Tài liệu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân, một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2021 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18ST, khóa 2018 Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2021 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, MỘT VÀI ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18ST, khóa 2018 Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1 Những kiến thức cơ bản 3 1.1 Không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric . . 3 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Dãy hội tụ, dãy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 3 Hình cầu mở và hình cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Hình cầu mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Hình cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Tập Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 Hàm Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.8 Ánh xạ co, điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.9 Nghiệm và bài toán giá trị ban đầu 6 1.2 . . . . . . . . . . . . 2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân 8 i 2.1 Chứng minh các mệnh đề cần sử dụng . . . . . . . . . . . 8 2.2 Định lí Picard - Lindelof . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Sự phụ thuộc Lipschitz vào điều kiện ban đầu . . . . . . . 14 3 Ứng dụng của Định lý tồn tại duy nhất nghiệm vào các phương trình vi phân tuyến tính 3.1 17 Một số ứng dụng của Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 17 Một số ứng dụng của Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân vào các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 KẾT LUẬN 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu Tìm hiểu về hàm Lipschitz, ánh xạ co, nguyên lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Từ đó, ứng dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính. 2. Lý do chọn đề tài, mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài ˆ Lí do chọn đề tài: Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành phát triển có tầm quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế, vật lý ... Chính vì vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân nói chung luôn là nhiệm vụ cần thiết. Đặc biệt trong những năm gần đây, đã có rất nhiều người nghiên cứu về lý thuyết cũng như ứng dụng của phương trình vi phân. Trong đó việc nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho các bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân là cần thiết để tạo tiền đề cơ sở lí thuyết vững chắc cho các bài toán ứng dụng sau này. Chính vì lí do trên, dưới sự hỗ trợ của giảng viên TS. Lê Hoàng Trí, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân và một vài ứng dụng " cho bài khóa luận tốt nghiệp này. ˆ Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nội dung tập trung vào việc trình bày lại một số kiến thức cơ bản, chứng minh bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất nghiệm và ứng dụng của Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2. ˆ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1 Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Cauchy và phương trình vi phân tuyến tính. Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết liên quan đến phương trình vi phân tuyết tính và bài toán Cauchy. ˆ Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức không gian metric, ánh xạ co để xem xét chứng minh các mệnh đề liên quan đến nghiệm của bài toán Cauchy, từ đó chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. ˆ Nội dung và cấu trúc của đề tài Nội dung gồm 3 chương: + Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. + Chương 2: Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân. + Chương 3: Ứng dụng của Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân vào các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2. 2 Chương 1 Những kiến thức cơ bản 1.1 1.1.1 Không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là một tập hợp và d : X × X → R là một hàm xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau: a. Với mọi x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇔ x = y . b. Với mọi x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x). c. Với mọi x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Hàm d được gọi là metric trên X . Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian X , d(x, y) được gọi là khoảng cách của hai điểm x, y . 1.1.2 Dãy hội tụ, dãy Cauchy Giả sử với dãy (xn )n = (xn )n∈N trong không gian metric (X, d), ta nói: a. (xn )n là dãy hội tụ nếu tồn tại x ∈ X sao cho d(xn , x) → 0 khi n → ∞. b. (xn )n là dãy Cauchy nếu với  > 0, tồn tại p ∈ N sao cho d(xn , xm ) <  với mỗi 3 n, m > p. 1.2 1.2.1 Hình cầu mở và hình cầu đóng Hình cầu mở Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X, d) là một không gian metric, x ∈ X và r > 0. Tập hợp B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) < r} , được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính r. 1.2.2 Hình cầu đóng Định nghĩa 1.2.2. Giả sử (X, d) là một không gian metric, x ∈ X và r > 0. Tập hợp B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) ≤ r} , được gọi là hình cầu đóng tâm x bán kính r. 1.3 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1. Cho (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không gian metric, ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi số dương  đều tồn tại một số dương δ sao cho với mọi x ∈ X , nếu dX (x, x0 ) < δ thì dY (f (x), f (x0 )) < . Ta nói ánh xạ f là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X . 1.4 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.4.1. Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Định lý 1.4.1. Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy Cauchy. 1.5 Tập Compact Định nghĩa 1.5.1. Tập con K ⊂ (X, d) được gọi là tập compact nếu mỗi dãy bất kỳ (xn )n = (xn )n∈N ⊂ K đều có một dãy con hội tụ đến một phần tử nào đó của K. 4 1.6 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.6.1. Cho X là một không gian vector trên trường số R. Hàm k.k : X → R+ được gọi là một chuẩn trên X nếu: a. kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0. b. kλxk = |λ|. kxk với mọi λ ∈ R và x ∈ X . c. kx + y k ≤ kxk + ky k với mỗi x, y ∈ X . Khi đó, (X, k.k) được gọi là một không gian định chuẩn. 1.7 Hàm Lipschitz địa phương Định nghĩa 1.7.1. Hàm f : D → Rn trong tập D ⊂ R × Rn được gọi là Lipschitz địa phương theo biến x nếu với mỗi tập compact K ⊂ D, tồn tại hằng số L > 0 sao cho kf (t, x) − f (t, y)k 6 L kx − yk (1.1) với mỗi (t, x), (t, y) ∈ K . Định nghĩa 1.7.2. Cho hàm x : I → Rn trong tập I ⊂ Rk được gọi là Lipschitz nếu tồn tại L > 0 sao cho |x(t) − x(s)| ≤ L |t − s| với mỗi t, s ∈ I . 1.8 Ánh xạ co, điểm bất động Định nghĩa 1.8.1. Ánh xạ T : X → X trong không gian metric (X, d) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại λ ∈ (0, 1) sao cho d(T (x), T (y)) ≤ λd(x, y) với mỗi x, y ∈ X . Định nghĩa 1.8.2. Với (X, d) là không gian metric, ta nói x0 ∈ X là điểm bất động của phép biến đổi T : X → X nếu T (x0 ) = x0 . Với T : X → X , ∀x ∈ X , được định nghĩa là T 0 = x; T 1 = T ; T 2 = T ◦ T ; . . . ; T n = T ◦ T n−1 5 ∀n ≥ 1. 1.9 Nghiệm và bài toán giá trị ban đầu Cho hàm f : D → Rn với D ⊂ R × Rn là tập mở, xét phương trình có dạng x0 = f (t, x), (1.2) Định nghĩa 1.9.1. Hàm x : (a, b) → Rn thuộc lớp C 1 (với a ≥ −∞ và b ≤ +∞) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu: a. (t, x(t)) ∈ D với mọi t ∈ (a, b). b. x0 (t) = f (t, x(t)) với mỗi t ∈ (a, b). Hình 1.1: Nghiệm x = x(t) của phương trình x0 = f (t, x). Ví dụ 1.9.1. Xét phương trình x0 = −x + t. (1.3) Nếu x = x(t) là nghiệm, khi đó x0 (t) + x(t) = t ⇔ et (x0 (t) + x(t)) = et t ⇔ et x0 (t) + et x(t) = et t ⇔ (et x(t))0 = et t Lấy nguyên hàm 2 vế ta được et x(t) = et (t − 1) + c với c ∈ R. Do đó, nghiệm của (1.3) thu được x(t) = t − 1 + ce−t , t ∈ R. 6 (1.4) Định nghĩa 1.9.2. Cho hàm f : D → Rn trong tập mở D ⊂ R × Rn , cho bởi phương trình x0 = f (t, x). Với (t0 , x0 ) ∈ D, việc tìm nghiệm x(t) : (a, b) → Rn thỏa  0 x (t) = f (t, x(t)) x(t0 ) = x0 (1.5) được gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban đầu). Ví dụ 1.9.2. Tiếp theo ví dụ 1.9.1. Xét bài toán giá trị ban đầu  0 x = −x + t x(0) = x0 Lấy t = 0 trong nghiệm 1.4 ta được x(0) = −1 + c, suy ra c = 1. Do đó, nghiệm của (1.6) là x(t) = t − 1 + e−t , t ∈ R. 7 (1.6) Chương 2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân 2.1 Chứng minh các mệnh đề cần sử dụng Mệnh đề 2.1.1. [2] Cho (X, k.k) là không gian định chuẩn, khi đó hàm d : X × X → R+ được định nghĩa bởi d(x, y) = kx − y k là metric trong X. Chứng minh. Đầu tiên ta thấy ∀x, y ∈ X, d(x, y) = kx − y k ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇔ kx − y k = 0 Vì (X, k.k) là không gian định chuẩn nên kx − y k = 0 thì x − y = 0 ⇔ x = y. Do đó, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y . Tiếp theo, ∀x, y ∈ X ta xét: d(y, x) = ky − xk = k−(x − y)k = | − 1|. kx − y k = kx − y k = d(x, y) do đó, d(y, x) = d(x, y). Cuối cùng,∀x, y, z ∈ X ta xét d(x, y) = kx − y k = k(x − z) + (z − y)k ≤ kx − z k + kz − y k = d(x, z) + d(z, y). 8 Từ 3 điều trên, mệnh đề đã được chứng minh. Mệnh đề 2.1.2. [2] Tập X = C(I) là tập tất cả các hàm liên tục x : I → Rn với I là 1 tập khác rỗng bất kỳ và I ⊂ Rk , thì X là một không gian metric đầy đủ với metric d(x, y) = sup {kx(t) − y(t)k : t ∈ I} . (2.1) Chứng minh. Ta dễ dàng thấy rằng d là một metric trên X, cho (xp )p là dãy Cauchy trong X . Với mỗi t ∈ I , ta có kxp (t) − xq (t)k ≤ d(xp , xq ), (2.2) vì vậy (xp (t))p là dãy Cauchy trong Rn . Do đó, nó hội tụ và tồn tại giới hạn x(t) = lim xp (t). (2.3) p→∞ Mặt khác, (xp (t))p là dãy Cauchy nên với  > 0, tồn tại r ∈ N sao cho kxp (t) − xq (t)k <  (2.4) với mỗi t ∈ I và p, q ≥ r. Khi q → ∞, (2.4) tương ứng với kxp (t) − x(t)k ≤  (2.5) với mỗi t ∈ I và p ≥ r. Bây giờ ta xét hàm x : I → Rn . Với mỗi t, s ∈ I , ta có kx(t) − x(s)k ≤ kx(t) − xp (t)k + kxp (t) − xp (s)k + kxp (s) − x(s)k . (2.6) kx(t) − x(s)k ≤ 2 + kxp (t) − xp (s)k . Lấy p = r, (2.6) có dạng kx(t) − x(s)k ≤ 2 + kxr (t) − xr (s)k với mỗi t, s ∈ I . Vì xr là hàm liên tục, với t ∈ I , tồn tại δ > 0 sao cho kxr (t) − xr (s)k <  khi kt − sk < δ. Suy ra, (2.7) tương đương với kx(t) − x(s)k < 3 khi 9 kt − sk < δ, (2.7) và x liên tục. Hơn nữa, theo (2.5) với  > 0, tồn tại r ∈ N sao cho kx(t)k ≤ kxp (t) − x(t)k + kxp (t)k ≤  + sup {kxp (t)k : t ∈ I} < +∞ với mỗi p ≥ r, do đó x ∈ X . Hơn nữa, cũng theo (2.5) ta được d(xp , x) = sup {kxp (t) − x(t)k : t ∈ I} ≤  với mỗi p ≥ r và do đó d(xp , x) → 0 khi p → ∞. Do đó, X là không gian metric đầy đủ. Mệnh đề 2.1.3. [2] Cho Y ⊂ C(I) là tập những hàm Lipschitz với hằng số L ở (1.1) thì Y là 1 không gian metric đầy đủ với metric d ở (2.1) Chứng minh. Theo mệnh đề (2.1.2), ta có thể thấy (xp )p là dãy Cauchy trong Y (do đó cũng là dãy Cauchy trong C(I)), khi đó giới hạn của nó sẽ thỏa mãn (2.1). Khi đó, Giả sử (xp )p là một dãy Cauchy trong Y. Ta có kxp (t) − xp (s)k ≤ L kt − sk (2.8) với t, s ∈ I, p ∈ N. Mặt khác, theo (2.3) ta có: với mỗi t ∈ I , xp (t) → x(t) khi p → ∞, do đó (2.8) suy ra x ∈ Y . Do đó, (X, d) là không gian metric đầy đủ. Mệnh đề 2.1.4. [2] Giả sử f : D → Rn là hàm liên tục trong tập mở D ⊂ R × Rn . Cho (t0 , x0 ) ∈ D, x : (a, b) → Rn là hàm liên tục trong khoảng (a, b) chứa t0 là nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) khi và chỉ khi Z t x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds (2.9) t0 với mỗi t ∈ (a, b). 10 Chứng minh. "⇒" Giả sử x = x(t) là nghiệm của bài toán Cauchy (1.5). Với mỗi t ∈ (a, b),ta có Z t Z t 0 x(t) − x0 = x(t) − x(t0 ) = x (s)ds = f (s, x(s))ds, t0 t0 đúng theo (2.9). "⇐ ” Chứng minh ngược lại, giả sử (2.9) đúng với t ∈ (a, b), khi đó với t = t0 , thay vào (2.9) ta được: Z t0 x(t0 ) = x0 + x0 (s)ds t0 ⇔ x(t0 ) = x0 . Lấy đạo hàm đối với t, ta được: x0 (t) = f (t, x(t)) (2.10) với mỗi t ∈ (a, b). Vì t 7→ f (t, x(t)) liên tục và x thuộc lớp C 1 , do đó x(t) là nghiệm của bài toán (1.5). Định lý 2.1.5. [2] Nếu T : X → X là một ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ (X, d), khi đó T có duy nhất một điểm bất động. Hơn nữa, với mỗi x ∈ X , dãy (T n (x))n hội tụ đến điểm bất động duy nhất của T . Chứng minh. Cho x ∈ X , xét dãy xn = T n (x) với n ∈ N. Với mỗi m, n ∈ N với m > n, ta có d(xm , xn ) ≤ d(xm , xm−1 ) + d(xm−1 , xm−2 ) + · · · + d(xn+1 , xn )
≤ λm−1 + λm−2 + · · · + λn d(T (x), x) m−n n1 − λ d(T (x), x) =λ 1−λ λn ≤ d(T (x), x). 1−λ Do đó, (xn )n là dãy Cauchy trong X nên dãy (xn )n có giới hạn, gọi là x0 . Vì (X, d) là không gian metric đầy đủ nên x0 ∈ X . Khi đó ta được d (T (xn ), T (x0 )) ≤ λd (xn , x0 ) → 0 khi n → ∞. 11 Do đó, (T (xn ))n hội tụ đến T (x0 ). Nhưng do T (xn ) = xn+1 nên (T (xn ))n cũng hội tụ đến x0 . Vì mỗi dãy hội tụ trong không gian metric có giới hạn duy nhất nên T (x0 ) = x0 , do đó, x0 là điểm bất động của T . Giả sử rằng y0 ∈ X cũng là điểm bất động của T . Khi đó d (x0 , y0 ) = d (T (x0 ), T (y0 )) ≤ λd (x0 , y0 ) . (2.11) Vì λ < 1, do đó (2.11) cho thấy rằng x0 = y0 . Do đó, điểm bất động của T là duy nhất. Và với mỗi x ∈ X , dãy (T n (x))n hội tụ đến điểm bất động của T . Từ việc chứng minh định lý, ta có thể thấy: nếu x0 ∈ X là điểm bất động duy nhất của ánh xạ co: T : X → X , khi đó λn n d (T (x), x0 ) ≤ d (T (x), x) 1−λ với mỗi x ∈ X và n ∈ N. Hơn nữa, mỗi dãy (T n (x))n hội tụ đến x0 . 2.2 Định lí Picard - Lindelof Định lý 2.2.1. [2] Nếu hàm f : D → Rn liên tục và Lipschitz địa phương theo biến x trong tập mở D ⊂ R × Rn , thì ∀ (t0 , x0 ) ∈ D tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy (1.5) trong khoảng mở chứa t0 . Chứng minh. Theo mệnh đề (2.1.4), nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) là hàm x ∈ C(a, b) với (a, b) chứa t0 sao cho: Z b x(t) = x0 + f (s, x(s))ds với mọi t ∈ (a, b). (2.12) a Ở đây, C(a, b) là tập những hàm liên tục y : (a, b) → Rn . Lấy a < t0 < b và β > 0 sao cho: K := [a × b] × B (x0 , β) ⊂ D, với B (x0 , β) = {y ∈ Rn : ||y − x0 || 6 β} . 12 (2.13) Giả sử X ⊂ C(a, b) là tập các hàm liên tục x : (a, b) → Rn sao cho: ||x(t) − x0 || 6 β (2.14) với t ∈ (a; b). Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng (X, d) là không gian metric đầy đủ với d(x, y) = sup {||x(t) − y(t)|| : t ∈ (a, b)}. Cho (xp )p là dãy Cauchy trong X , từ định lý (2.1.2) suy ra nó hội tụ và tồn tại giới hạn đến hàm x ∈ C(a, b): x(t) = lim xp (t) p→∞ Để chứng minh rằng x ∈ X , ta có ||xp (t) − x0 || ≤ β nên ||x(t) − x0 || = lim ||xp (t) − x0 || ≤ β p→∞ với t ∈ (a, b) và p ∈ N. Hơn nữa ta có thể thấy, nếu x : (a, b) → Rn là một hàm liên tục thỏa mãn (2.12), khi đó: Z t f (s, x(s))ds|| ≤ |t − t0 |M ≤ (b − a)M ||x(t) − x0 || ≤ || t0 với M = max {||f (t, x)|| : (t, x) ∈ K} < +∞ (2.15) (vì f là hàm liên tục và K là compact). Điều này cho thấy rằng nếu x ∈ C(a, b) thỏa mãn (2.12) khi đó x ∈ X . Suy ra, (X, d) là 1 không gian metric đầy đủ. Bây giờ, chúng ta xét ánh xạ T được định nghĩa bởi Z t T (x)(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 với mỗi x ∈ X. Ta thấy t → T (x)(t) liên tục và Z t kT (x)(t) − x0 k ≤ || f (s, x(s))ds|| ≤ (b − a)M. t0 13 Khi b − a đủ nhỏ, ta có (b − a)M ≤ β và do đó T (x) ⊂ X . Hơn nữa, với x, y ∈ X , Z t kT (x)(t) − T (y)(t)k ≤ || [f (s, x(s)) − f (s, y(s))] ds|| t0 Z t ≤| L||x(s) − y(s)||ds| t0 ≤ (b − a)Ld(x, y) với L là hằng số trong (1.1) với tập compact K ở (2.13) và metric d ở (2.1) với I = (a, b). Do đó, d(T (x)(t) − T (y)(t)) ≤ (b − a)Ld(x, y) với mỗi x, y ∈ X . Khi b − a đủ nhỏ, ta được (b − a)L < 1, (ngoài ra (b − a)L ≤ β ) và T là một phép co trong không gian metric đầy đủ X. Theo định lí (2.1.5), ta kết luận T có duy nhất một điểm bất động x ∈ X . Do đó, đây là một hàm liên tục duy nhất trong (a, b) thỏa mãn (2.12). 2.3 Sự phụ thuộc Lipschitz vào điều kiện ban đầu Mệnh đề 2.3.1. [2] Giả sử u, v : [a, b] → Rn liên tục và v ≥ 0, giả sử c ∈ R. Nếu Z t u(s)v(s)ds (2.16) u(t) ≤ c + a với mỗi t ∈ [a, b], khi đó u(t) ≤ c exp Z t v(s)ds a với mỗi t ∈ [a, b]. Chứng minh. Ta đặt t Z R(t) = u(s)v(s)ds a và Z V (t) = t v(s)ds. a 14 Rõ ràng, R(a) = 0 và theo giả thiết, R0 (t) = u(t)v(t) ≤ (c + R(t)) v(t). Do đó, R0 (t) − v(t)R(t) ≤ cv(t) và  d  −V (t) e R(t) = e−V (t) (R0 (t) − v(t)R(t)) dt ≤ cv(t)e−V (t) . Vì R(a) = 0, ta có −V (t) e Z t cv(τ )e−V (τ ) dτ a τ =t = −ce−V (τ ) τ =a R(t) ≤ = c(1 − e−V (t) ), và do đó R(t) ≤ ceV (t) − c với mỗi t ∈ [a, b]. Định lý 2.3.2. [2] Giả sử f : D → Rn liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo biến x trong tập mở D ⊂ R × Rn . Lấy (t0 , x1 ) ∈ D, tồn tại hàng số β, C > 0 và khoảng I chứa t0 sao cho với mỗi x2 ∈ Rn với kx1 − x2 k < β x1 (t) và x2 (t) lần lượt là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu  0  0 x = f (t, x) x = f (t, x) và (2.17) x(t0 ) = x1 x(t0 ) = x2 thỏa mãn kx1 (t) − x2 (t)k ≤ C kx1 − x2 k (2.18) với t ∈ I . Chứng minh. Theo định lý Picard - Lindelof (định lý 2.2.1), bài toán giá trị ban đầu (2.17) có duy nhất nghiệm x1 (t) và x2 (t) trong khoảng I chứa t0 . Hơn nữa, theo định lý (2.1.4), ta có Z t xi (t) = xi + f (s, x(s))ds (2.19) t0 15 với t ∈ I và i = 1, 2. Bây giờ ta sẽ xét đối với trường hợp t ≥ t0 , trường hợp t ≤ t0 được thực hiện tương tự. Ta xét hàm y : I → Rn được định nghĩa bởi y(t) = x1 (t) − x2 (t). Với t ≥ t0 , từ (2.19) ta được ky(t)k ≤ kx1 − x2 k + t Z kf (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))k ds t0 ≤ kx1 − x2 k + L Z t ky(s)kds, t0 với L là hằng số (vì f Lipzchits Giả sử ( u(t) v(t) c địa phương theo biến x). = ky(t)k = L = kx1 − x2 k theo định lý (2.3.1) ở trên, ta được Z t u(t) ≤ c exp v(s)ds = kx1 − x2 k eL(t−t0 ) t0 với t ∈ I ∩ [t0 ; +∞). Định lý đã được chứng minh. 16