Tài liệu độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ___________________ Phan Văn Thanh Cảnh ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ ÁNH XẠ CÔ ĐẶC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ___________________ Phan Văn Thanh Cảnh ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ ÁNH XẠ CÔ ĐẶC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của rất nhiều quý thầy cô. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới: Phó giáo sư –Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy kính mến đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình. Ban Giám Hiệu, phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và cho tôi những nhận xét quý báu để hoàn chỉnh luận văn này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất cả quý thầy cô. Xin chân thánh cảm ơn! Phan Văn Thanh Cảnh 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 5 1.1. Ánh xạ compact ............................................................................................................5 1.2. Bậc Brouwer .................................................................................................................5 1.2.1. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C 1 ( Ω ) ................................................................... 7 ( ) 1.2.2. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C Ω .................................................................. 10 1.3. Bậc Leray-Schauder ..................................................................................................13 CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT .................................................................. 17 2.1. Định nghĩa, các tính chất...........................................................................................17 2.2. Một số độ đo phi compact .........................................................................................23 2.2.1. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian l p và c0 .................................... 23 2.2.2. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian C [ a, b] ..................................... 24 2.2.3. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian Lp [ a, b] .................................... 26 CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ CÔ ĐẶC ............................................................................. 27 3.1. Định nghĩa, tính chất .................................................................................................27 3.2. Bậc tôpô của ánh xạ cô đặc .......................................................................................34 3.3. Ứng dụng cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach ..............38 CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CÔ ĐẶC................................................... 43 4.1. Tính chất phổ .............................................................................................................43 4.2. Biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc...........................................................................46 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 49 2 MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng nghiệm xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên cũng như cho nhiều mô hình trong kinh tế, xã hội. Lí thuyết điểm bất động hình thành từ đầu thế kỉ 20, phát triển mạnh trong thế kỉ này và tiếp tục được hoàn thiện cho đến ngày nay. Định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lí Schauder về điểm bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là các định lí quan trọng nhất của Lí thuyết điểm bất động. Năm 1955, Krasnoselskii đã kết hợp hai định lí này trong định lí nổi tiếng về điểm bất động của tổng ánh xạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục. Cũng thời gian này, Darbo chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact. Các ánh xạ co, hoàn toàn liên tục và tổng của chúng là các trường hợp riêng của ánh xạ cô đặc, do đó định lí Darbo đã hợp nhất ba hướng nghiên cứu về điểm bất động của các lớp ánh xạ tuy khác nhau về hình thức nhưng có cùng bản chất theo quan điểm độ đo phi compact. Độ đo phi compact được đưa ra từ những năm 1930 nhằm nghiên cứu các bài toán của Tô pô đại cương. Chỉ sau khi định lí Darbo được tìm ra thì các độ đo phi compact mới được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu một cách hệ thống. Đến nay Lí thuyết về các ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact được xây dựng khá hoàn chỉnh và tìm được các ứng dụng sâu sắc trong nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân trong Giải tích hàm,… Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách hệ thống và tương đối đầy đủ Lí thuyết về các ánh xạ cô đặc, xây dựng bậc tôpô của chúng và một số ứng dụng ban đầu. Nội dung của luận văn gồm bốn chương. Chương một nhắc lại khá đầy đủ một số kiến thức về ánh xạ compact, định lí bậc Brouwer và định lí bậc Leray Schauder làm nền tảng trong việc xây dựng định lí bậc cho các ánh xạ k-co theo tập hợp và các ánh xạ cô đặc. Ở chương hai, chúng ta định nghĩa độ đo phi compact và một số tính chất của chúng. Cũng trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu một số công thức để tính độ đo phi compact trong các không gian đặc biệt. Trong chương ba, chúng ta sẽ khảo sát ánh xạ cô đặc, cũng như ánh xạ cô đặc đếm được. Khái quát một cách đầy đủ định nghĩa cũng như các tính chất của chúng. Đặc biệt, định lí về 3 điểm bất động của ánh xạ cô đặc đếm được và định lí bậc cho ánh xạ cô đặc đếm được được trình bày với nhiều ứng dụng cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach. Cuối cùng, chương bốn giới thiệu ánh xạ tuyến tính cô đặc theo độ đo phi compact và phổ của chúng. Đặc biệt, chương này sẽ giúp chúng ta biểu diễn một ánh xạ tuyến tính cô đặc. 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số kết quả được sử dụng làm nền tảng cho việc xây dựng các kết luận chính của luận văn như ánh xạ compact, bậc Brouwer, bậc Leray Schauder. Các kết quả của chương chủ yếu được tham khảo trong [1] và [5, chương 1, 2]. 1.1. Ánh xạ compact Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian Banach, tập M ⊂ E là tập compact nếu với { } mọi dãy {xn }n trong M đều chứa một dãy con xni i x, x ∈ M . hội tụ và lim x= ni i →∞ Tập M ⊂ E là tập hoàn toàn bị chặn nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số hữu hạn quả cầu n mở B1 , B2 , ⋅ ⋅ ⋅, Bn có bán kính ε sao cho M ⊂  Bi . i =1 Tập M là tập compact tương đối nếu bao đóng M là tập compact. Định lý 1.1.2. Cho E là không gian Banach và M ⊂ E . Khi đó, M là tập compact nếu và chỉ nếu M là đóng và hoàn toàn bị chặn. Định nghĩa 1.1.3. Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở trong E . Ánh xạ f : D → F là ánh xạ compact nếu f liên tục và ảnh f ( A) là tập compact tương đối trong F nếu A là tập con bị chặn trong D. Định lý 1.1.4. (Định lý Ascoli-Azela) Cho E là không gian Banach. M ⊂ C ([ 0, T ] , E ) là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu 1. M là đẳng liên tục và 2. Với mỗi t ∈ [ 0, T ]= , M (t ) {x {t} : x (⋅) ∈ M } là tập compact tương đối trong E. 1.2. Bậc Brouwer Định lý 1.2.1. (Định lý Stokes) Cho C là xích các hình hộp kì dị p − chiều chứa trong tập mở V của R n và ω là dạng vi phân bậc p − 1 trên V thì ∫ d ω = C ∫ d ω. ∂C Bổ đề 1.2.2. (Bổ đề Sard) Cho Ω là tập mở trong  n có đạo hàm liên tục. Đặt K= {x ∈ Ω,det f ' ( x =) 0}. Khi đó f ( K ) là tập độ đo không trong  . n Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n và ϕ : Ω → =  n ,ϕ 5 (ϕ1 ,ϕ 2 , ⋅ ⋅ ⋅,ϕ n ) . Giả sử ϕ ∈ C 1 ( Ω ) . Với x ∈ Ω, đạo hàm ϕ ' ( x ) là ánh xạ tuyến tính từ  n vào  n có ma trận biểu diễn là: ∂ϕ1  ∂ϕ1  ∂x ( x ) ∂x ( x ) 2  1 ∂ϕ 2  ∂ϕ 2 x ( x) ( )  ∂x ∂ x 2  1 ⋅⋅⋅  ⋅⋅⋅  ∂ϕ  n ( x ) ∂ϕ n ( x )  ∂x ∂x2  1 ∂ϕ1 ( x )  ∂xn  ∂ϕ 2 ⋅⋅⋅ ( x )  ∂xn  ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅   ∂ϕ n ⋅⋅⋅ ( x )  ∂xn  ⋅⋅⋅ Đặt J ϕ ( x ) = det ϕ ' ( x ) gọi là Jacobien của ϕ tại x. Điểm x0 ∈ Ω là điểm đều của ϕ nếu J ϕ ( x0 ) ≠ 0, là điểm tới hạn của ϕ nếu J ϕ ( x0 ) = 0. Đặt Zϕ= {x ∈ Ω, J ( x =) 0} là tập hợp tất cả các điểm tới hạn của ϕ ϕ thì theo bổ đề Sard, ϕ ( Zϕ ) là tập độ đo không trong  n . Đặc biệt, với r > 0, y ∈  n và B ( y , r ) là quả cầu mở trong  n thì B ( y , r ) \ ϕ ( Zϕ ) ≠ ∅. Điểm y0 ∈  n là giá trị đều của ϕ nếu ảnh ngược ϕ −1 ( y0 ) chứa các điểm đều của ϕ , là giá trị tới hạn của ϕ nếu ϕ −1 ( y0 ) chứa các điểm tới hạn của ϕ . Giá của f kí hiệu là sup pf= {x ∈ Ω, f ( x ) ≠ 0} trong đó f : Ω → . Một dạng vi phân ω (hay đơn giản là dạng) được gọi là có giá compact nếu các hàm hệ số của dạng ω có giá compact. Ta kí hiệu một n − dạng trên  n là: µ f ( y ) dy1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn = f ( y ) dy và nếu sup pf compact thì ∫ µ = ∫ f ( y ) dy 1  ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn . n Nếu µ là n − dạng trên  n thì ánh xạ ϕ cảm ứng một n − dạng trên Ω, kí hiệu µ  ϕ = f (ϕ ( x ) ) J ϕ ( x ) dx. 6 Nếu ω là ( n − 1) − dạng thuộc lớp C −1 có giá compact trong  n thì do định lí Stokes ω ∫ d ω = 0 trong đó nếu = n ∑ ( −1) g ( y ) dy i −1 i i =1 1 n ∧d yi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn (dấu ∧ trên dyi để chỉ phải bỏ số hạng trên dyi ) thì vi phân ngoài d ω = ∑ i =1 ∂gi dy. ∂yi Nếu µ = f ( y ) dy là n − dạng trên  n và ϕ là phép biến đổi với J ϕ ( x0 ) ≠ 0 với mọi x ∈ Ω, từ công thức đổi biến trong tích phân, ta có: = ∫µ f ( y ) dy ∫ f (ϕ ( x ) ) = J ϕ ( x ) dx ∫=   n n sgn J ϕ ∫ µ  ϕ . 1.2.1. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C 1 ( Ω ) Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n , Ω = Ω ∪ ∂Ω và ϕ : Ω →  n ,ϕ ∈ C 1 ( Ω ) và liên tục trên Ω. Với ϕ −1 ( y0 = ) y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) là giá trị đều của ϕ , do định lí ánh xạ ngược, tập {x ∈ Ω,ϕ ( x =) } y0 gồm các điểm cô lập trong Ω nên ϕ −1 ( y0 ) chứa hữu hạn các phần tử. Đặt dy0 = ∑ xi ∈ϕ −1 ( y0 ) sgn J ϕ ( xi ). Nếu ϕ −1 ( y0 ) = ∅ thì dy0 = 0. Vậy dy0 là số nguyên. Định nghĩa 1.2.3. Một dạng µ = f ( y ) dy là n − dạng thuộc lớp C ∞ có giá chứa trong một lân cận tốt D của= y0, D  n \ ϕ ( ∂Ω ) (nghĩa là tồn tại g : D →  n thuộc lớp C 1 sao cho g ( D ) là khối lập phương trong  n . Một lân cận D tốt của y0 luôn luôn tồn tại) và ∫ µ = 1 được gọi là thừa nhận được đối với y0 và ϕ . Với µ là dạng thừa nhận được, ta định nghĩa bậc tôpô của ϕ trên tập Ω tại điểm y0 bởi deg (ϕ , Ω, y0 ) = ∫ µ  ϕ. Tính hợp lí của định nghĩa bậc suy ra từ bổ đề sau : 7 Bổ đề 1.2.4. Giả sử µ = f ( y ) dy là n − dạng thuộc lớp C ∞ trên  n có giá chứa trong một lân cận tốt D và ∫ µ = 0. Khi đó tồn tại ( n − 1) − dạng ω sao cho suppω ⊂ D và d ω = µ. Dưới đây là một vài tính chất của bậc. Mệnh đề 1.2.5. Với y1 đủ gần y0 , y1 ∉ ϕ ( ∂Ω ) thì deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) . Chứng minh. Gọi D là lân cận tốt của y0 . Với y1 ∈ D và µ là dạng thừa nhận được đối với y0 thì µ cũng là dạng thừa nhận được đối với y1 . Áp dụng định nghĩa của bậc, ta có deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) . Mệnh đề 1.2.6. Nếu y0 là giá trị đều của ϕ thì = dy0 deg (ϕ , Ω, y0 ) . Chứng minh. Giả sử ϕ −1= ( y0 ) {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xk }. Tồn tại các lân cận của N i của xi cách k biệt nhau sao cho ϕ là 1 − 1 trên mỗi lân cận. Đặt N = ϕ ( N i ) thì N là lân cận của y0 . i =1 Giả sử µ là dạng thừa nhận được có giá chứa trong N , ta có: deg (ϕ , Ω, y0 = ) k k k ∫ µ  ϕ= ∑ ∫ µ  ϕ= ∑ sgn J ϕ ( x ) ∫ µ= ∑ sgn J ϕ ( x =) d ( y ). i =i 1 i 1 =i 1 = Ni i 0 Chú ý 1.2.7. Do dy0 là số nguyên và do mệnh đề 1.2.5 và mệnh đề 1.2.6 suy ra deg (ϕ , Ω, y0 ) là số nguyên. Cũng do mệnh đề 1.2.5, deg (ϕ , Ω, y0 ) liên tục theo y0 , có giá trị là số nguyên nên deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y ) với y nằm trong thành phần liên thông của  n \ ϕ ( ∂Ω ) chứa y0 . Mệnh đề 1.2.8. (Bất biến đồng luân) Xét họ tham biến các ánh xạ ϕ t ( x ) : Ω × [0,1] →  n liên tục trên Ω × [0,1] và ϕ t ∈ C 1 ( Ω ) với mọi t ∈ [0,1]. Giả sử y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) với mọi t ∈ [ 0,1] thì deg (ϕ t , Ω, y0 ) không phụ thuộc t. tập A Chứng minh. Do ∂Ω × [ 0,1] là tập compact nên = {ϕ ( x ) | x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1]} là tập t compact không chứa y0 . Vậy tồn tại một lân cận tốt D của y0 , A ∩ D = ∅. Khi đó, deg (ϕ t , Ω, y0 ) = ∫ µ  ϕt . Đây là hàm liên tục theo t. Do bậc có giá trị trong  nên deg (ϕ t , Ω, y0 ) là hằng số. 8 ( Ωi )i∈ Mệnh đề 1.2.9. Cho ∞   y0 ∉ ϕ  Ω \  Ω i  i =1   y0 ) deg (ϕ , Ω,= thì là dãy các tập mở cách biệt chứa trong D và deg (ϕ , Ωi , y0 ) bậc trừ một số hữu hạn i và ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ) . i i =1 0 ∞   Chứng minh. Do ϕ  Ω \  Ωi  là tập compact không chứa y0 nên tồn tại lân cận tốt D i =1   ∞   của y0 , D ∩ ϕ  Ω \  Ωi  = ∅. i =1   Trường hợp y0 là điểm đều của ϕ , khi đó ϕ −1 ( y0 ) chứa một số hữu hạn điểm, vậy ϕ −1 ( y0 ) chứa trong một số hữu hạn các Ωi . Áp dụng mệnh đề 1.2.6 ta có kết quả. Trường hợp y0 là điểm tới hạn của ϕ , do định lí Sard và mệnh đề 1.2.5, với y1 đủ gần y0 , y1 là điểm đều của ϕ thì deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) . Mệnh đề 1.2.10. Cho Ω1 , Ω 2 là tập mở, bị chặn trong  n ,  p theo thứ tự và ϕ1 : Ω1 →  n ,ϕ 2 : Ω 2 →  p liên ϕ1 ∈ C 1 ( Ω1 ) ,ϕ 2 ∈ C 2 ( Ω 2 ) tục, và y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ 2 ( ∂Ω 2 ) . Đặt ϕ1 × ϕ 2 : Ω1 × Ω 2 →  n ×  p định bởi: = ϕ1 × ϕ 2 ( x1 , x2 ) (ϕ ( x ) ,ϕ ( x ) ) , x 1 1 2 2 1 ∈ Ω1 , x2 ∈ Ω 2 . Khi đó, deg (ϕ1 ,ϕ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y= deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) × deg (ϕ 2 , Ω 2 , y2 ) . 1 , y2 ) ) Chứng minh. Giả sử µ1 , µ2 là những dạng thừa nhận được đối với y1 , y2 và ϕ1 ,ϕ 2 theo thứ tự. Khi đó µ1 × µ2 (tích ngoài) là ( n + p ) − dạng thừa nhận được đối với ϕ1 × ϕ 2 tại điểm ( y1 , y2 ) và ∫ ( µ , µ )  (ϕ 1  × n 2 1 × ϕ 2 )= ( ) ∉ ϕ ( Ω ) nên y ∫µ 1  p n × ϕ1 ⋅ ∫µ  2 × ϕ2 . p Mệnh đề 1.2.11. Nếu y0 ∉ ϕ Ω thì deg (ϕ , Ω, y0 ) = 0. Chứng minh. Do y0 0 là giá trị đều của ϕ và ϕ −1 ( y0 ) = ∅ nên dy0 = 0. Áp dụng mệnh đề 1.2.6, ta có deg (ϕ , Ω, y0 )= d ( y0 )= 0. 9 ( ) 1.2.2. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C Ω Mệnh đề 1.2.12. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong  n ,ϕ : Ω →  n liên tục và y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) . Khi đó tồn tại r > 0 sao cho với mọi ϕ1 ,ϕ 2 : Ω →  n liên tục, ϕ1 ,ϕ 2 ∈ C 1 ( Ω ) và ϕ − ϕ i < r, i = 1,2 thì deg (ϕ1 , Ω, y0= ) deg (ϕ 2 , Ω, y0 ) . Ánh xạ ϕ1 ,ϕ 2 được gọi là C 1 − xấp xỉ của ϕ . { } Chứng minh. = Đặt d min y0 − ϕ ( x ) x ∈ ∂Ω và r = d thì r > 0. Với x ∈ ∂Ω, i = 1,2 2 ta có: d y0 − ϕ i ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ i ( x ) ≥ d − r => 0. 2 Xem đồng luân tϕ1 + (1 − t )ϕ 2 , t ∈ [ 0,1]. Với x ∈ ∂Ω, t ∈ [ 0,1] ta có: y0 − tϕ1 ( x ) − (1 − t )ϕ 2 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − t ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) − (1 − t ) ϕ ( x ) − ϕ 2 ( x ) d ≥d −r =. 2 Do tính bất biến đồng luân, ta được deg (ϕ1 , Ω, y0= ) deg (ϕ 2 , Ω, y0 ) . Định nghĩa 1.2.13. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong  n ,ϕ : Ω →  n liên tục và y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) . Ta định nghĩa bậc của ϕ tại y0 bởi deg (ϕ1 , Ω, y0 ) trong đó ϕ1 là C 1 − xấp xỉ của ϕ . Định lý 1.2.14. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong  n ,ϕ : Ω →  n liên tục và y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) thì bậc deg (ϕ , Ω, y0 ) có giá trị nguyên và thỏa mãn các tính chất sau: 1. Nếu deg (ϕ , Ω, y0 ) ≠ 0 thì tồn tại x0 ∈ Ω sao cho ϕ ( x0 ) = y0 . 2. Nếu y0 , y1 thuộc cùng thành phần liên thông của  n \ ϕ ( ∂Ω ) thì deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) . ∞   3. Cho ( Ωi )i∈ là dãy các tập mở cách biệt chứa trong D và y0 ∉ ϕ  Ω \  Ωi  i =1   thì deg (ϕ , Ωi , y0 ) = 0 trừ một số hữu hạn i và deg (ϕ , Ω,= y0 ) ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ) . i =1 4. Cho Ω1 , Ω 2 là tập mở, bị chặn trong  n ,  p tương ứng, ϕ1 : Ω1 →  n ,ϕ 2 : Ω 2 →  p và y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ 2 ( ∂Ω 2 ) thì 10 i 0 deg (ϕ1 × ϕ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y= deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ϕ 2 , Ω 2 , y2 ) . 1 , y2 ) ) ( ) { } đặt d min y0 − ϕ ( x ) , x ∈ Ω thì d > 0 với ϕ1 là Chứng minh. 1. Giả sử y0 ∉ ϕ Ω ,= xấp xỉ của ϕ , ϕ − ϕ1 < d và x ∈ Ω, ta có: 2 y0 − ϕ1 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥ d − d d = . 2 2 ( ) Vậy y0 ∉ ϕ1 Ω . Khi đó, từ định nghĩa của bậc và mệnh đề 1.2.11 ta có deg (ϕ , Ω, y0= ) deg (ϕ1 , Ω, y0=) 0 mâu thuẫn với deg (ϕ , Ω, y0 ) ≠ 0. Vậy tồn tại x0 ∈ Ω sao cho ϕ ( x0 ) = y0 . 2. Gọi D là thành phần liên thông của  n \ ϕ ( ∂Ω ) , y0 ∈ D. Với y1 ∈ D, đặt { } = d min y0 − ϕ ( x ) , y1 − ϕ ( x ) , x ∈ ∂Ω thì d > 0 với ϕ1 là C 1 − xấp xỉ của ϕ , ϕ − ϕ1 < d 2 và x ∈ ∂Ω, ta có: d 2 d y1 − ϕ1 ( x ) ≥ y1 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥ 2 y0 − ϕ1 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥ Vậy y1 , y0 thuộc cùng thành phần liên thông của  n \ ϕ ( ∂Ω ) . Theo mệnh đề 1.2.5 và theo định nghĩa của bậc, ta có: deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) . = 3. Xét ϕ : Ω × [ 0,1] →  n định bởi ϕ ( x, t ) ϕt ( x ) , x ∈ Ω, t ∈ [0,1] thì ϕ liên tục trên Ω × [ 0,1]. { } đặt d min y0 − ϕ t ( x ) , x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1] thì d > 0. Do y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) , t ∈ [ 0,1] ,= ( ) Với ψ ∈ C 1 Ω × [ 0,1] sao cho ϕ − ψ < d và x ∈ ∂Ω, ta có: 2 y0 − ψ t ( x ) ≥ y0 − ϕ t ( x ) − ϕ t ( x ) − ψ t ( x ) ≥ d . 2 Vậy y0 ∉ψ t ( ∂Ω ) với mọi t ∈ [ 0,1] và ψ t là C 1 − xấp xỉ của ϕ t . ∞  4. Do y0 ∉ ϕ   Ωi  , đặt:  i =1  11 ∞   = d min  y0 − ϕ ( x ) , x ∈ Ω \  Ωi  thì d > 0.   i =1 Với ϕ1 là xấp xỉ của ϕ , ϕ − ϕ1 < ∞ d   thì y0 ∉ ϕ1  Ω \  Ωi  . 2 i =1   Áp dụng mệnh đề 1.2.9, deg (ϕ , Ωi , y0 = ) deg (ϕ1 , Ωi , y0 ) trừ một số hữu hạn i và deg (ϕ , Ω, y0= ) deg (ϕ1 , Ω, y0=) ∞ ∑ deg (ϕ1 , Ωi , y0=) ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ). i =i 1 =i 1 { 0 } 5.= Đặt d min y1 − ϕ1 ( x ) , y2 − ϕ 2 ( x ) , x ∈ ∂Ω1 , x ∈ ∂Ω 2 thì d > 0. Với ψ 1 ,ψ 2 là C 1 − xấp xỉ của ϕ1 ,ϕ 2 theo thứ tự, ψ iϕ i < d ,i = 1,2 thì ψ 1 ×ψ 2 là C 1 − xấp xỉ của ϕ1 × ϕ 2 và 2 yi ∉ψ i ( ∂Ωi ) , i = 1,2. Áp dụng mệnh đề 1.2.10, ta có: deg (ψ 1 ×ψ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y1= , y2 ) ) deg (ϕ1 × ϕ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y1 , y2 ) ) = deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ϕ 2 , Ω 2 , y2= ) deg (ψ 1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ψ 2 , Ω2 , y2 ) . Định lý 1.2.5. Giả sử Ω ⊂  n là tập mở, bị chặn và đối xứng, 0 ∈ Ω. Nếu Ai ∈ ∂Ω là đóng, Ai ∩ ( − Ai ) =∅ với= i 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, k và k A = i ∂Ω thì k > n + 1. i =1 Chứng minh. Giả sử ngược lại k ≤ n. Đặt f i ( x ) = 1 trên Ai , f i ( x ) = −1 trên − Ai với và f = i 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, k − 1, f i ( x= ) 1 trên Ω với i= k , ⋅⋅⋅, n = ( f1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅, f n ) . Mở rộng f liên tục đến Ω. Khi đó, f ( − x ) ≠ λ f ( x ) trên ∂Ω với mọi λ ≥ 0. Nói cách khác f ( − x0 ) = λ f ( x0 ) với λ ≥ 0 nào đó và x0 ∈ ∂Ω. Ta có λ > 0 vì f ( x ) ≠ 0 trên ∂Ω. Vì vậy, x0 ∉ Ai ∪ ( − Ai ) với i ≤ k − 1 vì f i ( − x ) = − f i ( x ) . Do đó x0 ∈ Ak và x0 ∉ − Ak , vì vậy ta có − x0 ∈ Ai với i ≥ k − 1 nào đó và do đó x0 ∈ Ai , điều này mâu thuẫn. Do đó, f ( − x ) ≠ λ f ( x ) trên ∂Ω với mọi λ ≥ 0. Do đó, ta có deg ( f , Ω,0 ) = 0, nghĩa là f ( x ) = 0 với x ∈ Ω nào đó, điều này mâu thuẫn với f n ( x ) = 1 trên Ω. Định lý 1.2.16. (Định lý Brouwer) Cho K là tập lồi đóng, bị chặn trong  n và f : K → K liên tục. Khi đó f có điểm bất động trong K . Chứng minh. Ta chứng minh tồn tại g :  n → K liên tục sao cho g ( x ) = x, với mọi x ∈ K . Có thể giả sử 0 ∈ K . Gọi E là không gian con sinh bởi K . Khi đó, tồn tại ánh xạ ρ : E → K liên tục sao cho ρ ( x ) = x, với mọi x ∈ K . 12 Giả sử dim E= k ≤ n. Chọn b1 , b2 , ⋅ ⋅ ⋅, bn là cơ sở của  n sao cho b1 , b2 , ⋅ ⋅ ⋅, bk là cơ sở của n k E . Với x ∈  , x = ∑αi bi , xét phép chiếu p :  → E định bởi p ( x ) = ∑αi bi thì p liên n n 1 1 tục, p ( x ) = x, ∀x ∈ E . Khi đó, đặt g ρ  p :  n → K liên tục thỏa mãn g ( x ) = x, ∀x ∈ K . = Với R > 0 đủ lớn sao cho K ⊂ B ( 0, R ) . Ánh xạ f  g :  n → K liên tục thỏa mãn f  g ( B ' ( 0, R ) ) ⊂ K ⊂ B ( 0, R ) . Vậy tồn tại x ∈ B ( 0, R ) sao cho f  g ( x ) = x. Do f  g ( x ) ∈ K nên x ∈ K và g ( x ) = x. Vậy f ( x ) = x. 1.3. Bậc Leray-Schauder Bổ đề 1.3.1. Giả sử E là không gian Banach thực, Ω ⊂ E mở, bị chặn và T : Ω → E là ánh xạ liên tục, compact. Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại không gian hữu hạn chiều F và ánh xạ liên tục Tε : Ω → F thỏa mãn Tε x − Tx < ε với mọi x ∈ Ω. Chứng minh. Bởi vì T Ω là compact tương đối trong E , với bất kì ε > 0 tồn tại tập con hữu hạn {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xn } ⊂ Ω thỏa mãn n T Ω ⊂  B (Txi , ε ). i =1 Tε : Ω → F span {Tx1 , Tx2 , ⋅ ⋅ ⋅, Txn } như sau Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ= n Tε x = ∑ i =1 φi ( x ) Γ( x) trong đó φi= ( x ) max {0, ε − Tx − Txi T ( xi ) với mọi x ∈ Ω, n } và Γ ( x ) = ∑φ ( x ). Dễ dàng kiểm tra được Tε i =1 i thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 1.3.1. Bổ đề 1.3.2. Cho E là không gian Banach trên , B là tập đóng và bị chặn chứa trong E và T : B → E là ánh xạ compact liên tục. Giả sử Tx ≠ x, ∀x ∈ B. Khi đó, tồn tại ε 0 > 0 thỏa mãn x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε 2 x, ∀t ∈ [ 0,1] và x ∈ B, trong đó ε i ∈ ( 0, ε 0 ) và Tε i : B → Fε i với i = 1,2 như trong bổ đề 1.3.1. 13 Chứng minh. Giả sử kết không luận đúng. Khi đó, tồn tại x j với = j 1,2, ⋅ ⋅ ⋅ ε1j → 0, ε 2j → 0, t j → t0 , x j ∈ B sao cho t jTε x j + (1 − t j ) Tε x j = j 1 Bởi vì T là ánh xạ compact, (Tx j ) ∞ j =1 j 2 ( có dãy con, đặt là Tx jk ) hội tụ đến y ∈ E . Bởi bổ đề 1.3.1, Tε jk x jk → y với i = 1,2. Do đó, x jk → y ∈ B. Do T liên tục nên Tx jk → Ty. Do 1 giới hạn là duy nhất nên Ty = y mâu thuẫn với Tx ≠ x, ∀x ∈ B. Định lý 1.3.3. (Định lý Leray) Cho K là tập compact trong không gian Banach E . Khi đó, với ε > 0 tồn tại tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } trong K và một ánh xạ liên tục p : K → E sao cho: p ( x ) − x ≤ ε , ∀x ∈ K và p ( K ) ⊂ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an }. Chứng minh. Họ quả cầu mở {B ( x, ε ) , x ∈ K } là phủ mở của tập compact K . Vậy tồn n tại số hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K sao cho K ⊂  B ( ai , ε ). i =1 Với mỗi i ∈ 1, n, đặt ϕ i : E →  định bởi ϕ= max {0, ε − x − ai } thì ϕ i liên tục và i ( x) ϕ = 0 khi x ∉ B ( ai , ε ) i ( x)  ϕ i ( x ) > 0 khi x ∈ B ( ai , ε ) Suy ra ϕ i ( x ) x − ai ≤ ϕ i ( x ) ε , ∀x ∈ E  n  ϕi ( x ) > 0, ∀x ∈ K ∑   i =1 −1 Đặt p:K → E định  n  n bởi p ( x ) =  ∑ϕ i ( x )  ∑ϕ i ( x )ai =  i 1=  i1 thì p liên tục và p ( K ) ⊂ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an }. −1  n  n Hơn nữa, p ( x ) − x ≤  ∑ϕ i ( x )  ∑ϕ i ( x ) ai − x ≤ ε . =  i 1=  i1 Định nghĩa 1.3.4. Cho E là không gian Banach trên ,Ω là tập mở, bị chặn chứa trong E và T : Ω → E là ánh xạ compact liên tục. Giả sử 0 ∉ ( I − T ) ( ∂Ω ) . Khi đó, bởi bổ đề 1.3.2, tồn tại ε 0 > 0 thỏa mãn x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε 2 x, ∀t ∈ [ 0,1] và x ∈ ∂Ω 14 trong đó ε i ∈ ( 0, ε 0 ) và Tε i : Ω → Fε i với i = 1,2 như trong bổ đề 1.3.1. Do đó, bậc của Brouwer deg ( I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 ) được định nghĩa tốt và vì vậy ta định nghĩa = deg ( I − T , Ω ,0 ) deg ( I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 ) , trong đó ε ∈ ( 0, ε 0 ) . Bởi tính bất biến đồng luân của bậc Brouwer, ta có ( } ) { ( } ) { deg I − Tε1 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2= ,0 deg I − Tε 2 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2 ,0 . } { Nhưng Tε i : Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2 → Fi với i = 1,2, vì vậy ta có ( { } ) ( ) ( { } ) ( ) deg I − Tε1 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2= ,0 deg I − Tε1 , Ω ∩ Fε1 ,0 và deg I − Tε 2 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2= ,0 deg I − Tε 2 , Ω ∩ Fε 2 ,0 . Do đó, ta có ( ) ( ) deg I − Tε1 , Ω ∩ F= deg I − Tε 2 , Ω ∩ Fε 2 ,0 . ε1 ,0 và bậc được định nghĩa trong định nghĩa 1.3.4 là tốt. Trong trường hợp tổng quát, nếu p ∉ ( I − T )( ∂Ω ) , ta định nghĩa deg ( I − T , Ω, = p ) deg ( I − T − p, Ω,0 ) . Dưới đây là một số tính chất của bậc Leray Schauder. Định lý 1.3.5. Bậc Leray Schauder có các tính chất sau: (1) (Tính chuẩn tắc) deg ( I , Ω,0 ) = 1 nếu và chỉ nếu 0 ∈ Ω; (2) (Tính giải được) Nếu deg ( I − T , Ω,0 ) ≠ x, thì Tx = x có nghiệm trong Ω; (3) (Tính đồng luân) Giả sử Tt : [ 0,1] × Ω → E là ánh xạ compact liên tục và Tt x ≠ x với mọi ( t , x ) ∈ [ 0,1] × ∂Ω. Khi đó, deg ( I − Tt , Ω,0 ) không phụ thuộc vào t ∈ [ 0,1]. (4) (Tính cộng tính) Giả sử Ω1 , Ω 2 là hai tập con không giao nhau của Ω và ( ) 0 ∉ ( I − T ) Ω − Ω1 ∪ Ω 2 . Khi đó deg ( I − T , Ω,0 = ) deg ( I − T , Ω1 ,0 ) + deg ( I − T , Ω2 ,0 ) . Chứng minh. Tương tự như chứng minh các tính chất của bậc Brouwer. 15 Định lý 1.3.6. (Định lý Schauder) Cho C là tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn chứa trong không gian Banach E và f : C → C liên tục sao cho f ( C ) là tập compact tương đối. Khi đó f có điểm bất động trong C. Chứng minh. Đặt K = co f ( C ) thì K lồi, compact chứa trong C. Với mỗi m ∈  tồn tại tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K và một ánh xạ liên tục pm : K → co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } sao cho pm ( x ) − x < 1 , ∀x ∈ K . m Đặt g m = pm  f|co{a1 ,a2 ,⋅⋅⋅,an } (ánh xạ thu hẹp trên co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ). Ta có g m : co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } → co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } liên tục. Áp dụng định lý Brouwer tồn tại xm ∈ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K sao cho g m ( xm ) = xm . pm  f ( xm ) − f ( xm ) < Ta có xm −= f ( xm ) 1 , ∀m ∈ . m ( ) Do dãy ( xm )m trong tập compact K nên tồn tại dãy con hội tụ xmi i hội tụ về x ∈ K ,lim xmi = x. i Do f liên tục nên lim xmi = f ( x ) và do xm − f ( xm ) < i Vậy f có điểm bất động trong C. 16 1 , ∀m ∈ , nên x = f ( x ) . m CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT Trong chương này, tôi giới thiệu định nghĩa độ đo phi compact Kuratowski và Hausdorff và khảo sát một số tính chất của chúng. Sau đó mô tả một số công thức cho phép chúng ta tính một cách chính xác độ đo phi compact Hausdorff trong một vài không gian cụ thể. Ta kí hiệu B ( x, r ) = Br ( x ) là quả cầu đóng tâm x bán kính r . Các kết quả của mục 2.1 được tham khảo trong [5, chương 3, trang 55-60] và mục 2.2 được tham khảo trong [3, trang 5-8]. 2.1. Định nghĩa, các tính chất Định nghĩa 2.1.1. (1) Cho ( X , d ) là không gain mêtric và A là một tập con chứa trong X . Khi đó diam( A) = sup d ( x, y ) được gọi là đường kính của A . Nếu diam( A) < +∞ thì A bị x , y∈A chặn. (2) Cho A, B là hai tập hợp bị chặn, mêtric Hausdorff H được xác định bởi H ( A, B ) = max{sup d ( x, B ),sup d ( y , A)} x∈A y∈B Giả sử B ( X ) là họ tất cả các tập con của X . Ta có một số mệnh đề sau. Mệnh đề 2.1.2. Nếu A ⊂ B thì diam( A) ≤ diam( B ) và diam( A) = diam( A) . Mệnh đề 2.1.3. Giả sử X là không gian Banach và A, B ⊂ X . Khi đó (1) diam(λ B ) =| λ | diam( B ) diam( B ) (2) diam( x + B ) = (3) diam( A + B ) ≤ diam( A) + diam( B ) (4) diam( conv ( A)) = daim( A) Chứng minh. (1)-(3) hiển nhiên. Ta chứng minh (4). Lấy x, y ∈ conv ( A) . Khi đó tồn tại xi ∈ (0,1), xi ∈ X , i ∈ 1, k , ti ∈ (0,1), yi ∈ A, i ∈ 1, m thỏa mãn = x k m = s x , y ∑s y ∑ i i =i 1 =i 1 i i Ta có 17 k m ∑ si xi − ∑ si xi x −= y =i 1 =i 1 k = m k m ∑∑ si t j xi − ∑∑ si t j yi =i 1 =j 1 k =i 1 =j 1 m = ∑∑ si t j xi − yi =i 1 =j 1 k m = ∑∑ si t j diam( A) =i 1 =j 1 Do đó diam( conv ( A)) ≤ daim( A) Do A ⊂ conv ( A) nên diam( A) ⊂ diam( conv ( A)). Vậy diam( conv ( A)) = diam( A). Mệnh đề 2.1.4. Giả sử ( X , d ) là không gian mêtric. Khi đó ( B ( X ), H ) là không gian mêtric. 0 nếu và chỉ Chứng minh. Hiển nhiên H ( A, B ) ≥ 0 với bất kỳ A, B ∈ B ( X ), H ( A, B ) = nếu A = B và H ( A, B ) = H ( B, A). Với A, B, C ∈ B ( X ) , ta có d ( x, B ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, B ), d ( y , A) ≤ d ( y , z ) + d ( z, A), ∀z ∈ C , x ∈ A và y ∈ B Do đó d ( x, B ) ≤ inf d ( x, z ) + sup d ( z, B ), z∈C z∈C d ( y , A) ≤ inf d ( y , Z ) + sup d ( z, A) z∈C z∈C Do vậy, ta có H ( A, B ) ≤ max{sup d ( x, C ) + sup d ( z, B ),sup d ( y , C ) + sup d ( z, A)} x∈A z∈C y∈B z∈C ≤ max{sup d ( x, C ),sup d ( z, A) + max{sup d ( z, B ),sup d ( y , C )} x∈A z∈C z∈C y∈B = H ( A, C ) + H (C , B ) Do đó ( B ( X ), H ) là không gian mêtric. Định nghĩa 2.1.5. Giả sử ( X , d ) là không gian mêtric, B là họ tất cả các tập con bị chặn của X và A, B ∈ B. Hàm số α : β → [1, +∞ ] được xác định bởi 18