas khả vi lớp C k là đủ.
• Không gian tôpô Hausdorff M cùng với một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n
chiều trên M gọi là đa tạp khả vi lớp C k n chiều. Ta vẫn ký hiệu đa tạp đó là M.
Một đa tạp khả vi lớp C k , ∀k ∈ thì M được gọi là đa tạp nhẵn (lớp C ∞ ).
Để cho một đa tạp khả vi (lớp C k ), ta chỉ cần cho một atlas khả vi lớp C k .
• Để cho tiện, từ nay về sau nói chung chúng ta giả thiết các đa tạp được xét là
đa tạp nhẵn.
1.2. Phép đổi tọa độ địa phương:
Với (Uα , α ) ; (U β , β ) là hai bản đồ địa phương của M mà Uα ∩ U β ≠ ∅ thì:
βα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β )
( xi ( p )) ( yi ( p ))
được gọi là phép đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (Uα , α ) sang bản đồ (U β , β ) .
Hiển nhiên ta cũng có phép đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (U β , β ) sang bản
đồ (Uα , α ) .
2. Ví dụ:
2.1. Ví dụ 1:
Mặt cầu n chiều S n xác định bởi:
S =
( x1 , x2 ,..., xn +1 ) ∈ n +1
x =
n
n +1
∑ (x )
i =1
i
2
=
1
Gọi N (0,...,1), S (0,..., −1), U N = S n \ { N } , U S = S n \ {S } , ta có U N ,U S là các mở của S n .
Xét các ánh xạ:
ϕ :U N → n
x1
xn
=
,...,
x (=
x1 ,..., xn +1 ) ϕ ( x)
1 − xn +1
1 − xn +1
ϕ ( x) là giao điểm (khác với x) của đướng thẳng Nx với n
ψ :U S → n
y1
yn
,...,
y (=
y1 ,..., yn +1 ) ψ ( y )
=
1 + yn +1
1 + yn +1
ψ ( y ) là giao điểm (khác với y) của đường thẳng Sy với n
Ta có:
ϕ (U N ∩ U S ) =
n \ {0}
ψ (U N ∩ U S ) =
n \ {0}
Xét:
ψ ϕ −1 : n \ {0} → n \ {0}
x
x
( x1 ,..., xn ) n 1 ,..., n n
x2
xi 2
∑
∑ i
=
i 1 =i 1
Suy ra ψ ϕ −1 khả vi
Tương tự ϕψ −1 khả vi
2.2. Ví dụ 2:
Trong 3 , mặt nón K : x12 + x22 − x32 =
0 không phải là một đa tạp 2 chiều.
Thật vậy:
Giả sử K là một đa tạp 2 chiều khi đó có một mở U chứa đỉnh I và α :U → V
là một đồng phôi từ U lên một mở V của 2 . Chúng ta có thể giả sử
o
V = B (O,1) là hình tròn mở đơn vị gốc O trong 2 và α ( I )= O ∈ 2 . Khi đó:
o
ϕ : U \ {đỉnh I } → B (O,1) \ {gốc O} là một đồng phôi. Điều này vô lý do:
o
U \ {đỉnh I } là không liên thông còn B (O,1) là tập liên thông.
3. Tích của hai đa tạp khả vi
M, N là hai đa tạp nhẵn với số chiều theo thứ tự là m và n, với các atlas của
chúng lần lượt là A = {(Uα , α )} và B = {(Vβ , β )} thì C = {(Uα × Vβ ; α × β )}α , β là atlas
khả vi của đa tạp nhẵn m + n chiều trên M × N và M × N được gọi là đa tạp tích.
Trong đó α × β : Uα × Vβ → α (Uα ) × β (Vβ ) ⊂ m + n
4. Đa tạp con
4.1. Định nghĩa:
Cho X là một đa tạp khả vi n chiều và Y ⊂ X (Y ≠ ∅). Ta nói Y là một
đa tạp con m chiều của X nếu ∀y ∈ Y tồn tại bản đồ (U , ϕ ) của X tại y ( y ∈ U ) sao
cho:
ϕ (U ∩ Y )= ϕ (U ) ∩ m × {0} , với 0 ∈ n − m
Định lý sau nói về sự xác định một atlas (một hệ bản đồ) cho một đa tạp con.
4.2. Định lý:
Cho X là một đa tạp lớp C k , Y là một đa tạp con của X. Khi đó họ
{(U ∩ Y ), ϕ U ∩ Y } , trong đó
(U , ϕ ) là các bản đồ như trong định nghĩa trên là một
atlas lớp C k của Y.
4.3. Đa tạp con của
n :
Trong n chúng ta có nhiều cách để nhận biết một đa tạp con.
Định lý:
Y là một đa tạp con của n , khi đó các điều kiện sau tương đương:
i)
Y là một đa tạp con m chiều lớp C k của n .
ii) ∀y ∈ Y , tồn tại U mở của n chứa y và có ánh xạ f : U → n − m lớp C k sao cho
f −1 (0) .
ma trận của ánh xạ f ' ( y ) có hạng bằng n − m và U ∩ Y =
iii) ∀y ∈ Y , tồn tại U mở chứa y, tồn tại Ω mở trong n chứa 0 và có ánh xạ lớp
C k sao cho g : Ω → n thỏa g (0) = y , g là một đồng phôi từ Ω lên U ∩ Y ,
g '(0) là một đơn cấu.
Ví dụ:
Xét ánh xạ: f : n +1 → , f ( x1 ,..., xn +1 ) = x12 + ... + xn2+1 − 1 thì f là ánh xạ nhẵn,
S n = f −1 (0) và ∀x ∈ S n ma trận J = (2 x1 ,..., 2 xn +1 ) có hạng bằng 1.
Theo ii) (ứng với U = n +1 ) ta có S n là một đa tạp con nhẵn, n chiều của n+1 .
II. Ánh xạ khả vi
1. Định nghĩa:
Cho M, N là hai đa tạp khả vi nhẵn có số chiều lần lượt là m, n. Ánh xạ
f : M → N gọi là ánh xạ khả vi lớp C k nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa
phương (Uα , α ) của M và (Vβ , β ) của N mà Uα ∩ f −1 (Vβ ) ≠ ∅ thì ánh xạ:
β fα −1 : α (Uα ∩ f −1 (Vβ ) ) → β (Vβ ∩ f (Uα ) )
α ( p) β ( f ( p) )
là ánh xạ khả vi lớp C k .
Các ánh xạ β fα −1 gọi là các biểu thức tọa độ địa phương của f.
Ta ký hiệu hình thức: α ( x) = ( x1 , x2 ..., xm )
β ( y ) = ( y1 , y2 ..., yn )
Hạng của f tại x là hạng của ánh xạ β fα −1
α ( x)
, tức là hạng của ma trận:
∂ ( β fα −1 ) j
,=
với i 1,=
m, j 1, n
∂xi
n×m
Khi k = ∞ thì f được gọi là khả vi lớp C ∞ (hay nhẵn).
Định nghĩa:
Ánh xạ f : M → N được gọi là vi phôi lớp C k nếu f là song ánh và f , f −1 là
các ánh xạ khả vi lớp C k .
Định nghĩa:
Ánh xạ f : M → nhẵn thì ta gọi f là hàm nhẵn trên M.
Tập các hàm nhẵn trên M được ký hiệu là F ( M )
2. Ví dụ:
Cho M, N lần lượt là các đa tạp k, l chiều chứa trong n , m và ánh xạ
f : M → N . Nếu tồn tại các tập mở U, V lần lượt trong n , m mà M ⊂ U , N ⊂ V
và có ánh xạ khả vi F : U → V sao cho F
M
= f thì f là ánh xạ khả vi.
Thật vậy:
Với x ∈ M ta gọi (Uα , α ) , (Vβ , β ) là các bản đồ địa phương của M, N lần lượt
tại x, f(x). Ta có: β fα −1 = β Fα −1 ( β luôn có thể xem là hạn chế trên
Vβ = Ω ∩ N ( Ω là mở trong m ) của một ánh xạ khả vi ϕ : Ω → m mà
ϕ (Vβ )= ϕ (Ω ∩ N ) ⊂ l × {0} , 0 ∈ m −l )
Nếu F là khả vi ta có β Fα −1 khả vi, do đó β fα −1 khả vi.
III. Không gian tiếp xúc
1. Định nghĩa:
1.1. Đặt vấn đề:
Trong hình học vi phân cổ điển, với S là một mặt trong 3 , U và V là
( p ) ψ=
(q) M 0
các mở trong 2 , ϕ : U → S ; ψ : V → S là các tham số hóa, ϕ=
ϕ '( p)( 2 ) = ψ '(q)( 2 )
Khi đó:
ϕ '( p )(v) = ψ '(q )( w)
ξ ∈ TM S ⇒ ∃v, w : −1 '
(ψ ϕ ) ( p )(v) = w
Với:
0
Ta có ξ được xác định bởi v nhờ ϕ hoặc w nhờ ψ . Điều này gợi mở một hướng
định nghĩa vectơ tiếp xúc tại một điểm trên một đa tạp trừu tượng.
1.2. Định nghĩa:
Cho M là đa tạp nhẵn n chiều, A = {(Uα , α )}α∈I là một atlas tối đại của M.
Đặt:=
τ
n
× {α } {( p, u , α ) : p ∈ Uα , u ∈ n }
(Uα × × {α }) , trong đó: Uα × =
α
n
∈I
Trên τ ta xét quan hệ R:
p = q
⇔
p
,
u
,
α
R
q
,
v
,
β
(
) (
)
−1
v = βα
(
) (α ( p) ) (u)
'
Trong đó: ( βα −1 ) (α ( p) ) : n → n là đẳng cấu tuyến tính và là đạo hàm của ánh xạ
'
nhẵn βα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β ) tại điểm (α ( p) ) .
• Quan hệ R là quan hệ tương đương.
• Lớp tương đương chứa ( p, u , α ) ký hiệu là ( p, u , α ) .
• Mỗi lớp tương đương nói trên gọi là vectơ tiếp xúc của đa tạp M.
• Với (Uα , α ) là một bản đồ địa phương của M, p ∈ Uα , lớp tương đương
( p, u, α ) gọi là một vectơ tiếp xúc của đa tạp M tại p.
• Tập các vectơ tiếp xúc tại p của đa tạp M ký hiệu là Tp M .
Trên Tp M ta xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
( p , u , α ) + ( p , v, α ) =
( p , u + v, α )
=
k ( p, u , α ) ( p, ku , α )
k ∈ \ {0}
Các phép toán trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện.
Định nghĩa:
Tp M với hai phép toán trên trở thành một không gian vectơ trên và được
gọi là không gian vectơ tiếp xúc của M tại p.
Với (Uα , α ) là một bản đồ địa phương của M ta ký hiệu hình thức:
α ( x) = ( x1 , x2 ..., xn )
Ta ký hiệu vectơ ( p, ei , α ) là
∂
( p)
∂xi
i = 1,..., n
Trong đó p ∈ Uα và ei = (0, 0,...,1,..., 0, 0) (thành phần thứ i bằng 1)
Khi đó, ∀v p ∈ T=
p M , vp
v, α ), v
( p, =
(v1 , v2 ,..., vn ) ∈ n
Thì
n
v p = ( p, ∑ vi ei , α )
i =1
=
n
=
vi ( p, ei , α )
∑
n
∑v
=i 1 =i 1
i
∂
( p)
∂xi
∂
( p)
là một cơ sở của Tp M .
∂xi
i =1,n
Từ đó dễ chứng minh được
2. Vi phân của một hàm số khả vi
2.1. Định nghĩa:
Cho f : M → là một hàm nhẵn trên M. Với mọi p ∈ M ta định nghĩa:
df ( p ) : Tp M →
v p df ( p )(v p ) = v p [ f ]
và dễ thấy df ( p) là ánh xạ tuyến tính.
( x1 , x2 ..., xn )
Xét bản đồ địa phương (Uα , α ), p ∈ Uα , α ( x) =
n
v p = ∑ vi
Trên bản đồ này:
i =1
∂
( p)
∂xi
df ( p )(
=
v p ) v=
p[ f ]
∂ ( fα −1 )
(α ( p ))(vi )
∑
∂xi
i =1
n
Nếu v p được viết: v p = ρ '(t0 ) , với ρ : J → Uα khả vi và ρ (t0 ) = p thì:
d
( f ρ )(t0 )
dt
df ( p )(
v p ) v=
=
p[ f ]
2.2. Ví dụ:
Xét bản đồ (Uα , α ) của M, với ký
hiệu α ( x) ( x1 , x2 ..., xn ), p ∈ Uα .
=
1, 2,..., n) là các hàm số được xác định bởi:
Trong đó, xi : Uα → (i =
α
→ α (Uα )
Uα
pi
→
x ( x1 , x2 ..., xn ) xi
Do đó, dễ thấy xi là các hàm nhẵn trên Uα .
Theo trên: dxi ( p) : Tp M →
=
dxi ( p )(v p )
n
∂ ( xi α −1 )
=
(α ( p )), v
∑
∂x
i =1
p
( p, v)α , với v = (v1 , v2 ..., vn )
j
∂
của M thì:
∂xk k =1,n
Mặt khác, khi ta cho dxi tác động vào cơ sở
∂ ∂xi
dxi =
= δ ik
∂xk ∂xk
IV. Trường vectơ
1. Định nghĩa:
Ta nói trường vectơ X trên đa tạp nhẵn n chiều là một ánh xạ:
X :M →
T M
x
x∈M
p X ( p ) ∈ Tx M
Nhận xét:
Giả sử (Uα , α ) là một bản đồ địa phương của
M, α ( x) ( x1 , x2 ..., xn ), x ∈ Uα
=
Ta có: X ( x) ∈ Tx M , hệ ∂ ( x)
∂xi
i =1,n
là một cơ sở của Tx M , nên ta có:
n
∀x ∈ M : X ( x) =∑ X i ( x)
i =1
∂
( x)
∂xi
Trong đó, X i : Uα → là các hàm số trên Uα
Giả sử X i là các hàm số lớp C k trên Uα và (U β , β ), β ( y ) = ( y1 , y2 ..., yn ) là
một bản đồ khác của M sao cho Uα ∩ U β ≠ ∅ , ta có:
=
X ( x)
∂
n
∑ Y ( x) ∂y
i =1
( x), ∀x ∈ U β
j
j
∂ (α β −1 ) j
β X i
Với x ∈ Uα ∩ U β thì Y j ( x) = ∑
∂xi
i =1
n
Vì
∂ (α β −1 ) j
β là nhẵn , nên nếu các hàm X i thuộc lớp C k trên Uα ∩ U β
∂xi
thì các hàm Y j cũng vậy.
2. Định nghĩa:
Trường vectơ X gọi là khả vi lớp C k , nếu với mọi (Uα , α ) là bản đồ địa
phương của M, ta ký hiệu hình thức α ( x) = ( x1 , x2 ..., xn ) , mà trên Uα :
n
X ( x) = ∑ X i ( x)
i =1
∂
thì X i : Uα → khả vi lớp C k .
∂xi
Khi X i là nhẵn thì ta nói X là trường vectơ nhẵn trên M.
Tương tự ta cũng có định nghĩa một trường vectơ lớp C k trên một mở của
M và khi đó với (Uα , α ) là một bản đồ địa phương của M thì các trường vectơ
∂
( x)
là các trường vectơ nhẵn trên Uα .
∂xi
i =1,n
V. Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc
1. Định nghĩa:
Cho M, N là hai đa tạp khả vi nhẵn có số chiều lần lượt là m, n. Ánh xạ
f : M → N thuộc lớp C k , thì với mỗi p ∈ M ta có ánh xạ: Tp f : Tp M → T f ( p ) N được
xác định như sau:
Với mọi (Uα , α ) là bản đồ địa phương của M và p ∈ Uα
=
(Vβ , β ) là bản đồ địa phương của N và
q f ( p ) ∈ Vβ
và với mọi v p ∈ Tp M : v p =
( p, v )α thì Tp f (v p ) = ( q, ( β fα −1 )' (α ( p))(v) )β
Khi đó, Tp f là ánh xạ tuyến tính và ta gọi đó là ánh xạ tuyến tính tiếp xúc của f.
Lưu ý:
Ta có thể chứng minh được định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ.
2. Nhận xét:
Ánh xạ khả vi ρ : J → M gọi là một đường cong khả vi trên M.
Giả sử p = ρ (t0 ), (Uα , α1 ) là một bản đồ địa phương của M và p ∈ Uα . Ta định
1
1
nghĩa vectơ ρ '(t0 ) = ( p, (α1 ρ )' (t0 ), α1 ) gọi là vectơ tiếp xúc của đường cong ρ tại p.
Khi đó, có thể chứng minh được nếu p ∈ Uα ∩ Uα ta có:
1
2
p, (α ρ ) (t ), α ) (=
p, (α ρ ) (t ), α )
(=
'
2
'
0
2
1
0
1
vp
Giả sử f : M → N , f ( p) =
q , ta chứng minh: ( f ρ )' (t0 ) = Tp f (v p )
Thật vậy: Tp f (v p ) = ( q, ( β fα −1 )' (α (=
p ))(α ρ )' (t0 ), β )
q, ( β f ρ ) (t ), β )
(=
'
0
( f ρ )' (t0 )
3. Ví dụ:
3.1. Ví dụ 1:
Cho M, N lần lượt là các đa tạp k, l chiều chứa trong n , m và ánh xạ
f : M → N là một ánh xạ khả vi. Giả sử tồn tại các tập mở U, V lần lượt trong
n , m sao cho M ⊂ U , N ⊂ V và có ánh xạ khả vi F : U → V sao cho F
M
= f .
Khi đó, ∀p ∈ M ta có:
Tp f = F ' ( p )
Tp M
Thật vậy:
Lấy ξ ∈ Tp M
ρ (t0 ) = p
ρ '(t0 ) = ξ
Suy ra ta có ánh xạ ρ : J → M ∈ n sao cho:
Tp f (ξ ) (=
f ρ )' (t0 ) ( =
F ρ )' (t0 ) F ' ( p=
)( ρ '(t0 )) F ' ( p )(ξ )
Theo nhận xét ta có:=
Tp f = F ' ( p )
Vậy:
Tp M
3.2. Ví dụ 2:
f : S1 → S1
( x, y ) ( − y , x )
p = ( p1 , p2 ) ∈ S 1 , ξ = (ξ1 , ξ 2 ) ∈ Tp S 1 (tức là ξ , p = 0 )
F : 2 → 2
Xét :
F ( x, y ) =
(− y, x) ⇒ F
S1
=
f
'
=
Tp f (ξ ) F=
( p )(ξ ) (ξ1' , ξ 2' )
⇒
Vậy:
ξ1' 0 − 1 ξ1
'=
ξ 2 1 0 ξ 2
−ξ 2 , ξ 2' =
ξ1' =
ξ1
Tp f (ξ1 , ξ 2 ) = (−ξ 2 , ξ1 )
VI. Phân hoạch đơn vị
1. Định nghĩa:
Một họ tập con (U i )i∈I của không gian tôpô M được gọi là hữu hạn địa
phương nếu với mỗi x ∈ M có một lân cận U giao khác rỗng chỉ với một số hữu hạn
tập mở của họ (U i )i∈I
Nếu (U i )i∈I và (V j ) j∈I là các phủ mở của một tập thì phủ (U i )i∈I gọi là mịn
hơn phủ (V j ) j∈I nếu mỗi phần tử của họ (U i )i∈I là tập con của một phần tử nào đó
của họ (V j ) j∈I
Không gian tôpô M được gọi là compact địa phương nếu mỗi điểm của nó có
một lân cận mà bao đóng là compact.
Không gian tôpô M được gọi là có cơ sở mở đếm được nếu có họ đếm được
tập mở U i mà mọi tập mở của M là hợp của những U i đó.
Nếu f là hàm thực thì giá của f là tập { x f ( x) ≠ 0} . Ký hiệu: supp( f )
2. Đa tạp paracompact
Không gian tôpô Hausdorff M gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của M
đều tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn.
Nếu M là đa tạp khả vi lớp C k và tôpô của M là paracompact thì M là đa
tạp paracompact lớp C k .
Người ta chứng minh được rằng, một đa tạp C k với cơ sở mở đếm được thì
bao giờ cũng là paracompact.
3. Định lý về phân hoạch đơn vị
Cho (U i )i∈I là một phủ mở của M (lớp C k ), khi đó tồn tại họ các hàm số khả
vi (lớp C k ) {ϕi }i∈I trên M thỏa mãn:
i) ϕi ≥ 0, ∀i ∈ I
ii) Supp ϕi ⊂ U i
iii) Họ {Supp ϕi }i∈I hữu hạn địa phương, tức là với mọi x ∈ M có lân cận chỉ
giao với một số hữu hạn tập Supp ϕi
iv)
∑ ϕ ( x) = 1, ∀x ∈ M
i∈I
Họ
{ ϕi }i∈I
i
nói trên được gọi là phân hoạch đơn vị ứng với phủ (U i )i∈I của đa tạp M.
Chương 2
DẠNG VI PHÂN
I. Dạng vi phân
1. Hàm đa tuyến tính
1.1. Định nghĩa:
Cho một không gian vectơ V và một ánh xạ ω : V q → gọi là hàm đa
tuyến tính (rõ hơn q – tuyến tính) nếu nó tuyến tính theo từng biến, nghĩa là với mọi
chỉ số i và mọi phần tử
v1 ,..., vi −1 , vi , vi +1 ,..., vq ∈ V
cố định thì ánh xạ
v ω (v1 ,..., vi −1 , vi , vi +1 ,..., vq ) là một hàm tuyến tính.
1.2. Mệnh đề:
Tập hợp các hàm q – tuyến tính trên V q là một không gian vectơ với
phép cộng hai ánh xạ và phép nhân với số thực được định nghĩa tự nhiên.
Ký hiệu: T q (V * ) với V * là không gian đối ngẫu của V
Trong đó: T 1 (V * ) = V *
Và quy ước: T 0 (V * ) =
2. Dạng đa tuyến tính thay dấu
2.1. Định nghĩa:
Gọi S q là tập các phép thế của (1, 2,..., q) . Thì với mỗi phép thế
σ ∈ Sq , σ :{1, 2,..., q} → {1, 2,..., q} ta xây dựng ánh xạ (vẫn ký hiệu là σ )
σ : T q (V * ) → T q (V * )
f σ( f )
mà σ ( f )(v1 , v2 ,..., vq ) = f (vσ (1) , vσ (2) ,..., vσ ( q ) ) , với v1 , v2 ,..., vq ∈ V
Nếu σ ( f ) = ε σ f thì f được gọi là dạng đa tuyến tính thay dấu (ở đây ε σ là
dấu của phép thế σ ).
- Xem thêm -
.PDF 
73 
5 
61 
