Tài liệu Siêu mặt bậc hai trong không gian euclid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN **************** HOÀNG THỊ TUYẾT LAN SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN **************** HOÀNG THỊ TUYẾT LAN SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI – 2017 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này. Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Lan LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Lan Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Mục tiêu trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Sự trực giao của các phẳng trong không gian Euclid . . 4 1.3 Các công thức khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Khoảng cách giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng . 5 1.4 Ánh xạ đẳng cự và biến đổi đẳng cự . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Ánh xạ đẳng cự của các không gian Euclid . . . 6 1.4.2 Biến đổi đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.3 Phương trình dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid 2.1 7 10 Phương trình dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai. . . 10 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Gọi tên một số siêu mặt bậc hai trong En . . . . . . . . 16 2.3 Phương chính và siêu phẳng kính chính . . . . . . . . . 18 2.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 Siêu phẳng kính chính trong E2 . . . . . . . . . 19 Siêu cầu và siêu phẳng đẳng phương . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Siêu cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 Miền trong và miền ngoài của siêu cầu . . . . . 21 2.4.3 Siêu cầu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.4 Phương tích của một điểm đối với siêu cầu tổng 2.4 Ví dụ Hoàng Thị Tuyết Lan quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.5 Siêu phẳng đẳng phương của siêu cầu . . . . . . 24 2.4.6 Góc giữa hai siêu cầu . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.7 Giao của siêu cầu với siêu phẳng . . . . . . . . 26 2.5 Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai trong En . . . . 27 2.6 Bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.1 Bất biến của hàm đa thức bậc hai . . . . . . . . 28 2.6.2 Nghiên cứu mặt bậc hai nhờ bất biến . . . . . . 30 2.6.3 Phân loại mặt bậc hai bằng bất biến . . . . . . 33 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Lời mở đầu 1, Lý do chọn đề tài Hình học afin và hình học euclid là một trong những môn học chuyên ngành cho sinh viên chuyên ngành Toán học tại các trường Đại học Sư phạm. Môn học cung cấp cho chúng ta cái nhìn tổng quan về hình học và mối quan hệ giữa chúng. Và đối tượng cụ thể của hình học Euclid chính là siêu mặt bậc hai cùng các tính chất và định lý liên thuộc của nó. Nghiên cứu tìm hiểu về siêu mặt bậc hai giúp tôi có thêm kiến thức sâu sắc hơn, cái nhìn tổng quát hơn về phương pháp tọa độ, các tính chất thú vị của các mặt bậc hai, cách chứng minh hình học sáng tạo và nó còn có mối quan hệ chặt chẽ với kiến thức hình học PTTH, giúp ta nhận dạng và giải nhanh các bài toán về ba đường cônic, mặt cầu, hình nón, hình trụ. Với niềm đam mê toán học và đặc biệt là niềm yêu thích môn hình học tôi rất mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề liên quan đến hình học. Dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Năng Tâm tôi đã phần nào làm được điều đó. Trong khuôn khổ một bài khóa luận và thời gian nghiên cứu nên tôi chỉ tập chung vào nghiên cứu đề tài “Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid”. 2, Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid cùng với các tính chất định lý liên thuộc của nó. 3, Đối tượng nghiên cứu 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid En . 4, Mức độ và phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan về siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid. 5, Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu các định nghĩa, định lý, tính chất về siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid. - Tìm hiểu về phương chính, siêu phẳng kính chính, siêu cầu và siêu phẳng đẳng phương. - Bất biến của hàm đa thức bậc hai. - Cách giải một số bài toán chọn lọc liên quan đến siêu mặt bậc hai. 6, Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện bài khóa luận này tồi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau đây: -Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá. -Nghiên cứu sách giáo trình, các sách tham khảo và các tài liệu liến quan đến vấn đề này. Quá trình làm khóa luận đã sử dụng nhiều phương pháp nghiên cứu nhưng chủ yếu là phương pháp tổng hợp kiến thức từ các tài liệu lấy làm tài liệu tham khảo. 7, Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị. Chương II: Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về không gian Euclid để bị cho chương sau, những kiến thức này được tham khảo trong [1],[2]. 1.1 1.1.1 Không gian Euclid Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Một không gian affine được gọi là không gian Euclid nếu không gian vector liên kết là một không gian vector Euclid. Không gian Euclid sẽ gọi là n chiều nếu không gian vector Euclid liên kết với nó có chiều bằng n. Như vậy thuật ngữ không gian Euclid để chỉ một không gian affine với nền là không gian vector với một tích vô hướng. Chúng ta sẽ dùng ~ để chỉ không gian nền của ký hiệu E để chỉ không gian Euclid và E − → nó. Đôi lúc để nhấn mạnh số chiều ta dùng ký hiệu En và En . 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 Hoàng Thị Tuyết Lan Mục tiêu trực chuẩn Định nghĩa 1.2. Cho En là một không gian Euclid n-chiều. Một mục tiêu affine của En gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở tương ứng là − → cơ sở trực chuẩn của En . Tọa độ của điểm M ∈ En đối với một mục tiêu trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn. 1.2 Sự trực giao của các phẳng trong không gian Euclid Định nghĩa 1.3. Hai phẳng α và β trong không gian Euclid E gọi là trực giao (hay vuông góc) với nhau, kí hiệu α ⊥ β, nếu phương của ~ Nếu các phương chúng là các không gian vector con trực giao trong E. ~ ta nói α và β là bù trực giao hay α bù trực α ~ , β~ bù trực giao trong E, giao với β hay β bù trực giao với α. Ví dụ 1.2.1. Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng trực giao với nhau. Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là hai phẳng bù trực giao. Định lý 1.1. Trong không gian Euclid E, 1. Hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung. 2. Hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất. Định lý 1.2. Nếu α trực giao với β và γ bù trực giao với β thì α và γ là hai phẳng song song. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3 1.3.1 Hoàng Thị Tuyết Lan Các công thức khoảng cách Khoảng cách giữa hai điểm Cho hai điểm M, N của không gian Euclid En . Khoảng cách giữa hai điểm đó, kí hiệu d(M, Nq ), được định nghĩa là số −−−→ −−→ d(M, N ) =k M N k= M N 2 Nếu trong En đã cho mục tiêu trực chuẩn và cho tọa độ của M = (x1 , x2 , . . . , xn ) và của N (y1 , y2 , . . . , yn ) thì v u n uX d(M, N ) = t (yi − xi )2 i=1 1.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng Trong không gian Euclid cho siêu phẳng α có phương trình: a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn + ao = 0, và một điểm I(xo1 , xo2 , . . . , xon ). Khi đó khoảng cách từ I đến siêu phẳng α được tính theo công thức: Pn o i=1 (ai xi ) + ao | pPn d(I, α) = 2 i=1 ai | 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan 1.4 Ánh xạ đẳng cự và biến đổi đẳng cự 1.4.1 Ánh xạ đẳng cự của các không gian Euclid Định nghĩa 1.4. Cho E và E0 là hai không gian Euclid. Ánh xạ: f : E −→ E0 gọi là ánh xạ đẳng cự nếu f là một ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính → − − ~ −→ E ~ 0 là một ánh xạ tuyến tính trực giao của → liên kết f~ : E E và E0 . Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra đối với mỗi cặp điểm M, N thuộc E và ảnh của chúng M 0 = f (M ), N 0 = f (N ) ta có d(M, N ) = d(M 0 , N 0 ). Nói cách khác phép đẳng cự bảo tồn khoẳng cách giữa hai điểm bất kì. Định lý 1.3. Mọi ánh xạ f : E −→ E0 giữa các không gian Euclid bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì là một ánh xạ đẳng cự. Chứng minh. −0 ~ −→ → Lấy I ∈ E và I 0 = f (I). Xét ánh xạ f~ : E E xác định như sau: −−→ −−→ −→ ~ ta lấy M ∈ E sao cho − Nếu ~u ∈ E, IM = ~u, và đặt f (~u) = I 0 M 0 , với M 0 = f (M ). Ta chứng minh f~ không thay đổi tích vô hướng của → ~ lấy N ∈ E sao cho − hai vector. Giả sử có thêm ~v ∈ E, IN = ~v và −−→ −− → f (~v ) = I 0 N 0 với N 0 = f (N ). Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N ) = d(M 0 , N 0 ). Suy ra: −−−→2 −−− −→ M N = M 0 N 02 −−→ −−→ −→ −−→ ⇔ (IN − IM )2 = (I 0 N 0 − I 0 M 0 )2 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−−→ −−−→ ⇔ IN 2 + IM 2 − 2IN .IM = I 0 N 02 + I 0 M 02 − 2I 0 N 0 .I 0 M 0 −→ −−→ −−→ −−→ ⇒ IN .IM = I 0 N 0 .I 0 M 0 −−→ −−→ Tức là ~u.~v = f (~u).f (~v ). Vì f~ bảo tồn tích vô hướng nên f~ là ánh xạ tuyến tính trực giao và rõ ràng f~ là ánh xạ liên kết của f . Vậy f là phép đẳng cự. 1.4.2 Biến đổi đẳng cự Nếu f : E −→ E là ánh xạ đẳng cự từ không gian Euclid vào chính ~ hữu hạn chiều). nó thì vì f là đơn ánh nên nó là một song ánh (do E Khi đó ta gọi nó là một biến đổi đẳng cự của không gian Euclid E. ~ Ánh xạ f~ liên kết với nó là một biến đổi tuyến tính trực giao của E. Tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của En làm thành một nhóm con của nhóm Af (En ) nó được kí hiệu là Isom (En ). 1.4.3 Phương trình dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng cự − − − Trong không gian Euclid En , cho {O; → e1 , → e2 , . . . , → en } là một mục tiêu trực chuẩn. Khi đó một biến đổi đẳng cự f : E −→ E sẽ có phương trình: [x0 ] = A[x] + [a] (1.1) − − − đối với mục tiêu {O; → e1 , → e2 , . . . , → en }, trong đó A là một ma trận trực giao cấp n. Ngược lại, dễ thấy mỗi phương trình dạng (1.1) với A là một ma trận trực giao sẽ là phương trình của một phép biến đổi đẳng cự đối 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan với một mục tiêu trực chuẩn nào đó của En . Do A là ma trận trực giao nên detA = ±1. Nếu detA = 1, ta nói f là phép dời loại 1, hay phép dời thuận. Nếu detA = −1, ta nói f là phép dời loại 2, hay phép dời nghịch ( còn gọi là phép phản chiếu). Định lý 1.4. (Dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng cự) Trong không gian Euclid E, n ≥ 3 luôn luôn tồn tại mục tiêu trực chuẩn thích hợp sao cho phương trình của phép biến đổi đẳng cự f cho trước có ma trận A dạng   1            A=           ... 1 0 −1 ... −1 0 A1 ... Ak                       Trong đó  Ai =  cosϕi −sinϕi sinϕi cosϕi   , 0 ≤ ϕi ≤ π, i = 1, 2, . . . , k. Ta gọi A là ma trận dạng chính tắc của f Ví dụ 1.4.1. 1. Mọi biến đổi đẳng cự f của E giữ bất động mọi điểm của một siêu phẳng α phải là phép biến đổi đồng nhất hay là phép 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan đối xứng qua siêu phẳng α. Đây là phép dời loại 1. 2. Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn đã cho, phép biến đổi đẳng cự có phương trình:     x01 = x1    x02 = x2      x03 = −x3 là một phép dời loại 2. Chương này, em đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Euclid định nghĩa, mục tiêu trực chuẩn, sự trực giao của các phẳng và ánh xạ đẳng cự và biến đổi đẳng cự để chuẩn bị cho chương sau. 9 Chương 2 Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid Chương này đề cập đến các nội dung về siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid đó là phương trình dạng chính tắc, phương chính và siêu phẳng kính chính, siêu cầu, bất biến của siêu mặt bậc hai và một số bài tập vận dụng. Những kiến thức viết trong chương này được tham khảo trong [2], [3], [4]. 2.1 Phương trình dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai. 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1. Trong không gian Euclid En với mục tiêu trực chuẩn − − − {O; → e ,→ e ,...,→ e }, cho phương trình bậc hai: 1 2 n n X i,j=1 aij xi xj + 2 n X i=1 10 ai x i + ao = 0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Trong đó các hệ số aij , ai , ao đều là các số thực, các aij không đồng thời bằng không và aij = aji . Tập hợp tất cả những điểm X thuộc En sao cho tọa độ (x1 , x2 , . . . , xn ) của nó thỏa mãn phương trình trên gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình đó. 2.1.2 Định lý Định lý 2.1. Trong không gian Euclid E luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn thích hợp sao cho phương trình của một siêu mặt bậc hai có một trong ba dạng sau, gọi là phương trình dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai: 1. Dạng I: λ1 X12 + λ2 X22 + · · · + λr Xr2 = 1, λi 6= 0, i = 1, 2, . . . , r, 1 ≤ r ≤ n; 2. Dạng II: λ1 X12 +λ2 X22 +· · ·+λr Xr2 = 0, λi 6= 0, i = 1, 2, . . . , r, 1 ≤ r ≤ n; 3. Dạng III: λ1 X12 + λ2 X22 + · · · + λr Xr2 = 2pXr+1 , λi 6= 0, i = 1, 2, . . . , r, p > 0, 1 ≤ r ≤ n − 1. − − − Chứng minh. Giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 , . . . , → en } của En , siêu mặt bậc hai S có phương trình là: n X aij xi xj + 2 i,j=1 n X ai x i + ao = 0 (2.1) aij xi xj (2.2) i=1 Xét phần bậc hai của (2.1): H(~x) = n X i,j=1 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan − → Đây là một dạng toàn phương trong không gian vector Euclid En nên ta có thể đưa về dạng chính tắc. Điều này có nghĩa là tồn tại một cơ → − − →} của − sở trực chuẩn {→ ω ,→ ω ,...,− ω En sao cho đối với cơ sở này (2.2) 1 2 n có dạng chính tắc: H(~y ) = X ki yi2 , 1 ≤ r ≤ n, ki 6= 0, i = 1, 2, . . . , r. (2.3) − − − Gọi S = (sij )n là ma trận chuyển từ cơ sở {→ e1 , → e2 , . . . , → en } sang − − →}. Xét phép đổi mục tiêu giữ nguyên gốc từ cơ sở {→ ω1 , → ω2 , . . . , − ω n − − − mục tiêu trực chuẩn {O; → e ,→ e ,...,→ e } sang mục tiêu trực chuẩn 1 2 n − − →}. Phép biến đổi mục tiêu này có phương trình: {O; → ω1 , → ω2 , . . . , − ω n xi = n X sij yj , i = 1, 2, . . . , n (2.4) i,j=1 − − →} Khi đó phương trình của S đối với mục tiêu trực chuẩn {O; → ω1 , → ω2 , . . . , − ω n có dạng: r X ki yi2 +2 i=1 n X bi yi + b = 0, 1 ≤ r ≤ n, ki 6= 0. (2.5) i=1 Nếudùng phép đổi mục tiêu có phương trình ( tịnh tiến điểm gốc)  yi = zi − bi , i = 1, 2, . . . , r ki  yj = zj , j = r + 1, . . . , n − − →} phương Thì đối với mục tiêu trục chuẩn mới {I; → ω1 , → ω2 , . . . , − ω n trình của S có dạng r X i=1 ki zi2 +2 n X ci zi + c = 0, 1 ≤ r ≤ n, ki 6= 0. i=r+1 12 (2.6) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Ta có các trường hợp sau: 1. ci = 0, i = r + 1, . . . , n và c 6= 0. Khi đó (2.6) có dạng I với các hệ số λi = − kci , i = 1, 2, . . . , r. 2. ci = 0, i = r + 1, . . . , n và c = 0. Khi đó (2.6) có dạng II với các hệ số λi = ki , i = 1, 2, . . . , r. 3. r < n và tồn tại c 6= 0, i = r + 1, . . . , n, chẳng hạn cr+1 6= 0. Đặt: v uX u n 2 ci p=t cj , di = , i = r + 1, . . . , n. p j=r+1 Và thay vào (2.6) ta có: r X i=1 ki zi2 + 2p n X di zi + i=r+1 Trong đó các di thảo mãn điều kiện Pn c
=0 2p 2 i=r+1 di = 1. Bây giờ xét phép biến đổi mục tiêu có phương trình     Xi = zi , i = 1, 2, . . . , r    Pn c X = − d z − r+1 i i i=r+1 2p     P  Xj = nk=r+1 djk zk , j = r + 2, . . . , n Trong đó các djk được chọn sao cho ma trận của phép biến đổi là ma trận trực giao. Điều này có nghĩa là mục tiêu mới là một mục tiêu trực chuẩn. Khi đó phương trình của S đối với mục tiêu trực chuẩn mới là r X λi Xi2 = 2pXr+1 , λi = −ki , 1 ≤ r ≤ n. i=1 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Đây là phương trình dạng III. 2.1.3 Ví dụ Ví dụ 2.1.1. Tìm phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai S − − − trong E3 có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn {O; → e ,→ e ,→ e } 1 2 3 là: 2x21 + 2x22 + 3x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 − 4x1+ 6x2 − 2x3 + 3 = 0. Lời giải. Ma trận A của (S) trong mục tiêu đã cho là:   2 2 1     A=2 2 1   1 1 3 Đa thức đặc trưng của A là:    2−λ 2 1   |A − λI| =  2 2−λ 1    1 1 3−λ       = −λ(λ − 2)(λ − 5)    Vậy A có ba giá trị riêng là λ1 = 0, λ2 = 2 và λ3 = 5 Ứng với giá trị riêng λ1 = 0 ta có hệ phương trình:      2x1 + 2x2 + x3 = 0     x1 = −x2 2x1 + 2x2 + x3 = 0 ⇔    x3 = 0    x1 + x2 + 3x3 = 0 − Ta lấy một vectơ riêng là → u1 = (1, −1, 0) 14