Tài liệu Hình học hypebolic và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HÌNH HỌC HYPEBOLIC VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: Nguyễn Việt Hà CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: Ths PHAN QUANG NHƯ ANH Đà Nẵng - Năm 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HÌNH HỌC HYPEBOLIC VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: Nguyễn Việt Hà CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: Ths PHAN QUANG NHƯ ANH Đà Nẵng - Năm 2022 i ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Mục lục 1 Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Kiến thức cơ sở 6 1.1 Hệ tiên đề của hình học Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Về định đề V của Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tiên đề Lobachevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 HÌNH HỌC HYPEBOLIC 12 2.1 Các đường song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Đường biên cong và bề mặt, đường cong cách đều và bề mặt . . . . 22 2.3 Công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Mô hình của hình học Lobachevsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 So sánh hình học Euclid và hình học Hyperbolic . . . . . . . . . . . 37 3 Ứng dụng của hình học Hyperbolic 39 3.1 Không-thời gian Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Hình ảnh mặt phẳng Hyperbolic trong thực tế. . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận và kiến nghị 43 Tài liệu tham khảo 44 1 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn đối với các thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, các thầy cô dạy lớp 18ST đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Thạc sĩ Phan Quang Như Anh, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình, giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này. Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu nên Khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn tất cả! 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học là một phân nhánh của toán học liên quan đến các câu hỏi về hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình khối, và các tính chất của không gian. Hình học phát triển độc lập trong một số nền văn hóa cổ đại như một phần của kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, diện tích, và thể tích, với một phần các yếu tố của khoa học Toán học đến từ phương Tây như các định lý của Thales (thế kỷ VI TCN). Đến thế kỷ thứ III TCN, hình học đã được Euclid hệ thống hóa dưới một hình thức tiên đề mang tên ông – Hình học Euclid đã trở thành chuẩn mực cho nhiều thế kỷ sau đó. Vào thế kỷ 19, Nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) khởi xướng ra hình học Lobachevsky hay còn được gọi là hình học Hyperbolic là một bộ phận của hình học phi Euclid. Kể từ khi phát hiện hình học Hyperbolic, các khái niệm về không gian đã trải qua một sự thay đổi cơ bản và nêu lên câu hỏi: không gian hình học nào là thích hợp nhất với không gian vật lý. Với sự phát triển của toán học lý thuyết trong thế kỷ 20, “không gian” (cho dù là ’điểm’, ’đường’, hoặc ’mặt phẳng’) bị mất nội dung trực quan của nó, vì vậy người đọc phải phân biệt giữa không gian vật lý và không gian hình học (trong đó ’không gian’, ’điểm’, v.v... vẫn còn có ý nghĩa trực quan) và không gian trừu tượng. Hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cần thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó. Hình học Hyperbolic là cơ sở toán học của thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều. Nhà Bác học Einstein đã viết: “Sự phát triển của hình học phi - Euclid thực tế đã đưa đến nhận thức rằng người ta có thể nghi ngờ về tính vô hạn của không gian chúng ta, mà không rơi vào mâu thuẫn với các định luật của tư duy, hay với kinh nghiệm...”. Mặc khác, nó được ứng dụng trong nhiều nội dung khác như cơ lượng tử hay vật lý 3 thiên văn. Nói đến hình học phi - Euclid, chúng ta nghĩ đến một không gian cong như mặt cầu chẳng hạn (không gian hai chiều cong); trên mặt ấy (trong không gian ấy), bạn có thể vẽ một đường đi kéo dài vô tận, đó là hình ảnh của một thế giới không có giới hạn nằm trong một thế giới hữu hạn. Mặc dù, được ứng dụng khá nhiều, nhưng hình học Hyperbolic lại không được nghiên cứu trong bậc học phổ thông bởi vì mức độ trừu tượng của nó. Càng đọc về hình học Hyperbolic, bản thân em càng thấy khơi dậy sự cần thiết, lòng đam mê nghiên cứu sự kì bí toán học và mong muốn được hiểu biết nhiều hơn về kiến thức toán học của mình. Dưới sự gợi ý và hướng dẫn của cô giáo Phan Quang Như Anh, em chọn đề tài “Hình học Hyperbolic và ứng dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp của mình. Trong khuôn khổ đề tài này, em không thể đi hết được nội dung rộng lớn của hình học này, nhưng em mong rằng, qua những gì em có thể trình bày được trong khóa luận này, người đọc phần nào sẽ hiểu hơn về Hình học Hyperbolic hay là Hình học Lobachevsky. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, phát triển kỹ năng bản thân và là cơ hội để tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực hình học trong Toán học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Hình học Hyperbolic và ứng dụng. 4. Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: "Hình học Hyperbolic và ứng dụng" tôi sẽ sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: - Thu thập, phân tích và tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu; - Trao đổi, thông báo Seminar các nội dung nghiên cứu; - Phân loại, tổng hợp và hệ thống hóa lý thuyết. 5. Cấu trúc khóa luận Luận văn ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày như sau: Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 4 1.1. Hệ tiên đề hình học của Euclid. 1.2. Về định đề V của Euclid. 1.3. Tiên đề Lobachevsky. Chương 2: HÌNH HỌC HYPERBOLIC 2.1. Các đường thẳng song song. 2.2. Đường biên cong và bề mặt, và đường cong cách đều và bề mặt. 2.3. Công thức lượng giác. 2.4. Mô hình của hình học Lobachevsky. 2.4. So sánh hình học Euclid và hình học Hyperbolic. Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC HYPERBOLIC 3.1. Không-thời gian Minkowski. 3.2. Hình ảnh mặt phẳng Hyperbolic trong thực tế. 5 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Hệ tiên đề của hình học Euclid Từ hệ tiên đề đầu tiên của Euclid, nhiều nhà toán học đã tìm cách hoàn chỉnh nó và mãi đến cuối thế kỷ XIX, nhà toán học người Đức là David Hilbert mới đưa ra được một hệ tiên đề ngắn gọn và đầy đủ của hình học Euclid. Trong tác phẩm "Cơ sở hình học" xuất bản năm 1889, Hilbert đã trình bày hệ tiên đề của hình học Euclid. Hệ tiên đề này đã tránh được các thiếu sót của hệ tiên đề do Euclid đưa ra. Ngày nay, có nhiều nhà toán học đã đưa ra các hệ tiên đề mới của hình học Euclid nhưng về cơ bản vẫn dựa vào hệ tiên đề của Hilbert. Nhóm I. Các tiên đề về liên thuộc Tương quan cơ bản được xét trong nhóm này là tương quan "thuộc". Tương quan này được phát biểu dưới dạng thông thường như: "nằm trên", "đi qua", "chứa". Thí dụ như điểm nằm trên đường thẳng, đường thẳng đi qua điểm, mặt phẳng chứa điểm hay đi qua điểm ... I1 . Cho bất kỳ hai điểm A, B nào bao giờ cũng có một đường thẳng a đi qua hai điểm đó. I2 . Cho bất cứ hai điểm A, B nào phân biệt không bao giờ có quá một đường thẳng đi qua hai điểm đó. I3 . Mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm. Có ít nhất là ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng. 6 Cho bất cứ ba điểm A, B , C nào bao giờ cũng có một mặt phẳng α đi qua ba I4 . điểm đó. Mỗi mặt phẳng có ít nhất là một điểm. Cho bất cứ ba điểm A, B , C nào không cùng thuộc một đường thẳng, không I5 . bao giờ có quá một mặt phẳng đi qua ba điểm đó. Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a và đồng thời cùng thuộc I6 . mặt phẳng α thì mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng α. Nếu hai mặt phẳng cùng chứa điểm A thì chúng sẽ cùng chứa ít nhất một I7 . điểm B nữa. Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. I8 . Nhóm II. Các tiên đề về thứ tự Các tiên đề về thứ tự cho chúng ta biết về vị trí tương đối của các điểm trên một đường thẳng và trong một mặt phẳng. Mỗi điểm trên một đường thẳng có tương quan "ở giữa" đối với hai điểm khác trên đường thẳng đó. Đó là tương quan cơ bản được đưa ra trong nhóm tiên đề này. II1 . Nếu điểm B nằm giữa A và C thì A, B , C là ba điểm khác nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A. II2 . Cho bất cứ hai điểm A và C nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm B trên đường thẳng AC sao cho C ở giữa A và B . II3 . Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ có quá một điểm ở giữa hai điểm kia. II4 . Tiên đề Pasch. Cho ba điểm A, B , C không cùng thuộc một đường thẳng và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) và không đi qua bất kỳ điểm nào trong ba điểm A, B , C . Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn thẳng AB thì a còn có một điểm chung nữa hoặc với đoạn BC hoặc với đoạn AC . 7 Nhóm III. Các tiên đề về bằng nhau Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan bằng của một đoạn thẳng với một đoạn thẳng khác và của một góc với một góc khác. Trong hệ tiên đề này, khái niệm dời hình là một khái niệm dẫn xuất, còn trong tác phẩm của Ơclit thì khái niệm dời hình được chọn là khái niệm cơ bản. III1 . Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A0 bao giờ cũng có một điểm B 0 sao cho A0 B 0 "bằng" đoạn AB và được kí hiệu là AB ≡ A0 B 0 . Đối với mọi đoạn thẳng AB ta luôn có AB ≡ BA. III2 . Nếu A0 B 0 ≡ AB và A00 B 00 ≡ AB thì A0 B 0 ≡ A00 B 00 . III3 . Cho ba điểm A, B , C thẳng hàng với B ở giữa A và C và ba điểm A0 ,B 0 , C 0 thẳng hàng với B 0 ở giữa A0 và C 0 . Nếu AB ≡ A0 B 0 và BC ≡ B 0 C 0 thì AC ≡ A0 C 0 . III4 . [ Cho một góc (h, k) và một nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng chứa tia h0 . Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có một và chỉ một tia k 0 cùng 0 , k 0 ) bằng góc (h, 0 , k 0 ) ≡ (h, \ [ \ [ gốc với tia h0 sao cho góc (h k) và được kí hiệu là (h k). [ [ [ [ [ Đối với mọi góc (h, k),ta luôn có (h, k) ≡ (h, k) và (h, k) ≡ (k, h). III5 . Cho tam giác ABC và tam giác A0 B 0 C 0 . Nếu AB ≡ A0 B 0 , AC ≡ A0 C 0 và 0 A0 C 0 thì bao giờ ta cũng có ABC 0 B 0 C 0 và ACB 0B0C 0. [ ≡ B\ [ ≡ A\ [ ≡ A\ BAC Nhóm IV. Tiên đề liên tục (Tiên đề Dedekind) Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho: - Mỗi điểm của đường thẳng chỉ thuộc một lớp và chỉ một mà thôi. - Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai. Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai lớp. Có thể coi điểm này là điểm cuối cùng của lớp thứ nhất hay là điểm đầu tiên của lớp thứ hai 8 Nhóm V. Tiên đề song song Cho một đường thẳng a bất kì và một điểm A không thuộc a. Khi đó, trong mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a có nhiều nhất một đường thẳng đi qua A và không cắt a. 1.2 Về định đề V của Euclid Tiên đề song song là một hệ quả của định đề V của Euclid. Cụ thể, định đề V nói rằng:"Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai vuông, thì hai đường thẳng đó cắt nhau về phía có hai góc đó ". Định đề V của Euclide đóng vai trò đặc biệt trong lịch sử phát triển của Hình học nói riêng và của Toán học nói chung. Khi nghiên cứu tác phẩm "The Elements" của Euclid, các nhà toán học đều băn khoăn: Liệu định đề V có phải là một định đề hay nó có thể được chứng minh như một định lý? Một cách rõ ràng rằng định đề V khác với bốn định đề còn lại của ông. Euclid cũng có vẻ không hài lòng với định đề này nên ông đã tránh sử dụng nó càng lâu càng tốt. Trên thực tế, trong 28 định lý đầu tiên của cuốn "The Elements" ông đã tránh không sử dụng nó để chứng minh. Nhiều nhà khoa học, toán học đã cố gắng chứng minh định đề V. Trong lịch sử toán học, chưa bao giờ có một vấn đề toán học được nhiều người nghiên cứu đến thế. Và hầu hết họ đều thất bại. Họ tưởng rằng mình đã chứng minh được nhưng thật ra đều không phải. Họ bị quấn vào một vòng lặp và dùng chính định đề V hay hệ quả của định đề V để chứng minh chính nó. Nhiều nhà toán học khác 9 cũng cố gắng chứng minh bằng phương pháp phản chứng và nhận được kết quả cũng không khả quan. Chẳng hạn như các nghiên cứu của Proclus (410-485), của Saccheri (1667-1733), của Lambert (1728-1777), của Legendre (1752-1833). 1.3 Tiên đề Lobachevski Những nổ lực để chứng minh định đề V này đã kéo dài gần 20 thế kỷ, cùng với nhiều thất bại của nhiều nhà khoa học và nhà toán học. Cuối cùng vào ngày 6/2/1826 vấn đề này được giải quyết bởi nhà toán học thiên tài người Nga, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, khi ông công bố nghiên cứu của mình trước hội đồng khoa Toán-Lý trường đại học Kazan (Liên Bang Nga). Lobachevsky đã nghiên cứu định đề V và tìm ra được một lời giải hết sức độc đáo và sáng tạo. Ông chứng minh rằng định đề V không thể suy ra được từ các định đề khác. Tức định đề V đúng là một định đề chứ không phải một định lý. Ông giữ nguyên các định đề khác của Euclid và thay thế định đề V bằng một mệnh đề phủ định: "Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có thể kẻ ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho". Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng không cắt đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic mới được gọi là Hình học Lobachevsky với nhiều kết quả trái ngược với hình học Euclid. Chẳng hạn, tổng các góc của một tam giác bé hơn 180o , có tam giác mà tổng số đo các góc bé tùy ý,...Tuy nhiên trong nội bộ của hình học đó lại không hề có mâu thuẫn. Cụ thể tiên đề Lobachevsky được phát biểu như sau: Trong mặt phẳng xác định bởi đường thẳng a và một điểm A không thuộc đường thẳng đó có ít nhất hai đường thẳng đi qua A và không cắt đường thẳng a. Kết hợp giữa hệ bốn tiên đề đầu tiên của Euclid và tiên đề Lobachevsky người ta tạo nên một loại hình học mới được gọi là hình học Lobachevsky hay Hình học Hyperbolic. 10 Bên cạnh Lobachevski, cùng thời điểm đó có nhiều nhà Toán học cũng nghiên cứu về loại hình học mới này và gọi nó với tên gọi là hình học phi Euclid. Nhưng Lobachevski được coi là người đầu tiên công bố loại hình toán học của mình, hình học Lobachevski. Và đưa hình học phi Euclid lên bản đồ Hình học của nhân loại. 11 Chương 2 HÌNH HỌC HYPEBOLIC Tiên đề Lobachevsky Trong mặt phẳng xác định bởi đường thẳng a và một điểm A không thuộc đường thẳng đó có ít nhất hai đường thẳng đi qua A và không cắt đường thẳng a. Tiên đề Lobachevsky phủ định tính duy nhất của đường thẳng đi qua một điểm A và song song với đường thẳng a không chứa điểm A đó. Nói cách khác tiên đề Lobachevsky phủ định tất cả các mệnh đề tương đương với định đề V của Euclide. Ngoài ra, người ta còn chứng minh được tiên đề Lobachevsky tương đương với mệnh đề: "Tổng các góc của một tam giác bé hơn hai vuông" hay mệnh đề " Góc trên của tứ giác Xăckêri là góc nhọn". Định lý. Cho đường thẳng a và một điểm A không thuộc đường thẳng đó thì qua A có vô số đường thẳng không cắt a và cùng nằm trong mặt phẳng với a. Chứng minh. Theo tiên đề Lobachevsky, giả sử qua điểm A không thuộc đường thẳng a cho trước có hai đường thẳng a1 , a2 không cắt đường thẳng a. Trên đường thẳng a2 lấy điểm B2 khác điểm A sao cho đối với đường thẳng a1 , điểm B2 nằm khác phía với đường thẳng a. Nối B2 với một điểm B bất kì nằm trên 12 a thì đoạn B2 B cắt a1 tại B1 . Trên đoạn thẳng B1 B2 lấy điểm M (giữa B1 B2 có vô số điểm M ). Ta thấy AM không cắt đường thẳng a. Thật vậy. Nếu đường thẳng AM cắt a theo một điểm C nào đó về phía từ A đến M . Thì theo tiên đề Pasch đối với tam giác BCM , đường thẳng a1 cắt cạnh BM tại B1 nên a1 phải cắt một trong hai cạnh còn lại đó là M C hoặc BC . Ta thấy rằng đường thẳng a1 không thể cắt M C vì nếu a1 cắt M C tại điểm I nào đó thì điểm M nằm trên AI và điểm B1 cũng nằm trên AI tức là ba điểm M , A, B1 thẳng hàng (điều này trái với giả thiết). Tiếp tục theo giả thiết thì a1 cũng không thể cắt BC . Ở hướng ngược lại, nếu đường thẳng AM cắt a tại một điểm C 0 về phía từ M tới A. Thì áp dụng tiên đề Pasch đối với tam giác BM C 0 , ta có a2 cắt C 0 M tại A nên a2 phải cắt một trong hai cạnh còn lại là BM hoặc BC 0 . Nếu a2 cắt cạnh BM tại một điểm K nào đó thì K thuộc BM hay B2 thuộc KB . Mà A thuộc KB2 nên A, B2 , B thẳng hàng (điều này trái giả thiết). Còn nếu a2 cắt BC tức là a2 cắt a cũng trái với giả thiết. Vì M là một điểm tùy ý trên đoạn B1 B2 nên ta có vô số đường thẳng AM đi qua A cùng nằm trong một mặt phẳng với a và không cắt a. 2.1 Các đường song song Trong mặt phẳng, Lobachevsky chỉ dùng khái niệm song song cho một số đường đặc biệt trong số các đường thẳng không cắt đường thẳng cho trước. Để hiểu khái niệm này, ta xét tập hợp các đường thẳng đi qua điểm A không thuộc một đường thẳng a cho trước. 13 Từ A ta kẻ đường thẳng vuông góc với a tại điểm H . Ta giả sử a nằm ngang và đường thẳng AH chia mặt phẳng ra làm hai phần: phần bên trái H và phần bên phải H . Ta lấy một điểm M nằm bên phải H và thuộc đường thẳng a. Gọi \ z=H AM . Cho M đi xa điểm H về phía phải thì góc z tăng dần. Vì z là góc của π tam giác AHM vuông tại H nên z < , tức z bị chặn nên có giới hạn là w 2 lim z = w. M →∞ Gọi Au là tia tạo với AH về phía bên phải một góc w và ta có tia Au là giới hạn của những tia AM cắt a theo hướng bên phải điểm H , nghĩa là mọi tia AM tạo với AH một góc z < w đều cắt a. Tương tự, ta cũng có một tia Av tạo với AH về phía trái một góc w. Các tia Au, Av đều không cắt a. Thật vậy, nếu Au cắt a tại M1 thì ta lấy điểm M 0 bên phải M1 ta có tia AM 0 cắt a tại M 0 và z = HAM 0 > w điều này vô lý vì lim z = w > z . M →∞ π π π Hơn nữa, do w là giới hạn của góc z < nên w ≤ . Ta cần chứng minh w < . 2 2 2 π π Thật vậy, nếu w = thì mọi tia gốc A tạo với AH về phía phải một góc bé hơn 2 2 đều cắt a. Tức chỉ có duy nhất 1 một đường thẳng b đi qua A tạo với AH một góc π bằng mới không cắt a. Điều này trái với tiên đề Lobasepxki. 2 Nhận xét: • Tại mỗi điểm A có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng a không chứa A theo một hướng xác định. • Mọi đường thẳng đi qua A tạo với AH một góc z < w đều cắt a. Định lí 2.1.1. Một đường thẳng duy trì tính song song của nó tại mọi điểm. [ là góc Cho AB song song với CD. Dựng AH vuông góc với CD, suy ra HAB song song. Chứng minh. Ta xét hai trường hợp 14 TH1. Ta lấy một điểm A0 trên đường AB . Qua A0 ta hạ đường vuông góc với CD tại H 0 . Ta cần chứng minh rằng bất cứ 0 A0 B đều cắt CD . Lấy một điểm E bất kì \ tia A0 u nào nằm trong góc song song H [ < HAB [ , với HAB [ là góc song song, nên tia AE cắt CD tại trên tia A0 u ta có HAE điểm F . Áp dụng tiên đề Pasch đối với tam giác AHF , đường thẳng A0 E cắt cạnh AF và không cắt cạnh AH vì tia A0 u nằm khác phía AH đối với A0 H 0 , nên tia A0 u sẽ cắt cạnh HF tức cắt cạnh CD. TH2. Lấy một điểm A00 trên hướng ngược lại của AB . Ta hạ đường vuông góc A00 H 00 tới CD. Cần chứng minh bất cứ tia A00 r nào nằm 00 A00 B đều cắt CD . Gọi z là góc giữa A00 r và A00 B . Có A00 r cắt AH 00 tại trong góc H\ [ M . Từ A dựng AN sao cho N AB = z . Áp dụng tiên đề Pasch đối với tam giác H 00 AN , ta có đường A00 M cắt AH 00 tại M và không cắt AN (vì nếu cắt AN thì mâu thuẫn với định lí về góc ngoài của một tam giác, khi đó z > z là vô lí). Do đó A00 r sẽ cắt H 00 N tức là cắt CD. Vậy ta chứng minh được định lý trên rằng "Một đường thẳng duy trì tính song song của nó tại mọi điểm". Định lí 2.1.2. Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng khác thì đường thẳng thứ hai sẽ song song với đường thẳng đầu tiên. 15 Cho AB song song CD, chứng minh rằng CD song song với AB Chứng minh: Vẽ AC vuông góc với CD. Góc CAB sẽ là góc nhọn; vì thế đoạn vuông góc CE kẻ từ C tới AB phải nằm bên nhánh AB song song với CD. Ta có góc ECD là góc nhọn và nhỏ hơn góc vuông CEB . Từ đó ta có: [ < ACD, [ và CEB [ > ECD [ CAB Nếu đoạn thẳng CE quay quanh điểm C đến vị trí của đoạn CA thì góc tại đỉnh E sẽ giảm xuống góc A và góc tại đỉnh C sẽ tăng lên góc vuông. Sẽ có một vài vị trí, ta gọi là CF , mà tại đây hai góc này sẽ bằng nhau, là: [ CF B = F[ CD Dựng M N vuông góc với CF tại trung điểm của CF và quay hình quanh trục M N . CD sẽ nằm ngay tại vị trí ban đầu của AB và ngược lại AB sẽ nằm tại vị trí của CD. Vì thế CD song song với AB . Hệ quả: F B và CD đều song song với M N 16 Chứng minh: F B và CD nằm đối xứng với nhau qua M N , và không thể cắt M N vì chúng không cắt nhau. Vẽ F H với H nằm trên CD, cắt M N tại K . Nếu H di chuyển vô hạn trên CD thì F H sẽ đạt tới giới hạn là F B . K không thể di chuyển vô hạn trước H vì F K < F H . Nhưng một lần nữa, khi H di chuyển vô hạn, K không thể đến được điểm giới hạn nào ở một khoảng cách hữu hạn trên M N ; Với F B , và vì thế CD, sẽ cắt M N và cắt nhau tại điểm này. Vì thế, H và K phải di chuyển cùng nhau, và vị trí giới hạn của F H phải đồng thời song song với CD và M N . Tương tự ta có thể chứng minh rằng mọi đường thẳng nằm giữa hai đường thẳng song song phải cắt một trong 2 đường thẳng hoặc song song với 2 đường thẳng đó. Định lí 2.1.3. Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba về cùng một phía thì song song với nhau. Chứng minh. Giả sử a và b đều song song với c theo cùng một hướng. Khi đó a và b không thể cắt nhau vì nếu chúng cắt nhau tại một điểm M nào đó thì qua M ta có 2 đường thẳng song song với c theo cùng một hướng là điều vô lí. Để chứng minh a và b song song với nhau ta xét hai trường hợp: TH1. Trường hợp a và b nằm cùng phía đối với c và giả sử b nằm ở miền chung của mặt phẳng xác định bởi a và c. Ta lấy một điểm A trên a và một điểm C trên c. Nối AC cắt b tại B . Từ A về phía song song ta vẽ tia Ax bất kỳ. Vì a song song với c nên Ax cắt c tại C1 . Hai điểm A và C1 khác phía của b nên AC1 cắt b tại B1 . Vậy a song song với b. 17