Tài liệu Thác triển riemann hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình và hàm theo từng biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THÁI SƠN THÁC TRIỂN RIEMANN-HARTOGS ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN. LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1998 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THÁI SƠN THÁC TRIỂN RIEMANN-HARTOGS ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN. Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 1.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GSTS NGUYỄN VĂN KHUÊ PTS TRẦN HUYÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1998 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. NGUYỄN THÁI SƠN. MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................................................... i CHƢƠNG 1 : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS. .............................................. 1 1.1 Các định nghĩa và các kết quả đã biết. ................................................................................ 1 1.2 Các kết quả. ........................................................................................................................ 4 1.3 Ví dụ. ................................................................................................................................. 10 CHƢƠNG 2 : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN ............................................. 15 2.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực. .................................................................................. 17 2.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn. ............................................................ 22 2.3 Miền Hartogs và thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn. ................................. 27 CHƢƠNG 3 : ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG HỮU HẠN CHIỀU. ................................................................................. 35 3.1 Các định nghĩa. ................................................................................................................. 37 3.2 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong một không gian Stein bất khả qui địa phƣơng. .................................................................................................................. 39 3.3 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong một không gian Stein. .. 50 CHƢƠNG 4: ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP MỞ VÀ CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG VÔ HẠN CHIỀU. ........................................................ 57 4.1 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập mở. ......................................................... 61 4.2 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact. ................................................ 65 KẾT LUẬN ................................................................................................................................... 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................................ 80 CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ĐƢỢC SỬ DỤNG TRONG.......................................... 87 LUẬN ÁN ..................................................................................................................................... 87 MỞ ĐẦU Thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phức hữu hạn cũng nhƣ vô hạn chiều. Vì vậy nó đã và đang đƣợc nhiều tác giả quan tâm đến bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết đƣợc bài toán đó. Đặc biệt gần đây bởi Ivashkovitch [22], Shiffman [33], Nguyen Thanh Van - Zeriahi [51], Alehyane [49], ... và ở Việt Nam, bởi Hà Huy Khoái, Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái ([25], [26], [14], [39]...) Cho đến gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý. Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, tức là thác triển Hartogs mà trƣờng hợp đặc biệt (nhƣng quan trọng) là với điều kiện nào của không gian phức X mọi ánh xạ chỉnh hình từ H 2(r)  X có thác triển chỉnh hình tới 2 , ở đây 0 < r < 1 và Dạng 2: Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kỳ dị cô lập, qua siêu mặt cũng nhƣ qua tập đa cực đóng. Tức là thác triển kiểu Riemann. i Có thể nói rằng trong hầu hết các trƣờng hợp, việc thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra khó hơn rất nhiều so với thác triển kiểu Hartogs. Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của lý thuyết thế vị phức, việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình đã có những bƣớc tiến mạnh mẽ. Các công trình của Shiffman, Suzuki, Jărvi, Đỗ Đức Thái... đã làm xuất hiện một phƣơng hƣớng mới trong việc nghiên cứu bài toán. Đó là khảo sát việc thác triển chỉnh hình qua tập đa cực và tập có dung lƣợng bằng không. Vào những năm 80 của thế kỷ này, D. Vogt đã đƣa ra và có nhiều kết quả nghiên cứu về các bất biến tôpô tuyến tính. Các bất biến này mở ra nhiều ứng dụng cho giải tích phức. Một trong các ứng dụng của chúng mà chúng tôi quan tâm là nghiên cứu tính chỉnh hình của các ánh xạ chỉnh hình theo từng biến, một trong những bài toán đƣợc đặt ra vào năm 1906 bởi Hartogs. Bài toán này đã đƣợc quan tâm nghiên cứu từ lâu và đã có nhiều kết quả quan trọng. Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân lần đầu tiên đã chỉ ra rằng cơ sở Schauder của vài không gian các hàm chỉnh hình có thể đƣợc dùng để giải đƣợc bài toán về thác triển chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến. Theo hƣớng đó, vào năm 1976, Zaharjuta đã nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập hợp có dạng đặc biệt C m+n. Các kết quả dạng này đã đƣợc tổng quát hóa thực sự bởi Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi vào năm 1983 và nhất là gần đây. Một cách gần nhƣ đồng thời, năm 1981 Siciak, lần đầu tiên sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận đƣợc một kết quả tƣơng tự. Phƣơng hƣớng này đƣợc Shiffman tiếp nối bằng ii cách phát triển lý thuyết thế vị phức đƣợc xây dựng bởi Siciak để mở rộng các kết quả nói trên thành một kết quả công bố năm 1989, trong đó ông cải thiện các điều kiện về tính Lchính qui. Quan tâm tới vấn đề nêu trên, chúng tôi đầu tƣ nghiên cứu về việc mở rộng các kết quả về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến vào lớp các không gian Frechet và đối ngẫu Frechet Schwartz mà điểm khởi đầu xuất phát lừ một kết quả của Shiffman năm 1971 về thác triển chỉnh hình Hartogs. Luận án của chúng tôi gồm 4 chƣơng. Trong hai chƣơng đầu chúng tôi nghiên cứu sự thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Hartogs và sự thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. Hai vấn đề này có liên quan với nhau. Trƣớc hết, chúng tôi tìm một lớp các không gian vô hạn chiều thoả mãn điều kiện thác triển chỉnh hình Hartogs. Đó là lớp các không gian thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu. Và sử dụng kết quả này, chúng tôi chứng minh đƣợc rằng nếu X là một không gian phức có tính chất 1-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng thì nó cũng có tính chất n-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng với mọi n  2. Ngoài ra chúng tôi cũng nghiên cứu đƣợc tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn của miền Riemann compact hyperbolic và của miền Hartogs   (X) . Trong hai chƣơng còn lại chúng tôi nghiên cứu tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập mở và trên các tập compact trong hữu hạn chiều cũng nhƣ trong vô hạn chiều. Trong chƣơng 3, chúng tôi tìm đƣợc điều kiện về K và z trong đó K là một tập compact trong một không iii gian Stein X, sao cho mọi hàm chỉnh hình theo từng biến trên K x Z đều có thể thác triển chỉnh hình đến một lân cận có dạng W x Z. Theo hƣớng này, dựa vào một kết quả của Shiffman năm 1989 về những hàm "chỉnh hình-giải tích-theo từng biến" trên các tập con mở của M x  M chúng tôi mở rộng sang lớp các không gian Frechet và hoàn thành công việc nghiên cứu của mình bằng cách xét các hàm chỉnh hình theo từng biến xác định trên một tập compact K và lấy giá trị trong không gian các hàm chỉnh hình kiểu bị chặn trên một không gian đối ngẫu Frechet. Công cụ chủ yếu để giải quyết vấn đề đƣợc đặt ra là các bất biến tôpô tuyến tính đƣợc đƣa ra và nghiên cứu bởi D. Vogt vào những năm 80. Chúng tôi cũng nghiên cứu và mở rộng các kết quả gần đây của Shiffman về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong trƣờng hợp vô hạn chiều. Luận án đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn nhiệt tình và tận tụy của GS TS Nguyễn Văn Khuê và PTS Trần Huyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những ngƣời Thầy của mình. Tác giả xin chân thành cám ơn PGS. TS Đỗ Đức Thái, Đại học Sƣ Phạm thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội, PGS. TS Nguyễn Hữu Đức, Đại học Đà Lạt, GS TS Nguyễn Thanh Vân, Đại học Toulouse đã đọc kỹ bản luận án và giúp tác giả nhiều ý kiến quí báu. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán và Phòng quản lý khoa học Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu. iv CHƢƠNG 1 : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS. Nhƣ trong phần mở đầu chúng tôi đã nói, phƣơng hƣớng đâu tiên trong việc nghiên cứu bài toàn thác triển ánh xạ chỉnh hình đó là thác triển lên bao chỉnh hình mà ta quen gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. 1.1 Các định nghĩa và các kết quả đã biết. 1.1.1. Định nghĩa. Một không gian giải tích Banach X đƣợc gọi là có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Riemann   trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder vào X, đều có thể thác triển chỉnh hình tới ̂ , bao chỉnh hình của  . Về lịch sử, ánh xạ chỉnh hình cần thác triển mà Hartogs chứng minh đầu thế kỷ 20 là hàm số mà miền xác định là một tập mở trong 2. Tiếp đó các nhà toán học nhƣ Andreotti, Stoll... đã phát triển và mở rộng định lý bằng cách thay miền xác định và miền giá trị bởi các đa tạp phức khác nhau. Trong hội nghị Nice năm 1970 Shiing-Shen Chern đã đƣa ra giả thuyết sau đây: 1 Cho X là một đa tạp phức với một mêtric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện chỉnh hình không dƣơng. Cho và U  k là một lân cận của B. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : U  X đều thác triển chỉnh hình lên B. Giả thuyết đƣa ra liền đƣợc nhiều nhà Toán học lớn trên thế giới quan tâm. Năm 1971 Shiffman lần đầu tiên đã đƣa ra khái niệm "điều kiện đĩa" nhƣ sau: 1.1.2. Định nghĩa. Một không gian phức X đƣợc gọi là thỏa mãn điều kiện đĩa nếu với mọi dãy {fn} trong H(,X), {fn} hội tụ tới một hàm f  H(,X) khi dãy { f n |Ar1 } hội tụ trong H (Ar1 , X) với r nào đó nhỏ hơn 1, ở đây và một dạng yếu của điều kiện đĩa mà dƣới đây ta gọi là điều kiện lồi-đĩa yếu. 1.1.3. Định nghĩa. Một không gian giải tích Banach X đƣợc gọi là lồi-đĩa yếu nếu mọi dãy {fn}  H(,X) hội tụ trong H(,X) khi dãy { f n |* }  H(* ,X) hội tụ trong H( *,X). Ở đây  và * chỉ đĩa đơn vị và đĩa đơn vị thủng trong  tƣơng ứng. 2 Ngoài ra ta còn dùng các ký hiệu Dùng điều kiện lồi-đĩa yếu, Shiffman đã chứng minh đƣợc 1.1.4. Định lý. [33] Cho X là một đa tạp phức sao cho đa tạp phức phổ dụng của nó có một mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dƣơng. Cho D là một tập con mở của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : D  X đều có một thác triển chỉnh hình lên M. Áp dụng định lý này bằng cách đặt D = U B và M = B, Shiffman đã chứng minh đƣợc giả thuyết nói trên của S.S.Chern. Ngoài ra, cũng ngay trong năm đó, Griffiths đã chứng minh đƣợc một cách độc lập giả thuyết của Chern. Đó là nội dung của kết quả sau đây. 1.1.5 Định lý. [11] Cho M là một đa tạp phức có một mêtric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện chỉnh hình không dƣơng. Khi đó hiện tƣợng Hartogs đúng với M, nghĩa là mọi ánh xạ chỉnh hình f : N \ U  M đều có một thác triển chỉnh hình lên N, ở đây N là một đa tạp phức liên thông và U là một lân cận mở đủ nhỏ của một đa tạp con S của N. Nhƣ vậy, xuất phát từ giả thuyết của Chern, Shiffman và Griffiths đã đồng thời giải quyết bài toán trong hữu hạn chiều. Cũng cần lƣu ý rằng, để chứng minh Định lý 1.1.4 ở trên, Shiffman đã dùng một dạng yếu của điều kiện đĩa, 3 mà nhƣ trên chúng tôi gọi là điều kiện íồi-đĩa yếu, ông chứng minh đƣợc kết quả tổng quát hơn và đƣợc phát biểu lại nhƣ sau: Cho X là một đa tạp phức thoa mãn điêu kiện lôi-đĩa yếu. D là một tập con mỏ của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình/: D —) Ở đây, chúng tôi cũng sẽ dùng điều kiện lồi-đĩa yếu để nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs trong vô hạn chiều. 1.2 Các kết quả. Trƣớc hết, chúng tôi chứng minh rằng mọi không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu đều có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. 1.2.1. Định lý. Cho X là một không gian giải tích Banach thoa mãn điêu kiện lôi-đĩa yếu. Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Chứng minh. Cho f :   X là một ánh xạ chỉnh hình, ở đây  là một miền Riemann trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder. Xét sơ đồ giao hoán ở đây  f chỉ miền tồn tại của f. 4 Trƣớc hết ta chứng minh bổ đề sau 1.2.2. Bổ đề. Ánh xạ f :  f  X giả lồi địa phƣơng, nghĩa là với mọi x  X tồn tại một lân cận giả lồi V của x trong X sao cho f 1 (V) là giả lồi Chứng minh. Cho x  X. Chọn một lân cận V của x trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong một quả cầu mở của một không gian Banach. Xét thu hẹp f |f 1 ( V ) Đặt g : ^ f 1 (V)  V là một thác triển chỉnh hình của f |f 1 (V) lên bao chỉnh hình ^ 1 f (V) của f 1 (V) . Vì  f là miền tồn tại của f, nên ta suy ra rằng Mặt khác, từ hệ thức ta có Vậy f :  f  X giả lồi địa phƣơng. Bây giờ ta tiếp tục chứng minh định lý. Vì B có cơ sở Schauder nên để chứng minh ̂ =  f ta chỉ cần chứng minh rằng p1 (E) giả lồi với mọi không gian con hữu hạn chiều của B. Muốn vậy, ta còn phải kiểm chứng rằng p1 (E) lồi-đĩa yếu. 5 Cho {k}  H (, p1 (E) ) sao cho dãy { k |* } hội tụ về  trong H (*, p1 (E) ). Vì X lồi-đĩa yếu nên { f 0 k } hội tụ về  trong H (,X). Lƣu ý rằng  |*  f 0 . Chọn một lân cận giả lồi V của  (0) trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong một quả cầu mở của một không gian Banach và f 1 (V) giả lồi. Vì f 1 (V) là một miền Riemann giả lồi trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder nên f 1 (V) là một miền chỉnh hình. Dễ dàng thấy rằng tồn tại k0 và  > 0 sao cho ( f 0 k )()  V với mọi k > k0 và  ()  V, ở đây  = {z   : |z| < }. Vậy k()  f 1 (V) với mọi k > k0. Từ đó ta suy ra {  }. hội tụ tới  trong H (, f 1 (V) ) (xem Định lý 5 và Bổ đề 6 trong [18]). Do đó dãy {k} hội tụ trong H (, p1 (E) ). Định lý đã đƣợc chứng minh. Nhận xét. Để thấy hết ý nghĩa của kết quả nêu trong Định lý 1.6 nói trên, tƣởng cũng nên nhắc lại quá trình chứng minh định lý đó trong hữu hạn chiều của Shiffman. Trong [33], để chứng minh kết quả của mình, Shiffman đã chứng minh ba bổ đề sau: Bổ đề 3. Cho X là một không gian giải tích. Giả sử rằng mọi dãy {fn} trong H (,X), sự hội tụ của { f n | } trong H (  , X) kéo theo sự hội tụ của {fn}. Khi đó X thoả mãn điều 0 0 kiện thác triển Levi. Bổ đề 4. Cho X là một không gian giải tích. Nếu X thoa mãn điều kiện 6 điều kiện thác triển Levi thì X thỏa mãn điều kiện thác triển Hartogs. Bổ đề 5. Cho D là một tập mở của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D. Nếu X thoả mãn điều kiện thác triển Hartogs thì mọi ánh xạ chỉnh hình f: D  X đều thác triển chỉnh hình lên M. Áp dụng ba bổ đề đó, Shiffman đi đến điều phải chứng minh. Điều đáng nói ở đây là quá trình chứng minh ba bổ đề nói trên khá là phức tạp. Việc chứng minh Định lý của Shiffman trong vô hạn chiều đã đƣợc chúng tôi chứng minh trong Định lý 1.2.1 với một phƣơng pháp đơn giản hơn. * * * Vào những năm 80, những công trình của Shiffman, Ivashkovitch... đã chỉ ra những đặc trƣng hình học cho phép nhận biết một không gian có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Chẳng hạn, vào năm 1987, Ivashkovitch đã chứng minh đƣợc một đặc trƣng hình học rất quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs của những đa tạp Kahler lồi chỉnh hình. Một đa tạp Kahler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs khi và chỉ khi X không chứa đƣờng cong hữu tỉ. Kết quả này đã đƣợc mở rộng bởi Đỗ Đức Thái sang trƣờng hợp không gian phức [39]. Năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hƣơng đã chứng minh đƣợc rằng nếu X là một đa tạp Banach giả lồi có các C1 -phân hoạch đơn vị và X không chứa các đƣờng thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. 7 Chúng tôi muốn mở rộng kết quả trên vào lớp các đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp mà là hợp tăng của những miền giả lồi. Thật vậy, ta có 1.2.3. Định lý. Cho X là một đa tạp Banach có các C1 -phân hoạch đơn vị và là hợp tăng của những miền giả lồi mà mỗi tập mở compact tƣơng đối trong X đều không chứa đƣờng thẳng phức. Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Chứng minh. (i) Trƣớc hết ta giả sử rằng X giả lồi. Cho f :  X là một ánh xạ chỉnh hình. Ta xét sơ đồ giao hoán ở đây  f chỉ miền tồn tại của f với thác triển chính tắc f :  f  X và e, ,  là các ánh xạ chính tắc song chỉnh hình địa phƣơng. Chứng minh tƣơng tự nhƣ Bổ đề 1.2.2, ta có 1.2.4. Bổ đề. Ánh xạ f :  f  X giả lồi địa phƣơng. Để chứng minh rằng ̂  f ta còn phải kiểm chứng rằng  f thỏa mãn điều kiện lồiđĩa yếu. Cho { n}  H (,  f ) hội tụ tới  trong H ( *,  f ). 8 Vì X giả lồi và mọi tập mở compact tƣơng đối trong X đều không chứa đƣờng thẳng phức nên X thỏa mãn điều kiện lồi đĩa yếu (xem [41], Mệnh đề 2.3 ). Vậy { f 0 n }  H (,X) hội tụ tới f 0  trong H (,X). Chọn một lân cận giả lồi V của f 0  (0) sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong một quả cầu mở của một không gian Banach và f 1 (V) là một tập giả lồi. Khi đó tồn tại một số n0 và một số  dƣơng sao cho ( f 0 n )()  V với n > n0 , ở đây  = {z   : |z| < } (xem [41], Mệnh đề 2.3 ). Vì thế theo Bổ đề 1.2.4, ta có  n()  p1 (V) với n > n0 . Suy ra  n   trong H (, p1 (V) ) (xem [18, Định lý 5 và Bổ đề 6]). Vậy { n } hội tụ trong H (,  f ) .  (ii) Bây giờ ta giả sử rằng X = n 1 X n , ở đây Xn là những miền giả lồi sao cho X1  X2  ... Theo (i), với mỗi n  1, ánh xạ fn = f |n thác triển tới một hàm chỉnh hình f̂ n : ^ n  Xn Dễ dàng thấy rằng với mỗi n  1 tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình địa phƣơng duy nhất en : ^n  ^ n 1 sao cho sơ đồ sau đây giao hoán và fˆn 1en  fˆn với n  1 , ở đây n : ^   B xác định ^n là một miền Riemann trên B. 9 Vì thế chúng ta có thể xác định các ánh xạ f :  = lim ind ^   X và  :   B bởi f | ^  = fn với mọi n  1 và  | ^  = n với mọi n  1. Vì n là một phép đồng phôi địa phƣơng với n  1 nên từ đó suy ra rằng  cũng là một phép đồng phôi địa phƣơng. Hơn nữa, ta có dn(z)  dn+1 (e(z)) với mọi z  ^  n và n  1, ở đây dn chỉ khoảng cách biên đối với n : ^ n  B với mỗi n  1. Vì ^ giả lồi nên với mỗi z   , — log dn(z) là hàm đa điều hòa dƣới. Nghĩa là Q giả lồi. Do đó  là một miền chỉnh hình. Từ đó ta suy ra  = ^  . Đó là điều phải chứng minh. Cũng cần lƣu ý rằng, trong [41] Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hƣơng đã chứng minh rằng nếu X là một đa tạp Banach giả lồi và có C1 -phân hoạch đơn vị và nếu X không chứa đƣờng thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Do đó tự nhiên nẩy sinh ra câu hỏi là liệu rằng hợp tăng của những miền giả lồi có luôn luôn là giả lồi hay không? Chúng tôi nêu ra ví dụ sau đây để chứng minh rằng câu trả lời là "không". Và do đó Định lý nêu trên là một mở rộng thật sự kết quả của Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hƣơng. 1.3 Ví dụ. Tồn tại một đa tạp phức X không giả lồi có dạng X = đa tạp Stein. 10  n 1 X n , ở đây Xk  Xk+1 là các Thật vậy, nhƣ trong [8] với mỗi n ta đặt Hiển nhiên Xn là các đa tạp đóng của 3 vì thế Xn là các đa tạp Stein. Với mỗi n, xét ánh xạ  n : Xn  Xn+1 xác định bởi Rõ ràng  n là ánh xạ song chỉnh hình từ Xn lên {  } Vậy ta xác định đƣợc X = lim(Xn ,  n ) . Rõ ràng mỗi tập con compact tƣơng đối trong X không chứa đƣờng thẳng phức vì mỗi tập con compact tƣơng đối trong Xn không chứa đƣờng thẳng phức với mọi n  1. Bây giờ ta chứng minh rằng X không giả lồi. Thật vậy, nếu X giả lồi thì trong trƣờng hợp của chúng ta, X thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu. Cho {fn}  H(, X) là một dãy các ánh xạ đƣợc xác định bởi: Khi đó fn()  Xn+1. Chúng ta chứng minh rằng {fn} hội tụ đều trong H(* , X) Thật vậy, với mỗi k, xét    H   1 , X  đƣợc xác định nhƣ sau  k 1,1  ở đây 11 Chú ý rằng Với mỗi n > k, {   } hội tụ trong H   1 , X  tới một hàm fk cho bởi  k 1,1  Mặt khác, vì với mỗi n, k  1 ta có q ... p f p = f q , ở đây p, q là những số tự nhiên với p < q. Vậy ta xác định đƣợc một hàm số f : *  X bởi f(z) = f k (z) với mỗi z   1 ,1 x 1 .  0 nên dãy {fn} hội tụ tới f trong H ( *, X). Từ giả thiết ta suy ra {fn} hội tụ Vì tới f trong H(, X). Xét  = {z   : |z|  },   (0,1). Vì {fn} hội tụ đều trong  nên suy ra X =  n 1 f n (  ) là một tập hợp compact. Vì X =  k 1 X k , Xk c xk+1 n=i k=i và Xk là các tập mở trong X với mọi k  1 nên tồn tại một số k0 sao cho  X= n 1 f n (  )  X k 0 . Vậy với mọi   * . 12