Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên LỜI MỞ ĐẦU Xác Suất Thống Kê là lĩnh vực Toán học ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình Xác Suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong Khoa Học Tự Nhiên cũng như Khoa Học Xã Hội. Trong luận văn này, nghiên cứu về khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên. Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với các quá trình ngẫu nhiên khác. Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, sinh học, cơ học, khoa học trái đất, kinh tế … Luận văn này gồm 3 chương : Chương 1 : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “ Trong chương này nghiên cứu và nhắc lại kiến thức cơ bản cần cho luận văn này, cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như được mở đầu bằng việc giới thiệu không gian Hilbert gồm các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với vô hướng là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính và lập phương trình dự đoán, tiếp theo nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện và chứng tỏ rằng kỳ vọng có điều kiện là dự đoán tốt nhất. Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên cũng được nghiên cứu trong chương này. Ngoài ra còn nghiên cứu quá trình Wiener và tích phân Ito là hai khái niệm quan trọng khi nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên. Đây là những khái niệm cơ bản và là cơ sở để nghiên cứu những vấn đề tiếp theo. Chương 2 : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE “ 2 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Chương này nghiên cứu các định nghĩa, các tính chất và bổ đề của đa thức Hermite và tính chất của khai triển Fourier – Hermite. Một vài bổ đề ứng dụng được chứng minh trong chương này là công cụ chính để ta sử dụng tiếp cho chương sau. Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ” Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Sau đó mở rộng khái niệm là xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử dụng chúng để thu được tập trực chuẩn đầy đủ trong L2 ( R ) và L2 ( R n ) . Cuối cùng nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. 3 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ………………………………………………………………. 1 Lời nói đầu ………………………………………………………………. 2 Mục lục …………………………………………………………………... 4 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN………………………. 7 §1.1 Không gian L2 (Ω , F , P) …………………………………….. 7 1.1.1 Biến ngẫu nhiên ……………………………………… 7 1.1.2 Định nghĩa …………………………………………… 7 1.1.3 Định nghĩa ………………………………………….... 8 1.1.4 Tính chất ……………………………………………… 9 1.1.5 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) 9 1.1.6 Tính chất của phép chiếu ………………………………... 12 1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2………………………… 12 1.1.8 Phương trình dự đoán ………………………………… . 13 1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện và dự đoán tốt nhất trong L2……… 14 §1.2 Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên ………………….16 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng tổng các hàm ngẫu nhiên cơ bản……………………………………………… 16 1.2.2 Khai triển chính tắc quá trình ngẫu nhiên ……………… 18 1.2.3 Đưa quá trình ngẫu nhiên về dạng chính tắc…………… 20 1.2.4 Mốt số khai triển chính tắc đặc biệt…………………… 22 §1.3 Cơ sở trực giao và trực chuẩn trong không gian Hilbert………… 25 4 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa (Trực giao và trực chuẩn) ………………25 1.3.2 Định nghĩa ( Cơ sở ) …………………………………… 25 1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao và trực chuẩn ) ………… 26 1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) ………………………26 §1.4 Quá trình Wiener ……………………………………… 27 1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener )………………………… 27 1.4.2 Các tính chất quá trình Wiener và độ đo …………………27 1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều ……………………………… 37 §1.5 Tích phân Ito … ……………………………………………… 39 1.5.1 Định nghĩa ……………………………………………….. 39 1.5.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito …………………… 40 1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều ……………………………… 43 1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên của hàm hợp, công thức Ito …......... 44 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 Đa thức Hermite …………………………………………………..48 2.1.1 Định nghĩa ………………………………………………..48 2.1.2 Liên hệ giữa đa thức trực giao và đa thức Hermite ………49 2.1.3 Đạo hàm của đa thức Hermite ……………………………50 2.1.4 Các bổ đề của đa thức Hermite ………………………… 53 §2.2 Khai triển Fourier – Hermite của hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57 2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite …………………………57 2.2.2 Tính chất ……………………………………………… CHƯƠNG 3 §3.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE… 58 60 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite……………… 60 3.1.1 Định nghĩa ………………………………………………..60 5 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 3.1.2 Các ví dụ ………………………………………………… 60 §3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ trong L2 ( R ) và L2 ( R n ) …………… ... 62 3.2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 62 3.2.2 Các tính chất …………………………………………… 62 3.2.3 Định nghĩa ………………………………………………. 64 3.2.4 Tính chất ………………………………………………… 65 §3.3 Một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên ………………………… 66 3.3.1 Định nghĩa ………………………………………………..66 3.3.2 Định lý ……………………………………………………67 3.3.3 Bổ đề …………………………………………………… 67 3.3.4 Hệ quả …………………………………………………… 69 3.3.5 Các tính chất của quá trình dạng Hermite……………… 70 KẾT LUẬN …………………………………………………… 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….. 75 6 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.1 KHÔNG GIAN L2 (Ω , F , P) Phần này giới thiệu không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L2( Ω, F , P ) 1.1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả của thí nghiệm . Ta định nghĩa chính xác biến ngẫu nhiên là : Xét phép thử ngẫu nhiên với tập Ω và σ - đại số F các biến cố Biến ngẫu nhiên là ánh xạ X : Ω → R = ( −∞, + ∞ ) sao cho: ( X (τ ) ≤ x ) ={ τ ∈Ω \ X (τ ) ≤ x }∈ F, ∀x ∈ R hoặc : X −1 ( B ) = {τ ∈Ω \ X (τ )∈ B} ∈ F , ∀B ∈ B với B là tập các tập Borel trong R . Ta chỉ xét những tập B sao cho X −1 ( B ) là biến cố, tức ∈ F, khi đó lớp tất cả các biến cố X −1 ( B ) là lớp biến cố cảm sinh bởi biến số ngẫu nhiên X (τ ) . 1.1.2 ĐỊNH NGHĨA Ta xét không gian xác suất ( Ω, F , P ) và lớp các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích được định nghĩa trên Ω và thỏa mãn điều kiện : 7 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài EX 2 = ∫X 2 (τ ) P(dτ ) < ∞ Ω Khi đó, ta có : E ( cX ) = c 2 EX 2 , 2 ∀c ∈ R, ∀X ∈ ξ Mặt khác: (X +Y) 2 ≤ 2 X 2 + 2Y 2 < ∞ Nên , ta cũng có : E ( X + Y ) ≤ 2 EX 2 + 2 EY 2 < ∞, ∀ X , Y ∈ ξ 2 Kí hiệu L2 ( Ω, F , P ) là không gian Hilbert các đại lượng ngẫu nhiên X sao cho EX 2 < ∞ . Với hai phần tử X , Y ta định nghĩa tích vô hướng trong L2 ( Ω, F , P ) là < X , Y > : = E ( X .Y ) = ∫ X (τ ) Y (τ ) P( dτ ) . (1.1) Ω Không gian L2 (Ω, F , P) là tập các lớp tương đương với tích vô hướng được định nghĩa theo công thức (1.1), mặt khác vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phần tử bất kì nào đó của lớp làm đại diện nên ta vẫn dùng kí hiệu X, Y để chỉ các phần tử của L2 ( Ω, F , P ) , ta có thể dùng ngắn gọn L2 và vẫn gọi đó là những biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và ta chú ý rằng nếu chỉ có X thì hiểu rằng X là đại diện cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên tương đương với X. 1.1.3 ĐỊNH NGHĨA 2 L Sự hội tụ trong L2 là sự hội tụ bình phương trung bình viết là X n ⎯⎯ →X nghĩa là, dãy các phần tử { X n } , { X n } ∈ L2 được gọi là hội tụ đến X nếu và chỉ nếu : 8 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài Xn − X 2 : = E Xn − X 2 →0 khi n → ∞ Để xây dựng tính đầy của L2 là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng tính đầy của L2 nghĩa là nếu X m − X n 2 → 0 khi m, n → ∞ thì tồn tại X ∈ L2 sao 2 L cho: X n ⎯⎯ →X Ta xét tính chất : 1.1.4 TÍNH CHẤT X n +1 − X n ≤ 2− n ; n = 1, 2, 3… thì tồn tại một biến Nếu X n ∈ L2 và 2 L ngẫu nhiên X trên (Ω, F , P ) sao cho X n ⎯⎯ →X . Chứng minh: Chọn X 0 = 0 Đặt Xn : = ∞ ∑ j =1 X j − X j −1 , khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schward, ta có : < X ,Y > ≤ X . Y ∞ E ( ∑ X j − X j −1 ) = j =1 n Từ đó, suy ra tồn tại lim ∑ n →∞ j =1 ∞ ∑ j =1 ∞ E X j − X j −1 ≤ ∑ j =1 X j − X j −1 ≤ ∞ ∑ 2− j < ∞ j =1 X j − X j −1 và giới hạn đó hữu hạn. Như thế n lim ∑ ( X j − X j −1 ) = lim X n tồn tại. n →∞ n →∞ j =1 1.1.5 ĐỊNH LÝ (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) Nếu A là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x ∈ H thì: a) Tồn tại duy nhất một phần tử x ' ∈ A sao cho x − x ' = inf x − y y∈A 9 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài nếu và chỉ nếu x ' ∈ A và ( x − x ' ) ∈ A⊥ b) x ' ∈ A và x − x ' = inf x − y y∈ A x’ được gọi là chiếu (trực giao) của x lên A, viết là x ' : = PA x Định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao. Chứng minh: a) Nếu d : = inf x − y 2 y∈A thì tồn tại một dãy { yn } , yn ∈ A sao cho yn − x 2 → 0 . Hơn nữa, với k, l bất kì thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có : k −l Do đó, xét ym − x ∈ A, 2 + k+l 2 = 2 ⎡⎣ k 2 + l 2 ⎤⎦ yn − x ∈ A Ta có: 2 ym − x + yn − x + ym − x + x − yn 2 = 2 ⎡ ym − x + ⎣ 2 yn − x ⎤ ⎦ 2 tức là: 2 ym + yn − 2 x + y m − yn 2 = 2 ⎡ ym − x ⎣ 2 2 + yn − x ⎤ ⎦ Mặt khác, vì: ( ym − yn ) ∈ A, 2 0 ≤ ym − yn 2 ⎛ y − yn ⎞ = −4 ⎜ m ⎟− x ⎝ 2 ⎠ ≤ − 4 d + 2 ( ym − x 2 + yn − x 2 2 +2 )→0 ( ym − x 2 + yn − x 2 ) khi m, n → ∞ 10 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài Từ đó theo tiêu chuẩn Cauchy, ∃ x' ∈ H sao cho yn − x ' → 0 và vì A đóng nên x' ∈ A và vì tính liên tục của tích vô hướng nên : 2 x − x' 2 = lim x − yn n →∞ =d Để chứng minh tính duy nhất của x’ ta giả sử có y ' ∈ A sao cho: 2 x − y' 2 = x − x' =d khi đó dùng tính chất hình bình hành ta có : 2 0 ≤ x '− y ' ⎛ x' + y'⎞ ⎟− x = −4 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ + 2⎜ x ' − x ⎝ 2 2 + y '− x ⎞ ⎟ ⎠ ≤ −4 d + 4d = 0 ⇒ y' = x' b) Nếu x ' ∈ A và ( x − x ') ∈ A⊥ thì x’ là phần tử duy nhất của A được định nghĩa trong a) vì với bất kỳ y ∈ A có : 2 x− y = x − x ' + x ' − y, x − x ' + x ' − y 2 2 = x − x ' + x '− y 2 ≥ x − x' dấu “ = “ đạt được khi và chỉ khi y = x ' . Ngược lại, nếu x ' ∈ A và ( x − x ') ∉ A⊥ thì x không là phần tử của A và có phần tử x’’ : 11 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài ay y 2 x '' = x ' + với x’’ gần x’ hơn x, với y là phần tử bất kỳ của A sao cho: < x − x '', y > ≠ 0 và a = < x − x ', y > Thật vậy, 2 x − x '' = < x − x ' + x ' − x '', x − x ' + x ' − x '' > = x−x ' 2 a − y a 2 = x− x' − y 2 2 + 2 < x − x ' , x ' − x '' > 2 2 ≤ x− x' 2 1.1.6 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU i) ii) PA (α x + β y ) = α PA x + β PA y . x 2 = PA x 2 + ( I − PA ) x 2 trong đó I là phép đồng nhất. iii) ∀x ∈ H tồn tại duy nhất một biểu diễn: x = PA x + ( I − PA ) x PA x ∈ Ai ; ( I − PA ) x ∈ A⊥ iv) PA xn → PA x khi và chỉ khi xn − x → 0 v) x ∈ A khi và chỉ khi PA x = x . vi) x ∈ A⊥ nếu và chỉ nếu PA x = 0 . vii) A1 ⊆ A2 nếu và chỉ nếu PA1 PA 2 x = PA1 x, ∀x ∈ H . 1.1.7 PHÉP XẤP XỈ TUYẾN TÍNH TRONG L2 12 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài Giả sử X1, X2 và Y là những biến ngẫu nhiên trong L2, nếu chỉ có thể quan sát được X1, X2 mà ta ước lượng giá trị của Y bằng cách dùng tổ hợp tuyến tính: Y ' = α1 X 1 + α 2 X 2 , α1 , α 2 ∈ R sao cho sai sót M dưới đây có trung bình bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là sao cho: M : = E Y − Y ' = E Y − ( α 1 X 1 + α 2 X 2 ) = Y − α1 X 1 − α 2 X 2 2 2 2 ÷ min Ta có thể viết : M = EY 2 + α12 EX 12 + α 22 EX 2 2 − 2α1 E (YX 1 ) − 2α 2 E (YX 2 ) + α1α 2 E ( X 1 X 2 ) . Lấy đạo hàm riêng của M lần lượt đối với α1 , α 2 , dẫn đến hệ phương trình cho nghiệm tối ưu α1 , α 2 ⎧⎪α1 E ( X 12 ) + α 2 E ( X 1 X 2 ) = E (YX 1 ) ⎨ 2 ⎪⎩α1 E ( X 2 X 1 ) + α 2 E ( X 2 ) = E ( YX 2 ) (1.4) Ngoài ra, ta có thể dùng định lý hình chiếu trong không gian Hilbert L2 . Ta đặt vấn đề tìm phần tử Y’ trong tập đóng A : A : = { X ∈ L2 \ X : = a1 X 1 + a2 X 2 } với a1 , a2 ∈ R , sao cho : Y − Y ' = inf X∈ A X −Y với X ∈ A . Như vậy, theo định lí chiếu trong không gian Hilbert Y ' ∈ A và Y’ thỏa điều kiện trên khi và chỉ khi Y ' ∈ A và Y − Y ' ∈ A⊥ và do đó < Y − α1 X 1 − α 2 X 2 , X > = 0 , tức là : ⎧ < Y − α1 X 1 − α 2 X 2 , X 1 > = 0 ⎨ ⎩ < Y − α1 X 1 − α 2 X 2 , X 2 > = 0 Áp dụng tính chất của tích vô hướng đã định nghĩa ở trên ta suy ra (1.4). 1.1.8 PHƯƠNG TRÌNH DỰ ĐOÁN 13 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài Cho không gian Hilbert L2 , một tập con đóng A ⊆ L2 và một phần tử X ∈ L2 , định lý chiếu trong không gian Hilbert khẳng định rằng tồn tại duy nhất một phần tử X ' ∈ A sao cho: < X − X ', Y > = 0, ∀Y ∈ A (1.5) Phương trình (1.5 ) gọi là phương trình dự đoán và phần tử X ' : = PA X là dự đoán tốt nhất của X trong A. Hay ta có thể nói dự đoán tốt nhất của X trong A là chiếu của X trong A. 1.1.9 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ DỰ ĐOÁN TỐT NHẤT TRONG L2 2 L Như ta đã nói ở trên, nếu X n ∈ L2 , X ∈ L2 thì X n ⎯⎯ → X khi và chỉ khi: Xn − X ™ 2 = E Xn − X 2 → 0 khi n →∞ Một số tính chất của sự hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình 2 L Nếu X n ⎯⎯ → X thì khi n →∞ i) 2 L EX n = < X n ,1 > ⎯⎯ →< X ,1 > = EX 2 2 L ii) E X n = < X n , X n > ⎯⎯ →< X , X > = E X 2 L iii) E ( X n , Yn ) = < X n , Yn > ⎯⎯ →< X , Y > = E < X , Y > 2 ™ Định nghĩa 1: ( Dự đoán bình phương trung bình tốt nhất của Y) Nếu A là một không gian con đóng của L2 thì dự đoán bình phương tốt nhất của Y trong A được định nghĩa là phần tử Y ' ∈ A sao cho : Y − Y' ™ 2 2 : = inf Y − Z = inf E Y − Z Z ∈A 2 Z ∈A Định nghĩa 2: ( Kỳ vọng có điều kiện E A X ) 14 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài Nếu A là một không gian con đóng trong L2 và chứa các hàm hằng, nếu X ∈ L2 thì ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của X với A cho trước là phép E A X = PA X chiếu Mặt khác, vì toán tử E A X là toán tử chiếu trên L2 nên E A có các tính chất phép chiếu : i) E A ( aX + bY ) = a E A X + b E AY , a, b∈ R 2 L ii) E A X n ⎯⎯ → EA X 2 L nếu X n ⎯⎯ →X iii) E A1 ( E A 2 X ) = E A1 X nếu A1 = A2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 15 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài §1.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CƠ BẢN ™ Định nghĩa ( Hàm ngẫu nhiên cơ bản ) Hàm ngẫu nhiên cơ bản là hàm có dạng : δ ( t ) = C.θ ( t ) (1.6) trong đó : C là một đại lượng ngẫu nhiên θ ( t ) là hàm không ngẫu nhiên của biến số t ∈ T ™ Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên cơ bản Kỳ vọng : Eδ ( t ) = EC .θ ( t ) = θ ( t ) . EC i) trong đó : EC là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên C * Nếu EC = 0 thì Eδ ( t ) = 0 0 * Khi xét các hàm ngẫu nhiên cơ bản có kỳ vọng bằng không , ta kí hiệu là δ ( t ) 0 => E δ ( t ) = 0 ii) Hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên cơ bản δ ( t ) : 2 ⎡ ⎤ Kδ t , t ' = E ⎢δ ( t ) .δ t ' ⎥ = θ ( t ) .θ t ' . E ( C ) = θ ( t ) .θ t ' . DC ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) trong đó : DC là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên C iii) Đối với các hàm ngẫu nhiên cơ bản, ta có các phép biến đổi tuyến tính + Phép toán đạo hàm : δ ' ( t ) = C.θ ( t ) ' 16 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài + Phép toán tích phân xác định : iv) T T 0 0 ∫ δ ( t ) dt = C.∫ θ ( t ) dt Nếu G là một toán tử tuyến tính , ta có : G {δ ( t )} = C G {θ ( t )} ™ Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản) Cho quá trình ngẫu nhiên : n χ ( t ) = Eχ ( t ) + ∑ Ci .θi ( t ) (1.7) i =1 trong đó : Ci là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0, i =1, n Eχ ( t ) là kỳ vọng của χ ( t ) . Biểu thức (1.7) được gọi là khai triển của quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) theo các hàm cơ bản. với : + các đại lượng ngẫu nhiên Ci ( t ) , i =1, n được gọi là hệ số khai triển. + các hàm không ngẫu nhiên θi ( t ) , i =1, n được gọi là các hàm tọa độ. ™ Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản Giả sử χ ( t ) biểu diễn được dưới dạng (1.7) , khi đó : Xét một toán tử tuyến tính G tác động lên χ ( t ) , ta sẽ có : n ` ξ ( t ) = G {χ ( t )} = G { Eχ ( t )} + ∑ Ci G {θi ( t )} i =1 Đặt G { Eχ ( t )} = EG ( t ) và G {θi ( t )} = Ψ i ( t ) Khi đó : n ξ ( t ) = EG ( t ) + ∑ Ci Ψ i ( t ) i =1 17 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài Ta thu được ξ ( t ) theo các hàm cơ bản với các hệ số C1 , C2 ,...., Cn . Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) khai triển dưới dạng tổng các hàm cơ bản, qua phép biến đổi tuyến tính G thì các hệ số khai triển không thay đổi, còn kỳ vọng và các hàm tọa độ bị tác động theo phép biến đổi tuyến tính. 1.2.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Giả sử quá trình ngẫu nhiên khai triển dưới dạng : n χ ( t ) = Eχ ( t ) + ∑ Ci .θi ( t ) , i =1 trong đó : Ci , i =1, n là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và ma trận tương quan ki j . Xét hàm tự tương quan và phương sai của χ ( t ) 0 ⎡0 ⎤ K χ t, t ' = E ⎢ χ (t ) , χ t ' ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) trong đó : n 0 χ ( t ) = ∑ Ciθi ( t ) i =1 0 ( ) n ( ) χ t = ∑ Ciθi t ' ' i =1 Khi đó : Kχ ⎡ n ⎢ t , t ' = E ⎢ ∑ Ci .C jθi ( t ),θ j t ' ⎢⎣ ij==11 ( ) () ⎤ ⎥ ' ⎥ = ∑ E CiC j θ i ( t )θ j t ⎥⎦ i j ( ) () với : E ( Ci Ci ) = E [Ci ] = Di ( Di được gọi là phương sai của Ci ) 2 ( ) ( E Ci C j = kij , i ≠ j , i, j = 1, n ) 18 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài Như vậy : ( ) n ( ) ∑ θi ( t )θ j ( t ' ) .ki j (1.8) Dχ ( t ) = ∑ ⎡⎣θi ( t ) ⎤⎦ Di + ∑ θi ( t )θ j ( t ) ki j (1.9) K χ t , t ' = ∑θi ( t )θi t ' Di + i =1 i≠ j Đặt t = t’ ta có phương sai của χ ( t ) : 2 n i =1 i≠ j * Chú ý : ( ) Nếu các hệ số Ci i = 1, n không tương quan với nhau , nghĩa là ki j = 0 ( i ≠ j ) . Khi đó ta nói (1.7) là khai triển chính tắc của hàm ngẫu nhiên χ ( t ) ™ Nhận xét * Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) là khai triển có dạng : n χ ( t ) = Eχ ( t ) + ∑ Ci .θi ( t ) i =1 trong đó : Eχ ( t ) là kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) ( ) θi ( t ) i =1, n là các hàm tọa độ ( ) Ci i =1, n là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với nhau và đều có kỳ vọng bằng 0 * Nếu χ ( t ) có khai triển chính tắc thì hàm tự tương quan của nó có dạng là n ( ) ( ) K χ t , t ' = ∑θ i ( t )θi t ' Di i =1 * Nếu χ ( t ) có khai triển chính tắc thì phương sai của χ ( t ) có dạng là : 2 n Dχ ( t ) = ∑ (θi ( t ) ) Di i =1 19 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài 1.2.3 ĐƯA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Cho quá trình ngẫu nhiên χ ( t ) biểu diễn dưới dạng : n χ ( t ) = ∑ M i .ψ i ( t ) (1.10) i =1 trong đó : ( ) ψ i ( t ) i =1, n là các hàm không ngẫu nhiên M i là các đại lượng ngẫu nhiên tương quan có ma trận tương quan : ⎡ D1 .... k12 .... k1n ⎤ ⎢ ⎥ D2 .... k2 n ⎥ ⎢ KM = ⎢ ⎥ .... ⎢ ⎥ Dn ⎦ ⎣ với : ( ) ki j = E ⎡⎣( M i − Ei ) M j − E j ⎤⎦ ≠ 0, ∀ i, j = 1, n, i ≠ j và EM i = Ei ≠ 0 Biểu thức dạng (1.10) của χ ( t ) chưa phải là dạng chính tắc , do đó ta cần đưa nó về dạng chính tắc. Ta viết biểu thức(1.10) dưới dạng : n n i =1 i =1 χ ( t ) = ∑ Eiψ i ( t ) + ∑ ( M i − Ei )ψ i ( t ) Đặt : 0 M i = M i − Ei , Eχ ( t ) = Ei .ψ i ( t ) , i =1, n Khi đó: n 0 χ ( t ) = Eχ ( t ) + ∑ M i ψ i ( t ) i =1 Biểu thức trên còn có thể viết dưới dạng : 20 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đề tài * T * χ ( t ) = M .ψ ( t ) * (1.11) * với : χ ( t ) = χ ( t ) − Eχ ( t ) và M , ψ ( t ) là các ma trận cột và T biểu diễn phép chuyển vị của ma trận Ma trận tương quan được viết dưới dạng : ⎡* * ⎤ KM = E ⎢M M T ⎥ ⎣ ⎦ * Chọn ma trận A sao cho vectơ : C = A. M có các thành phần Ci , i =1, n là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan ⎡ * *T T ⎤ ⎡ * *T ⎤ T T ⎡ ⎤ K C = E ⎣C.C ⎦ = E ⎢ A M M A ⎥ = AE ⎢ M M ⎥ A ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.12) = A K M AT = DC với : DC là ma trận đường chéo mà các phần tử trên đường chéo là phương sai của Ci , i =1, n ⎡ DC1 0 ... ⎢ DC2 ... ⎢0 DC = ⎢ ... .... ... ⎢ ⎢⎣0 0 0 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ... ⎥ ⎥ DCn ⎥⎦ Biểu thức ( 1.12) ta thấy ma trận A đã chuyển ma trận tương quan K C về dạng đường chéo Ma trận K M là đối xứng và thực , vì vậy tồn tại ma trận trực giao A thỏa : A = ai j n× n Ta có : 21 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh