Tài liệu Luận văn thạc sĩ bồi dưỡng năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự cho học sinh thông qua giải bài tập hình học nâng cao lớp 11 (thể hiện qua chương i và chương ii)

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 2 3. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 5. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu .............................................. 3 6. Cấu trúc luận văn ......................................................................................... 3 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................ 4 1.1. Một số khái niệm ...................................................................................... 4 1.1.1.Khái quát hoá .......................................................................................... 4 1.1.2. Đặc biệt hoá ........................................................................................... 9 1.2.3. Tƣơng tự ............................................................................................... 12 1.2. Cơ sở toán học của chủ đề vectơ và toạ độ trong Hình học nâng cao lớp 10 ......................................................................................................... 14 1.2.1. Vectơ .................................................................................................... 14 1.2.2. Tọa độ ................................................................................................... 21 1.3. Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong dạy học toán ở trƣờng trung học phổ thông. ................................................................. 25 1.3.1. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự trong việc hình thành khái niệm và các tri thức lý thuyết. .................................................................................. 25 1.3.2. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự là phƣơng pháp suy nghĩ, mò mẫm giúp ta tìm lời giải cho bài toán .............................................................. 26 1.3.3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự là phƣơng pháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức. .................................. 28 1.4. Kết luận chƣơng 1.................................................................................... 33 2 Chƣơng 2: BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƢƠNG TỰ CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 10 ( CHƢƠNG I VÀ CHƢƠNG II). ............ 34 2.1. Vị trí và chức năng của bài tập Toán học ................................................. 34 2.2. Vai trò của việc giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10. ................. 35 2.3. Dạy học phƣơng pháp giải bài tập Toán................................................... 35 2.4. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự để tìm lời giải của bài tập Toán .................................................................................................... . 36 2.5. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự vào nghiên cứu lời giải của bài tập Toán. ....................................................................................... 41 2.6. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự để sáng tạo bài toán................................................................................................................... 43 2.7. Bồi dƣỡng năng lực giải bài tập Toán trong Hình học nâng cao lớp 10. ........ 46 2.7.1. Suy luận trong chứng minh Toán học ................................................... 46 2.7.2. Một số phƣơng pháp giải bài tập toán trong Hình học nâng cao lớp 10 ........... 48 2.8. Xây dựng hệ thống bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chƣơng I; II) theo phƣơng pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự. ................... 53 2.8.1. Hệ thống bài tập về vectơ và các phép toán. ........................................ 53 2.8.2. Hệ thống bài tập về hệ thức lƣợng trong tam giác. ............................... 62 2.8.3. Hệ thống bài tập trong giải tích dùng vectơ và toạ độ........................... 68 2.9. Một số biện pháp rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự cho học sinh. .................................................................................................... 73 2.9.1. Tìm nhiều lời giải cho một bài toán, khai thác lời giải của từng cách giải để dẫn đến bài toán tổng quát. ......................................................................... 73 2.9.2. Giải quyết một lớp các bài tập tƣơng tự để tìm ra đặc điểm, bản chất của bài toán. ..................................................................................................... 3 76 2.9.3. Thƣờng xuyên rèn luyện năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự cho học sinh trong quá trình dạy học............................................................... 78 2.10. Kết luận chƣơng 2................................................................................... 79 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................... 80 3.1 Điều tra năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự của học sinh lớp 10 trƣờng THPT Nguyễn Khuyến T.P Nam Định. ................................... 80 3.2. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sƣ phạm. ................................ 83 3.2.1. Mục đích thực nghiệm. .......................................................................... 83 3.2.2. Tổ chức thực nghiệm. ............................................................................ 84 3.2.3. Đánh giá sƣ phạm. ................................................................................. 85 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .................................................................. 89 3.3.1. Đánh giá định tính ......................................................................................... 89 3.3.2. Đánh giá định lƣợng ..................................................................................... 90 KẾT LUẬN..................................................................................................... 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 93 PHỤ LỤC………………………………………………………………… 97 Một số giáo án đƣợc dạy trong đợt thử nghiệm theo các biện pháp sƣ phạm đã đề xuất trong luận văn…………………………………………… 97 1. Giáo án 1: Ôn tập vectơ và các phép toán về vectơ……………………. 97 2. Giáo án 2: Các hệ thức lƣợng trong tam giác và giải tam giác……….. 112 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự là những thao tác tƣ duy có vai trò rất quan trọng trong quá trình dạy học toán ở trƣờng phổ thông. Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự là những phƣơng pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự chƣa đƣợc rèn luyện đúng mức trong dạy học ở trƣờng phổ thông. Phƣơng pháp dạy học hiện nay ở nƣớc ta còn nhiều nhƣợc điểm: tri thức đƣợc ngƣời thầy truyền thụ dƣới dạng có sẵn, thầy thuyết trình, trò ghi nhớ, thầy áp đặt, trò thụ động. Điều đó dẫn đến thực trạng học sinh tiếp nhận kiến thức một cách máy móc ít yếu tố tìm tòi, phát hiện, sáng tạo trong quá trình học. Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học. Việc sử dụng rộng rãi khái niệm vectơ và toạ độ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học cũng nhƣ kỹ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng phát triển. Cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, phép tính vectơ đã đƣợc phát triển và ứng dụng rộng rãi. Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trƣờng phổ thông. Việc nghiên cứu vectơ góp phần mởi rộng nhãn quan toán học cho học sinh, chẳng hạn, tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán trên những đối tƣợng không phải là số nhƣng lại có tính chất tƣơng tự. Điều đó dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số, cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm quan trọng của Toán học hiện đại. Trong chƣơng trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh đƣợc học về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phƣơng tiện trung 1 gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa những đối tƣợng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số. Giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo, trừu tƣợng, năng lực phân tích, tổng hợp, đặc biệt là khái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự. Với các lý do nêu trên, tôi chọn tên đề tài là: Bồi dưỡng năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự cho học sinh thông qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10 (Thể hiện qua chương I và chương II). 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong dạy học toán và dạy học giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10. - Nghiên cứu việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự thông qua các bài toán vectơ, hệ thức lƣợng trong tam giác, bài toán trong giải tích dùng phƣơng pháp vectơ và tọa độ để giải. - Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự cho học sinh. - Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính khả thi để áp dụng vào giảng dạy. 3. Giả thuyết khoa học Nếu học sinh đƣợc rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong dạy học thông qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10 thì sẽ có khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong học môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung, khắc phục đƣợc thực trạng dạy học ở nƣớc ta hiện nay. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Trong luận văn này tôi chủ yếu sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu sau: 2 - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, tạp chí giáo dục,… - Phƣơng pháp điều tra - quan sát: Tìm hiểu khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự của học sinh thông qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10. - Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, qua trao đổi với những giáo viên dạy giỏi toán ở trƣờng phổ thông. 5. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự, áp dụng vào dạy nội dung dạy học giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10, từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập vectơ và hệ thức lƣợng trong tam giác. - Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận của khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn. - Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán THPT của trƣờng : THPT Nguyễn Khuyến, Thành phố Nam Định. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng. Chƣơng 1: Cơ sở lý luận. Chƣơng 2: Bồi dƣỡng năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự cho học sinh thông qua giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chƣơng I và chƣơng II). Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm. 3 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Một số khái niệm 1.1.1. Khái quát hoá Theo G. Polya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” 13, tr.21 . Trong “Phƣơng pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tƣợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” 9, tr.31 . Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam giác sang việc nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý. Chúng ta cũng khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lƣợng giác của góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm lƣợng giác của một góc tùy ý. Có thể nhận thấy rằng trong hai ví dụ trên, sự khái quát hóa đã đƣợc thể hiện theo hai hƣớng có tính chất khác nhau. Ở ví dụ đầu, trong việc chuyển từ tam giác sang đa giác n cạnh chúng ta đã thay hằng bởi biến; ở ví dụ sau, khi chuyển từ góc nhọn sang góc tuỳ ý, ta bỏ đi hạn chế 0o    90o . Chúng ta thƣờng khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tƣợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tƣợng đó. Tổng quát hóa một bài toán thông thƣờng là mở rộng bài toán đó, nhƣng không phải tất cả đều nhƣ vậy. Nhiều khi, phát biểu lại bài toán dƣới dạng tổng quát sẽ giúp ta dễ hiểu hơn và có khả năng tìm đƣợc hƣớng giải dễ dàng hơn; bởi vì, lúc đó ta sẽ chú trọng đến các yếu tố bản chất của bài toán và bỏ qua những yếu tố không bản chất. Chẳng hạn, với Bài toán: "Giải phƣơng trình (x + 1) (x + 5) (x + 7) (x + 11) = 8", nếu để dạng nhƣ trên, nhiều học sinh khó biết đƣợc 4 cần nhóm (x + 1) với (x + 11); (x + 5) với (x + 7). Ta tổng quát Bài toán trên, đƣa về Bài toán: "Giải phƣơng trình: (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e với a, b, c, d, e  R; a + d = b + c" thì bản chất của Bài toán đƣợc bộc lộ rõ ràng hơn. Nhu cầu sử dụng giả thiết a + d = b + c sẽ gợi cho học sinh rằng, nên nhóm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c). "Khái quát hóa có mối liên hệ mật thiết với trừu tƣợng hóa. Trừu tƣợng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Trừu tƣợng hóa là điều kiện ắt có nhƣng chƣa đủ để khái quát hóa" 8, tr.10 . Những dạng khái quát hóa thƣờng gặp trong môn toán có thể biểu diễn theo sơ đồ sau: Khái quát hóa Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Khái quát hóa tới cái tổng quát đã biết Khái quát hóa tới cái tổng quát chƣa biết Sơ đồ 1.1: Những dạng khái quát hoá thƣờng gặp trong môn toán Nhƣ vậy có hai con đƣờng khái quát hóa: con đƣờng thứ nhất trên cơ sở so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ, con đƣờng thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tƣợng trong hàng loạt hiện tƣợng giống nhau. Ví dụ 1. Xuất phát từ bài toán: "Cho hai điểm A, B. Tìm điểm M sao cho    MA + MB = 0 ". HS dễ dàng tìm đƣợc M là trung điểm của AB (còn gọi là trọng 5 tâm 2 điểm A, B), đến đây GV có thể gợi động cơ để xây dựng bài toán cho trọng tâm của hệ những điểm trong mặt phẳng ( Điểm G gọi là trọng tâm hệ n     điểm A1, A2, ... ,An ( n  2 ) nếu GA1 + GA2 + ... + GAn = 0 ). Chẳng hạn, có thể gọi HS khái quát bài theo theo các hƣớng sau: - Hướng 1: Dựa vào cấu trúc bài toán cơ bản phát triển dần lên bài toán tổng quát.     Bài 1. Cho 3 điểm A, B, C. Hãy tìm điểm G sao cho GA + GB + GC = 0 (1) A G B M Hình 1.1 C Sử dụng kết quả bài toán gốc HS tìm đƣợc G là trọng tâm tam giác ABC (hay trọng tâm 3 điểm A, B, C). Vậy G là trọng tâm 3 điểm khi và chỉ khi M là trọng tâm 2 điểm B, C và  1  GM = GA (2) . 2 Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Hãy tìm điểm G sao cho      GA + GB + GC + GD = 0 . D G Từ kết quả (1) và (2) HS sẽ dự đoán: G là trọng tâm hệ 4 A G1 điểm khi và chỉ khi G1 là trọng tâm 3 điểm A, B, C và B  1  Hình 1.2 GG1 = - GD . 3 C GV tiếp tục gợi động cơ cho HS đề xuất bài toán tổng quát với hệ n điểm. HS dự đoán bài toán tổng quát: cho n điểm A1, A2, ... ,An (n  2) luôn tồn tại      n  duy nhất điểm G thoả mãn GA1 + GA2 + ... + GAn = 0 hay  GAi = 0 . Điểm G i=1 gọi là trọng tâm hệ n điểm. 6 Việc dự đoán G là trọng tâm của hệ n điểm nếu thoả mãn: G1 là trọng tâm  1  hệ n - 1 điểm: A1, A2, ... , An-1; và GG1 = GAn là hoàn toàn hợp lý vì các n 1 biểu thức  1  MA = - MB ứng với trọng tâm hệ 1 điểm A. 1  1  GM = - GA ứng với M là trọng tâm hệ 2 điểm B, C. 2  1  GG1 = - GD ứng với G1 là trọng tâm hệ 3 điểm A, B, C. 3 - Hướng 2: Nếu khai thác trọng tâm hệ điểm theo hƣớng khác, ta cũng có thể cho HS khái quát hóa nhƣ sau:  Nếu điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì với mọi điểm O ta  1   có OM = OA + OB . 2    Nếu điểm G là trọng tâm của tam giác ABC, thì với mọi điểm O bất kỳ  1    ta có OG = OA + OB + OC . 3    Từ các trƣờng hợp riêng lẻ trên, ta tìm đƣợc công thức chung là bài toán tổng quát sau: Điểm G là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2, ... , An  1 n  thì với mọi điểm O ta có: OG =  OAi . n i 1 - Hướng 3: Đối với HS khá giỏi, GV có thể hƣớng dẫn cho các em theo hƣớng thay các hệ số của vectơ từ hằng suy biến. Đối với hai điểm A, B và 2 số thực  ,   sao cho     0 ta có điểm I    duy nhất thỏa mãn  IA +  IB = 0 . Khi đó điểm I gọi là tâm tỉ cự của hai điểm A, B với bộ số (  ,   ). 7 Với 3 điểm A, B, C và 3 số thực  ,  ,  sao cho       0 . Khi đó ta     cũng có điểm I duy nhất thỏa mãn  IA +  IB +  IC = 0 . Ta gọi điểm I gọi là tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C với bộ số (  ,  ,  ). Khái quát lên cho hệ n điểm: cho n điểm A1, A2, ... , An và n số 1, 2 ,..., n sao cho 1  2  ...  n  0 . Khi đó tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn    1 IA1 +...+ n IAn = 0 , và I gọi là tâm tỉ cự của hệ n điểm với bộ số ( 1, 2 ,..., n ). Khái quát hoá thƣờng đƣợc sử dụng trong việc hình thành các khái niệm, chứng minh định lý, phát hiện và đề xuất những cái mới. Khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý, nên các kết luận đƣợc rút ra từ khái quát hoá thƣờng mang tính giả thuyết, dự đoán. Tuy nhiên trong nhiều trƣờng hợp kết luận từ khái quát hoá có thể thu đƣợc nhờ suy luận quy nạp. Chẳng hạn, muốn chứng minh định lý về mối liên hệ giữa số đo của góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một dây cung, ta lần lƣợt xét ba trƣờng hợp: A C .O B Hình 1.3 A A C .O B Hình 1.4 O C . B Hình 1.5 - Tâm O nằm trên một cạnh của góc. (Hình 1.3) - Tâm O nằm trong góc. (Hình 1.4) - Tâm O nằm ngoài góc. (Hình 1.5) Trong từng trƣờng hợp ta chứng minh đƣợc rằng: Góc nội tiếp trong một đường tròn có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn bởi một cung. Từ đó ta 8 có thể khẳng định là định lí đã đƣợc chứng minh hoàn toàn, vì ba trƣờng hợp trên đã vét hết các khả năng có thể xảy ra. Nhƣ vậy, trong ví dụ trên kết luận đƣợc rút ra nhờ quy nạp hoàn toàn. 1.1.2. Đặc biệt hóa Theo G. Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” 13,tr.22 . Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong môn toán có thể đƣợc biểu diễn theo sơ đồ sau: Đặc biệt hóa Đặc biệt hóa từ cái tổng quát đến cái riêng lẻ Đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn Đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ đã biết Đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ chƣa biết Sơ đồ 1.2: Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong môn toán Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều. Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều. Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn. Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trƣờng hợp riêng lẻ, cụ thể. 9 Đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố định đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán. Chúng ta sử dụng đặc biệt hóa trong dự đoán, suy luận có lý nhƣ thế nào?. Để giải bài toán, trƣớc hết ta giải chúng cho một trƣờng hợp đặc biệt, rồi thử dùng trƣờng hợp đặc biệt này xem có giải đƣợc trong trƣờng hợp đặc biệt khác hay trong bài toán tổng quát không. Ví dụ trƣớc khi học sinh đƣợc học khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a  0), họ đã đƣợc nghiên cứu về hàm số y = ax2 (a  0). Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách đƣa về trƣờng hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ). Ví dụ 2. Đối với tam giác vuông ABC với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác; R là độ dài bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác, ta luôn có hệ thức: a b c = = = c  2R . sin A sin B sin C Từ đó ta dự đoán hệ thức trên đối với tam giác thƣờng là: a b c = =  2 R (*) sin A sin B sin C Trƣớc khi chứng minh dự đoán trên, ta thử các trƣờng hợp đặc biệt khi tam giác ABC là tam giác đều, tam giác cân. Khi thấy đúng ta mới tiến hành chứng minh. Chứng minh. Xét đƣờng tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC. Kéo dài AO cắt đƣờng tròn (O, R) tại A’. Ta có  ACB   AA ' C ( hai góc A nội tiếp cùng chắn bởi cung AB)  sin C  sin A '=  AB c = . AA' 2R O c  2R . sin C C B A’ 10 Hình 1.6 Tƣơng tự ta cũng chứng minh đƣợc : a b =  2R sin A sin B Do đó, trong mọi tam giác bất kỳ ta có: a b c = =  2R . sin A sin B sin C Kết quả này chính là Định lí sin trong tam giác. Trong ví dụ trên từ việc nghiên cứu tam giác ABC bất kì ta chuyển sang nghiên cứu tam giác đều, tam giác cân. Đó là đặc biệt hóa từ cái tổng quát đến cái riêng lẻ và trong trƣờng hợp này đó là đặc biệt hóa đến cái riêng lẻ chƣa biết. Sau khi đã chứng minh đƣợc hệ thức (*) đúng với mọi tam giác bất kì ta thử đặc biệt hóa khi tam giác ABC vuông. Đó là đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ đã biết. Ví dụ 3. Gọi hai đƣờng tròn là (O1, R1) và (O2, R2) và điểm M nằm ngoài hai đƣờng tròn trên. Gọi T1, T2 lần lƣợt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kể từ M tới (O1, R1) và (O2, R2). Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: MT12  MT22  k 2 . Ta hãy xét một trƣờng hợp đặc biệt hơn của Bài toán: Khi (O1) và (O2) suy biến thành các điểm O1, O2. Quỹ tích những điểm có tổng bình phƣơng khoảng cách đến hai điểm O1, O2 bằng một số không đổi là đƣờng tròn tâm I, với I là trung điểm O1O2. Từ đó, ta dự đoán rằng, quỹ tích phải tìm cũng là đƣờng tròn tâm I. Dự đoán đó gợi cho ta hƣớng biến đổi: MT12  MO12  R12 MT22  MO22  R22 Do đó: MT12  MT22  k 2  MO12  MO22  R12  R22  k 2  MO12  MO22  k 2  R12  R22 Vậy dự đoán của chúng ta là đúng. Quỹ tích cần tìm là đƣờng tròn tâm I, bán kính R = 1 2 K 2  O1O22 với K2 = k2 + R12  R22  O1O22 . 2 11 Việc xét trƣờng hợp đặc biệt: (O1), (O2) là các đƣờng tròn - điểm không những giúp chúng ta dự đoán đúng quỹ tích, tìm đƣợc lời giải bài toán, mà còn trả lời đƣợc câu hỏi đặt ra ở đầu bài: Quỹ tích tổng bình phƣơng là đặc biệt hóa của quỹ tích này. 1.1.3. Tương tự Theo G. Polya: “Hai hệ là tƣơng tự nếu chúng phù hợp với nhau trong mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tƣơng ứng” 13, tr.23 Kết luận dựa theo sự tƣơng tự có thể mô tả nhƣ sau: A có tính chất a, b, c B có tính chất a, b ------------------------------------------Thế thì B có thể có tính chất c Ngƣời ta thƣờng xét sự tƣơng tự trong toán học trên các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh là tƣơng tự nếu đƣờng lối, phƣơng pháp chứng minh là giống nhau. - Hai hình là tƣơng tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tƣơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau. - Hai tính chất là tƣơng tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tƣơng tự. Chẳng hạn: Tam giác trong hình học phẳng đƣợc xem tƣơng tự với tứ diện trong hình học không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn đƣợc giới hạn bởi một số đƣờng thẳng tối thiểu, còn tứ diện là hình có thể tích hữu hạn đƣợc giới hạn bởi một số mặt phẳng tối thiểu. Tính chất đƣờng cao của tam giác tƣơng tự với tính chất các đƣờng cao của hình tứ diện. Với ý nghĩa đó từ các đƣờng cao, đƣờng trung tuyến, đƣờng 12 phân giác của tam giác có thể đề xuất và chứng minh các tính chất tƣơng tự của đƣờng cao, mặt phẳng trung diện, mặt phẳng phân giác của tứ diện. Từ các hệ thức lƣợng trong tam giác vuông có thể xây dựng các hệ thức tƣơng tự trong tứ diện vuông. Vai trò của tƣơng tự trong nghiên cứu khoa học đã đƣa G. Polya nhận định: "Phép tƣơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh" 14, tr.28 . Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tƣởng, giả thuyết có đƣợc nhờ sự tƣơng tự với một kết quả đã đƣợc công nhận trƣớc đó. Đối với học sinh, tƣơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo của ngƣời học. Để giải một bài toán, chúng ta thƣờng nghĩ về một bài toán tƣơng tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tƣơng tự dễ hơn đó làm mô hình. Ví dụ 4. Sau khi giải bài toán cơ bản: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lƣợt     là trọng tâm hai tam giác ABC, A’B’C’ thì 3GG'  AA'  BB'  CC' . Giáo viên có thể đặt câu hỏi “nếu G trùng với G’ thì sao?” qua đó hƣớng cho học sinh tìm tòi lời giải và có nhận xét khá quan trọng là nếu hai tam giác có cùng trọng tâm thì “ AA'  BB'  CC '  O ” (1). Nhƣ vậy, từ đó để chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (1) là đƣợc. Khi đó có thể hƣớng dẫn cho học sinh giải các bài toán tƣơng tự khác. Bài 1. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lƣợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm. Bài 2. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm. Bài 3. Cho tam giác ABC và tam giác A' B' C ' có cùng trọng tâm G. Gọi G1, G2, G3 lần lƣợt là trọng tâm của tam giác BCA’, CAB’, ABC’. Chứng minh rằng 13     GG1  GG2  GG3  O . 1.2. Cơ sở toán học của chủ đề vectơ và toạ độ trong hình học nâng cao lớp 10 1.2.1. Vectơ Để tìm hiểu về chủ đề vectơ trong môn toán lớp 10 THPT, chúng tôi sẽ đƣa ra một số nội dung liên quan đến không gian vectơ trên trƣờng K , định nghĩa không gian vectơ Ơclit, không gian Ơclit. Dựa vào 19 1.2.1.1. Không gian vectơ trên trường K a) Định nghĩa không gian vectơ trên trƣờng K Cho tập hợp V khác rỗng mà các phần tử đƣợc kí hiệu  ,  , ,...và trƣờng K mà các phần tử đƣợc kí hiệu x, y, z,... Giả sử trên V đã xác định hai phép toán: - Phép toán trong, kí hiệu: +: V x V  V    ,   -     Phép toán ngoài, kí hiệu: . : K x V  V ( x , )  x. Tập hợp V với hai phép toán đó gọi là không gian vectơ trên trường K hoặc không gian vectơ nếu 8 tiên đề sau thỏa mãn   ,  ,  V,  x, y  K. 1) (   )      (    ) ; 2) Có 0  V sao cho 0      0   ; 3) Có '  V sao cho '    '    0 ; 4)       ; 5) (x + y).  = x.  + y.  ; 6) x.(  +  ) = x.  + x.  ; 14 7) x.(y.  ) = (x.y).  ; 8) 1.  =  , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trƣờng K. Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là các vô hƣớng. - Phần tử 0 nói trong tiên đề 3 gọi là vectơ - không . - Phần tử  ' nói trong tiên đề 4 gọi là vectơ đối của  . - Phép toán “+’’ gọi là phép cộng vectơ, phép toán “.” gọi là phép nhân vectơ với vô hƣớng. Để cho gọn, dấu “.” nhiều khi lƣợc bỏ. b) Tính chất suy từ định nghĩa không gian vectơ trên trƣờng K  Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phép cộng vectơ.  Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân vectơ với vô hƣớng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hƣớng, phân phối đối với phép cộng vectơ và có tính chất kết hợp. c) Một số hệ quả Cho K – không gian vectơ V. Vì V là một nhóm giao hoán đối với phép cộng vectơ nên ta có ngay các tính chất sau: 1) Phần tử trung hoà 0 của phép cộng vectơ nói trong tiên đề 2 là duy nhất và đƣợc gọi là vectơ không. 2) Phần tử đối ' nói trong tiên đề 3 là duy nhất gọi là vectơ đối của vectơ  . Từ đây ta sẽ ký hiệu vectơ đối của vectơ  là -  . 3) Từ đó có định nghĩa    =   (   ) gọi là hiệu của  và  . 4) Qui tắc chuyển vế:      suy ra      . 5) Luật giản ƣớc        suy ra    . 15 Đối với phép nhân vô hƣớng ta còn có tính chất sau: 6) 0.  0 , ở đây 0 là phần tử không của trƣờng K. 7) x. 0  0 . 8) x.  0 suy ra hoặc x = 0 hoặc   0 . 9) – (x  ) = (- x).  . Đặc biệt khi x = -1 ta có (-1)  = -  . 10) (x - y)  = x  - y  . 11) x(    )  x  x  . 1.2.1.2. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính a) Định nghĩa n - Nếu    xi  i thì  đƣợc gọi là biểu thị tuyến tính theo hệ (  i ), i = 1,n . i 1 - Hệ vectơ (  i ), i = 1,n , gọi là độc lập tuyến tính nếu n x  i 1 i i = 0 kéo theo xi = 0, i = 1, 2, ..., n. - Hệ vectơ (  i ), i = 1,n , gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính. b) Một số tính chất  Hệ vectơ (  i ), i = 1,n , phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có họ các hệ số (xi), i = 1, 2, ..., n, không đồng thời bằng không sao cho n x  i 1 i i = 0.  Nếu hệ (  i ), i = 1,n , độc lập tuyến tính thì hệ (  1 ,  2 ,...  n ,  ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi  biểu thị tuyến tính theo hệ (  i ), i = 1,n . Ngoài ra cách biểu thị đó là duy nhất 1.2.1.3. Cơ sở, số chiều của không gian vectơ 16 a) Định nghĩa Giả sử V là một K – không gian vectơ. 1) Một hệ vectơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính theo hệ đó. 2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V đƣợc gọi là K – không gian hữu hạn sinh. 3) Một hệ vectơ trong V gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó. 4) V là không gian hữu hạn sinh thì V có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong V nhƣ nhau gọi là số chiều của không gian vectơ V. b) Nhận xét V là không gian vectơ n chiều thì mọi hệ n vectơ độc lập tuyến tính của nó đều là cơ sở. 1.2.1.4. Toạ độ của vectơ đối với một hệ vectơ cơ sở a) Định nghĩa    Cho cơ sở   (1 , 2 ,..., n ) của K – không gian vectơ n chiều V thì mọi vectơ   V viết đƣợc một cách duy nhất dƣới dạng  = n x  i 1  i i , xi  K. ( x1 , x2 ,...,xn )  ( xi ) gọi là toạ độ của  đối với (hay “trong”, “theo”) cơ sở   ( 1 , 2 ,..., n ) .  xi gọi là toạ độ thứ i của  đối với cơ sở đó. b) Nhận xét từ định nghĩa Nếu  ,  theo thứ tự có toạ độ (xi), (yi) trong cơ sở  thì     có toạ độ (xi +yi),  b  có toạ độ (bxi). c) Công thức đổi toạ độ 17