Tài liệu Phương trình vi phân cấp một và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN    LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Giảng viên hướng dẫn : TS. Lê Hải Trung Sinh viên thực hiện : Tăng Thị Diễm Thuý Lớp : 18ST MSSV : 3110118038 ĐÀ NẴNG, ngày 29 tháng 12 năm 2021 LỜI CẢM ƠN Được sự đồng ý và phân công của Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, trong khoảng thời gian qua em đã thực hiện khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Phương trình vi phân cấp một và những vấn đề liên quan”. Để hoàn thành khoá luận, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán trong quá trình giảng dạy đã trang bị cho em nhiều kiến thức quý báu. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Hải Trung, thầy đã chỉ dẫn cho em tận tình, chu đáo để em có thể hoàn thành khoá luận tốt nghiệp. Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không khỏi tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong Khoa. Sinh viên Tăng Thị Diễm Thuý Trang 2 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ………………………………………………………………...…… 2 MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………...…… 5 1. Lí do chọn đề tài ………………………………………………………………… 5 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài ………………………………………………...... 5 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ….…………………………………….……… 5 3.1. Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………………….… 5 3.2. Phạm vi nghiên cứu …………….……………………………………………… 6 4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………………… 6 5. Đóng góp của đề tài ……………………………………………………………… 6 6. Cấu trúc của luận văn ……………………………………………………………. 6 Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT …………………………... 8 1.1. Sơ lược về phương trình vi phân …….………………………………………… 8 1.2. Những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp một ………………..… 11 1.2.1. Những khái niệm cơ bản ……………………………………………………. 11 1.2.2. Trường hướng ……………………………………………………………… 12 1.2.3. Bài toán Cauchy ……………………………………………………………. 13 1.3. Phân loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một ………………………… 14 1.4. Phương trình với biến số phân ly ……………………………………………... 15 1.5. Phương trình vi phân thuần nhất ……………………………………………… 17 1.6. Phương trình đưa về dạng thuần nhất ………………………………………… 19 1.7. Phương trình vi phân toàn phần ……………………………………………… 21 1.8. Thừa số tích phân …………………………………………………………….. 24 1.9. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một …………………………………….. 26 1.10. Phương trình Bernoulli ……………………………………………………… 28 1.11. Phương trình Darboux ………………….…………………………………… 30 1.12. Phương trình Riccati ………………………………………………………… 31 Trang 3 1.13. Phương trình dạng y  f ( y ') ………………………………………………. 32 1.14. Phương trình dạng x  f ( y ') ……………………………………………...… 34 1.15. Phương trình dạng y  f ( x, y ') …………………………………………...… 36 1.16. Phương trình dạng x  f ( y, y ') ……………………………………….…..… 37 1.17. Phương trình Lagrange …………………………………………………...…. 38 1.18. Phương trình Clairut (1713 – 1765) ……………………………………...….. 40 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNHG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT ………………………………………………………………… 43 2.1. Định luật làm mát Newton …………………………………………………… 43 2.2. Sự chuyển đổi các hoá chất đơn giản ………………………………………… 45 2.3. Tăng trưởng logistic và giá cả hàng hoá ……………………………………… 46 2.4. Sự phân rã phóng xạ …………………………….……………………………. 49 2.5. Sự phát triển của dịch bệnh …………………………………………………… 49 KẾT LUẬN ………………………………………………………………………. 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………….…… 53 Trang 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỷ XX, do sự phát triển của ngành Giải tích toán học. Với sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là giải tích hàm thì những bài toán trong thực tế cuộc sống được giải quyết nhanh gọn và chính xác. Ngành Giải tích toán học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân, … Mỗi lĩnh vực đều có tầm quan trọng riêng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó phương trình vi phân cấp một cũng đóng góp một vai trò đặc biệt và mang đến những ứng dụng tiêu biểu như: giải các bài toán phân huỷ chất phóng xạ, nghiên cứu sự phát triển dân số, nghiên cứu sự lây lan của dịch bệnh, ... Vì vậy, để tìm hiểu thêm về phương trình vi phân cấp một, em đã chọn đề tài: “Phương trình vi phân cấp một và một số vấn đề liên quan” để thực hiện khoá luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài - Tìm hiểu về các dạng của phương trình vi phân cấp một. - Ứng dụng phương trình vi phân để giải quyết một số vấn đề thực tế trong lĩnh vực Vật Lý, Hoá học, Kinh tế, … 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu về phương trình vi phân cấp một và một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp một. Trang 5 3.2. Phạm vi nghiên cứu Các dạng của phương trình vi phân cấp một và một số ứng dụng thực tiễn của phương trình vi phân cấp một trong lĩnh vực Vật lí, Hoá học, Kinh tế, … 4. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, các phương pháp nằm trong lĩnh vực sau đây: Toán học giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, … 5. Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy quan tâm phương trình vi phân cấp một và một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp một. 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm hai chương. Mở đầu Giới thiệu cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài, mục đích của đề tài, nội dung và một số vấn đề khác theo quy định. Chương 1: Phương trình vi phân cấp một Trình bày sơ lược về phương trình vi phân, các khái niệm cơ bản, các dạng của phương trình vi phân cấp một như: phương trình với biến số phân ly, phương trình vi phân thuần nhất, phương trình Bernoulli, … Trang 6 Chương 2: Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp một Trình bày về một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp một như: định luật làm mát Newton, sự chuyển đổi của một số hoá chất đơn giản, sự phân huỷ chất phóng xạ, sự phát triển của dịch bệnh. Kết luận Nêu tóm tắt những kết quả mà luận văn đã đạt được. Tài liệu tham khảo Trang 7 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1. Sơ lược về phương trình vi phân Trong thực tế, khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng tự nhiên và xã hội, thông thường ta không tìm ngay được mối liên hệ giữa các đại lượng đang xét, nhưng lại có thể thiết lập được mối liên hệ giữa các đại lượng ấy cùng với các đạo hàm hoặc vi phân của chúng. Như vậy ta nhận được các phương trình có chứa các hàm số chưa biết và các đạo hàm vi phân của chúng. Các phương trình đó là phương trình vi phân. Các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân gọi là nghiệm của phương trình vi phân. Việc tìm các nghiệm của phương trình vi phân gọi là giải phương trình vi phân (các nghiệm đó thường tìm được qua tích phân nên còn gọi là tích phân phương trình vi phân). Phương trình vi phân đơn giản nhất có dạng: y '  f ( x) trong đó f ( x) là một hàm số của biến số, x , y là hàm số chưa biết thỏa mãn phương trình. Sau đây là một số phương trình vi phân thường gặp, xuất phát từ các bài toán trong thực tế:  Phương trình chuyển động của chất điểm: ms ''(t )  F t , s(t ), s '(t ) ; Trong đó t là thời gian chuyển động, s(t ) là quãng đường đi được của chất điểm tại thời điểm t, m là khối lượng của chất điểm, s '(t ) là vận tốc của chuyển động, Trang 8 s ''(t ) là gia tốc của chuyển động, F là một hàm số của các biến số t , s, s ' biểu thị lực tác dụng. Đặc biệt, phương trình chuyển động của một vật rơi là s ''(t )   g ; trong đó  g là gia tốc trọng trường. Phương trình dao động tự do của con lắc: d 2 g  sin   0; dt 2 l Trong đó t là thời gian dao động, g là gia tốc trọng trường, l là độ dài của con lắc,  (t ) là góc lệch của con lắc tại thời điểm t so với phương thẳng đứng.  Phương trình điện lượng của một dòng điện mạch đơn: L Trong đó d 2Q dQ 1 R  Q  E (t ); 2 dt dt C t là thời gian, Q(t ) là điện lượng trong tụ điện tại thời điểm t , E (t ) là hiệu số điện thế của dòng điện, L là tụ cảm, R là điện trở, C là điện dung. Trang 9  Phương trình phân hủy của một chất phóng xạ: dR(t )  kR(t ); dt Trong đó t là thời gian , R (t ) là lượng chất phóng xạ tại thời điểm t , k là hệ số phóng xạ.  Phương trình truyền nhiệt trong một dây dẫn: u( x, t )  2u ( x, t ) 2 ; t x 2 Trong đó t là thời gian truyền nhiệt, x là vị trí của một điểm thuộc dây dẫn (đặt trên một trục số), u ( x, t ) là nhiệt độ của dây dẫn tại thời điểm t và vị trí x ,  là hệ số truyền nhiệt.  Phương trình truyền sóng (chẳng hạn trên một dây đàn) 2  2u ( x, t ) 2  u ( x, t )   ; t 2 x 2 Trong đó t là thời gian truyền sóng, x là vị trí của điểm nhận sóng truyền tới, u ( x, t ) là độ lệch của dây so với vị trí thăng bằng tại thời điểm t và tại vị trí x .  Phương trình thế năng  2 u ( x, y )  2 u ( x, y )   0; x 2 y 2 Trang 10 Trong đó ( x; y ) là tọa độ của điểm, u ( x, y ) là thế năng tại điểm đó. Trong các phương trình vi phân trên, hàm số cần tìm có thể phụ thuộc một biến số hay nhiều biến số. Nếu trong một phương trình vi phân, hàm số cần tìm là hàm số của một biến số độc lập thì phương trình đó gọi là phương trình vi phân thường. Còn nếu phương trình chứa hàm số cần tìm là hàm số của nhiều biến số độc lập thì gọi nó là phương trình đạo hàm riêng. Phương trình đạo hàm riêng (thường được gọi là phương trình toán lí) cũng đã phát triển thành một môn học riêng, không phụ thuộc phạm vi của khóa luận này. Phương trình vi phân có thể viết dưới dạng đạo hàm (như các phương trình trên) hoặc dưới dạng vi phân, ví dụ: ( x  y )dx  ( x  y )dy  0, hoặc xdx  ydy  z ( x, y )dz ( x, y )  0. Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm (hoặc vi phân) của hàm số chưa biết tham gia trong phương trình. Trong các ví dụ trên, ví dụ về phương trình phân hủy của chất phóng xạ là phương trình vi phân cấp một, các ví dụ còn lại đều là của phương trình vi phân cấp hai. 1.2. Những khái niệm cơ bản của phương trình vi phân cấp một 1.2.1. Những khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.2.1.1. Phương trình vi phân cấp một là một phương trình liên hệ giữa hàm số cần tìm và đạo hàm của nó với biến số độc lập của hàm số. Nó có dạng tổng quát: F ( x, y, y ')  0 (1.1) Trang 11 trong đó F là hàm số của ba biến số. Thông thường F được giả thiết liên tục. Đặc biệt hàm số đó có thể không phụ thuộc x hoặc y , nhưng nhất thiết phải chứa y ' . Nếu phương trình (1.1) xác định y ' như là hàm số ẩn của các biến số x , y thì nó có thể viết dưới dạng: y '  f ( x, y ) (1.2) và gọi là phương trình đã giải ra đạo hàm. Đặc biệt hàm số này có thể chỉ chứa một trong hai biến số x, y . Để đơn giản, trong các vấn đề lý thuyết, ta chỉ nói tới phương trình (1.2), nghiệm của phương trình vi phân (1.2) là một hàm số y  y ( x) có đạo hàm và thỏa mãn phương trình, tức là: y '( x)  f ( x, y ( x)) Thông thường, nghiệm của phương trình tìm được dưới dạng hàm số ẩn  ( x, y)  0 và gọi là tích phân của phương trình. 1.2.2. Trường hướng Định nghĩa 1.2.2.1. Giả sử hàm f ( x, y ) xác định và liên tục trong miền G của mặt phẳng Oxy . Qua điểm ( x0 , y0 ) thuộc G ta vẽ vectơ có độ dài bằng 1 và lập với chiều dương của trục hoành một góc  sao cho tan   f ( x0 , y0 ) . Làm như vậy đối với mọi điểm ( x, y ) thuộc G chúng ta sẽ nhận được một trường vectơ được gọi là trường hướng. Giả sử y  f ( x) là nghiệm của phương trình (1.2). Khi đó tập hợp những điểm  x, y( x)  sẽ tạo nên một đường cong mà ta gọi là đường cong tích phân của phương trình (1.2). Như vậy, tại mỗi điểm của đường cong tích phân, hướng tiếp tuyến với đường cong trùng với hướng vectơ của trường hướng tại điểm đó. Đường cong mà tại mỗi điểm của nó hướng trường không thay đổi được gọi là đường đẳng phục. Như vậy phương trình của đường đẳng phục có dạng Trang 12 f ( x, y )  k , k  const. Đường đẳng phục có thể là đường tích phân nhưng nói chung nó không trùng với đường cong tích phân. Ví dụ 1.2.2.1. Xét phương trình dy y  dx x ở đây các đường cong tích phân là nửa đường thẳng y  Cx  x  0  , x  0  y  0  C là số thực bất kỳ. Dễ thấy các đường cong tích phân ở đây cũng là đường đẳng phục. Hình 1 Hình 2 1.2.3. Bài toán Cauchy Như trên đã thấy, nghiệm của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc vào hằng số C tuỳ ý. Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất cả các nghiệm của phương trình mà chỉ chú ý đến những nghiệm y ( x) của phương trình F ( x, y, y ')  0 (1.1) hoặc y '  f ( x, y ) (1.2) thoả điều kiện y( x0 )  y0 (1.3) trong đó x0 , y0 là những giá trị cho trước. Trang 13 Bài toán đặt ra như vậy gọi là Bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện ban đầu; x0 , y0 là những giá trị ban đầu. Về phương diện hình học, bài toán Cauchy tương đương với việc tìm đường cong tích phân của phương trình đi qua điểm M  x0 , y0  cho trước. Bài toán Cauchy không phải bao giờ cũng có nghiệm. Sau này chúng ta sẽ thấy với những giả thiết nào thì nghiệm bài toán Cauchy cũng tồn tại và duy nhất. 1.3. Phân loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một Xét phương trình: với f liên tục trong miền D  2 y '  f ( x, y ), (1.4) y( x0 )  y0 , (1.5) . Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp một có thể tìm nghiệm y ( x) của (1.4) mà đồ thị của nó (còn gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân) đi qua điểm  x0 , y0  . Định nghĩa 1.3.1. Giả sử D  2 sao cho vế phải của (1.4) xác định và liên tục. Hàm số y  y  x, C  phụ thuộc liên tục vào hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát của (1.4) nếu: 1. Với mỗi điều kiện ban đầu  x0 , y0   D ta luôn tìm được C dưới dạng: C    x0 , y0  (1.6) trong đó  liên tục. 2. Hàm y  y  x, C  thoả mãn (1.4) với mỗi giá trị của C được xác định bởi (1.6) khi  x0 , y0  chạy khắp D . Trang 14 Ví dụ, phương trình y ' y  0 có nghiệm tổng quát là y( x)  Ce x với C là hằng số tuỳ ý. Nếu như ta cho tại x  0, y  2 ta nhận được y (0)  2  C , do đó y  2e x là một nghiệm của phương trình đã cho. Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm của (1.4) tại mỗi điểm  x0 , y0  của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy:  y '  f ( x, y),   y( x0 )  y0 , (1.7) được thoả mãn gọi là nghiệm riêng. Ngược lại, nghiệm của phương trình (1.4) mà tại mỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị vi phạm được gọi là nghiệm kỳ dị. Như vậy, nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số C không thể cho ta nghiệm kỳ dị. Nghiệm kỳ dị có thể nhận được từ nghiệm tổng quát chỉ khi C  C ( x) . Ngoài ra chúng ta còn có nghiệm hỗn hợp, tức là nghiệm bao gồm một phần nghiệm riêng và một phần nghiệm kỳ dị. 1.4. Phương trình với biến số phân ly Định nghĩa 1.4.1. Phương trình vi phân cấp một có dạng: M ( x)dx  N ( y )dy  0 (1.8) được gọi là phương trình với biến số phân ly (hay còn gọi là phương trình tách biến). Trong phương trình (1.8) các hàm số M ( x), N ( y ) được giả thiết là liên tục trên các khoảng nào đó. Khi đó chỉ cần tích phân hai vế của phương trên ta thu được:  M ( x)dx   N ( y)dy  C. Biểu thức cuối cùng chính là nghiệm cần tìm của phương trình đã cho. Trang 15 Ví dụ 1.4.1. Giải phương trình: xdx  sin ydy  0   xdx   sin ydy  C  x2  cos y  C. 2 Chú ý. Phương trình dạng M1 ( x) N1 ( y)dx  M 2 ( x) N2 ( y)dy  0, (1.9) cũng có thể đưa về dạng (1.8) bằng cách chia cả hai vế cho M 2 ( x) N1 ( y) (với giả thiết M 2 ( x) N1 ( y)  0 ), ta nhận được: M 1 ( x) N ( y) dx  2 dy  0. M 2 ( x) N1 ( y) Do đó tích phân tổng quát là: M 1 ( x) N ( y) dx   2 dy  C. N1 ( y) 2 ( x) M Ví dụ 1.4.2. Giải phương trình: y 2   1 xdx   x 2  1 dy  0 x 1 dx  2 dy  0 x 1 y 1  2 x 1 dx   2 dy  C x 1 y 1 2 1  ln x 2  1  arctan y  C. 2 Trang 16 Ví dụ 1.4.3. Giải phương trình xyy '  1  x2  xy dy  1  x2 dx  xydy  1  x 2  dx  ydy  1  x2 x   ydy    dx 1  x2 x dx  C y2 1      x  dx  C 2 x  y2 x2   ln | x |   C. 2 2 1.5. Phương trình vi phân thuần nhất Định nghĩa 1.5.1. Hàm số f ( x, y ) được gọi là thuần nhất bậc n , nếu với mọi t  0 , ta có: f  tx, ty   t n f ( x, y). Định nghĩa 1.5.2. Phương trình vi phân y '  f  x, y  được gọi là thuần nhất (hay còn gọi là đẳng cấp), nếu hàm số ở vế phải là thuần nhất bậc 0, tức là: f  tx, ty   f  x, y  . Trong phương trình vi phân thuần nhất ta đặt y  x.u ,ở đây u  u ( x) . Từ đây ta có y '  u  x.u '' hay: dy du ux dx dx Trang 17 Từ y  xu suy ra u  y , do đó f  x, y   x y  f  x, x   f 1, u   g  u  ( x đóng x  vai trò là t ). Đến đây ta nhận được phương trình : ux du  g (u ), dx hay: du dx .  g (u )  u x Tích phân hai vế phương trình cuối cho ta:  du   , C  0.  g (u )  u  x  C.exp   Ví dụ 1.5.1. Giải phương trình: y'  Đặt y yx e x y  u  y'  u'xu x  u ' x  u  u  eu  u ' x  eu  xdu  eu dx  1 1 u du  dx e x 1   eu du   dx  C x  eu  ln | x | C. Trang 18 Ví dụ 1.5.2. Giải phương trình:  x2  y2  y '  2xy.  Chia 2 vế cho x 2  1   y y2  2y  u  y'  u'xu Đặt y '  .  x x x2           1  u 2  u ' x  u   2u    1  u 2 xu ' 1  u 2 u  2u  1  u 2 xu '  u3  u    1  u 2 xdu  u3  u dx  1 u2 1 du   dx  C 2 x u u 1   1  u 2   2u 2   du  ln | x | C u  u 2  1 2u  1     2  du  ln | x | C  u u 1   ln | u |  ln u 2  1  ln | x | C  ln y y2  ln 2  1  ln | x | C. x x 1.6. Phương trình đưa về dạng thuần nhất Định nghĩa 1.6.1. Các phương trình dạng: dy  dx  ax  by  c    a1x  b1 y  c1  f  Trang 19 có thể đưa về dạng thuần nhất bằng phép biến đổi:   x    x0 ,    y    y0 , (1.10) trong đó  x0 , y0  được chọn sao cho: ax0  by0  c  0,  a1 x0  b1 y0  c1  0. (1.11) Từ (1.11) ta nhận được c  ax0  by0 , c1  a1x0  b1 y0 . Khi đó:   ab    d a  b   f    f  d  a b   a1  b1   1 1        g       là phương trình thuần nhất. Ví dụ 1.6.1. Giải phương trình: dy x  y  3 .  dx x  y  1 Hệ phương trình:  x0  y0  3  0,   x0  y0  1  0 có nghiệm  x0  2, y0  1 , do đó thực hiện phép biển đổi: x    2 , y    1 . Biến đổi phương trình đã cho về dạng thuần nhất:  d   . d 1    1 Trang 20