Tài liệu Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về tích phân ở chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ~~~~~~*~~~~~~ Đề tài: Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về tích phân ở chương trình toán THPT. Giảng viên hướng dẫn : ThS.Ngô Thị Bích Thủy Sinh viên thực hiện : Lê Cao Tường Vy Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, cho phép tôi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 18ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này. Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 Sinh viên Lê Cao Tường Vy SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... 1 MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 5 1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 5 2. Mục đích nghiên cứu............................................................................... 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 5 4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 6 5. Bố cục khóa luận .................................................................................... 6 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................ 7 1.1 Nguyên hàm ............................................................................................ 7 1.1.1 Định nghĩa .......................................................................................... 7 1.1.2 Tính chất ............................................................................................. 7 1.1.3 Sự tồn tại của nguyên hàm ................................................................. 7 1.1.4 Bảng nguyên hàm ............................................................................... 7 1.1.5 Phương pháp tính nguyên hàm .......................................................... 8 1.2 Tích phân ................................................................................................ 9 1.2.1 Khái niệm tích phân ........................................................................... 9 1.2.2 Tính chất .......................................................................................... 11 1.2.3 Phương pháp tính tích phân ............................................................ 11 1.3 Ứng dụng của tích phân ........................................................................ 12 1.3.1 Diện tích hình phẳng ........................................................................ 12 1.3.2 Thể tích khối tròn xoay ..................................................................... 13 1.3.3 Bài toán chuyển động ....................................................................... 14 SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 2 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT. .. 15 2.1 Dạng 1. Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm.................................... 15 2.2 Dạng 2. Tích phân hàm hữu tỉ.............................................................. 18 2.3 Dạng 3. Tích phân đổi biến số .............................................................. 21 2.3.1 Tích phân đổi biến số dạng 1 ........................................................... 22 2.3.2 Tích phân đổi biến số dạng 2 ........................................................... 31 2.4 Dạng 4. Tích phân từng phần ............................................................... 33 2.4.1 Dùng tích phân từng phần với u – hàm đa thức, dv – lượng giác hoặc hàm mũ ................................................................................................. 34 2.4.2 Dùng tích phân từng phần với u – Hàm logarit, dv – hàm đa thức 37 2.4.3 Dùng tích phân từng phần với u – hàm lượng giác, dv – hàm mũ hoặc ngược lại............................................................................................... 39 b 2.5 Dạng 5. Tích phân chứa giá trị tuyệt đối  f ( x) dx .............................. 41 a 2.6 Dạng 6. Ứng dụng của tích phân.......................................................... 46 2.6.1 Diện tích hình phẳng ....................................................................... 46 2.6.2 Thể tích khối tròn xoay ..................................................................... 48 2.6.3 Bài toán chuyển động ....................................................................... 50 2.7 Dạng 7. Tích phân hàm ẩn .................................................................. 51 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 58 SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 3 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT MTCT: Máy tính cầm tay SGK: Sách giáo khoa SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đồi,... Toán học là nền tàng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Trong chương tình toán THPT,việc dạy học tích phân đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Đặc biệt, trong các năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia đã chuyển sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Làm thế nào để giúp các em giải nhanh các bài toán trắc nghiệm liên quan đến tích phân trong thời gian vài phút là vấn đề trăn trở? Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững chắc về bài toán trắc nghiệm liên quan đến tích phân cho bản thân nói riêng và sinh viên khoa toán sắp ra trường nói chung, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “ Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về tích phân ở chương trình toán THPT”. 2. Mục đích nghiên cứu Đưa ra một số phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm về tích phân trong chương trình THPT nhằm giúp học sinh lĩnh hội và sáng tạo khi học chương tích phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lí luận. - Nghiên cứu các phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm về tích phân. SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp 4. GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về tích phân nhằm hiểu rõ nội dung tích phân để từ đó rút ra được cách giải nhanh. - Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT dạy chương tích phân – Giải tích lớp 12 (SGK hiện hành) để tham khảo các kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán trắc nghiệm về tích phân. 5. Bố cục khóa luận Khóa luận gồm có 2 chương sau: Chương 1. Cơ sở lý luận 1.1 Nguyên hàm 1.2 Tích phân 1.3 Ứng dụng của tích phân Chương 2. Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về tích phân ở chương trình toán thpt. 2.1 Dạng 1. Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm 2.2 Dạng 2. Tích phân hàm hữu tỉ 2.3 Dạng 3. Tích phân đổi biến số 2.4 Dạng 4. Tích phân từng phần 2.5 Dạng 5. Tích phân chứa giá trị tuyệt đối 2.6 Dạng 6. Ứng dụng của tích phân 2.7 Dạng 7. Tích phân hàm ẩn SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 6 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Nguyên hàm 1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ( x) = f ( x) với mọi x  K . Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x) trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số. 1.1.2 Tính chất Tính chất 1:  f ( x)dx = f ( x) + C Tính chất 2:  kf ( x)dx = k  f ( x)dx Tính chất 3:   f ( x)  g ( x)  dx =  f ( x)dx   g ( x)dx 1.1.3 Sự tồn tại của nguyên hàm Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 1.1.4 Bảng nguyên hàm  kdx = kx + c   x dx = x +1 +c  +1 (  −1) 1  x dx = ln x + c SVTH: Lê Cao Tường Vy  +1 1 ( ax + b ) ax + b dx = ( )  a  +1  1 +c (  −1) 1  ax + b dx = a ln ax + b + c Trang 7 Khóa luận tốt nghiệp  e dx = e x x  a dx = x GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy +c e ax +c ln a ax +b 1 dx = eax+b + c a mx + n  a dx = a mx+n +c m.ln a  cos xdx = sin x + c  cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c  sinxdx = − cos x + c  sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c 1  cos 2 x 1  sin 2 x 1 1 1 1 dx = tan x + c  cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + c dx = − cot x + c  sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + c 2 1 1 2 1.1.5 Phương pháp tính nguyên hàm 1.1.5.1 Phương pháp đổi biến số Nếu  f (u)du = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì  f (u( x)) u( x)dx = F (u( x) ) + C Với u = ax + b ( a  0 ) , ta có  f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C 1 10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác nhau thường gặp ✓ Phép 1: Nếu xuất hiện căn thức thì đặt cả căn bằng t ✓ Phép 2: Nếu xuất hiện cụm sin xdx thì đặt cos x = t ✓ Phép 3: Nếu xuất hiện cụm 1 dx thì đặt tan x = t cos2 x ✓ Phép 4: Nếu xuất hiện cụm 1 dx thì đặt cot x = t sin 2 x ✓ Phép 5: Nếu xuất hiện cụm 1 thì đặt ln x = t x ✓ Phép 6: Nếu xuất hiện e x thì đặt e x = t SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 8 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy ✓ Phép 7: Nếu xuất hiện cụm ✓ Phép 8: Nếu xuất hiện cụm 1 dx thì đặt x = tan t x + a2 2 x 2 − a 2 thì đặt x = a sin t (dùng khi x có mũ chẵn) ✓ Phép 9: Nếu xuất hiện cụm a 2 − x 2 thì đặt x = a (dùng khi x có cos t mũ chẵn) ✓ Phép 10: Nếu xuất hiện biểu thức trong hàm ln,log, e,... thì đặt cả biểu thức là t 1.1.5.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u = u ( x) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì  u( x)v( x)dx = u( x)v( x) −  u( x)v( x)dx Vì v( x)dx = dv , u( x)dx = du , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng  udv = uv −  vdu 1.2 Tích phân 1.2.1 Khái niệm tích phân ✓ Định nghĩa hình thang cong Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn  a; b  . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong. ✓ Định nghĩa tích phân Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn  a; b  . SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 9 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác b định trên đoạn  a; b  ) của hàm số f ( x) , kí hiệu là a f ( x)dx . b Ta còn dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b) − F (a) . b Vậy a b f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) b Ta gọi a là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f ( x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f ( x) là hàm số dưới dấu tích phân. Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước a b a a f ( x)dx = 0 ; a f ( x)dx = −b f ( x)dx ✓ Nhận xét: b Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b a f ( x)dx hay a f (t )dt . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. ✓ Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f ( x) liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì tích phân b a f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f ( x) , trục Ox b và hai đường thẳng x = a, y = b. Vậy S =  f ( x)dx a SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy 1.2.2 Tính chất b b a a Tính chất 1:  kf ( x)dx = k  f ( x)dx , k là hằng số b b b a a a Tính chất 2:   f ( x)  g ( x)  dx =  f ( x)dx   g ( x)dx b Tính chất 3: c b (a  c  b) a f ( x)dx = a f ( x)dx + c f ( x)dx 1.2.3 Phương pháp tính tích phân 1.2.3.1 Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;   sao cho  ( ) = a ,  (  ) = b và a   (t )  b với mọi t   ;   . b Khi đó:  a f ( x)dx =  f ( (t ) ) (t )dt Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Để tính b  f ( x)dx , đôi khi ta a chọn hàm số u = u ( x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn  a; b  , u ( x) có đạo hàm liên tục và u ( x)   ;   . Giả sử có thể viết f ( x) = ( u ( x) ) u( x), x   a; b  Với g (u ) liên tục trên đoạn  ;   . Khi đó ta có b u (b )  f ( x)dx =  a g (u )du u(a) 1.2.3.2 Phương pháp tính tích phân từng phần SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 11 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì b b  u ( x)v( x)dx = (u ( x)v( x) ) −  u( x)v( x)dx b a a b a b Hay  udv = uv a −  vdu a b a Đặt u theo quy tắc: “Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ” 1.3 Ứng dụng của tích phân 1.3.1 Diện tích hình phẳng Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình thang cong giới b hạn bởi các đường thẳng y = f ( x) , x = a , y = b và trục hoành là S =  f ( x ) dx . a Phương pháp ▪ Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x) trên đoạn  a; b  . b ▪ Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân S =  f ( x ) dx . a Trường hợp 1 Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình phẳng b giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = g ( x) , x = a , y = b là S =  f ( x) − g ( x) dx . a ▪ Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x) − g ( x) trên đoạn  a; b  . b ▪ Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tinh tích phân S =  f ( x) − g ( x) dx . a Trường hợp 2 SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình phẳng  giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = g ( x) là S =  f ( x) − g ( x) dx . Trong đó  ,   là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f ( x) = g ( x) (a      b) . ▪ Bước 1. Giải phương trình f ( x) = g ( x) . ▪ Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x) − g ( x) trên đoạn  ;   .  ▪ Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân   f ( x) − g ( x) dx . Chú ý: Nếu trong đoạn  ;   phương trình f ( x) = g ( x) không còn nghiệm  nào nữa thì ta có thể dùng công thức   f ( x) − g ( x) dx =    f ( x) − g ( x) dx .  1.3.2 Thể tích khối tròn xoay Công thức tính thể tích vật thể dựa vào diện tích mặt cắt b V =  S ( x)dx a Trong đó S ( x) là diện tích của thiết diện được tạo ra bởi vật thể và mặt phẳng vuông góc với Ox , cắt Ox tại x. Các công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay Trường hợp 1: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x)  0, x   a; b  y = 0, x = a và x = b(a  b) quay quanh trục Ox là b V =   f 2 ( x)dx a Trường hợp 2: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = g ( x)  0 y  c; d  x = 0, y = c và y = d quay quanh trục Oy là d V =   g 2 ( x)dx . c SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 13 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy Trường hợp 3: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = g ( x) , x = a và x = b ( a  b, f ( x)  0, g ( x)  0x   a; b ) quay b quanh trục Ox là V =   f 2 ( x) − g 2 ( x) dx . a Trường hợp 4: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f ( y ) , x = g ( y ) và y = c , y = d ( c  d , f ( y )  0, g ( y )  0y  c; d ) quay d quanh trục Oy là V =   f 2 ( y ) − g 2 ( y ) dy c 1.3.3 Bài toán chuyển động f ( x ) đặc trưng cho tốc độ thay đổi của đại lượng f ( x) theo biến số x. b Khi đó f (b) = f (a) +  f ( x)dx a t2 Bài toán chuyển động: s (t2 ) = s (t1 ) +  v(t )dt t1 (Lưu ý: s(t ) =  v(t )dt , v(t ) =  a(t )dt ) với s (t ), v(t ), a (t ) lần lượt là quãng đường, vận tốc, gia tốc của chuyển động tại thời điểm t. t2 Bài toán sinh học: N (t2 ) = N (t1 ) +  N (t )dt , trong đó N (t ), N (t ) lần lượt là t1 số lượng cá thể và tốc độ sinh sôi của chúng tại thời điểm t. SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 14 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT. 2.1 Dạng 1. Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm Kiến thức nền tảng: Xem lại bảng nguyên hàm Phương pháp tính nhanh: Đối với các câu hỏi trắc nghiệm áp dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân thường là những câu hỏi đơn giản, có thể dùng MTCT để tính nhanh. Ta dùng lệnh Nếu câu hỏi trắc nghiệm được thêm các tham số a, b, c ,.. vào nhằm hạn chế MTCT thì chúng ta có thể mũ hóa, hệ phương trình, dò nghiệm,.. 5 Ví dụ 1: Tích phân  ( 3x − 4 ) 4 dx có kết quả là: 2 A. 89720 27 B. 18927 20 C. 960025 18 D. 53672 5 Trả lời Cách 1 (Cách giải thông thường)  ( ax + b )  1 ( ax + b ) dx = a  +1  +1 SVTH: Lê Cao Tường Vy +c (  −1) Cách 2 (Tính nhanh bằng MTCT) Nhập hàm ( 3x − 4 ) và các cận 2 và 4 5 vào MTCT Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy 5  1 ( 3 x − 4 )5  Ta có  ( 3x − 4 ) dx =  .    3 5 2  2 5 4 Rồi nhắn nút 161051 32 53673 = − = 15 15 5 ta được ngay kết quả tính tích phân. Đáp án: D So sánh kết quả với đáp án A, B, C, D. Ta thấy đáp án D là đáp án đúng.  4 Ví dụ 2: Tích phân  cos 2xdx bằng 0 A.1 B. 1 2 C.2 D.0 Trả lời Cách 1 (Cách giải thông thường)   4 1 1  1 cos 2 xdx = sin 2 x = sin − sin 0 0 2 2 2 2 0 4 = 1 2 Đáp án B. Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT) Vì bài toán liên quan đến đại lượng  nên ta chuyển MT về chế độ Radian. SHIFT – MODE – 4 Nhập hàm cos 2x và các cận 0 và  4 vào MTCT Rồi nhắn nút ta được ngay kết quả tính tích phân. SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 16 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy So sánh kết quả với đáp án A, B, C, D. Ta thấy đáp án B là đáp án đúng. m Ví dụ 3: Xác định số thực dương m để tích phân  ( x − x 2 ) dx đạt giá trị lớn nhất. 0 B. m = 2 A. m = 1 C. m = 3 D. m = 4 Trả lời Cách 1 (Cách giải thông thường) Nhập hàm và các cận 0 và cận m vào m  x 2 x3  P =  ( x − x ) dx =  −   2 3 0 0 m Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT) 2 MTCT. m 2 m3 = − 2 3 Đặt f (m) = m 2 m3 −  f (m) = m − m 2 2 3  f (m) = 0  m = 0 hoặc m = 1 án bằng cách bấm CALC, nhập từng Lập bảng biến thiên m 0 f ( m) giá trị m vào. Giá trị m nào cho ra đáp + 1 + 0 − − Vậy f (m) đạt GTLN tại m = 1 án lớn nhất thì chọn giá trị m đó. Sau khi thử 4 lần thì m = 1 là đáp án đúng. 1 6 f ( m) Ta sẽ thử từng giá trị m của các đáp − Đáp án A. Đáp án A SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy Dạng 2. Tích phân hàm hữu tỉ 2.2 Kiến thức nền tảng: Nếu hàm hữu tỉ dạng I =  P( x) dx : trong đó ax 2 + bx + c = 0 có ax + bx + c 2 nghiệm kép. ▪ Bước 1: Lấy tử số chia mẫu số ( P ( x) nếu bậc của lớn hoặc bằng 2). Tách tích phân giả sử được I =  Q( x)dx +  Ax + B Ax + B dx =  Q( x)dx +  dx 2 ax + bx + c ( x +  ) 2 ▪ Bước 2: Đưa biểu thức ( x +  ) lên tử số và thêm bớt hệ số. Tách tích phân sẽ được tích phân có nguyên hàm cơ bản. Nếu hàm hữu tỉ I =  P( x) dx : trong đó P ( x) là một đa thức và ax + bx + c 2 ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. ▪ Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu số và đưa về tích: ax 2 + bx + c = ( x − x1 )( x − x2 )  TS TS  1 ▪ Bước 2: Tách theo quy tắc. I =   −  . dx  MN ML   Trong đó: TS: Tử số - MN mẫu nhỏ - ML mẫu lớn  = Hệ số tự do ML – hệ số tự do mẫu nhỏ Phương pháp tính nhanh: dùng máy tính CASIO. 2  1  Ví dụ 1: Tích phân I =   2 + 2 x  dx có giá trị là x  1 A. 5 2 B. 7 2 SVTH: Lê Cao Tường Vy C. 9 2 D. 11 2 Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Ngô Thị Bích Thủy Trả lời Cách 1 (Cách giải thông thường) Tích phân có giá trị là: Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT)  1 2 7  1   1  I =   2 + 2 x  dx =  − 2 + x 2  = x   x 1 2 1 2  Nhập hàm  2 + 2x  và các cận 1 và x  cận 2 vào MTCT. Đáp án B. Đáp án B. a2 x2 + 2 x + 2 Ví dụ 2 : Giá trị của a để tích phân  + a + ln 3 là: dx có giá trị 2 x +1 0 a A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 Trả lời Cách 1 (Cách giải thông thường) x2 + 2x + 2 1   0 x + 1 dx = 0  x + 1 + x + 1  dx a a a 0 0 1 dx x +1 a  x2  a =  + x  + ln ( x + 1) 0  2 0 a2 = + a + ln ( a + 1) 2 2 2 a a + a + ln ( a + 1) = + a + ln 3 2 2  ln ( a + 1) = ln 3  a = 2 Đáp án D. SVTH: Lê Cao Tường Vy x2 + 2 x + 2 a2 dx = + a + ln 3 nên 0 x + 1 2 a a =  ( x + 1) dx +  Ta có Cách 2 (tính nhanh bằng MTCT) Vì hiệu của chúng sẽ bằng 0 Ta nhập hàm  a2  x2 + 2x + 2 dx −  + a + ln 3  vào 0 x + 1  2  a máy. Ta thử từng giá trị a vào. Nếu kết quả bằng 0 thì đúng. Ở đây, sau khi thử 4 đáp án thì chỉ cỏ đáp án D là có kết quả hiện ra bằng 0. Nên đáp án D đúng. Trang 19