Tài liệu Phát triển năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học giải phương trình lượng giác – chương trình nâng cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ QUANG CHUNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Nhụy HÀ NỘI – 2013 1 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, tác giả đã hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình. Để có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực, tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu của bản thân, tác giả luôn nhận được sự ủng hộ, giúp đỡ nhiệt tình từ các thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp. Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi được học tập nghiên cứu trong suốt khóa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong nhà trường đã truyền thụ cho tôi vốn kiến thức vô cùng quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt đề tài và làm giàu thêm hành trang kiến thức trên con đường sự nghiệp của mình. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Nhụy người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Tác cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên và học sinh trường THPT Văn Giang – Hưng Yên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực nghiệm sư phạm. Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong được sự lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn. Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2013 Tác giả Lê Quang Chung 2 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ĐKXĐ: Đpcm: Nxb: Pt: SGK: THPT: tr: Điều kiện xác định Điều phải chứng minh Nhà xuất bản Phương trình Sách giáo khoa Trung học Phổ thông Trang 3 MỤC LỤC Lời cảm ơn ...................................................................................................... Danh mục các ký hiệu, chữ cái viết tắt ........................................................... Mục lục ........................................................................................................... Danh mục các bảng ......................................................................................... MỞ ĐẦU Trang i ii iii vii 1 Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN......................................... 5 1.1. Xung quanh khái niệm năng lực giải toán ............................................... 5 1.1.1. Nguồn gốc của năng lực ........................................................................ 5 1.1.2. Năng lực ................................................................................................ 5 1.1.2.1. Khái niệm về năng lực ....................................................................... 5 1.1.2.2. Năng lực toán học .............................................................................. 6 1.1.2.3. Năng lực giải toán .............................................................................. 7 1.2. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập ................................. 9 1.2.1. Vị trí vai trò của bài tập toán ................................................................. 9 1.2.2. Ý nghĩa .................................................................................................. 10 1.2.3. Chức năng ............................................................................................. 10 1.3. Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong môn Toán – (Chương trình nâng cao) ở trường THPT ....................................................... 1.3.1. Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương 11 trình toán 11 – Chương trình nâng cao ........................................................... 1.3.2. Mục tiêu của dạy học chủ đề Phương trình lượng giác – Chương trình 11 nâng cao lớp 11................................................................................................ 1.3.3. Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường 11 THPT ............................................................................................................... 1.4. Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya ................. 12 1.5. Tìm nhiều cách giải cho một bài Toán ..................................................... 15 12 1.6. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Phương trình lượng giác .................................................................................................................. Kết luận Chương 1 .......................................................................................... 17 24 Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG KẾT LUẬN SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH ................................ 2.1. Định hướng phân lớp và soạn thảo bài tập toán học chủ đề “Phương 4 25 25 tình lượng giác” ............................................................................................... 2.1.1. Cơ sở phân lớp ...................................................................................... 25 2.1.2. Soạn thảo hệ thống bài tập nội chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11 .......................................................................................................... 2.1.2.1. Nguyên tắc lựa chọn bài tập ............................................................... 25 2.1.2.2. Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập ................................................. 25 2.2. Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11 ................ 26 26 2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản ............................................................ sin x  a  a �� 2.2.1.1. Phương trình .......................................................... cos x  a  a �� 2.2.1.2. Phương trình ......................................................... tan x  a  a �� 2.2.1.3. Phương trình ....................................................... cot x  a  a �� 2.2.1.4. Phương trình ........................................................ 2.2.2. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản .................................... 2.2.2.1. Phương trình chứa một hàm số lượng giác của cùng một cung ......... 2.2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x ..................................... 2.2.2.3. Phương trình đẳng cấp theo sin và cosin của cùng một cung ..... 2.2.2.4. Phương trình đối xứng và gần đối xứng ........................................... 2.2.3. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác giải phương trình lượng 25 26 28 30 31 32 32 37 44 50 giác .................................................................................................................. 2.2.3.1. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa phương trình ban 59 đầu về phương trình lượng giác đơn giản ....................................................... 2.2.3.2. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa phương trình ban 65 đầu về phương trình dạng tích ......................................................................... 2.2.4. Sử dụng phép biến đổi đại số để giải phương trình lượng giác ............ 2.2.4.1. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ hằng đẳng thức 69 72 u 2  v2   u  v   u  v  ..................................................................................... 2.2.4.2. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ hằng đẳng thức 72 au  bv  ab  uv � (u  b)(v  a )  0 ............................................................. 2.2.4.3. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ định lý Viet .......... 2.2.5. Sử dụng phương pháp so sánh giải Phương trình lượng giác ............. 2.2.5.1. Phương pháp tổng hai số không âm .................................................. 2.2.5.2. Phương pháp phản chứng ................................................................... 2.2.5.3. Phương pháp đối lập ......................................................................... 2.2.6. Phương pháp xét biến thiên hàm số ...................................................... 2.2.7. Ứng dụng phương trình lượng giác vào giải phương trình và hệ 75 77 79 79 80 80 82 phương trình đại số ........................................................................................ 2.3. Những kết luận sư phạm về phát triển năng lực giải toán cho học sinh 83 85 5 thông qua giải bài tập về phương trình lượng giác ........................................ 2.3.1. Cách lựa chọn sử dụng các bài tập của các hệ thống trong quá trình dạy học ........................................................................................................... 2.3.2. Vai trò của giáo viên ............................................................................ 2.3.2.1. Vai trò hướng dẫn, đạo diễn của thầy, cô giáo ................................... 2.3.2.2. Vai trò khởi xướng, thiết kế và tổ chức của thầy, cô giáo ................. 2.3.2.3. Vai trò cố vấn, trọng tài khoa học của thầy, cô giáo .......................... 2.3.2.4. Vai trò người kiểm tra, đánh giá của thầy cô giáo ............................. 2.4.3. Vai trò của người học ............................................................................ 2.3.3.1. Người học với vai trò là chủ thể của hoạt động học, tự mình tìm ra 85 86 86 87 89 89 89 kiến thức cùng với cách tìm ra kiến thức bằng hoạt động của chính mình ..... 2.3.3.2. Người học tự thể hiện mình trong mối giao lưu, hợp tác với bạn và 89 học bạn ........................................................................................................... 2.3.3.3. Vai trò của người học trong mối quan hệ với thầy, cô ...................... 2.3.3.4. Vai trò tự kiểm tra đánh giá và điều chỉnh ......................................... Kết luận Chương 2 .......................................................................................... Chương 3 : TỔNG KẾT KINH NGHIỆM VÀ THỰC NGHIỆM SƯ 90 91 91 93 PHẠM ............................................................................................................ 3.1. Tổng kết kinh nghiệm ............................................................................ 3.1.1. Quá trình tích lũy để xây dựng hệ thống bài tập ................................... 3.1.2. Quá trình xây dựng và hoàn thiện hệ thống bài tập .............................. 3.1.3. Hiệu quả thực tế của việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh 94 94 94 96 thông qua hệ thông bài tập Phương trình lượng giác ..................................... 3.2. Thực nghiệm sư phạm .............................................................................. 3.2.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm ....................................... 3.2.2. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm ...................................................... 3.2.3. Kế hoạch thực nghiệm .......................................................................... 3.2.3.1. Thời gian thực nghiệm ....................................................................... 3.2.3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm ...................................................... 3.2.4. Kết quả dạy thực nghiệm ..................................................................... Kết luận Chương 3 ......................................................................................... KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 97 98 98 98 98 98 99 99 103 104 106 6 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra đề số 1 ............................................................. Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra đề số 2 ............................................................. MỞ ĐẦU 7 Trang 101 101 1. Lý do chọn đề tài Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa hiện đại hóa , để đạt được thành công thì yếu tố con người là quyết định. Do đó đất nước đang rất cần những người lao động tự chủ sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp qua đó góp phần thực hiện thắng lợi các mục tiêu đề ra. Luật Giáo dục của nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã ghi “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. (Chương I- điều 5) Với mục tiêu đó, trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi mới nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường Trung học Phổ thông, việc phát triển năng lực giải toán cho học học sinh có vai trò quan trọng vì đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu. Về nội dung môn Toán, trong hệ thống kiến thức đưa vào giảng dạy cho học sinh Trung học Phổ thông, kiến thức về lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng là một nhóm kiến thức cơ bản và quan trọng, điều đó đã và đang được thể hiện qua các kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng,... . Hệ thống bài tập về phương trình lượng giác rất phong phú và đa dạng, trong các kỳ thi chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều học sinh vì có nhiều công thức biến đổi lượng giác nên học sinh không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. Tuy nhiên, nếu học sinh hệ thống được các dạng bài tập phương trình lượng 8 giác và đề ra phương pháp giải cho từng lớp phương trình thì việc tìm ra lời giải của bài toán sẽ trở nên đơn giản, khi đó học sinh có hứng thú học tập, yêu thích say mê tìm tòi khám phá môn học. Năng lực giải toán chỉ có thể được hình thành và phát triển trong quá trình giải toán của học sinh. Giải bài tập toán là nội dung quan trọng trong học tập, do đó việc tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập có tác dụng khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, vừa có tác dụng rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận, năng lực tư duy lôgic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tư duy thuận nghịch, trí nhớ toán học, hình thành và giải quyết các vấn đề toán học trong các tình huống hoàn cảnh khác nhau,... Thông qua việc giải các bài tập toán giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng góp phần chuẩn bị có hiệu quả cho việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống của các em sau này. Sự say mê khoa học luôn bắt nguồn từ sự hiểu biết, phát triển năng lực giải toán và giúp học sinh hiểu biết hơn về Phương trình lượng giác là góp phần làm cho các em có sự say mê với môn Toán nói riêng và khoa học nói chung. Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực giải Toán cho học sinh Trung học Phổ thông thông qua dạy học giải Phương trình lượng giác lớp 11- Chương trình nâng cao ”. 2. Lịch sử nghiên cứu Qua tìm hiểu tôi thấy có một số đề tài nghiên cứu về rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, và một số đề tài nghiên cứu về xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình lượng giác nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu về xây dựng hệ thống bài tập và đề xướng các hướng giải cho từng loại bài tập, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh. 3. Mục tiêu nghiên cứu Phát triển năng lực giải toán cho học sinh Trung học Phổ thông thông qua dạy học giải Phương trình lượng giác. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 9 Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán, năng lực và năng lực giải toán. Xây dựng hệ thống bài tập về phương trình lượng giác nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Thực nghiệm sư phạm. 5. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các dạng bài toán giải Phương trình lượng giác - lớp 11 Trung học Phổ thông (Chương trình nâng cao). 6. Mẫu khảo sát Học sinh lớp 11D và 11E (học chương trình Toán nâng cao) của trường Trung học Phổ thông Văn Giang – Hưng Yên, năm học 2013 – 2014. 7. Vấn đề nghiên cứu Làm thế nào để phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Phương trình lượng giác. 8. Giả thuyết nghiên cứu Trong dạy học Phương trình lượng giác, nếu ta xây dựng được hệ thống bài tập và đề xướng các hướng giải cho từng loại bài tập, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm phù hợp sẽ phát triển được năng lực giải toán cho học sinh, giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, linh hoạt và nhạy bén hơn trong việc giải phương trình lượng giác, phát huy tính tích cực trong tiếp thu kiến thức mới, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường Trung học Phổ thông. 9. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo trình phương pháp giảng dạy toán, các sách tham khảo, các đề thi Đại học – Cao đẳng trong những năm gần đây, luận văn, luận án có liên quan đến chủ đề Phương trình lượng giác. Nghiên cứu thực tiễn Tổng kết thực tiễn dạy học, thực nghiệm sư phạm. 10. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 10 Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập Phương trình lượng giác và những kết luận sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh Chương 3: Tổng kết kinh nghiệm và Thực nghiệm sư phạm CHƯƠNG 1 11 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Xung quanh khái niệm năng lực giải toán 1.1.1. Nguồn gốc của năng lực Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỷ 19 đến nay về bản chất và nguồn gốc của năng lực, tài năng vẫn chưa kết thúc. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản về lý luận cũng như thực tiễn: Thứ nhất: Những yếu tố bẩm sinh di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền là tiền đề cho sự phát triển năng lực). Thứ hai: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Muốn một người của thế hệ sau được phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trường văn hóa xã hội. Con người khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được... Thứ ba: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và sản phẩm của hoạt động. Sống trong môi trường xã hội do các thế hệ trước tọa ra và chịu sự tác động của nó, trẻ em và người lớn thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thàn tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết quả “ vật chât ” mà còn tạo ra tiền đề cho hoạt động tiếp theo. Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bản chất phức tạp, xã hội, các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng. Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đưa học sinh vào các dạng hoạt động thích hợp. 1.1.2. Năng lực 1.1.2.1. Khái niệm về năng lực Theo nhà tâm lí học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì “ Năng lực được hiểu như là : Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”.[1, tr. 15] 12 Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương . Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực: - Năng lực là tổng hòa các kỹ năng kỹ xảo. - Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của các thành tựu đạt được của xã hội loài người. - Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử . Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong hoạt động nhất định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra. 1.1.2.2. Năng lực toán học Theo V.A.Cruchetxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải thích trên hai khía cạnh : - Các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới khách quan và quí giá. - Các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng. Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau. Cũng theo V.A.Cruchetxki thì cấu trúc năng lực toán học của học sinh có thể tóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu sau : - Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc của bài toán. - Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống ký kiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học. 13 - Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ toán học và các phép toán. - Năng lực rút gọn quy trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn. - Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học. - Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của lời giải bài toán. - Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quy trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo – trong suy luận toán học. - Trí nhớ toán học, tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm về loại, các sơ đồ suy luận và chứng minh, các phương pháp giải toán và các nguyên tắc đường lối giải toán. - Khuynh hướng toán học của trí tuệ. 1.1.2.3. Năng lực giải toán Năng lực giải bài tập toán học là một thể hiện của năng lực toán học. Đó là đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó. Năng lực giải bài tập toán học là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn vào hoạt động giải bài tập toán học. Tri thức toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựng bắt đầu từ hoạt động giải toán. Học sinh tự mình xây dựng các kiến thức toán học thông qua hoạt động giải các bài tập toán học. Quá trình học sinh xây dựng và chiếm lĩnh kiến thức toán học, hình thành nên năng lực giải bài tập toán học của mình. Theo Nguyễn Bá Kim : “Bài tập toán học là giá mang hoạt động học tập của học sinh ”. Giải bài tập toán là mục đích của việc dạy học toán. Bài tập còn là phương tiện để giáo viên cài đặt các nội dung cần dạy hoặc cần bổ sung cho phần lý thuyết. Nếu khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển năng lực giải toán của học sinh. Điều quan trọng trong dạy học giải bài tập toán cho học sinh là hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy 14 nghĩ, các hoạt động trí tuệ: tìm tòi, dự đoán, quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa,...Mặt khác, giáo viên cần xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải sử dụng một số quy tắc, phương pháp giải toán đã học. Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, trí nhớ toán học,...Năng lực giải toán của học sinh sẽ phát triển dưới tác động của các biện pháp “hoạt động hóa” người học. Năng lực giải bài tập toán học của học sinh được thể hiện qua các dấu hiệu sau: Thứ nhất, biết nhìn nhận, hiểu bài toán. Thứ hai, biết định hướng giải bài toán một cách rõ ràng. Thứ ba, biết trình bày lời giải bài toán một cách chính xác. Thứ tư, biết phân tích lời giải bài toán. Để có được năng lực giải bài tập toán học, học sinh cần được rèn luyện về các khả năng tư duy sau: tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tổng quát hóa, tư duy thuật giải, tư duy lo gic, tư duy phê phán, tư duy hội thoại có phê phán, tư duy hàm, tư duy sáng tạo,...Trong giải bài tập toán học, các loại hình tư duy đó được rèn luyện qua bốn bước giải toán của G.Polya: “Tìm hiểu bài toán, tìm hướng giải bài toán, trình bày lời giải bài toán, nghiên cứu sâu lời giải”. Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đế ban cho. Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, sự rèn luyện mà có. Quá trình học tập học sinh sẽ được bổ sung kiến thức, được trang bị các phương pháp từ đó năng lực giải toán được tăng lên. Một phần do học sinh có ý thức tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn và bồi dưỡng. Chính vì vậy chúng tôi rất đề cao các bài ôn tập, bởi chúng đã góp phần không nhỏ trong việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Tóm lại, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất là đưa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn. 15 Trong phạm vi Luận văn chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập về Phương trình lượng giác theo các dạng và theo các phương pháp giải khác nhau nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh. 1.2. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập G.Polya cho rằng: “ Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [13, tr. 82] Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT . 1.2.1. Vị trí và vai trò của bài tập toán Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “ Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học toán. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán”. [6, tr. 201] Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “ Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”. [6, tr. 388] Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí, vai trò quan trọng trong hoạt động dạy, học toán ở trường THPT. Vì thế, cần lựa chọn các bài tập sao cho 16 phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được năng lực giải toán của học sinh. 17 1.2.2. Ý nghĩa Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải toán có nhiều ý nghĩa: Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự mình tìm kiến thức mới. Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới. Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học. Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt. Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào mà thường bao hàm những ý nghĩa đã nêu. 1.2.3. Chức năng Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lý thuyết. Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết. Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúp học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và phương pháp tư duy; Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học. Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo. Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, 18 tương tự... Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo. Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học. Kiểm tra, đánh giá nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Về kiến thức, kỹ năng, năng lực giải toán... và hiệu quả dạy học của giáo viên. 1.3. Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong môn Toán – (Chương trình nâng cao) ở trường THPT 1.3.1. Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương trình Toán 11 – Chương trình nâng cao Chủ đề Phương trình lượng giác được giảng dạy trong 15 tiết của chương 1Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác. Có thể nói rằng chủ đề có yêu cầu nhẹ nhàng hơn so với trước đây, nhưng nội dung cơ bản không khác mấy. Điều đó được thể hiện cụ thể như sau: SGK không xét các phương trình lượng giác có chứa tham số. Điều này làm cho yêu cầu kiến thức và kỹ năng giải bài tập giảm nhẹ rất nhiều. Vì đa số các bài toán loại này thường dẫn đến phần biện luận khá phức tạp. SGK cũng không xét các phương trình cần đặt điều kiện liên quan đến bất phương trình lương giác, chẳng hạn như phương trình lượng giác có hàm số lượng giác trong dấu căn bậc hai. SGK chỉ yêu cầu học sinh hiểu, nhớ các phương pháp để vận dụng giải được các phương trình nêu trong bài học và những phương trình quy về các dạng đó. Không xét các phương trình yêu cầu giải quá phức tạp. 1.3.2. Mục tiêu của dạy học chủ đề Phương trình lượng giác – Chương trình nâng cao lớp 11 Về kiến thức: Học sinh cần Hiểu cách tìm nghiệm và nắm vững công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. Hiểu rõ và nắm vững dạng và phương pháp giải một số phương trình lượng giác đơn giản. Nắm vững cách giải một số phương trình lượng giác quy về các dạng đơn giản (có thể đòi hỏi vài điều kiện đơn giản). 19 Về kỹ năng: Giúp học sinh Giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản, biết biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác. Nhận biết và giải thành thạo các phương trình lượng giác đơn giản. Biết sử dụng các phương pháp biến đổi để giải phương trình lượng giác quy về dạng đơn giản. 1.3.3. Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường THPT Đây là lần đầu tiên học sinh làm quen với phương trình trình lượng giác. Khi dạy học sinh giáo viên cần lưu ý một số điểm sau: Cách viết nghiệm của phương trình và biểu diễn nó trên đường tròn lượng giác. Muốn có kỹ năng giải phương trình lượng giác học sinh phải có kỹ năng biến đổi lượng giác. Phần lớn các sai lầm mà học sinh mắc phải trong nội dung này là do đặt ĐKXĐ sai hoặc thiếu và khi so với ĐKXĐ lại so một cách không chính xác. 1.4. Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya Trong môn toán ở trường THPT có nhiều bài tập toán giải bằng thuật toán, cũng có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán, chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là người thầy cung cấp cho học sinh lời giải của bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng việc làm thế nào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi và phát hiện cách giải của bài toán. Dựa trên những tư tưởng tổng quát và gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán được tiến hành theo bốn bước sau: * Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Để giải bài toán trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó. Vì 20